数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

: A! P4 l/ t+ h- s" o数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤

3 M# j) m! V- o) f$ v' n) _

$ j5 V/ z; O3 D3 Z/ P模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

" M6 U! P! X/ E5 b2 y8 a模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题
+ d) Q, T1 I; R/ A  h
! o1 F* j, V( v2 @; t% R  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
$ w9 x: i6 a1 \5 P& F4 g
（1）数据处理问题

•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

% w& h- p9 D. t+ v6 B) {. a( E2 c•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

6 \% X# }# S0 H# l•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
3 J5 A; ?$ V4 p8 x: ]5 h
- a+ J( I. H2 i•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
3 R! |' _, T+ a9 `4 Z) K- I- k* W
; j+ r+ c4 V+ j5 {2 b- f•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
3 A1 m/ a! G- p  y$ A* r
•主要用于数据的截取或者特征选择
! p# j8 L" z5 D; U" Y% b
7 c* i% a" O! W5 v
1 ]. i: Q& J8 _  L' g- K9 R- A  a
3 a0 U3 b: X" P' V5 I（2）关联与因果

+ {- Y' Q$ ~8 A# l8 |9 |•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
! y! ~0 {( p, r0 J
7 ?1 C# a1 u! l  X: g2 ^% W+ t! q•②Superman或kendall等级相关分析

+ Z3 e  Z" @% {. @' g•③Person相关（样本点的个数比较多）
. C8 t  w* s3 u6 O- w" o* L. F$ c
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
8 @6 ^: `  h4 k. o, [
3 ~& @0 {0 H9 m, X" A•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
4 c# ]. k' u0 e6 \. ]
% k/ {: X  t' L1 ?4 v2 y* B' x

) c: d- t) A' k* i8 l; m（3） 分类与判别

0 L! F& f  c% `$ J% z) I* y•①距离聚类（系统聚类）常用
2 b/ M" o1 }0 r! Z6 R# a0 n4 }! n! z
•②关联性聚类（常用）

, t% K" a' ?3 }* _- \•③层次聚类
1 B( A+ z) z# g
7 Q* N  ?7 E# W" Q6 I5 ~( q•④密度聚类

•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
+ j+ v' k6 A' T, S
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
1 V, b0 g) t  O7 q
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
/ i9 [. i) {0 k

9 i  p7 L, m: d4 l
. C  X# ], u' N1 I# r% O* D4 s
7 o( ?# {) q  V2 W" C. w1 ?1 d6 C$ C
（4）评价与决策
3 P" J( f4 `' R/ t/ J* C
- P  k& R8 E* O4 d9 l- f  l•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

, T, b( H' T$ g: ~0 ]4 j•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

1 i/ f$ B8 `8 u7 a4 s•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
3 i, n& q' p9 i5 X$ t
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
* L& |: v* O$ M) y1 E7 X6 E; `
4 _8 P) M* q2 L+ f0 s•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
! D# r( a5 O  }5 Y) @; o) I
' y2 O9 e$ F3 }4 J" A•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
6 s2 a/ r$ `# B( [& T( r) `% s
•⑨方差分析、协方差分析等

/ m# b/ ^/ e8 d/ H1 i; {6 x! {$ D# N•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

& d, e8 O6 {1 v; D3 F  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
; G8 a  B. c- P0 G1 s6 y; ^
( t6 g3 y$ I$ i  O: Q, B

9 t5 @$ {  y4 [# q2 n3 g( K9 e2 m' D
/ R% H4 U) M9 c9 W7 [1 [
（5）预测与预报
; J0 x+ B' A, w/ M1 Z
" K3 e3 Z, w/ c2 ~! T: o

•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
' z( a6 |  |$ _+ _$ \- w- C
•大样本的内部预测-逻辑回归
4 P, Z0 o; B5 E6 {' L; }* f# F9 O
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
# Z; l  X# O" s! f0 M* L# w
0 A3 X# V7 c8 p- N0 `•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

. S- z. w$ y' {+ R0 @•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
5 C. ^% E4 y% s& _1 R% J

7 |6 ^1 o5 D: d% u
. |( S& Z7 v" j$ I•①灰色预测模型（★）
! ]5 b2 A& w- H3 u* M7 A
; M- g  I- A, f1 Y, B•  满足两个条件可用：
% C- K2 e" O7 I% w
1 a* g4 A: g7 B3 |7 h•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）

5 F/ q# E2 _( y5 b' K• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

. e3 }6 a6 z' P" o: a! ]
& v# A' B1 l5 J) q. R
6 O; u8 {8 }% S* K•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
" [, z7 S% ^* F5 {) \8 `6 r8 x
•  样本点的个数有要求：

. K8 e+ k; D3 o. @" h0 d•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

& I- P- W8 t% j8 _•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
, k6 Q4 L' w1 B# V# i" A; ^
•  c因变量要符合正态分布


0 ?- x; K/ D' _7 @. r
•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
& f6 x0 u% e9 L. }


•⑤时间序列预测（★）
& y4 r# x: G1 j
! p' O1 p# ]* X! G% A9 m•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
% m$ X, ~, Q7 t8 X8 o4 \
* k  Y& r7 B8 y•⑦神经网络预测
, A3 N3 T5 z! U! M4 D) f6 e1 ]! j
7 b* h: P1 L1 S. f7 {  |•⑧混沌序列预测
/ j0 M! L( G7 k$ ?


（6）优化与控制
5 Q( k& ?  v5 e% d( g- s0 v) {
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
8 w- t0 N5 S: A& f  S- {' l$ t# X( M
•②非线性规划与智能优化算法
* n. o& r. o/ X, X$ B" m+ r
/ K" U; a% S; Y+ Q( {•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

6 v3 b: w+ y" i1 t  R& u•④动态规划
, ]" z$ V+ [/ n* q
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

/ M. T* u) Z/ L•⑥排队论与计算机仿真
  U7 w5 U0 {8 s  r0 s
( ]5 L8 W( H; a8 _1 Q& S9 ]$ \•⑦模糊规划（范围约束）
) F& F% {: S( _$ `
) _) p# b/ W! {% t# z•⑧灰色规划（难）

* l0 M0 k: c+ v/ Z
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: h4 ~3 A- [' H% d作者：ItsL
来源：CSDN

/ f: E( \$ Q# N, ?

; }5 K* W6 d4 T8 ^" w7 k