数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
# L# t: }0 L* v8 K# P# B) k5 T" ^
3 k: _6 R6 \1 a- @& _线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介
+ e* ^! l( W. @4 n  o( w" U
6 r$ V0 {" {8 W/ q1 T6 l/ H4 y1.1求解目标规划的思路

$ m) E! U" W9 y8 l1 C9 R! @: `1 [# `" n: ^（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
* Y) F  W0 D. a3 z+ l将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

& n- G  w8 [5 t1 j1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
' ^+ E1 Q' p; G  ^/ Z3 h4 V; X. p（3）优先因子（优先等级）与权系数。

1.3 目标规划的目标函数

2 m2 s6 j6 j6 E) L8 d目标规划的目标函数基本三种形式为
; w( t3 X1 s& y# s& I, g（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
, v/ j% A1 ]. O* [- z
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
- `8 c; o1 B$ W1 @  @
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时


5 P" u- ]- C6 N. r5 ^' I4 H# D1.4 目标规划的模型应用

7 Z  u* r2 l- ]/ k（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
9 q% N: j- B# h# [（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

2 目标规划的一般数学模型
7 `; ?- Y. N; ?" E3 r) @
. j+ n& ^( e! K设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下

: Q7 |' ~. r$ ^: x. v
可用序贯算法求解目标规划。
8 q9 _6 S9 j1 m
3 数据包网络分析（DEA）

3.1适用范围
0 D/ n9 g, y  A5 [8 n6 m! m+ L
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

; V8 F# J3 G' j( J3.2 数据包络分析的C2R模型
- v9 B0 H  W/ }" u. k: ]; B; g
5 v+ b; r9 l0 k9 H设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
: F5 ^' p/ O% c* d1 T# o) j, T向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
+ A5 N" J: z2 `* j8 _评价决策单元效率j00的数学模型为

+ w0 H  p5 k1 l4 N, }. a
对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。

2 b+ D/ R* l5 w

* ~* p  S* c5 R. \% Z8 \- N


, l% G0 }5 ?$ v" U