数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
! S+ t) m) `0 ~3 M6 @3 \* Y2 v6 j
' C: C/ l. F! ?# s$ K5 M线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
( o# L; e4 L( p% g1 简介
6 @' P, ^1 ?- S% e6 Q
# y6 c* J6 w  v; G2 ]7 F: g1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
8 |4 X4 W  [$ J9 z$ u3 o（2）优先等级法
- n: y2 M8 U, z将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
* r4 u& K2 p% }) E寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

1.2建立目标规划的条件
/ y" H. o: ?, J6 Q# }$ ^
- e% P, k, p6 U) D（1）正、负偏差变量。
4 t# ^! ]9 B# T, I（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
3 T+ H. L3 c6 ^
: ~# L/ i* v1 B. B6 h: j( M4 T2 J6 \1.3 目标规划的目标函数
3 h2 p: W0 ]6 M+ \, X1 O! o" U
% K& Q) j% `; V/ V) ]. ^$ \- |目标规划的目标函数基本三种形式为
8 c- L2 j6 R. S6 _! p（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时

- ?$ x" J7 C, [9 f7 W（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
/ _# p5 L' g1 t1 {
/ @) e/ @: Q: Y$ @0 n2 v9 O
& a( n6 N: N9 n9 W  k1.4 目标规划的模型应用
/ y- p& y, u8 o7 `" X; g% L9 j
（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
0 l' Q, d) w) K$ m& S（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

2 目标规划的一般数学模型

设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
' M4 F* z, v6 y" b7 ]- K: |
" L3 Y3 M: p. \$ K3 ~) Q& f
( @/ m6 T0 S' i" @可用序贯算法求解目标规划。
' c! }8 G9 a* @" q% d; g" n2 Y
2 K: f; ?$ }" ]+ m% j% q6 |0 G3 数据包网络分析（DEA）

3.1适用范围
( g' T& k* y8 \, v7 I! i
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

3.2 数据包络分析的C2R模型

$ n1 d; h8 V3 @! b- x! {# Q设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为
" Z5 F6 Y9 w# ]7 `. v$ y1 M' E

, Y: N0 w1 A: V2 q0 G' @对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
3 E1 Q& h+ Q( j2 R3 t
' u: a" R* J4 D/ U8 i
, K* W- {' a4 ^
6 p" V) ]! O7 I$ D. I

+ ?7 O2 V5 d3 ]