数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

/ e+ p( M; N1 Y0 S$ E, Z 1、建模步骤


3 F/ ?7 ]. ]) |) h/ H: w) P
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

& e- q7 Y4 g4 O$ K+ q模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

2 M3 m4 M4 F2 K7 _* @' ?$ d模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题
8 l2 z; e9 @0 c* h4 R
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题
# |6 Q1 P; G4 X1 P
9 G% x, O) c/ m•①插值拟合

" X8 N2 b5 l1 ]) {) }9 i) s- d3 V- P•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

; y0 x3 i6 n/ D% P! S" u•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
2 V' j/ y, {. `- K
, q5 c* a4 P$ f- e•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
( H" k# w" |8 W( R9 X$ d) n
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
" U6 l9 D* Y8 k0 F, l/ J* t
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
9 L* e7 I# m. A: o& m
* C9 |9 q) v& a4 D3 F) U9 C% a+ F•主要用于数据的截取或者特征选择



（2）关联与因果
( i6 S& s6 \/ Y$ M, ~' r
* ]5 Y; H' V; O7 ]5 L, `& m•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
) ]$ p' c5 R# c4 B3 m. B
•②Superman或kendall等级相关分析
" v0 q% e" X, z! z& T0 N9 s
•③Person相关（样本点的个数比较多）

•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

% L4 w# p% m- w+ w. ^. n9 Z& Y•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）


7 P, q. T3 m: {3 G+ ^
（3） 分类与判别

•①距离聚类（系统聚类）常用
( c% M6 y' n% f2 _/ X2 v% f
•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

, q+ D- `( P% F$ u. l: v% C•④密度聚类

•⑤其他聚类
6 m0 q5 `) ]5 c% K8 a" h' E
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
: r9 E9 l4 r# L" `& v; r' w: ~
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
3 g5 ~: }2 q9 w
* L5 Y  D1 Z9 l•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）


6 Q) l/ v! l7 `
  O8 W/ N1 c3 g$ i" j+ T# T% L9 [
, b: w/ {- g( o) x9 S. w
（4）评价与决策

$ \0 j& Q+ F4 g# B  ^2 i•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
+ S3 [2 \% a4 k5 K2 I# j0 w& `
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

3 b: U' F1 G! V5 |- [4 M•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
; P8 s& ?6 r1 L1 q' i
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

9 Z% m8 U1 }9 N& T9 V•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
) Z5 X- U5 V& o+ F2 C1 C
7 t5 g9 y  D: Y•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
: M5 @/ I! y4 |* D+ E  v
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

: V. s. {! D5 K( D! F- i•⑨方差分析、协方差分析等

3 @; n# B2 a/ P% X% \5 n•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
" `2 T1 f- H% [1 a$ C/ z
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
0 n2 F8 O/ j; v$ \/ \  A# a. y1 u

8 [# `' p. \# [. e8 ^* Q$ n# ?8 O, ~


（5）预测与预报
$ a0 P: d& F: z1 `
5 J! B3 K1 m' L3 K; ]

! a6 U6 e: j9 k- x3 @& z* p•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

; M  w1 D7 w9 ?+ d, m9 _+ B4 B•大样本的内部预测-逻辑回归

7 S: i$ x- c: b' s& _•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

9 I) [7 z7 u. f9 n7 U0 S•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络



•①灰色预测模型（★）
3 }( R7 `; g3 e2 \$ ?
% q$ e4 w: p) A+ j8 r•  满足两个条件可用：
6 d( p7 _- k; Y
0 \" @' ^, j+ D" c/ x! S•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式
& i2 o; j: e7 E5 c9 P" w% O: v. Y' A
; u: X  K, `* U! ^6 r•②微分方程预测（备用）

5 T9 p" i) t( ~- o" t6 M• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
! I9 c, M8 Z$ n% _% V


•③回归分析预测（★）

0 A1 V7 E1 x7 Z# x) P•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

: `  \* I$ r" p3 K•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布



•④马尔科夫预测（备用）

/ v; D$ u# }+ H; a•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率


! ^# F/ X6 u- [# _, o
•⑤时间序列预测（★）
# p. u; {# o+ ~5 D( M) `8 W: c
" P" m9 k+ B/ ~•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
0 h! k9 x. k/ ^9 a( b" W7 |3 _! m
$ |% x! d7 K$ ~5 x4 c•⑥小波分析预测

9 u5 u' i; e3 w8 R•⑦神经网络预测

* \, U% s- a- D' S7 @3 H4 E•⑧混沌序列预测

0 Z- ~& u9 h$ y" Y

  t9 U& C* K( J& \（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法

) Y  \, C; `' O" ^/ F1 y•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

' O, D1 _: h& q  x; S  |0 M" ~•④动态规划

4 ]  N% \: }4 D) ?  e6 d( l3 T, O•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
! q* c+ @  x1 T& D$ n
•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）
  b" D3 p7 N( q9 d9 T/ ?9 E7 ]
. w  L6 V. ]4 o  |/ T•⑧灰色规划（难）



3 J; Z) x+ ^) ~! U- k; o; `+ J
& S) R) ^, ^, Y9 R$ w& D# \9 j) Z, {