数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
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* Y" P. u0 X) _% \* W! F

+ e2 f0 t3 u2 N- f4 W* ~, Z. p作者:July  二零一一年一月二十九日
1 D7 R) q/ {; N
本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

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, i+ G' N* j. y
博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
/ m% a( T0 F* ~, ~2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
5 F0 h3 v# Q" w8 s' C) S& a若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
/ R: P/ M" v( `1 \谢谢。


' [5 `( N! {3 U9 Y7 W, k9 X' E4 B, b
& E3 ^( Z+ `# t$ b2 y' t: }. P5 G

一、蒙特卡罗算法
+ K; M, ~% X# z, c1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。

: [( p/ E  S5 Z# D: h! O
. P; S9 P! ]5 Z. C! l此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
3 v; L) r) S+ o+ r/ rhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

7 F: s5 s: _' U

. x4 d0 M# f- e0 y: @# Y' K蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

  M/ m2 g: p& e( `/ i& t的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
) X5 a4 ?8 O1 X: P- ^# l6 J
法。
! v4 j! x7 a% T$ W" H
2 b" W9 ?. R) _
# S# g2 p) J' g) D' g
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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8 X/ H5 |: Y0 k' w+ a6 v& I实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
8 h  W# t9 y: j1 z2 ~当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

5 X& |/ A1 A% f5 w+ p( ~，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
6 D' Q/ v9 X) x1 m% {- J" ]
为问题的解。

) l: f+ H/ g$ z& d( l, P7 _) Q* {* K
# l% J: k7 z" b; H
, G3 [# _8 b0 S5 q5 {  z有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
# d+ a5 R4 A( U! e
, K  T' _! n- D2 M后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
1 F  J, |4 h* H( A在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
# B/ R5 _. E( u$ s
4 @* \* I. I* P8 Y拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

. S1 P: r0 W+ u* X3 J) G8 Q近似解。
! W+ P7 L. e0 q; V% N" h- ~
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2 M. X5 @! A/ W+ l: S5 K- }- h) X8 A蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
% T) ~& K# [6 t' l: q$ D# ]% QI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
0 j6 u* O. h5 Y9 E4 c- r* G$ XII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
1 C1 O: z0 n* ?) R7 n等等。
9 K. A& K2 z0 M# ~$ J
+ u, Y) f8 B- a/ B此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。




* n% e2 }! J' D4 R5 C. n! C二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
3 u; N1 M8 o/ b) N我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
# a  \: L7 I1 J* N: m( d, f
; y: k) M- v. C3 S& H# R) n) s学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

$ k( t) |4 U' O3 [( V" R5 r吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

8 v0 s  o- a( f/ H, C3 e

此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

* P1 P+ X* [( o/ q2 ~、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

# _. s$ z9 k8 G6 q  ~6 p$ v. E完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

) o5 _3 f4 j4 \需要熟悉这两个软件。


  y( V4 D/ p) J
% [  i0 e5 M/ N+ Y2 G- Z- I9 R- i
四、图论算法
这类问题算法有很多，
! `# c- {5 D+ I* J' ~/ B包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。

! r9 m. i3 H( @
# T; P( {. l- c, b2 L
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
0 y, B* V" k6 H  jhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

# x6 B7 i; o  j' Y! {) `/ z更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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$ U: a* l/ W9 k
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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
' r# B) _; W6 r* \5 Q1 C在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。


( l& }* P/ {" W( p这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

0 ~: q& H* O; _2 X! H  @

; o( O0 p/ O; l) G
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

9 P8 t, c" i- t* x在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

; U) \: D0 n& P. V! S# T以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
9 M& C! N+ Y& w$ p03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

) {* s# w  v4 I% Z# }- ^+ s: q

另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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" u+ {) ]( H+ [7 o经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
" ]/ n& N$ U0 A3 ?; _- L6 U* p& z. Thttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

1 v/ p% K8 R! E+ I$ e; y$ b9 x
/ t  L8 k: `& v2 L% ?
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。



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七、网格算法和穷举法
, ~! [# w1 |) V5 ]网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
/ P, [8 \# \' b比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
& c" P  h$ v1 }) p1 r2 d7 u
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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2 Z+ O% b$ \$ e, T9 M7 o7 u/ v在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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* {4 Y- Q5 F  R5 B% ~1 n; ~穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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% j) u  v, N' J) o; J八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
, O( P& l- h2 \, b
$ w6 ^) @" o. |  E9 B! x& r) |中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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4 [- h5 ]7 s7 k  G) T
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。


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九、数值分析算法
! m& W8 B/ i" P7 b$ }0 {7 C+ M数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。
" Z( ?  A9 K5 J
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

) G9 U8 x* n/ [# F: X/ `! n函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

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十、图象处理算法
/ g  @( p1 O( Y在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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3 P3 U6 V) k  L" g1 X; ^+ i( I计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

) J8 `0 _# V& M, n; T- ]因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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% ?( V1 a9 ~4 ^作者：画面太乱了
来源：CSDN
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