数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
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作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
' {' Z. H; [5 }0 w5 j) ^I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

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博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
  |1 @. Z/ k: ~# K( [3 L/ F# J2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
2 e8 a) F$ m" Z同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
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一、蒙特卡罗算法
4 X! d2 u, m1 l4 W/ ]/ p( W! M6 r1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。


此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
; }; V1 r) E4 Q1 Q# k% Dhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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4 U9 r# @% D2 \$ P蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

! @# a7 {* Q( D0 w  `! u的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
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5 w4 P; q4 i. z# u$ Z* r法。
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

( F4 q* n- N$ p- ^实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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( v. n( R7 Z7 z" c蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
) T# t8 F; x$ l0 G3 d' `
，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

0 q, j9 V: z9 |3 c  _* w为问题的解。
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: p8 F# q- A- Y有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
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! i# T! o' c& t  n% K  U$ s! t度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
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后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

& Q4 t( Z/ F9 F，结果就越精确。
8 a- q8 l0 @. D4 i9 U6 u, |在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

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& A+ v+ j9 `6 u: F7 D9 ^蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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) ?7 K& k5 B  c3 J" F* h近似解。



- ~0 J" y' _6 A( s蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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2 P; U% Z, e! t, k3 r4 n- |) M9 K6 `) \
+ g$ J- L* o6 n1 }. V二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

5 ?( [6 y- x# J) V8 ~数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

$ @$ o; [) Y; ]学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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: r) _' O0 o2 i+ @- T; w: u/ x吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
  Q% w3 V$ ?- O7 y数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

( {0 J7 n. |) [! B- |完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

/ O) Y) y( Q- N& |/ o+ M6 ^0 A- l需要熟悉这两个软件。
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四、图论算法
这类问题算法有很多，
$ S: P+ x! D4 Z5 S! s+ b2 ]包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


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- t4 p9 v0 x7 t; S: ?5 |$ s关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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, }# Z  G& b" _7 p% l# H2 M/ y1 Z经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
5 U. g* E9 Z; z' B8 Ohttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
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: v4 v& ?2 v9 Y更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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) s6 X7 H8 ~, i8 e8 J3 a! _- [% F五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
) G1 w' O+ v) u; m* A在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
3 _9 }8 w) D) L) Q2 `8 S" H此外 98 年 B 题体现了分治算法。


8 [9 F2 W* b8 d) _这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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3 G% ^2 _+ b$ c% }) q9 I在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
# Z) X$ A# A4 G$ P! ~4 A
  Y5 M' w* F8 S& M" H/ |0 o以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
2 z5 A9 v3 z* y, A03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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/ S5 r& B1 c( ?$ W( U5 z8 `经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

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7 I' `' H6 C5 [/ c% O3 }3 {其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。




七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
2 Y2 \6 X, ^5 q  V比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
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- |# h2 q; O2 H  w4 v# r/ b' P3 B1 k" D那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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7 ~# {6 Y  j4 }, }: ?6 s% h* D在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

% ^0 i% \6 u  e% H快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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" P6 P7 ]% W9 Z* y穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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" Q; e" E  N: g  I9 g+ Z& ]% {8 E; T- L八、一些连续离散化方法
7 o+ D# ?1 V+ Y, o6 E$ t大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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7 s) ]8 t3 x5 W; @( }% w6 Z) R中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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  t( ~& `9 \# h+ a& S  d# m. D7 \九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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算法。
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/ [0 \1 i9 Y- J/ s; r如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。




十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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- u6 F1 Y! h' M因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
来源：CSDN


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