数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
. `5 m5 S& \0 d" q7 a1 j) ^( g, Z4 }2 ^ 1、建模步骤
4 K2 R0 m8 o( K7 d" F' {& V. V

; Y* q# J% m# ^$ B  o
. G1 {+ e4 I" J) H0 `模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

. X+ v% c5 x; x8 q( u1 t模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题
! r# Q# I" l9 e- j: l) L
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

3 z$ {' a0 D* q; ~! @% p) b（1）数据处理问题

•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
% o. W2 k9 I" l; X+ a  i
•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

3 h# Y( ~; Q% |% C•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
4 }6 l8 ~$ U' ?; ~$ L. _% O" M( f
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
4 P! B8 `2 |5 U4 x7 P
4 V' w* Y$ x8 s' r# S5 b' N•主要用于数据的截取或者特征选择

9 `! I/ Z& z( j! L7 y  u' k

% g1 ~& A; J7 R  m) D; p" a; X7 `. ~（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
, R$ v* K: x: i0 T8 C1 z
•②Superman或kendall等级相关分析
, k- S1 h" x; l: a: X
' O$ l! w- E4 g* X% |•③Person相关（样本点的个数比较多）
: O4 V7 j. h7 D. o" i- D5 q: _1 X8 `
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

3 Z/ Y/ I5 C& T9 f& |8 B& ]•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
3 e8 `& a$ Y: B! @( q

8 c4 G/ G, h/ s- Q" i% c
（3） 分类与判别

! v0 h* A: l( I+ u* H& j6 v•①距离聚类（系统聚类）常用
. o  o. \8 F& L! f( O5 e0 A
•②关联性聚类（常用）
' i6 }% C2 T3 m
0 U  P  q6 m7 A•③层次聚类

5 J. e6 o* p5 q5 S- u" K% z•④密度聚类

•⑤其他聚类

# C5 s" Q9 W/ J, O. i- F# `•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
6 k* U- N1 W9 H

4 ]1 @' U. J: p
8 m( K/ ^. q/ B9 j; R3 a9 |

& X( e, T: l1 S. z（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

/ P# w  L2 @) Y2 {7 \* O7 w•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

2 k/ t8 ]% K/ L3 W: v& ^•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
' D. O$ A  Q9 |' m, v: x. V
2 a3 ~1 n0 S  a7 c•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
' q5 [2 y, t3 o. N( Y. I# l
9 x" ?& @  ]- o0 B•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
9 J" H3 l# b, [5 e8 G
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
% d# b+ P1 B$ h& P! P3 y1 l
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

7 Q3 o0 I1 D9 H) H/ g2 l$ H0 T: W•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
# u0 }6 t6 W/ H$ r: Y* _: A
* t. j/ k. C4 \7 H+ ^•⑨方差分析、协方差分析等

& y5 Q$ D& o2 e" M•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
3 @' \3 T  \9 M$ A" s
; s2 ~- _7 h& r! u: z  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
; E; g+ ?; y# G/ s

3 s% }: u* S. e2 ]* a
# P" Q8 p6 v& T7 E' {

0 ?9 ?9 p4 N( n6 z& U3 t0 f+ f（5）预测与预报

' R7 g. c3 }: @$ L9 u

•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

* i1 s. ]( ]5 Z# a" m! z•大样本的内部预测-逻辑回归
3 x- X  ?- M1 M6 j; ?! z1 @' W
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
, a( c2 a7 @" e1 |* o
) b' u5 f- T, d1 K3 _. B% @•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
- U0 E( x+ e0 l# {* G1 t, N
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
8 d6 [4 y- C5 F/ a0 [
  @! Z& i) L# F1 E/ r* O0 d% a

•①灰色预测模型（★）
  |9 @2 J9 q0 r; r3 R
4 l& ?# Y. k2 G, ~) j•  满足两个条件可用：
8 U& E  z" f  ?" Y0 e3 ^0 \' h
# K, f4 L. W5 h8 f•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式
3 V+ p0 f" z2 {4 v* ]9 ~
* V5 R# }2 p( C% v2 Q9 r6 S4 N•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
* Y+ [9 q0 n3 H* X" b
/ N) e; D# J( S' a9 ]5 G' l$ S: ]) {
4 P+ j% `$ U' T/ o/ J
7 v0 G0 m  g& }•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
( \8 H& g3 l$ B0 ?. `
+ A  w2 {* d' o2 H•  样本点的个数有要求：
2 k8 B5 t) M4 O. c- Q* e
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
  ~  e1 j& k! t3 ?1 [
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布

9 ]; O# K8 T& E6 ~- D

•④马尔科夫预测（备用）

  q* D; U6 |. Y; J! w9 U. s  E, E•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
1 E/ g( B2 q' ]
7 B/ @$ Z/ P6 V4 s3 B! M

•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
" _$ d+ C0 a5 D, i; n3 v
•⑥小波分析预测

5 D8 P) O& Z( h+ B•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测

1 T& _- _. f6 \

7 c! C- |; _5 c% r7 l（6）优化与控制
" q: P$ d" Y' y& t$ i5 J+ |; m
9 q' O, @# s. I8 ?4 f' p0 W1 U•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

6 f' \1 U: Q( y& y1 s•②非线性规划与智能优化算法
. ^" A; Z, D3 ~. l; N8 [
" H  Y" t- M1 O" [•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
7 T( T9 ~* I* i1 Q+ L! ], c
•④动态规划
5 l% L; @( f2 y2 E0 z% F+ i: |
, V5 Q6 D. _. W  k( }•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

+ {3 B. u2 f( H! q" p•⑥排队论与计算机仿真
2 b  u5 E, u, v7 }3 B) o. Q
, q7 u9 V, d0 Y4 r•⑦模糊规划（范围约束）
( z& j) p' h& f. E' s; ]( X% y
•⑧灰色规划（难）

% x; u4 d/ u% e' x* U
2 ]$ T* O" V+ E+ o: L---------------------
0 F7 f! o! G! g  Z" S作者：ItsL
来源：CSDN

- V; v6 V) i& t/ a$ d) K5 Q6 P2 U" R
! g  s" o3 G+ Y
3 V* @, e) ~. H6 c/ Q* ?# X$ |0 u