数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

$ q9 o7 W$ H5 b4 X: _$ n* m. | 1、建模步骤

- D5 \8 }2 S- u, H

模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
; @6 T1 [6 x8 y# x1 Z
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
9 \. M) y1 F- V) A
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

) M: v$ N" Y  G7 D4 C8 e, N( _1 j2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
1 y0 W) Z: p' ]: U& s
$ L! `' h& Z3 _3 \3 L8 K（1）数据处理问题
) b4 D  N3 i! \4 K0 a
•①插值拟合

4 D5 }8 C; m1 |•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
  F" F( T" K. Z/ M
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
3 N% g' e( a, }* B. l; e) g
" B3 Y% o* u2 v3 D; f•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
# L) c' ^7 r$ h7 b' g, L4 b. A7 b
/ h1 A4 |* i5 |4 H. h9 I•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
0 a1 H( O9 _" ?4 }& e
0 P% B: v$ a' O$ J. l, R  W3 h  Q+ v•主要用于数据的截取或者特征选择
, X; Y8 Q9 z: q6 z


（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
& f% \" g0 @+ d, j# ]% E
; u' j- M- W9 n4 t0 b/ q7 Q0 \•②Superman或kendall等级相关分析
- [4 _1 ]  Z0 m) t8 G& M& @- F  ^; u
8 C4 o8 M0 x  g( T! a/ C! Q•③Person相关（样本点的个数比较多）
6 R5 N2 Y7 |- `8 S2 C
; T4 T' l7 D( v/ f5 l•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
( ?5 g' F+ _  O, l& w
5 O. j$ d6 H- I1 O1 W•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

+ i4 o+ F1 P) t$ u: i$ \

: z4 X7 W6 n) `4 z/ K* R; e（3） 分类与判别
8 T- @! C4 X$ }0 }& W
•①距离聚类（系统聚类）常用
( j) P4 }' O/ h6 c9 B5 n
•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

•④密度聚类
6 s% q7 S$ b1 V1 c" X0 s  ^$ N
•⑤其他聚类
' H3 g3 l$ L" z, Y8 d6 W5 h
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

. _2 U, }/ M/ e! ~* A0 q•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
) o3 |  X0 \! {: l/ J, k

: |9 V; I" S! S) B, M& x
' p; g( k- G  ?# f+ o* z

（4）评价与决策

( K) |% m3 K( F•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

" i: s. u! Q4 a! _•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

% k5 d' M  _# V6 ~+ g; O0 Z•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
$ R0 @) n1 U" T/ n- ~
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

, h9 ^+ \. _* H: ^2 Z9 M•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
: v# W! u8 b( ^" c' ~
8 N+ `* v; b+ _7 I0 G3 ?1 t; e3 f•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
, e' N. r9 j* a% p& E
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等
$ v4 b; ~. e7 F; H. f2 a, H. }
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
2 E& m5 m( R! C' b1 P) O
  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题


  \: w! n' A4 z, e$ s
1 h9 L1 \. s3 _* }" m* w9 f
7 g8 N3 @) }5 F9 i7 d
* Z5 d9 I, R+ Y（5）预测与预报



' K* E& a- D) S; K! X5 ~2 }•主要有五种：

- h' {7 O7 g, H% q3 n* |•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
8 E" W0 J, h% L8 L8 H, y  N: r( R
9 f. y( ^$ P: Q! X•大样本的内部预测-逻辑回归
: V# q, o7 S) r! D
; g+ i1 D6 v1 \1 c5 }•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
* \) X: p" z4 U3 D/ B0 x
; m# ^. D) a" F  @( d  v: E•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络


$ g% x  [1 y- m; A( h+ T: ^
•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：
1 C% P6 ~, F6 n9 U. ?  p
, W) d, }" T: h& g•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式
8 ^# J% ^" r8 k5 T! n8 o
" @7 w+ g& U, w! A! l: l•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
1 ?7 u4 `* z: f7 a+ x" {
: `/ T4 A0 K( V! J

•③回归分析预测（★）
2 g( X2 r8 b/ p) W
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
3 [6 X$ p/ h8 ]8 K
. p, v; Y3 o( _3 ~+ y/ C•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
, K$ ]! ]. M' |1 x0 H+ }" W
•  c因变量要符合正态分布
6 Y$ Z) a0 H' h" i


•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



•⑤时间序列预测（★）
/ @3 \; Z1 y/ f( Z. K2 D8 R
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

3 N# d2 J. T; o% m7 ]& [, \•⑥小波分析预测

0 a1 A" a  R& b/ n; i5 e$ {•⑦神经网络预测
# z+ ^, @! Z/ e, @8 _% N/ v  g; m
•⑧混沌序列预测
- {' F* M" T2 Q" Y  v1 g# K; Z$ N  [

. W7 d1 e3 P# E; G' Y) Z8 W
（6）优化与控制

% f% u8 y2 B% a6 {; c•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
2 g/ A* [8 Q7 L' T% R  I
•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

* e2 \( f* I9 C& `/ P. y7 ^/ q•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
% ?; x1 L4 `5 s/ q! p
! O6 x1 ~& L% D) v5 l* P0 i) r•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）




+ Z7 f' M5 X$ y" e( V$ r