数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤
8 `( Z6 o5 n8 U


% \' a' ]5 Z7 l5 h9 }模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
0 ?5 K2 |. W) J+ Y/ s+ T
) J9 {+ s+ |& b. i模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

4 q1 a" p! o- x% F; {3 u* Q1 a模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

$ @0 f' p. }5 e3 N3 s. m, A2、数学建模问题

5 d2 [6 i1 P6 s9 q4 f, G5 \  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
2 ~. l5 H' g$ ^" w3 m) E
（1）数据处理问题

$ C, C2 n- Z; {+ s8 V•①插值拟合

+ q1 P$ Y/ D: G( b3 J•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

( z7 a$ g4 C2 ^$ K0 |•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
. h6 [; i; i, a* S/ l+ C
0 c; w. f$ k# \" }1 \•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
$ S& Z5 ]9 f, O* \
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
" j7 R$ L; o1 p6 C: C) N6 {
/ D( ?' g0 `$ e- L# f* ~6 V•主要用于数据的截取或者特征选择



（2）关联与因果

9 c3 s3 }: v: z3 [: Q+ G•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

' ~. F  K+ c$ k- F' p•②Superman或kendall等级相关分析
8 I7 t& v% y2 A: P% i, v2 g
•③Person相关（样本点的个数比较多）

, d1 o8 e4 ~+ \& `- t9 T•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

( Y9 e& k2 Y, f: h) ?! p* o4 K! ~•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
; W+ \$ P1 Y1 I& I# p8 z# r
: e# \+ B" M0 Z

（3） 分类与判别

4 y/ B6 p9 K4 ~6 o% P6 e•①距离聚类（系统聚类）常用
& M' T. D! q! J+ z, Y1 M: P
•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

5 ?. |+ g! _/ j  B+ G; W8 g: M•④密度聚类
: c9 u" X# T# q4 Q" v
•⑤其他聚类
) z7 b7 g9 u/ f$ M# y
( r# r( a! y+ x' S5 c* k•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

  k  O5 ?7 ^9 l  F+ y0 b* d, i•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
# T: h0 b, e4 c! L8 M+ u
6 C/ b7 v7 Z  r  x+ s0 x. F

+ u; B  F$ F: d0 C! _

1 O3 H9 H! s# i4 G5 x7 q# [! P（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
. y+ ~9 e! j7 k& A# H; ]
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
3 {0 v( O9 F' d6 I) x
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
4 q# I0 V, E9 r& T
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

& c& @7 o2 @0 `! _2 {•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
- H! W" C8 c9 M' Q
; s( s3 C4 b6 K4 |/ g. z% |5 l•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
4 W$ ?- v% f6 G' A5 p
& m* ?0 Q/ k) [0 z/ E7 j. f•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

. ~- }& J0 m' A, u! k•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
/ B0 j) T8 V& l% T( c


# B" s& Q, h( @1 g& p
. D4 `; D9 m1 d% F/ B7 X# b
（5）预测与预报
" n$ G# E5 Q+ k& X) W


) i3 x, [0 Q3 N( l0 d•主要有五种：
- |0 B+ l! e" J/ i1 c
5 k6 Z( Y0 O! a, N. v+ k& }•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
/ \* l- Y. r; f4 F7 e4 J6 P( ?
% G: W. p( v+ I. E& H•大样本的内部预测-逻辑回归
. u: d9 c2 O8 T4 e
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
! j! t5 [0 n1 L. b; E2 t9 e% }
* P1 X3 P/ S! X8 n0 [•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

" @: R8 X% x" @+ P7 o6 l- G•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络



•①灰色预测模型（★）

/ Y; D) i: j6 C! \. |•  满足两个条件可用：

5 q6 ^% ]/ L' ?% y•  a数据样本点个数少，6-15个

6 [+ K4 j! {, T$ M. @•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）
" m' m) R  H$ b
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。



•③回归分析预测（★）
+ k4 S' h, E7 j' p
, X  X% j9 ]  p0 C•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：
+ I6 h, U, j" o5 c0 H
6 B0 X% n* Y4 v, N•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
; n* M/ ?* K- Y4 [
•  c因变量要符合正态分布


$ E# M$ a% P# m( |& k* k: G% s3 l
•④马尔科夫预测（备用）
5 x; \% W; G3 d1 [
$ T$ Z) v) X: r- P•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

$ ]( @& ?+ a" X1 C+ T$ }

7 X, e" X% i) f5 D•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
. N. B' K' N! |, _
•⑦神经网络预测
( k: [+ w9 m5 a3 d4 p8 x5 R: I
* m' n4 O: F1 h% T+ ~•⑧混沌序列预测

/ {! ?" @% g! s7 @4 I
. _! u4 K1 c' v2 D3 z
（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
8 Z; R+ b7 R7 Y  g% d
•②非线性规划与智能优化算法
6 d  ]7 I1 |9 W! c) O& ~1 O
; [" n* [9 R+ k•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
( I) }7 k. n% ]4 W( m- U0 }
•④动态规划
0 a. `% n% I! h8 }" x$ k
6 F( @7 x% e7 d•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

' U" D6 J$ i. d  @7 m+ B. }% t. \•⑥排队论与计算机仿真
4 p, N$ I( o6 J9 ~% X; G
- R: L+ j9 @$ N•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）


3 o9 T& `0 v: r  ^# A" [7 j
0 B+ W8 p5 y! i; Z