数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

" V1 q, L% N4 p3 B% ^& r4 s* }数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤
5 M4 [9 M% w& F" G, T& N
' @+ Y+ E: T; Z6 Z  F$ ^8 J( s7 u
3 C4 w2 }2 {6 J9 q
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
" g, y' j0 e  n/ @1 g. ]1 X0 z$ Z2 u
8 H( q  f2 A, t; x: Q% s( D+ ^模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
" F+ ?$ F$ |% p7 r: [; V
6 L0 L' r$ k2 N模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

+ N8 S) T" i4 f, V0 k" [2 A2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题
6 P- S* v2 {7 Y* Q7 z7 W
•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

# Q' G/ H+ h6 ~3 r' E! n8 ~8 c•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

& @  X  M* o- b2 A! r5 g, I•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
; M- ^& h. N4 a+ T/ f
- k2 ]) E5 Q0 N0 `% p3 S•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
/ ?5 H  K  b6 j7 F2 m% `" ^. I
( y0 l+ [: t7 e! ^8 u# y; ~' B
" h3 Q. g1 o6 y7 B' ]/ B( k' {
  C& q: \8 Q) D% i% J（2）关联与因果
# B3 _( h  L8 m/ l7 y" n# b2 D+ t
: i5 C/ ^$ R/ W# y2 ?# v$ T•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析
! d' ?3 [* h+ q9 Z) m
, U: j! u8 C7 w$ l  o" Z, S•③Person相关（样本点的个数比较多）
+ q) R( u) f4 o1 N
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

4 |; o. o5 J% Q" F3 i+ @

% ^2 q. B. Q$ e: B  N1 X; T: t. @（3） 分类与判别

- y& K6 {5 y6 H- `& P  d•①距离聚类（系统聚类）常用
, C( w( B5 M" y
•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

: d3 p: H9 z0 t: m# S- g$ X•④密度聚类

. m- v7 I% H7 c2 }$ ]' D+ T2 ]4 Z•⑤其他聚类

8 g0 B5 f; E8 S( I) r% X•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
( x: t# O' D% e. S
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
. s% W8 N( U$ ~$ T+ [; N

* q. Y4 R  f0 n$ {4 J# p


0 O7 T; N& b. O' P" i4 A$ i0 N（4）评价与决策

  B/ L9 O( G/ L% `•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
: N# h! F" F" n& J2 G* p
4 {- V' j7 u# s; b5 b•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

+ `2 y! c9 i" V5 s, M•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

8 e. ?) B$ k% \. @& ]7 o•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
* ^2 V" T+ Y$ ?- M
; J7 |1 n# G2 C3 u% y•⑨方差分析、协方差分析等

; D+ L6 P7 s1 e•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

$ q5 l1 O3 P! O  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
3 e; c0 b/ M6 x. V( a* ?- x

2 c" S& {& W( u6 W% n

& P/ }, ?; p  E  B
+ n+ t3 k) a8 d" s（5）预测与预报
  P2 ~( b; @  l0 Y1 `* C2 Q
) F) n( T; g" E: X4 l# b
& W# e* u8 R8 ~' h& ?4 }2 Q% Y3 w
1 X6 [/ [1 T8 T! i  [•主要有五种：
0 g" G! T! `$ m. o0 l
•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

; {; X& w8 c) E5 ?* N: `7 C•大样本的内部预测-逻辑回归

/ k; y9 \5 r% y9 t/ j$ _' b* A•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
, y, a) T5 ~: ]
) G0 D: u- V+ G•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
" ^* G6 c3 D3 z' r& f  j, x
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
; J# U) k. G: l, A' W2 s
. t8 N# x: [% p. e: @) h# A
# I0 g6 a; f% O, h3 o" ^
6 C8 u  I3 S  P4 H- Q% N7 W. W•①灰色预测模型（★）
* j+ B- M* H% |" a2 L4 Q
1 s6 [1 O  g2 G" i3 \& x+ W•  满足两个条件可用：
' H! i6 W( {) k- v% }' ]
7 O* v+ W8 {) [0 ]! t" W•  a数据样本点个数少，6-15个
, F% R7 f  W( C" v- e$ i( D
) J7 H+ _* n( U) v•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）
2 \8 G+ b, R4 ]1 @
; f" s- u1 m2 C; n& i% g5 ?• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。



2 v0 E4 m! P* W! C# ?! W& R•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
' O% {& m# g, d9 [% d. h0 U$ ?$ T
6 o1 N5 ~4 @' b, K6 z•  样本点的个数有要求：
, V( z: q! T0 \- l1 _6 D8 J) x
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
6 r0 s2 ?! ?- o, ^: E6 O  f! Z) F+ M, \
: W. y8 s2 K$ i) p* g9 s•  c因变量要符合正态分布
" M" @, ^0 |8 R  w


9 Y) J* n( ~5 ?; a0 H$ j3 x•④马尔科夫预测（备用）
8 o5 P& r% z( s$ K
& Q: q. A/ q4 T% t: R- z$ y•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

: j6 S% n/ E. O% n9 h

/ |* l6 T# N7 Q6 ~# e; \•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

# q6 h1 |- V' ]+ m•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测

" m/ v( B+ B% z7 f$ V* w

$ K( E# P$ e# Q  c（6）优化与控制

) v: q  D6 o! q7 R•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
  @% d' U& p; ]( _2 ^$ ^
5 k) c& ]* A" N) p& t9 t•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

/ D# W4 S2 h% L, z8 ^, [•④动态规划

" N2 J6 C: f) i& S. v7 `! s8 F•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真
+ ~1 j5 z4 R/ O* I3 s5 X
•⑦模糊规划（范围约束）

/ y; v* H) h5 I- Y) ?5 h•⑧灰色规划（难）

7 |' I. R0 z" F7 ^2 I- i' I
/ s% V& {7 H) c6 W" w, B$ M---------------------
' R7 W. z! h' I! f7 B( I+ \, M作者：ItsL
来源：CSDN
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/ A* o& X( h  L& o