数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
, B5 p, x( Y9 ?' x1 l4 [ 1、建模步骤
+ M) }: J5 K( q; ^& X' {

- X+ r1 P6 P( V( Q7 F
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

. S4 z6 ^! J  v; j6 c" ]模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
+ p5 n" M' D  r# V% ]+ L# q
2、数学建模问题
4 x1 w' m; {9 j1 L7 i' e8 {- E7 k
4 s% K. }& j  @. I& j  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
$ o1 W& g$ a# O1 A/ n
（1）数据处理问题

•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
3 U) C1 t& n; H
: m5 `# D( W! w7 x2 n2 @, k8 C•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
5 G% |0 R$ x' y9 u2 f% c) N
" t9 X( n* x; O9 g2 g* j•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

5 P: o  o, h! ^9 I' }•主要用于数据的截取或者特征选择



（2）关联与因果
# S' k* E8 E- u$ m9 n
- J: f, R! P7 `( D8 s•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
$ P  t- L: X" l) n$ h1 T) k
•②Superman或kendall等级相关分析

•③Person相关（样本点的个数比较多）
" p$ J, f. j7 J% S7 O5 n4 C
7 J0 J* {/ R" T7 H5 z) r•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
8 O$ d' y, R. H% z
, n0 T5 X; ~' n. k0 ]; H+ m2 J•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

8 N6 I/ D7 p7 j% P+ @$ r
, D1 `) P3 b( P3 ]/ z8 ]. G
4 g1 k) }3 d. ^, Q) Z, w! p（3） 分类与判别
0 H6 W0 @6 c6 q( h) J4 i) F
3 f+ p: I+ E# c•①距离聚类（系统聚类）常用

; O7 ~4 _1 N& H' ]•②关联性聚类（常用）

  o0 J; D, Y8 _•③层次聚类

•④密度聚类

•⑤其他聚类
6 t8 |" M, S2 A+ b8 e) s% f+ {
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
1 ^6 Z, v% q. ~* g
) r/ \" u9 Q! M/ b. l( |•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）





（4）评价与决策
  n  @, K) [# y9 }) v/ B7 @" p
3 u* O; K& c  y& x•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
4 r8 P8 o* K6 ~1 N6 _* F) ?
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
4 X$ w0 }0 t; ?. }" A2 B3 p
- s& u1 M! s; l; ~/ A/ f•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
! \% D& q$ Q' [! B% y" [. S  J9 F( b
. F8 s0 m5 q7 V6 C* Q8 L•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
% {! M/ p2 {! P9 P' E/ Z
3 Z0 ^+ l+ G7 o. b4 l; o* w+ z•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

2 Q$ u% Q2 X7 p7 [/ s; }) Y$ B•⑨方差分析、协方差分析等
; I1 v$ c  _: H2 J) a! ^
% u; U0 o. c0 W5 j•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
4 g" y+ h7 c0 F
# X5 S& @$ k6 \) y6 a( R6 S  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
/ b) @/ d6 K7 r- B3 g% x" M, ?0 c



. m% y( O: n! _$ B& N; y
& o7 P$ d  S4 C8 ~( [3 Q$ A1 T（5）预测与预报



•主要有五种：
* j9 T" Z+ @: @( W# |% h1 ]* }
2 z# o  v0 P. m- L" l•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

% F+ \" N6 }% O) a4 X( Q•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

0 _3 X- t* K( q) y•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
5 y2 a# `0 Y* O1 ]

3 @# D# }  Q4 B9 o5 w& N
•①灰色预测模型（★）
  Q! {  s5 Z: O
  ]( N$ ]4 K5 T5 f, r: O+ c( ~5 x•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

* Q) G: Y# U5 `  f•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
- M% d8 ]$ A# T4 K1 X


•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：

7 E. U/ ^& @, `% V# E% a•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

, X6 K; g2 Q1 ^5 O) {, r# Y$ q•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布



' D, Q7 C" r( C4 m4 M•④马尔科夫预测（备用）
4 e) }2 ^  c/ @  r
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率



•⑤时间序列预测（★）
7 I, d( F/ E- D/ Z
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
/ V+ k: W0 H3 N8 q/ Q4 p
•⑥小波分析预测

3 ^) g9 d4 V2 v8 A, Q+ R3 ~. v•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测
) ?* ^1 z. D) d. v
- [! f$ j2 {! q+ f

6 I' ^+ T+ H( i- S（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
" ?# u: `2 x9 m2 |
•②非线性规划与智能优化算法
" A& A6 ]2 _$ K/ f; L" K
3 G* c2 c, X4 `, ^: `4 k! Q- X•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）
, _' E$ s6 z8 f# w
$ `* `2 w, b& t* x1 E•④动态规划
6 [- n$ j' l; O$ x5 k% Y; W$ E
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真

•⑦模糊规划（范围约束）

2 E, G( @- [4 l; y1 v/ ]# Y: w•⑧灰色规划（难）


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& j: Q5 L2 K8 j9 ]作者：ItsL
来源：CSDN

  [; k. v4 [1 x$ o
% U, ^" u$ ^- m  }! y4 W* u2 y