数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
7 i2 [) l$ ^* B# @. l
  L0 C4 L( U! n( M线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
; {- W/ d/ |8 R0 I9 D+ E7 x1 简介

1 S+ N, r+ B' L! m2 m1.1求解目标规划的思路

* y  A( C! R2 e7 g9 [（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
; Y8 |, y: E( Y& q将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
& }: R% a( Z& ~( R6 o4 H（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
) q1 k) _1 \# ^& w
) o, I/ y/ c. ^: g( `1 q1.2建立目标规划的条件
( T3 P: b2 y- t5 h
7 w- c) ]! v4 M( R（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
6 F. g& \2 T; H
/ w# U" B9 p$ `: a7 d* r+ I1.3 目标规划的目标函数

目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
" B$ c+ G6 [% |: K) l7 f2 p
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
- Q+ @: u6 J# d/ w; ~. Y! t  S/ N9 E- {
+ x  X0 D1 u5 H- R（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
+ ]( N; [4 V% a) u
" a, c# n' S: [6 x9 E  Z% X
1.4 目标规划的模型应用

' D9 N2 O* C' g- ]（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

% z4 s: R- O7 K! @7 ?2 目标规划的一般数学模型

设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
& z% |+ R' n" b4 H& B5 L' _7 D
5 N. u% {- W! \2 ^1 R- ~
/ h4 v, Y) ?* ~7 e可用序贯算法求解目标规划。
( ?, \8 l( `# c7 T3 @
3 数据包网络分析（DEA）
+ C/ b8 X6 [/ |, N+ s0 ~9 D
3.1适用范围

DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

3.2 数据包络分析的C2R模型

" Y6 ?9 r, h, m2 S. |  N设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
% Q2 b9 U- h4 F. G1 z5 t向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
. Y4 T6 N+ Q/ z& Z1 K评价决策单元效率j00的数学模型为

# L) v- `- Z" c4 W5 k
对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
% y* x) {; y  s5 w: i8 ?+ o  \（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。



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