数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
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作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
; c# L8 G5 B% C" R9 k- }II、 本BLOG内 经典算法研究系列
9 J% F0 {) B: l  PIII、维基百科

0 r: [  y! C! D: \" z1 Y5 ?6 L" w------------------------------------------

& T' B0 ~$ G) r9 Z' i& O" |8 x: L博主说明:
# t1 K! x% g* l" ^: P1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
0 q$ r; t% s: J6 ?1 ]0 w2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
" m' g% ^  c6 X2 R4 e$ v3 f7 P且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
5 b5 o# V3 y' |  b3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
3 x- V; i4 ?( R' g( \( d- r谢谢。
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+ g# R, d- e: h" H
4 k! t6 ?: p* S- H1 L7 ^8 g一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
$ v% H; m( o  q( [共同发明了，蒙特卡罗方法。

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此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
! n1 b0 i- O/ d0 D, N0 l+ Y0 V0 z% Nhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx



1 S0 z4 N1 S6 A4 P$ j/ D. M3 o& H1 q蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
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: b# |) S# V0 G  f! w: d& q& G的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

法。
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. D' h# ^5 j5 v+ B4 @0 _% v) f
9 B3 S8 e0 m" N, o" ^0 O由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

, j& v8 A$ M- V4 Z4 G，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

/ u+ R7 k( v: I* D) t9 e! _为问题的解。


2 ?1 N7 T# a) e3 {7 Q5 w* [
6 p  s* w5 V# S4 J/ A% l有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
- x% {: T5 o5 c: P8 o假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
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度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
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后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

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1 E5 ]% D  D2 J蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

# P$ u6 |/ P5 H  c4 r, f6 b% n近似解。


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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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5 U# s0 ]8 W+ z& n蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
% s. c% n1 I1 mI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
$ c3 r: y+ b' v; z$ g. F( q$ v; e等等。

9 W; j0 ~8 f* ~* [% p" l9 p( E此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。


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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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# N$ G; r* }, v0 s+ }. t此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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1 t" N3 s% W' ~: Y, w' ~三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
! f5 n# M* H* H- k数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

# p+ k5 ^: ]2 s, s- P( M需要熟悉这两个软件。




2 Z2 H8 v0 \0 x5 e3 e+ `) G四、图论算法
这类问题算法有很多，
; c7 N# Z- z7 _# W* s, Q: p  b包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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5 O$ Z. `$ |1 J' o9 V
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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& L  m( u" H3 b7 y3 l# y经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
9 H# |  R. R2 w6 M/ Ihttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
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更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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/ _  @6 x' ~6 T+ H$ c7 I4 r2 k五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。

: x5 g) T) m* M2 e  x$ N8 i
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
$ h# t( ]! s, |" R- D5 F, m- J% Y; i推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
. i1 W0 X2 m2 n2 ?$ [这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

3 Y: s/ o! l! }* V5 \) s在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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1 n7 g7 j) r0 F# R( J1 s  k说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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& Z8 i4 _4 k9 R( D2 U$ S5 ?' R另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。




七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
  h0 a. }( F0 I, \比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
% l; B4 W0 ?3 ?比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
" j! b+ ]$ d5 h# a3 y' w0 a- k
0 d7 H1 O+ A' h+ Z- M5 a( `那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

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2 c- Q# S; U+ _: C在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

" a) D( o9 M0 e+ \) `( M. ]6 d快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

" m( F# H) `2 c3 u( e5 H


9 q) h' J( z4 p% L9 H$ {  x; {八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
9 s! L, P* L# O事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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$ z0 w* Z- H: H' u- r7 F! F( B9 {+ S


% V( N: `8 `' f0 {" ~5 ?九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
2 J) N. b& p; m. a! _: C
算法。
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
: v( l$ ]* \& `$ m4 D因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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: l2 n) C) Q, A+ h" q十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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: V3 M: Z$ v' t2 }0 e  t: I作者：画面太乱了
; G6 D+ l( d, ^! f4 M" l, U4 E& f来源：CSDN


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