数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤
8 n5 D4 I& i& i  G

5 I9 d5 V& ~. k# w6 A
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

0 d+ ~3 m5 {1 T+ a模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
3 m: y, Y8 |' |8 o& l# B3 f
% K8 j5 y6 n! n模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

. M1 P" X" Z6 b3 c2、数学建模问题
( ?; V0 d6 O, q3 |1 W' S: g8 ?
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
+ ?3 h6 e9 i- o. K0 z
  a: p; k9 x$ E" k1 h! }7 p5 g（1）数据处理问题
1 e. o6 l7 H7 F. y' |
•①插值拟合
, h- N0 P# s& ^: p
) U# r: c# I8 {•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
) Z$ [# C7 e! h$ z
; \" ~* C) x3 U•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
6 a4 G1 _" G+ f  J# ]+ e
: \, \, k5 C8 J( ?2 A0 @•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
" n- ]- Y( ^' ~; \4 H2 ]# q
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
% [- e' r6 ?4 ^6 w- Q2 D! T
•主要用于数据的截取或者特征选择


2 I6 r* r4 m9 V2 v" a" K' y
/ ~' B% U+ I6 b: n6 t/ [- f" E+ n（2）关联与因果
4 T; @5 ^  t. ?: t4 x( G* {7 b- {
# x* [8 s# z5 p•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
. m0 M* E3 Y2 [& l7 l% x
•②Superman或kendall等级相关分析
2 X+ ]  ~+ U; S- g& ?8 Z; Y* Z
& g  N7 F; ]  M9 J0 w( N•③Person相关（样本点的个数比较多）
, a0 x3 W- z4 l9 P5 y
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
% z  {) y4 X3 w4 T! M0 u* R
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）



（3） 分类与判别

. a" Y  S5 u: p2 S) j% ?2 i•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

+ N1 q( Z  Z" W+ h5 Z* p•④密度聚类

•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
6 T3 i1 A. u2 W# L3 _
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
- ^$ J3 ]$ M0 r! F) }3 ]: U

; r& w2 {# L, T( k+ b
( h, I, o) s" n% i& D
/ U9 ~! _: f/ Y
（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
% J; e, Q( H, I+ o. x3 C
9 m9 c5 m8 U1 ]/ n7 `& z2 K•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

; i' H: R! _( |3 |•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
, F, ?9 j. R' Q0 K& P( {( C, e7 d1 u: x
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
7 C  H$ K' g, [/ X" J
( ]$ m6 d4 i1 d# y•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
3 O: E9 |. J5 W
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等
; ~) J4 C9 U1 ^0 K; Z0 Q
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
. n) O& d2 U) O- `4 r$ C
# C/ @: c  G# H& i  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
& S! p! c6 W; k' z: j


3 \/ x: B3 ?' P) ^, _/ M4 I0 k2 ?' M5 M
- O2 I! U! c- {, Y# `; K2 t$ ?
（5）预测与预报
, f5 v. G% |4 a6 h0 h
) d& w, x3 o- ~3 a
, S/ f# @5 C0 e' {! F7 d/ X6 e: R! X
: j! V2 _& m6 b, @' @•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

2 Y+ ?0 }( F. p" x•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

! ?9 i$ x4 N' y+ y% M( m•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
8 X, M4 D! b# ]* k
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
) R  b3 t; K+ P0 ^& z
1 E  ]' M( C& j  l$ r6 A

•①灰色预测模型（★）

) F: j* M( h, a' g) N+ G$ [" [•  满足两个条件可用：

3 w3 h3 X7 ^+ ~8 Z•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
5 b8 K# |+ W6 Y+ b7 Q


•③回归分析预测（★）
, q' `$ U6 h+ i1 f: r6 f
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
1 D/ @* P% g& Z/ ~, l" F7 X/ l
•  样本点的个数有要求：
8 n3 o! m: r3 a/ _& ?/ M
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

( L) [% z9 v6 b! d# O- z7 ~7 R•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布

6 o; j0 S+ M& D; G
4 s+ C5 y: K8 m3 f6 V/ v
3 ]3 P3 W5 J# d& |" H! Q. h) ^% y•④马尔科夫预测（备用）

* _5 M: L) m; {! l9 x•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



•⑤时间序列预测（★）

' X$ X8 X+ }% ]- Q•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
" a; s1 a8 k1 n9 g% S, G% q* N
•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测

9 y5 c# Y; i1 q' C  i! L•⑧混沌序列预测
) L  s) J, Z8 Q! M* E( _( y9 R" y

# S9 l2 `) ~9 ~( f
# u/ h0 F8 p# r- y（6）优化与控制
. Z2 s% [5 y  p1 V
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
5 O5 J- j# N% P) x; R* R. d# G( Y
# R! U  U- O: g3 q* }•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

, b7 o$ S* U2 q1 p•④动态规划

/ g8 u) ?1 {) R' m* x•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
0 I9 u' P2 a) F
•⑥排队论与计算机仿真
4 }* s8 w' \# ^8 C# {/ V% _8 z
•⑦模糊规划（范围约束）
  `/ M6 j/ k9 z6 z+ Y* [2 ~
) M- e: R  t0 H3 @8 q- B•⑧灰色规划（难）

7 s" I. a4 p# L


  r- D9 o3 G/ ]% i4 e