数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

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数学建模十大算法漫谈


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作者:July  二零一一年一月二十九日

& A5 X: a; V3 R- T! _本文参考：
$ W3 u! g4 _* b' x) B1 A# q5 G0 AI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
( ~+ p% M/ B. I, [. \9 M1 R+ fII、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
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& G& U4 F: B" i* L. U博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
5 I5 C  C( c" h! [, \0 y& P这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
- D$ j2 O$ @& b) j3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
2 k- I3 n7 X8 l. D. i8 P若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
! x' H4 B2 d' R- W/ n: T: w: d谢谢。
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一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。

. H; A) U& `! g+ E- `& D
, O( n& T$ e8 V% g3 x2 h: w6 c/ j此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx



( ^) n& V8 M& h; v: f蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

5 |) {# a7 L, @7 x的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
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  W% _% z* j, G% M0 H9 L$ C, K法。
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

; A3 @) }0 M4 W4 K  t实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
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为问题的解。
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, e' S" c, r  a% C/ c有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
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4 R4 v! s* d# y+ t& T, j度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
. @" ?: [) R' G6 f
，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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8 r2 n( Z9 v! g4 m! A/ G; u蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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4 H+ R& H1 l1 _3 T7 j5 g+ o拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

- C0 T/ c3 o) {近似解。
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+ G: V4 u1 j/ T, c2 A* o蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
. }- ^/ X1 H1 h9 X$ l- s+ SI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
4 @* D. n$ F7 y/ P; F$ _  `) DII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

$ e5 w# C, ?3 Y: _) f' z此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
5 B: y0 V, {& n' d, Z1 w" G我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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* k$ d+ H1 O6 U/ S7 C5 q; D数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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; R1 H3 }" c8 |& J: y/ _" k吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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* U; g2 s$ o" O* W; {9 M3 S4 f) X此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

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8 ?- s4 V( u+ X" a2 s三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* ~. v6 y( S6 E数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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1 K) l  d# k( U, S0 \' F完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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需要熟悉这两个软件。
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9 W9 P. |; M  d  U! a四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
4 j" l3 R1 b- t$ W3 H& V. P
  V. J& O# Q: U* U7 F. W. v

' o) p7 C, S+ X; n# W4 q1 H; u& d0 w关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
7 L4 F+ B8 Z7 [  n: k) Z& ]3 C同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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" P, i; {* q8 ^, v经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
' k0 }; j0 t/ }5 `http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
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更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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# Y. X: D$ r* `$ E6 x  o0 L0 i: \五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# S* K/ K6 K1 D. w; X) B! d: ~在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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0 a2 b& j2 D, q6 P' Q, F" z六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
+ `- o5 |' e  ^这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

. x: B& a$ k: W! V以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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' C( t, \- Y8 ^* Z" Y+ I1 N0 ]6 u! |说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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( S/ S) z  b; `6 `另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
- Y3 x* F# _8 B5 {http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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2 n7 ~& Y) u4 K1 a: X2 P2 W- r其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。


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七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
0 A$ X, \9 M/ G9 f8 g+ k' L' s比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

  J* w8 z, `3 ^# r7 f* m那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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  L' r3 m$ p, e! O' \在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
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快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

" l$ N9 c* K2 }/ ^3 V穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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9 v3 K! `+ b+ [# I* P
- t# w5 _! v( e8 d" p这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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6 `- D- w8 f: V1 {( C( ^; y5 P

九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。
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! r  y8 u+ l1 j) C; P如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

3 p' o2 E/ r1 \) P  z8 {. {函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
. I$ q- Z. J$ {因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

. ^2 D% V: @6 d# M, B& a8 e6 A8 e
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! {! ]9 w7 ]% Q5 f$ Y十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
来源：CSDN
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