谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：
1 V  F1 r% r* N+ f
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
最好地说明这个问题：

How could someone as brilliant as von Neumann think
4 S0 O) S; `6 z8 H) p8 x6 Thard about a subject as mundane as triangular factoriz
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
7 t, ^- W- h- N  e$ p0 U# d" k8 \with suitable pivoting, the results are impressively
+ x1 g6 f5 @2 B$ c: l! ?! H9 q6 Ogood? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
experience, concentration on the inverse rather than on
8 |- d5 u& j- A$ t( H2 ]the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
8 h: K0 @+ N( x- W  D( LWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
, r% I1 x# [" I' A2 \- DLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
; K( R* z2 `) I. |$ _for at least two years after the appearance of QR? Why
6 Y+ S% y( l4 a1 ]: [6 h. N  N, gdid more than 20 years pass before the properties of
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
comprehension of the effects of finite-precision
# w- D1 h8 H* e2 c& c, p  r, warithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

, L9 l4 G5 D- t2 i1 P  E# m( ]既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
% l2 z- e' R8 D# V+ z院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。

% E* T6 D+ }1 ]侯一钊（加州理工）
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
http://www.acm.caltech.edu/~hou/
& R# l3 Y3 I( [+ v! Z( o
鄂维南（Princeton大学）
4 u* ]7 Z9 B+ g& s6 ^北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
% |& F) \# a; _9 fhttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm

包刚（Michigan州立大学）
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
http://www.mth.msu.edu/~bao/

# k, R* q2 s9 P6 `, c- g金石(Wisconsin大学)
% G, F% i- O( [9 X清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等
2 \9 X3 X) o. d% Nhttp://www.math.wisc.edu/~jin/

8 \, ~% F1 a' O汤涛（香港浸会大学）
; Y; x! S6 e2 y# ]) O- ~中科院，研究方向：移动网格法等
, ~/ }% f1 d' Y/ `3 b/ X) ehttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
: G- Y$ v4 b0 W* s. K
舒其望（Brown大学）
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html

陈汉夫（香港中文大学）
研究方向：数值线性代数
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/
4 C0 }) t, ]3 ^- ]( ^
0 w5 F/ l1 W+ O' s, U# J许进超（Pennsylvania州立大学）
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
http://www.math.psu.edu/xu/

$ ~& h+ e! W$ @5 W5 Y0 ~袁亚湘
中科院，研究方向为非线性最优化
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

2 P, j- s$ D+ n1 c' S张平文（北京大学）
# D  i% Y0 u0 m北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
模拟、移动网格法等
# Q& y6 e3 f1 m  j" @http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html
! x0 ^6 ^% O( V7 @: B" Y, }- n
8 W; v9 v7 Y9 j  b3 C6 D7 ?陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
7 }8 L7 g3 R7 ?/ \. i7 [) U1 chttp://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html
& h  G9 ?% {. d$ B$ S9 |, ]2 d" C
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
+ {; t5 R. n% o  B
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
, C) [% T- M; @# `. d是颇有裨益的。
理论：
4 b+ {- D* m# v. O4 r最好的基本是
  L) E$ r0 J0 Y. T6 C+ Q4 n! LMathematics of Computation
  B0 y& n; Z( W( Z: l8 hNumerische Mathematik
& b, u/ g/ R2 O7 d/ L3 bSIAM Journal on Numerical Analysis
2 d* I& i% u  r5 H8 X+ Z" [* GSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
5 Q: o. T0 [' f# q, `4 }SIAM Journal on Scientific Computing
1 X, D( |- x5 U较好的有：
BIT
IMA Journal of Numerical Analysis
$ ]* o$ j( ^  L6 `Advances in Computational Mathematics
Inverse Problems
. C7 W" s5 X6 F
- d% r4 t& r: g. J5 t0 G0 J" O还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics
4 J, U$ |7 }0 M) f5 mInternational Journal for Numerical Methods in Engineering
  H0 d  [& ?8 n2 p9 }6 ^8 \Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
* }: X$ w/ g5 c' ?# z/ m/ `# HInternational Journal for Numerical Methods in Fluids
! S9 J2 t. l% i+ S& r2 t* X) qComputers and Fluids
4 q* L! ~9 u, m* V  }  L1 s# zComputational Mechanics
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
也可以浏览。

