数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

; x( ~3 q* d' b/ D: U数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
! \6 c9 A( |$ g6 p 1、建模步骤
' s# O) }1 z6 z+ n9 d  I

+ \5 ~- l# v5 P- y" K, t( x
4 u$ Z  E& J, C5 Z4 A2 a  j. J模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
0 Z' c) O1 [3 i# F/ b* e( F* a
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
1 H8 Q0 r! w! g- }
$ a; C4 D- }6 }$ s$ j, H模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

4 \# d2 p/ Q, i3 N4 s  `8 @( B  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
7 _$ I9 \* b1 N3 y
. J* W& f/ v9 @( Z（1）数据处理问题
4 d% _* p+ |6 Q" M
+ D# X% v0 J. C6 C+ G$ P! q& }•①插值拟合
  y' f8 v2 _7 C; u  Y: H! K6 r" S
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

+ ]( n, {6 W) X3 p, F•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

# C" Z9 S- B8 t- w  v/ m6 A' R; c•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
8 i- Z, @) H# V3 c9 X' B
2 F' I* q3 Q1 A$ f; g/ X, V•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
. F4 `$ _% V) A3 N, X7 v
2 y9 k( i( p/ ]8 p& _$ A$ w' U•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

+ b7 X' a+ W; [) A" y+ G( C$ ]•主要用于数据的截取或者特征选择


6 \0 e+ L* K3 ?. ^
（2）关联与因果

•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

6 q3 F$ D0 r9 _4 B) x•②Superman或kendall等级相关分析
/ D3 U2 W% x0 r; J5 R4 k2 w' D
•③Person相关（样本点的个数比较多）

" C4 {3 s4 J) \8 w# t& o" P' \•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
! p7 i5 T  a; q( j
+ K- ^; _3 k5 s# g6 {% o/ C1 ]•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6 N7 {1 I# z; e- m) S' O# Q; r
! r1 f0 W) n9 n# n: f2 J) T
& E! {5 P8 M  O8 l
（3） 分类与判别

- k$ i, h; I; D. A5 |4 b' i•①距离聚类（系统聚类）常用

•②关联性聚类（常用）
0 e- a. ^3 D& v( |3 I/ O/ ?
•③层次聚类

: {3 ~& D  D# |& v•④密度聚类

3 v8 \- z6 D( K/ B; A& R•⑤其他聚类
8 w3 _' i$ q6 I5 S6 i) ?
/ H$ i& c! ~4 C$ b1 F: n! M•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
2 G; y' T8 b; b! F( V
( c7 ]8 ?+ {1 z9 T7 v0 u6 z•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

: D7 j" C9 d8 H+ P$ r& L•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
2 u! F8 H$ [: P& H- @4 z  I


4 r; k8 D1 K3 k& L

（4）评价与决策
% n) f( U; Z" r( o& I) E
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

) A. b' J, S0 B# b2 q2 Q$ }$ I•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
+ o0 C) E" m% D$ @
! C3 \8 M* X: _* c! ~3 k! N  A•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
. x; i& B' O) U. ?( @$ r2 ^
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等

& S# H# ~& @& Y, Y•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

/ \" i; t5 x9 R* I8 {/ x) F  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
. @: n8 ^" G; F* p9 T+ c" w+ f! T
( V: [7 w2 m* }5 c1 M$ M  N2 x

, `1 G0 D" J$ m, K4 I+ C' e4 i
: Q9 c- w+ j% ]; L& D
（5）预测与预报


& @0 i$ F3 B6 L8 _' ]
! H- j' o! Q$ Z  I8 }& m' `•主要有五种：

) o, z$ }4 a8 k! D4 s; `% C•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
" V7 x. d. z- U8 V1 k) L$ Y
•大样本的内部预测-逻辑回归
+ ~9 t7 [, N- o$ t& ~7 e; J
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）
; k/ S- ~! n) V8 h: h3 i
•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
, k% O4 Q  d% [
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
, I8 Q+ n# w% A- k! H& W/ Y


•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

% `1 Q. Y# J1 R" ^- s0 e+ K•②微分方程预测（备用）
- y" d6 x; g5 t; u5 N& @  c
2 l5 v# a/ j2 ]5 ?' W  Y8 i8 p• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。



1 p: B* v: s: Q" R5 [•③回归分析预测（★）

1 v# a5 p0 ?7 A: w/ N•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：
0 M( {/ W5 f: e/ h, N
1 e& ~4 L5 s- T# X& y•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

: m& N2 f! N0 c$ d•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
% Q& e% t2 ]$ s+ z% K
5 Y5 R+ ]2 Z) m$ G•  c因变量要符合正态分布

2 D/ ^6 u3 j  G; e# ~! P! p

•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



; v% n1 D/ j2 C7 P. e; f•⑤时间序列预测（★）
# r- h1 ~. J- f3 X
  x' p; c) e% _3 F- l9 a•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
3 `. k8 K9 A/ [
0 h* m: U+ Y% Q  B7 O: ]7 K( ?•⑥小波分析预测

0 Y3 L1 D5 j( v- v$ t7 A  n8 u•⑦神经网络预测

+ W4 i; A, P& ^6 O, g8 l•⑧混沌序列预测


/ q& s5 d2 Y4 `; ?9 l
4 u1 f4 z& L; I' g% C! p（6）优化与控制
0 t9 j1 z2 \: _4 {
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
9 }- P" m% |* V7 [
•②非线性规划与智能优化算法

•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
$ @* C' r- D6 ^% D
•④动态规划

' P6 X: u9 A$ x8 O/ \6 @" P1 a5 h•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

% @  M$ ~7 V7 D•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）


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* W6 G. l& x2 Q* ^/ {作者：ItsL
2 Q6 {3 c5 s  _6 U来源：CSDN
! D, c8 u% U& @! D7 h

& \, W! J% L+ i2 d" _/ e" f
8 Q3 x& D( S, I+ R* I% C) z