数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤

7 ~, b6 k4 u+ U- n% R

. A6 x$ X1 [4 k" D& J) r模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

# e0 I: a7 {  t( D* `! b模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

. T/ ?( j8 @3 |# g, ]模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
2 I7 @# D- O) r: f
（1）数据处理问题

! u) Q, z7 `* T5 B& p* S•①插值拟合
6 e, t+ G# d- B! F
/ }  q6 _( W4 ]•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
. k1 E* O1 `  Q/ E
# f; u# z. M3 e: x•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

% [1 s, F- m$ F8 ?•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
7 L' s! m; S6 Y! d  v9 I, q; V
( I4 H# K8 O+ C" Z3 d- q  e•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
0 h3 j4 C; Y, |! w3 ~
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
; k7 }5 s4 F. l) L( Y! K
# a& M3 K2 @1 O0 P•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

. [& H8 n/ Y, O: M& r* z•主要用于数据的截取或者特征选择



  V  b  P; [0 R. D8 s（2）关联与因果
7 _  R, N4 Q8 P/ n
" U) @4 I0 c% _/ v4 x# a7 h$ T•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

$ ^& u+ Z0 R% \+ n•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）
7 F) l1 q* `+ T# v. J$ W  R3 c3 g
, E. S* U0 h( g! [8 C# t3 C•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
$ ]4 Y! p3 v; m) }5 A5 E3 [
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

7 X% W/ \7 ~6 l  ~
* h/ h0 Q6 ~$ w8 Q  u- X0 V6 \3 a
/ b6 W: _3 I: U, E# V4 Y  Y5 i$ l（3） 分类与判别
6 Y% y/ V0 p& L
•①距离聚类（系统聚类）常用
; O& r. l5 ~9 @% u! E+ }, a
) [& T; q8 M* j/ @  D+ F2 g•②关联性聚类（常用）

: {2 o3 y) Y" C5 }' b: v% j; `•③层次聚类

•④密度聚类

•⑤其他聚类
) ~( ~, O+ n9 M" h0 f' G
8 p: z' I3 R' R% e8 L•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

: H& I- [- L, B•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
& [% G  ?% Y9 V6 N
6 N& d, S2 Q6 D$ L$ w% M$ O& q
4 q$ v+ s6 d: x. h/ V; Y7 i) @
. T5 s# o' r* I* _) }- S

（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

4 U# [; e  x/ L+ I/ X•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
# M3 n! D$ }. _, a9 L5 \
3 n7 V: @5 L) o! o1 d•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

( O% f: u$ C5 L% V! L$ `•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
# r% A7 u. }0 i
- \  O- ?( Y  g•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

* r8 S+ W2 C1 ?•⑨方差分析、协方差分析等

; [4 v1 U# y. N' B$ p9 l•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题


/ v3 ^6 W7 d: h3 d
- ?5 u) N* i! \) C# j) G1 p- i

（5）预测与预报



•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

+ Q! Z& x# K+ O& f•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
. n  T4 ]( L# f2 [( \8 b$ m+ l
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
8 N% d7 G4 X" g0 r
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

* i. I# Q1 q8 `1 `1 z
. C' Q: N) [5 D" b* \
•①灰色预测模型（★）
+ y5 s9 L3 i/ `! b
0 Y* w2 J5 ~# K/ t9 G2 Y•  满足两个条件可用：
7 ^1 n8 }, {5 P# _5 O2 a# W; F- N
0 {# `  Y' g' C! \: a•  a数据样本点个数少，6-15个
9 b. n. x! J# T* B, r
8 Y- Q- A, i5 `1 n•  b数据呈现指数或曲线的形式
  }* s2 q0 M, Y1 x/ [
5 Q: W$ Q% I) ]& q•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
' h( D* X. j5 P

5 i- V+ \4 j$ |9 l! X) H
  Q5 j: A: H: Y7 y7 u8 h  f•③回归分析预测（★）
+ X; V3 l: C0 ^+ N( h% s( ?) C
, A- G7 o1 B% c! a: c0 M1 U: c•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

4 r; Q( A4 r* J/ t) @  H9 i•  样本点的个数有要求：

- M8 D& O. x9 e•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

* ^: f! @$ g: S1 _- N0 |•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
, y+ `5 m+ E3 A/ e; Y: k
•  c因变量要符合正态分布


) M$ M/ U( k6 U3 o7 |
•④马尔科夫预测（备用）
9 T, R( r3 W5 V" U. x: P4 J- e$ s
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
, s% l9 {8 ]3 P9 B1 n! M
0 h9 c( v, G  M- j3 {( O' b

9 W- W6 G5 n" p6 F+ H; W3 Q, K5 i- z•⑤时间序列预测（★）
; ?3 f( U1 V/ T& M
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

+ x  P! O2 M$ m; |- r7 {8 y•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测
  D0 x) e4 X1 k0 l6 ^1 K
) B& p* j# @) _' s
: k  m  q1 z# ~# B2 r' s3 l1 W, \
9 w0 p/ y& e6 j' \8 `6 O4 o（6）优化与控制
# s  W6 l/ O4 A2 C
# i. i+ _% `, v# V: v9 r$ S' w* B$ F•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
  [! i* ~1 ]* z7 P6 \6 W& m
0 J5 c9 N. _- U: r* |) h% N•②非线性规划与智能优化算法

4 _' \( s9 v8 b% E3 ?. U  J2 U•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

1 f, W1 i  K& M, H•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
4 r  G: O, R7 G9 f# N# t
•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）
* _# J4 L4 o2 w  g6 ~" w; S
1 L0 ~. |) g! N9 K* e5 O7 _& S; Z0 f8 t•⑧灰色规划（难）
! N& |: ^' e( w4 r$ }8 s. l4 l! b
  [$ _: `/ k* x9 g7 `9 [
: D" `) l9 p5 Y* I+ S' k" O---------------------
作者：ItsL
/ q2 c) M- V4 U& \* T; k4 D8 S来源：CSDN

4 x; r' M4 @9 D: E3 |/ F& J