谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：
/ I5 n0 V9 t5 Z" r& ]) o
% U9 ^4 g9 s9 C/ z5 y- |$ A: Y从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
$ |2 g3 H9 N8 x* v' F* x- J了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
  V, N& i; L, J最好地说明这个问题：
8 {: h- F' K5 S7 h
8 S$ z  m: Q2 h, m. ^* gHow could someone as brilliant as von Neumann think
) y, l! L" i6 Zhard about a subject as mundane as triangular factoriz
! _' ?' g. z8 O* D- c- }  F) B* c: t-ation of an invertible matrix and not perceive that,
8 ]9 G/ l# ?5 V2 uwith suitable pivoting, the results are impressively
* O5 E, R+ T$ ~( }2 N2 n* Z. Xgood? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
experience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
! D& o  |7 [: l& iWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
for at least two years after the appearance of QR? Why
* z& ^) S/ u; V7 |did more than 20 years pass before the properties of
the Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
2 N" w9 X" U# o' ]+ L% @, mcomprehension of the effects of finite-precision
1 H+ x; c8 j, _" g: E7 [& |arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
, p# F/ O! U' Z9 Z9 Z: y* @了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
& H1 z9 [, l6 k5 ?5 Y院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
- ?; c) X$ y$ E! i! _2 _& {( I8 o" H只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。
; Z) T# h  D" B1 g
$ M/ l' ]( x7 _  e侯一钊（加州理工）
, [* N# x5 m/ T2 k2 n研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
# I. J9 |" |7 u6 ?/ p2 d# P5 ~http://www.acm.caltech.edu/~hou/
" B' ~' w/ O' b5 _; v) L/ ]* \
) }6 L) d5 a* N/ t+ \  G: U鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
1 }& S% y; ~8 v. Q, M. W3 n1 [
! P* j5 T4 ^! z* U6 o- u包刚（Michigan州立大学）
7 o6 k! D- ~: Y. J0 ^+ L+ e吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
. @' F, A: ~( G( ^- g) Ihttp://www.mth.msu.edu/~bao/
0 \+ U  y. Y, X  h0 i" \
金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
0 s1 }' T! @. L' Z9 l) f3 {( ?动力学理论等
4 Q( J9 h2 u( W& G. L  G& Hhttp://www.math.wisc.edu/~jin/
, j5 B  O) M/ \2 F
汤涛（香港浸会大学）
! Y1 M$ j6 j. \中科院，研究方向：移动网格法等
) h5 G$ l/ |. z9 ^4 J% W  k; |http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
# _& ?8 l- C- k1 ^8 c! f
舒其望（Brown大学）
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
$ B, s8 m9 |" ?6 K* C/ {5 e
陈汉夫（香港中文大学）
, o/ [5 P" W/ h1 M研究方向：数值线性代数
8 f3 p2 W: C0 m% L9 e  vhttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/

1 i! [  Y9 X- q4 J$ W& z5 W许进超（Pennsylvania州立大学）
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
' f4 @8 c3 i) x6 jhttp://www.math.psu.edu/xu/

' \8 o( c, \" P" n, _. w6 ?, ]: s袁亚湘
中科院，研究方向为非线性最优化
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

: v/ F5 b. y& |/ n, Q8 p' I张平文（北京大学）
" r4 c( _+ R7 }/ h' Q8 ~1 m2 [3 W$ G北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
. a; O& y  k+ I$ Y+ _9 G模拟、移动网格法等
http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html

0 z2 p6 `( H! v6 K$ w: k: H陈志明（中科院）
0 @" E* x( J% x; `研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
+ b( p& ]4 s# M9 j" m* F
, W+ e6 b6 O. _2 `1 |6 F作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
' p' K: w# G) ?' m) m% A是颇有裨益的。
理论：
最好的基本是
Mathematics of Computation
, I2 B& n! U- [. c+ y& T2 G# PNumerische Mathematik
SIAM Journal on Numerical Analysis
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
! Y/ |8 y+ j: x& VSIAM Journal on Scientific Computing
较好的有：
BIT
IMA Journal of Numerical Analysis
Advances in Computational Mathematics
Inverse Problems