3 m+ Z' W2 M. E但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
2 h0 ?# ^8 v* H8 P3 Z了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
! s4 ^$ p* g; W; _9 \0 A* z学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
: r! `6 u+ ~- a* L: T. Z; e: \的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
( j3 H* c( b& ^9 h  e等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。

. f" s. Y; x2 q另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
* m3 h2 M, v7 |4 u) \1 r4 k章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
- E& ]/ R0 U7 o- U6 q$ U者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
) z5 Z: d# R4 }0 N: M计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
4 X4 J7 ]# F0 B: U4 V2 `
作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
& ]/ g: m7 |5 U/ V, b' D) @称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。
+ v$ {4 M0 w: a
! X0 i0 r" j" N- V微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。

, b  s! a: N" q0 _/ _有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
4 S, ?# F) ^5 ]$ O# g) U有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
$ [, ~" }; S* M8 A* ?主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。
5 f2 n% F/ h+ c3 G
有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。
6 ]* \4 k7 M* b0 p
& M- C3 _9 a; x- B  K' v6 Y谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
5 X0 u; Q6 b0 {: _6 N$ O. X, F郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
8 |% t9 N- Q, H8 o0 g( P）
1 I' O6 j3 v3 }上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
. H  T8 R3 [+ ]2 S) r; u$ e入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
& q) n  F& N- A( X/ t3 Y0 _有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
1 K# {8 G4 c( O3 ?+ y" J, ~  @3 H7 t不知道能不能再学校里找到。

4 v# |3 X8 A4 b) l" E除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。
) f/ D0 M! b  X+ \+ \; W4 W' |: |" e- z
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
7 J5 _0 K  o& F( B6 ]Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
* d+ o. E+ Z9 h! u* C4 f) A8 k《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
9 F: ?2 V  V: v经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
+ \' }4 d, p" j$ K! Y+ ^+ R/ y7 Y西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
2 R! h; a5 E, z% F/ p这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
  e/ n5 x; W5 P( a! `3 r# w6 f  E: I出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。
9 N- t6 k9 V- t$ z/ |
2 s2 {4 Q2 J. ]: [0 f* k计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
3 ~; o( {+ E& K' p3 J$ u体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
; h$ V/ o; D  ^* L0 c有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。

最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
! x. b4 D9 ^1 P6 ?6 n& C5 U8 S计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
面的网址注册
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
( \: {$ d; u' D* U英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
, K& A& p% l+ x$ k! t5 Ahttp://www.netlib.org/na-net



' A, J& ~0 L8 j9 ~& b, W5 j/ \先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
都有中译本的。
" i7 m$ C7 U3 L& S0 Q: G
9 K! U$ [/ B, h接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
3 I. Y+ w; H# q: A在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
( w# ~( \  [, C, n/ [( _" \* f0 y& O向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
. b3 I1 y; [: q: \0 J$ }出来。
) }2 `5 U- k3 ?2 r' x# D+ M
国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
: S/ |3 M& R$ ~Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
# g0 p4 y* w: X+ u0 EHigham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
& e5 ?! l+ {5 l的大家。
& }$ P2 H: A0 ~4 ]
6 O" d6 X8 I; I/ O; s2 A7 d- b矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
4 G+ [; X" I( |5 I- X) w1 QAlgebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
  p" R' F: Q" M* S' M( c人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
. l: q$ N! J7 K, N4 |3 P7 S找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
( @  \: l' x, G. {4 n% W. W5 f$ EAlgebra》，Trefethen & Bau 的
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
写的挺有意思的，在他的主页
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
; E5 [$ j8 _6 Z: t; B上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
书，《The theory of matrices in numerical analysis》
- V% y. X( S9 F5 e(有中译本，系里中英文版的都有)。

