数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤

# j4 E7 h9 Z1 n5 s
5 ], d; _3 e, T# z' R! D; r; M
3 e" w3 ?0 E  C; c  e5 R模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

6 O# Y* f" w+ B! V模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
  {0 [2 Q) }# q$ h! {' x
- z# }" R) J/ h! `模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
, F& z9 Q: Y% ^$ S, O% Y
2、数学建模问题
  W1 I( L) c0 @; s$ H& r4 }
4 [" a: G! a" d8 ?9 f  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
2 f) @1 U% W. P9 ]6 Y2 {. r
' d+ P) s. e- }$ S  d! P（1）数据处理问题

•①插值拟合
2 e7 b- m  W9 M. R; }! j
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

; Y# p  [$ C. U) m3 T/ N•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
  l- k: W8 F, V7 v
, d! c4 Q- d. C; M, H•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择

: Q) g3 t9 B, B& ?! g7 i, B& y
/ v. R* f. e2 B1 J8 ?+ p- H
3 h: T5 u5 P  _& n（2）关联与因果
0 q. i1 C9 ?) e+ q
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
! u' T+ W: c- N9 \. T
•②Superman或kendall等级相关分析

2 o0 w3 X1 W' y; `•③Person相关（样本点的个数比较多）
$ @/ |4 h- u9 S1 Z) c/ I4 o% [
! {9 h) w5 a1 j  x# d: z•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
$ G+ W1 C; n6 T' c


# R4 i8 M+ B0 S% c  h% R' y（3） 分类与判别
. S, X, P) B1 r6 T8 {
  G4 q  [7 A- v4 `$ T# x! ?•①距离聚类（系统聚类）常用
. w3 c# G, W8 g3 ]1 `( ]/ {
•②关联性聚类（常用）
- _! H6 n) J( q. D! w/ I1 n- d
•③层次聚类
: m4 z! @& r  P
: h& I! Y8 S2 f: Q1 G/ A! c•④密度聚类

8 I- f$ {$ l5 k& A4 b) h8 d•⑤其他聚类
- f# I5 F  |2 N) W* P  u0 n
. R& L; `1 [$ j+ n7 F# E. B( k8 m•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
' _& K5 l  e4 r" f
2 Z: O0 B3 l8 i•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
( j3 X4 `4 d/ x2 l2 F1 e
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
1 n/ S! |( e4 t9 h6 V0 J+ _


4 S9 E7 t8 o7 s
) X* `* Z: q7 K, ~9 b
9 ?7 T. ]0 o7 s# q' T+ @（4）评价与决策

: @) C# v8 N0 ^, f* x# |# h, M' Z•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
' ?' t' [0 s' q5 w- R( Z5 E
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
& E) ]) F. [2 ]2 G
& q# K4 b# s$ Z4 A/ ]$ x•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
. z) N: \+ ~5 W4 @
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
1 |) t+ t5 p5 I: t6 I
- u* O/ J5 h6 L; k  R7 n•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
* S, [$ y* H7 p8 \6 B3 v9 I
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
+ v$ h9 s! {0 V% F0 O9 q
•⑨方差分析、协方差分析等
9 a0 Z& `% P6 d/ r, ^: H. _
7 W6 c  F4 \6 {•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

; `- Y+ x! V/ U( ^  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题


3 n* ?$ L+ n: O" H5 u8 w
1 b* o7 I, g! Y: W: l; Z- V

: }. l/ w: G/ i4 ?6 `（5）预测与预报



! h! n/ I  r) U7 H' r•主要有五种：

: F$ X& f9 L8 Q•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
9 A9 h. f6 f) y5 z9 ]6 T% g
•大样本的内部预测-逻辑回归
5 N( p: J6 a3 _1 B+ Z0 Z
* Y! }7 S  r- W+ q% [•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

# G* W8 b0 f5 N/ \•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络



: @! k# T5 [) }1 o) m6 d+ I•①灰色预测模型（★）

' }& g  f! a2 x•  满足两个条件可用：
5 \$ G/ m3 b# O$ c# X
•  a数据样本点个数少，6-15个

) Q! f1 S! Z+ I. R( r•  b数据呈现指数或曲线的形式
  j9 B& c3 Q; q" b, U" p. R
% ^5 h& e8 z7 E* W2 C" f•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

' O5 @6 a& f, U4 C! g

•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
$ J7 k1 E5 ]4 u6 l1 U
•  样本点的个数有要求：
" d- Q2 |  g5 X* b9 D5 q
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
3 D4 s7 E3 ~  h9 r. c; a7 ^9 c
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

& f* }7 J3 J" I) |0 E•  c因变量要符合正态分布
8 C; T& @' W/ Y: F0 |- a
- o, ^4 {& G% l& K, Z2 S0 J% I% @

•④马尔科夫预测（备用）

0 h5 `' H1 h% r1 @4 j7 J•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率


: {7 ]" t* {( S( y4 z% z! E8 @9 v
( U, z+ E% S- z. b. D& c9 W•⑤时间序列预测（★）
  }: X1 L# O( p& T
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
, ]4 m& t+ h* @0 j
•⑦神经网络预测

4 R+ U" [" o1 x3 z/ a9 w•⑧混沌序列预测

; I! _. ~) S0 W6 z4 W0 H

（6）优化与控制

6 Y$ d8 |! ^0 N•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划

, \1 I' x) H: z, a& C7 e•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
$ B  l! g4 {5 U
2 z( Q( x  T/ i6 E9 m5 t" _•⑥排队论与计算机仿真

: f' O& |2 o2 q  ^1 F" Q- w•⑦模糊规划（范围约束）
) F/ }4 x$ I9 k
•⑧灰色规划（难）
, z/ s  f6 Y/ S  V+ \

+ B% v5 G# T3 R/ ~& g