7 N2 [9 U& T8 k/ j7 d) o还有应用性质的杂志：
) ^& K  r0 Q5 w  AJournal of Computational Physics
International Journal for Numerical Methods in Engineering
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
International Journal for Numerical Methods in Fluids
. T, a) e5 u! [' S* x: B0 ~+ KComputers and Fluids
Computational Mechanics
( M* ^3 f; J; A4 L0 W2 g  ?9 C# p3 n还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
也可以浏览。

# J' F! U6 D1 q! o( O) E4 t* T但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
' |  n. J1 E/ e: d9 c  u8 I8 G学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
9 g' H+ M8 D" d# e0 f; ]8 Jstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。
% s. ]- T. v7 d9 D# }: z; R- }0 i
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
  T4 F" ?) ]- Z: y) [  o者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
& b7 d3 N& T, h2 i计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。

- V: h+ N* H# f4 q1 ]作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
/ x' B9 Z# L" L' ~% r: [8 B( ~( m称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。

微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。
( q' N6 \+ E# O$ U
8 ~# p. T( |$ Y有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
1 C; z- p  v! Z6 Z4 B/ \7 y# `) A数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
# `7 C3 L" u7 K# u* _9 u* r$ f2 e! W有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
1 U- m/ X1 Z  V- X主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
; R* P. X& u3 [- w, N外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。
% q0 F- n* l6 O* R0 m6 {6 I
有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
, }# J4 u2 _/ H5 w: _' K4 m& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。

谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
; n& d' A! R8 K  K' Iand Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
3 q3 O+ |$ ]/ O& e" C" Y* `）
; g% k4 p1 d9 f0 h5 T上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
5 h- M! G" ?, O- Y有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
/ R; C$ p& p1 O5 D( B) ~不知道能不能再学校里找到。
. g6 o' `4 u/ `; @, g) [' C
) ?) c, S; {8 a% z9 b5 m除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
/ ]( d: t& x. T' g5 @! Z8 x以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。

计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
( _  y, p% G! B: T在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
- \: B) R$ R. x, O出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
/ S1 B1 b4 D+ x' _5 P* |性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。
$ g5 G2 y& ~* c* I
' D2 b& g1 b# x7 i& h, d计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
3 D% Y7 L& [( b" r" E" [体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。
2 H+ A% f$ g8 d4 B6 E
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
面的网址注册
$ M/ W$ d4 a& q$ ]/ P/ K+ qhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
% d1 g2 [0 N! I- E" bhttp://www.netlib.org/na-net

: ?; x! N" O  l& c, d! |6 t. p/ p
9 G7 b: Z! U6 i2 \: X- D& v
9 ]6 z7 R5 `6 L先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
( ]$ e# m  u2 O" h记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
都有中译本的。
# {+ Q" I+ ?" F! ^
. k, E  g; W% b  {/ O* R4 {5 z) Y接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
3 ~% \8 @% F/ H. c9 H% O在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
! S/ G& b- _+ l1 Q% ~/ Y树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
( P! \' f8 s3 x9 m+ u) d& v: v9 i向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
! L0 M$ L7 w, P0 K有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
出来。
( F; D9 F" T( E4 e5 S# X6 B
% m$ p( M8 N1 o' y1 ?, R! [8 o# E国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。

矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
" H& v. G7 ?) K  t7 HAlgebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
& d3 H, o$ n3 `5 E5 j人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
/ `" [: h0 e9 ~' g( H系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
. h( m5 X' D- G5 d, h, m3 o很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
7 a- r9 w+ Q0 e  v$ ?0 A《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
9 J+ N6 \2 ^! k9 ~# }- F% J# y找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
Algebra》，Trefethen & Bau 的
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
  M# W! x: ?- `Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
- h0 r( Y; ?7 c4 C9 P1 o. y! h$ u0 l写的挺有意思的，在他的主页
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
书，《The theory of matrices in numerical analysis》
(有中译本，系里中英文版的都有)。

