数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤
4 `7 N- ^  v8 P  A7 }- F+ Y7 G5 S( C

" ?. e" n& }4 Q6 B
$ Q8 p8 Y' h! W0 i5 n* j* g模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

" F& j3 L  v. m' A2 L. N模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
7 Q- @( N% C/ k7 ]
# |( Z* L6 ~/ P( v模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

# o/ W- }+ L# t% L1 H7 I) J) o/ J# T3 }2、数学建模问题
! H4 b( k, u$ C! p6 H3 p* ~
' L8 n  x: ~( C2 i2 t- V7 d% K  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
' L% J$ @, l$ s0 R1 S+ e
（1）数据处理问题

8 M/ ]0 V6 L, Y* r% Y" B6 b! o& O. T•①插值拟合
$ ]( n' K. q4 \; V4 F
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
8 a4 W3 ~: G& Y% }+ l+ Y
2 J* V! F9 M" o4 b; c$ _•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
; C0 u7 A) E9 I, z/ o+ l0 Y
•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
. w5 }* X* X* o+ J" K, z1 u  l2 R
8 E2 y/ ~0 X9 @•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

( A7 l5 f% l+ c5 B( A6 ]6 p. H. o•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
( o7 @- d$ N5 @! ^. C
, f3 }  i4 B9 E9 j•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

% c* h+ H% f  R6 ~" o# T% S•主要用于数据的截取或者特征选择
3 x. m9 g$ |  c2 B
6 o9 b% {3 f9 C& K" g8 o% y2 ^' x% g

; d5 w1 f# r: `（2）关联与因果

; d3 E6 L( e0 _8 E( \# E% w0 h•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
+ c2 X" m/ i! @  T! q* e
•②Superman或kendall等级相关分析
$ s  Z, |; Y( F) b# s4 v/ {
/ S# x* K" q8 c- ?* v•③Person相关（样本点的个数比较多）
' b0 z0 i" z# T; j. y
. J& h1 F- B4 d; M7 n, @•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）


6 P5 {; I- ?, O- V" m4 {! b$ A% C
（3） 分类与判别

•①距离聚类（系统聚类）常用

" s! V4 v9 Q+ S2 G4 U# _5 {•②关联性聚类（常用）

- R0 l( L/ |. i•③层次聚类
% [: e6 \  \; K) S
. e* d% J$ {: Q& t: h0 z•④密度聚类
4 X. N: a- M& R" U) M, \
# K7 n/ x2 h% p2 M% J5 A3 ]•⑤其他聚类
  F4 _% B( g8 O5 h2 a
! ~7 ?3 [+ m  g: h' V# S/ ^•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

" r' C; H2 L9 Q- `* h* r•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
9 H9 o* v! }: k; |
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
* w4 }3 g; Y" Q% Y2 M4 o
; m9 T0 l9 U9 B* e  _4 t) g, L
: j7 h5 C2 A3 w$ p


（4）评价与决策
& d2 C+ N- h  _$ J6 z
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
9 D5 u$ S0 D' {3 `" F) r+ s
+ c; s6 T5 @% k' M8 h5 `•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

5 C* q* t! T' ]' G- `9 }•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

( `, w/ ~- f/ w$ I' o2 N; K•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
7 p! H- ^4 S( @) h
% i6 B3 B! s. ^$ P0 ?•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
( J3 P7 z) _3 _& W/ \
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
1 D2 m9 x; Q$ Z' i
* h0 E/ X' R# l: D•⑨方差分析、协方差分析等
3 R6 _1 [5 o' i: ?) N
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

6 K0 h, X$ g/ N+ R1 e& w  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
: ?5 g6 l$ _7 ^! f+ b

5 B0 {* V6 Z9 }# N$ {- f. `3 y" `) ]+ f# N
! L$ \: a( O- A% m

9 }+ D* r8 u, ~& P7 q$ g（5）预测与预报

3 r9 C. _4 @* e% |
$ v+ X, m( f$ f* ^; I
•主要有五种：
8 m& \! w  p/ A0 t
$ f0 i* |) K8 {% G•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
: z/ C4 X: V- b3 a
) Z; Q; j. ~6 h" m•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
6 n: g. C4 N. x7 }5 S! `- o) L
+ {$ y6 a9 I7 f4 o: P8 ?4 r' P•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
7 v8 B4 W3 p5 G+ d: w5 x6 m
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
! t, y0 C+ J! f  V0 E" t7 ]


•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个
; K- B$ ]. w, y1 }
•  b数据呈现指数或曲线的形式
- \6 F$ }/ ?5 c4 F! C/ D
' L, w5 a4 y& q% ]& \- |, t•②微分方程预测（备用）
* A% w( M6 B- [: \* ?; E* @
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

; l" h4 h& i+ o$ }" ~$ p$ `

' B1 h5 {$ R. a" X8 G, t•③回归分析预测（★）
8 f4 Z! p: `* P7 I4 s
1 Q/ d. _( B: a3 y8 _  ^•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

1 F) A( O4 u" ?•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
+ v' X; V( w; X
•  c因变量要符合正态分布
: j2 I7 R; b; ]0 p& Z" f$ e
8 L% Y+ `% T; v
7 x4 [6 O1 t. F& ]
•④马尔科夫预测（备用）

& ]" [0 m& V5 b) `! ^/ M) U•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
$ l, S; x, e4 n# s7 {+ e$ h
& E( P5 \1 f  q/ {+ y
. s1 w& U. ?! l; J1 L9 L% B0 F
3 y' {5 \4 s# X3 L; d: c•⑤时间序列预测（★）

. j" M. b& J( O0 `1 X•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测

5 Y, L% ^0 u/ }•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测
% U% n  B  T. T! \


0 `9 }# l, @# a$ y（6）优化与控制

( ^! }6 [$ b0 `2 O•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

3 q( c, k% @6 u* A" T•②非线性规划与智能优化算法
6 R. }$ b9 b4 M! G0 x3 h
- w, Y. B$ W% Z' e& Q. l! d( a* p•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划

8 c. z$ q: D) Y: m0 J•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真

9 a$ Q) Q& z# q+ \' q( y•⑦模糊规划（范围约束）
* J# A% K+ t: Q0 y
•⑧灰色规划（难）


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2 _: R  U% b5 W- \作者：ItsL
* i- R/ L0 X/ s来源：CSDN


9 A- B# A. G5 i: [2 B5 V