数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
, }  }+ g: b0 b- ], c! b# W
3 ?, {( O7 e: J! }, W8 h线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介
2 G& W; c5 L, W1 j, A+ K$ B
( k. j% y! d+ j1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
) E' n: ~  H% t. Z（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
4 `9 u0 `3 ^. f: j" R（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
5 e8 T2 ?: f- f! s0 C4 d
3 ^0 V3 c5 R+ A9 f! [+ u. S" b1.2建立目标规划的条件
) `, l# p9 |3 x
$ h0 u1 Y0 Z' u" A" d. ]$ p（1）正、负偏差变量。
0 g- e" A* ]5 {+ C/ i（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
- N& d, ~9 [8 J6 ?5 h5 ?4 Q（3）优先因子（优先等级）与权系数。
* ?' A, `1 d" C# o* C& Y8 Q7 g2 f
1 x% R7 D% V0 R" c  N( I1.3 目标规划的目标函数
* s) W% g* x2 h3 f! ]% }/ R; V
7 z1 @) B' H& w  J) x( w目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
8 e) v$ y$ ^- U% l5 b- M8 G1 m
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
: f  D# U3 K  V+ y6 N9 P1 e
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时


& f) X8 D3 ^( c. b8 N* {% o* z1.4 目标规划的模型应用

（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

, `! S$ Y7 S  ^1 \# k2 目标规划的一般数学模型
  Z; H8 P! B9 o/ B
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下


# Z/ j- M; h* l7 g9 D可用序贯算法求解目标规划。
8 i, [) |* g7 e6 j8 x
3 数据包网络分析（DEA）
. ~; o- R& Y! l6 }5 k8 L
3.1适用范围

  `/ `+ X0 Q2 m0 f* A, a( IDEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

: a7 w6 r& H7 W4 Q! G( D3.2 数据包络分析的C2R模型
% @. d+ Y; T+ L) s. {
/ Z1 P; V8 n2 v  l3 a4 Q: _6 }设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
9 y$ t: A5 M) c向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
9 u  Q5 {" ?. f/ ]( v- ^2 q定义决策单元j的效率评价指数为
; ^- L- l& z8 \# a  `/ E评价决策单元效率j00的数学模型为


对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
) i4 u# H) v8 b) j

3 M5 K# f4 p7 c0 y
2 s+ C6 C8 Z" Z, g) n6 v
" i9 w* }. W! V# U. E) K& z

$ S) C% i& N3 l" Q: e1 d$ {8 c