5 b, u* {7 U" lLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
  }( K' b' l8 v# u前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
8 B! ?0 U/ K; Y《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
& g: k" E9 K$ R  m' |% Uand Spectral methods》（在他的主页上可以
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
  B) ^3 ]& o* Q4 j* i! z
; r' P( j+ s8 f他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
0 i4 B% H3 @3 X献，也许对大家有点启发。
. W0 `* K) c4 }) X5 f4 u! R
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
- q# G% ]( r% y4 j3. Householder (1958) QR factorization of matrices
3 \: Z1 O9 e# L. _( C3 h4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
  C( r: d! G/ R! O( G5. de Boor (1972) calculations with B-splines
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
) r; o/ S5 ?  J. j& G7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
8. Brandt (1977) multigrid algorithms
# T: @+ ]& P4 I9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
  m- i" O( _0 N# i( F10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
. Z" L8 ^7 ?/ L0 r1 T5 x" y, D4 |! o12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles

他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these **s (average
9 |! E. J- s3 v  _; ?9 R1 T5 T" Aage: 34), and by how short an influential ** can be
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
  E0 u$ U% m; D4 G( V都还是很有希望的，呵呵。

; U( R% T1 l& L- ]' Z
+ _, m& \9 X5 ?- B+ U4 H7 q- Y反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
/ @% }3 n, Y! r2 r3 U
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed

! E; Z& x: w3 `4 t1 nProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
0 A2 A3 |. S, l5 e; j
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂

志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的

! W* p, z' J% Z杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical

Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
9 T( h; K/ g: J
5 G$ z) {! s9 }8 Q# q: XJournal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on

Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
- I' d8 q' ~9 I
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问

1 R1 e. X8 Q8 ^% [, [- A4 w题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

% \! A! g+ v( r/ j* J- J的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他
; p& E! v$ `) P8 o- f
7 G- a& b% y5 r- W9 D8 h们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
( ^# ?- P, z3 H* J, l
Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin
' [! ?% N- c4 b( q# i& e6 K
- N1 I- ]' n$ h$ O; {0 HHanke（德国）， Isakov（美国）等。
. ]7 Z1 X/ a+ z& E8 o
2 }. e+ a, y' ~- g0 J4 ]% M/ G反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根
- f* R) `$ L; ]. p+ j/ C
据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应

" c/ R! u( N% O. T$ H5 P% U) o0 m- w用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
( Y# Z8 N; H' o' x+ k的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问
$ {! w+ u; T7 ]; N6 D
题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水

平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上
# `; |1 f5 Q5 s/ R% M
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

: [$ }) F: }4 u的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一
, C: T1 Z" Q* N; X
个综述和展望，值得参考。
8 z4 a% p0 L( a  k
. C9 p0 m. h* Y3 W反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
: B$ t: e% i( Z! R+ m) P是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
0 \" Q2 w; {$ b2 Z) W, i; i记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
5 v4 k* X5 m6 r/ Q6 D6 Vregularization for Fredholm equation of the first kind》
是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
) x8 o+ r& r. p; D的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
( G" j0 V: [6 _& g" \( ?《Inverse problems for partial differential equations》，
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
Ill-posed Problems》应该也是不错的。
- b- P3 {. p9 A+ I- C
在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
" w, w- `3 h) V! D5 C1 V书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
* B0 ^1 d) _% \: ?+ }1 l本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
$ ?0 {$ ~3 O7 M% f0 M读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
, S- C% N* x) ^' N5 A+ w8 _8 a化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
+ o8 Q9 G5 i- t! Q# t- Z" w了。
' u$ R5 A: ?  K! d) @! q
& f% v8 z) `2 v/ t/ z* r2 p5 I% B反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
) U3 i, T! b0 L8 z! R  F1 i+ @) [7 w' thttp://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
( M0 [8 w% h- c  f8 x, G4 L
3 _: D5 z4 A" [计算的热点似乎有两个特点：
1 v' Q6 p$ t7 ]# N! o* y! |6 K一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
9 G' x4 e1 ?( [% S中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
* w1 n& A) U# c7 J( r
8 |2 W3 N- Y; g" i9 R( {& w% e一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
  G# T5 K% B5 P. Q分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
" F6 W1 M& p# J; o) N) f9 `这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
你看了吗

8 i# b) K5 b# j9 D, I
6 D1 d/ l- z; m% r) f- `6 Q! B$ y回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