数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

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作者:July  二零一一年一月二十九日
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/ Q# j2 t/ p2 Y本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

3 B/ V- C7 Z, ~3 Z------------------------------------------

4 B+ |" u. a% k7 P! N博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
* Z5 @, e9 P  P& r0 `2 T' l0 f这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
) V; l; z4 l: h) K1 q3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
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: S% ]4 t9 e1 J2 t. H0 o, k$ M
* W2 }* T" M, E
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% ?. o9 S% n  t) B一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
/ c1 T+ r2 y  ?! s4 ~8 }: M/ e, ~共同发明了，蒙特卡罗方法。
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7 P* ^. H: ]4 \" Q8 t/ g* v此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
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的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
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: T9 C$ ^& V( G2 o) T% m法。

( W. I/ B7 [. i' p4 J7 B4 @& q

由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
! a& Z* u9 v/ J, x- o$ p5 X0 _0 d) m4 O
! @/ J9 J8 f0 P6 H实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
$ U& {( w9 x6 ^& L/ o. `当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
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，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

为问题的解。


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有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
* ?' \4 P0 k2 }* u, a% D. g% u
2 i2 e( P* I' H# W: s度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

- t  y: j6 b4 T$ m; e- ]/ x后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

3 k0 m( [& k8 B% M，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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近似解。
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  E) \2 m$ e  P3 |, h; |) d
* C: a1 b" F2 j1 e6 Y  V' {
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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- F# S- c7 }; e% A蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
8 m1 Y* X+ g- |. X/ u9 K3 H, T: `I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
/ ~$ w1 j1 N8 tIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

# V# H& g' S7 s" k" E此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
& h% r, o* @' P我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
$ B8 m% T; `1 }$ R$ t+ |/ h9 b
* Q+ |. K( m8 s  `+ }. I+ S数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
) J1 m8 b: e1 D7 u. W+ X$ o
( F& X! [# z6 W  H. d# v' }学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

7 U+ A; G) w! X1 q吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

) c3 u- X' B$ M3 ?
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
. ^/ `5 |! b9 ?  O% `数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

7 X1 L0 z- W# X8 c! O8 U5 P、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

$ S. R& F1 R9 p! \完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
& A$ t1 L/ w1 \
7 _% R4 x! K  x) J1 e+ f5 y) j7 S需要熟悉这两个软件。
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四、图论算法
' N6 T2 n$ b$ T( L; d9 k' p5 v$ O* V这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


" K. a9 Z5 H! I( r6 l$ b- E0 K
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
  t) \7 @: N9 ?+ q6 a同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
0 R( _2 x+ m4 w( Z% Q5 [1 F( o6 Q-----------
- ~/ ~2 p0 ]6 Q: K+ [+ x$ h# N4 X经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

/ A& u4 [1 m4 j0 P更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。



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" I) e; X/ M! F4 {7 p/ v4 ?五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。


8 M) G8 J% z. _- u. M4 y  H这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
3 }2 ^/ P1 |$ J, X' u推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。


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* s! C  E$ R; A8 ]% E! |六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
$ W( P& W# }" l" }
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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' c5 d1 o4 Z- y6 j0 A5 q1 p& g另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx


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其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
! P7 ^( p! E5 A3 w$ F9 O2 C! Q" O比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
9 ^" q  \0 q! ~' U, l比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
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" z& i) }% A2 |1 E  e; U0 W那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
( b; k- ^, V# H8 o0 z

在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

8 @) k8 F: Y2 [  s& F快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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. R. B4 {* U9 S. C5 t" a, N+ _穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
, d6 }2 d2 N, o/ \% B* S8 Q
! n+ ]; i7 x& \' `' ^. \% {中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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" t! k" Q( s' C$ o这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
' G9 V7 |$ I5 j( K* G6 g事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

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. B( ?! u7 Q- N九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

: x5 `: l: S2 m$ e$ e0 k算法。
* b. t) ^0 z- |$ `# b, Q
3 N2 J8 I$ ^6 B: M# b$ S. {' p1 j如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

" k8 |7 e3 L! m" O: J1 c# O+ @函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

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1 N" r, d1 Y6 R6 g% N9 {4 g
# K. N: ^5 ^! w; c十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
! D% u/ f4 g3 Y7 c; N来源：CSDN
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