数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

5 t7 D9 |& K# A0 v8 p数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤
! K! f" `$ Y) C$ d. [9 S1 N
( E/ N$ D: T% a

模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
; |, a, `8 D1 [+ ^. v  j! d
' z$ k* P$ k9 W, l5 t1 j: ?7 `模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
. B! E& n3 e4 O( d/ }
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题
+ \6 v8 i+ n% B
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
) p; W1 d, Q( B! b1 D
2 v) j6 H# f5 v( U: x* S, ?（1）数据处理问题
* B) m" m2 f! Q& n4 b  R7 A  B
3 @" s" [7 r0 _' q•①插值拟合
5 I' d% q0 n/ [; ?% u
9 }. n% u( F+ S8 ?7 W! f) ^•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
: E1 |! L5 x) [- L% i
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

$ T' o# |! b- U. i+ l$ m•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

! t/ C1 }  t- {0 ^2 I•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
3 X, g" B3 [. t* j2 X9 o
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
9 B  p0 f& s" N5 ^% r& x
•主要用于数据的截取或者特征选择

& S/ s2 B, T& [( b$ `4 X
1 R' N( C% M1 y( Y5 F% X  r
（2）关联与因果
1 |; W, V- q% ]; O  R
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
) b4 ]7 }& L% @# D/ E# Y4 K' j
6 j' g1 Q) Q& _5 g2 E•②Superman或kendall等级相关分析
- Z0 r% }, B9 q; q; r0 S
•③Person相关（样本点的个数比较多）

8 x- m3 k% Y7 D1 \7 R/ D! b1 p0 u•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
1 b1 w" n) H$ B4 u- J: m
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
5 e2 S1 z6 T, b0 a
" A. i7 m, P( r' }0 H0 n( q
' g0 I" I: \' r9 A, ?# b
（3） 分类与判别

•①距离聚类（系统聚类）常用
, k- N( x  G+ V* M, p1 Y: [) P' c7 B
•②关联性聚类（常用）
$ S/ j& ^/ o. x( ]* N( k
' H5 Y, E4 U; \1 {( I•③层次聚类
6 d+ s# u' \0 h) k9 Y. ?
•④密度聚类
+ c" q8 A0 A$ i6 k2 X9 }: l# ?' D
$ \9 H% n3 ~4 F•⑤其他聚类
1 x8 n- k% w. J2 p& G6 V
+ S8 S8 D; B" F) B4 X3 t- F& H•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

' {' ~+ F+ [0 F% V/ X0 u- u- B2 A•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
4 l. b" \* Z/ U7 `( H- Q# q
% h/ [! q" u2 F# @, x! [
0 [; c4 U0 }) c- j. L. L& B
) K; _: Y/ c9 ^) S  h0 B6 V8 }

. t% r) }3 T# D' l  ?1 w（4）评价与决策

8 c5 d! D+ d% j# l4 ^•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
6 s# ?4 I+ \6 Y( Y: V( v
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
* f0 d: \: w* l3 H' |! E( V8 O
•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

" p6 O7 j& x2 v% o8 g  A•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
5 M( E& F$ U7 d; a# X+ r+ t
: _8 P2 l/ v8 F$ S3 x0 I•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
$ `4 D; u! e% L' @/ g% s( n
/ n5 Y6 C$ e) I+ l/ L7 x•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
% f$ i3 Z* @/ T3 ]0 t1 R8 U( l
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
0 |6 y. @. k1 u
•⑨方差分析、协方差分析等
) [5 o2 E6 K" q( `
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
- Q% f8 `( t- ]8 s
% \  \" ~4 |  Y  ~7 f+ G  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
$ w, K6 `5 i5 _+ |' k' x6 W& C
2 G- x$ q9 e/ ]( ^+ W/ i! I

$ }* i! N5 r3 J9 O( f8 E- e# h9 I
/ t( m. J/ H- O5 b! Y) {" {
（5）预测与预报
' J3 {  x+ A) B* G! q


•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

0 A0 R* I% f: [* r•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
1 O/ X# X$ }& ^3 U7 u

8 H3 Z; ?  I# h& P3 B2 p, n
•①灰色预测模型（★）
5 o/ W3 Y( i3 \) W1 F+ F
) B- ?- f4 u* _1 g# A! q+ L) o0 P•  满足两个条件可用：
" p; D' s5 W( {) r# V
# b! H! O9 g: c$ l* Q•  a数据样本点个数少，6-15个

: I7 I) R: h$ f6 z•  b数据呈现指数或曲线的形式

; ~1 z( V: m$ y4 r! U( {•②微分方程预测（备用）
* b. Y- d; |3 R
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
0 I, Y! J& f" t- h
$ A% @/ j; Z% L' p* ]
/ I: v0 I3 y3 C) l# w
  A4 A+ f5 ?. I2 q/ M4 L•③回归分析预测（★）
0 X, Q% b5 \: [" g8 f
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
0 F8 x7 V$ U- b( X
0 d8 r) D, x6 ?' A: ^& z+ j9 l•  样本点的个数有要求：
4 Q# O: e) E7 F9 E( Y
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

) |# j; a, G% d- S/ \5 H0 k/ }* p•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

* \) U2 n* n4 z; E•  c因变量要符合正态分布
7 [( M1 Q+ ]; O* I7 P% T
. C# P2 {! _$ ~
7 m% h5 g- F: V2 Z$ Q
' X! ?7 E9 j% Q( `! n•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
# |3 m$ H6 Q& n9 }: F5 z8 r4 z

0 b  j* P* T' u* L" s" W& |
•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测

; u8 ]7 k: {+ n% h( k•⑦神经网络预测
# V4 U: U6 m- f4 l. D) Q# g$ B
( R! A" u8 _2 [) t, |•⑧混沌序列预测

1 d7 N7 k, z$ h9 h' Y9 `$ ]
$ Y2 c! a" Z) ?# B  s1 j+ e
（6）优化与控制
% W6 h% f4 ]6 ?
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
* t% N- K4 |4 P
: S( x9 v$ E6 `$ [. o( p& |•②非线性规划与智能优化算法
  p: g  b) C' V9 n9 @
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

  q" n% b% x  m•④动态规划

) d) l, x/ @4 T& Y( s•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
# o" F8 k8 o" ^) x; B
8 s& I: N/ S" K+ w•⑥排队论与计算机仿真
# n, D$ m# H+ Z+ _+ z
! I3 y, A+ ^3 u& G' M' w9 n# h•⑦模糊规划（范围约束）
; x9 q: Q1 F  [4 `# q0 x! d# H
8 ^8 b' G$ u+ l  k8 Q5 M* W7 n+ g; o•⑧灰色规划（难）

* M' ?/ E; O7 K; n3 g
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作者：ItsL
来源：CSDN

/ ^+ r+ X5 |) l& I! [4 T

+ @$ L( u) c! L6 E; h2 a5 [