/ `0 B' k9 M9 o6 Z  X& RLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
# `5 S. ?; O4 i前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
and Spectral methods》（在他的主页上可以
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
! A9 \7 k) `& e" D( H+ d。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
$ N! i: R- S8 m7 t8 L$ x9 t8 o
0 w# h" m( x6 A4 V( w+ s他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
  G2 N6 k2 K& A  D# p/ h8 y* ?典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
- B5 k; u9 [: d) ^- T献，也许对大家有点启发。
. L4 k$ m2 y7 i8 `, [& F- P
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
# H4 W, Z; D+ w" v4 M5 U& p2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
- H# Z5 m& x1 M/ c; M* X" V3. Householder (1958) QR factorization of matrices
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
" V0 f$ b" p5 R0 U% h4 b7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
8. Brandt (1977) multigrid algorithms
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
( X) C! O( }5 S5 o) \/ l10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
- l7 X" ~* w& |/ j12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
5 ^0 Y7 Q. a9 e7 {" I+ ~13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
! E' \, E5 X2 ~
他的remark也很有意思，We were struck by how young many
' j# D- i) E. ^4 ?of the authors were when they wrote these **s (average
6 W4 O+ d* ]8 [% y+ _0 Eage: 34), and by how short an influential ** can be
5 C0 a! C/ [, R/ J2 H(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
' E# r) H6 q# O5 [都还是很有希望的，呵呵。

9 \1 B0 m  z; h: W7 {% Y: L# i# F5 K
8 `4 o0 Y% \7 n' Q7 [+ y反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下

几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed
) ?+ k) Y7 Z) C( |+ i+ w
Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
4 x2 n( i/ }) Z6 x5 f
! {$ Q5 v+ A/ A6 \; B+ _' ?9 X# j' G9 I) Y叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂

志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的
3 C1 B. k& L# p, m; Q3 \
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical
+ A, Y) W, A& C% Y
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
9 `" v7 s3 p% `: `/ C, M4 H
: Z& F0 r$ I' {0 S3 EJournal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on
- A: B. t% r, \5 I0 i
% i1 N$ d5 O  n% i# a+ ]Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
* O  r1 `- C) A$ ]" Q$ B
9 _; v: E. |! v$ l) \在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问
9 G' f8 s1 o; l$ G+ l
- K5 S; N' W+ c, Z. Q) o& {6 ^! J题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好
8 Q, j9 K" M, _2 l+ [1 v/ c
' D2 V. T) {* C# ]$ S; s的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他
# ]4 k0 I! E: d: x
) u/ P- M5 {4 o8 o2 e们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW

( J! W9 [$ A6 f  D7 R3 f$ O" |Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin
1 Q2 H0 n- E/ N  q, W
+ H+ _% Z# w- z+ zHanke（德国）， Isakov（美国）等。

反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根

+ D4 J) W# J3 F据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应

; X7 w) t3 h7 g2 m3 m, F2 x  w) U" o  ?用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
: k; d+ q- g  e: m" `) b: o的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问
( W9 X+ m) B+ X' O
题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水

: e! S! p2 m- U5 ]: L7 l( U- ^平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上
- M  ?  m- A% H5 B+ f
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一

个综述和展望，值得参考。
1 Y( O# W* u" V; m
, B2 Y3 H0 |& y# E) B; e, S6 Q反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
# G9 r/ ^' S+ n& J4 [/ ?本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
7 g9 o" \: ^8 _+ J9 n' w是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
- t  H6 Q% l% G记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
regularization for Fredholm equation of the first kind》
' q: C5 G  [- L$ O是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
7 h8 ]" Z2 @0 J4 R2 lto the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
3 V+ L0 O+ U( @* v, `作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
( x9 W# e! v+ I- w: F《Inverse problems for partial differential equations》，
2 ^4 [9 h3 G' K" qMartin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
Ill-posed Problems》应该也是不错的。
7 `, H% M. S- a
  Y8 P: ^2 S, q% N在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
/ y6 X7 Y" b! I8 gVogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
: H, K6 |( f7 b/ `- ]# @也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
) W$ [' E2 ]% i& W' j了。
3 Z/ E3 P( @6 A) u& K- @
反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html

计算的热点似乎有两个特点：
; ]( Z' m/ x) E一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
  I+ M; S6 R7 W& V& g中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
' z2 h1 c. G6 d& Q' j! A
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
. O1 {- z$ f3 U& Q" n" x, s* T分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
* g* j! }/ U" {# R2 g7 i+ }* D是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
% y0 ^6 `* @* ~" a你看了吗
% u7 X2 C% P, e
) P0 Z2 x+ f+ X* g0 [3 _, D& s
回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