数学建模方法（一）预测与预报

杨利霞

数学建模方法（一）预测与预报
（一）预测与预报

灰色预测模型（必须掌握）

满足两个条件可用：
  x, X2 z) }1 K1 o①数据样本点个数少，6-15个
+ a4 l; S/ W% A# E( N②数据呈现指数或者曲线的形式
0 d2 Q* R9 e) h' O% {
; @* M6 d# `: J, G1 @4 y4 M概述
0 f4 [8 Y% _9 ?3 Z) D7 W2 b关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。
! o' u8 j5 H$ x) @; Q) B
; M! H4 c1 u5 i. M原理
灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。
1 t$ [) w* L- Y: R/ J
分类及求解步骤
1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：
1 X2 y: E1 o* i* w7 @3 U7 M
* o2 V5 h& d/ C$ k
/ m; X# e1 a% s! L, k0 {
2 o+ Y* b1 ?4 R: y9 k3 ^# A4 E/ ?1 x2.求解步骤思维导图：
4 d$ F2 ?+ B% h0 d4 z; i" s
9 f* p' w& }0 V  n9 z
0 S' j/ G( Q6 T& P

• 实例
  : B- U9 E6 F+ l& |9 L3 {0 _1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通 平均声级数据：”

  
  

见下图：

! `- \! P" a" D9 [+ C) H

' _" X. \& b4 h2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：
- c+ I" h. U0 `/ N9 q) o
  C( L- c( h' Y3.灰色预测模型GM（1，1）
- }% A' a2 r. _  T  Z6 FGM(1,1).m

; o" H9 K5 t- O' C$ Q/ b. Z( `, P%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
syms a b;
7 \" q) Y+ z* p) B' l3 Yc = [a b]';
5 H% M, r/ _: c
; M. ~, ~  V$ T%原始数列 A
" Z8 G5 O4 r3 y( w5 _6 s! ^A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);
, _' W1 j, O. }7 c
! d# F9 b' X% w%对原始数列 A 做累加得到数列 B
& n5 Q% C( g% ~* x* e% x; ?B = cumsum(A);
6 y; K+ \  x5 d5 G: M9 r: i
( H; E( o1 u1 R6 ]%对数列 B 做紧邻均值生成
for i = 2:n
    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
end
C(1) = [];
3 v5 z4 A: a; |- p" ^8 t
  }) I. }( g2 C& N( x; r+ I%构造数据矩阵
B = [-C;ones(1,n-1)];
Y = A; Y(1) = []; Y = Y';
! Y* X6 A' q1 e5 Z" J( D7 z4 g) E
5 i+ J$ O6 O$ d# m: b3 ^$ w%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
c = inv(B*B')*B*Y;
) \/ R+ }. N: C3 ^  }& Q3 Mc = c';
: S8 ]3 K* |" G7 k& M3 M* `; [a = c(1); b = c(2);

' n/ ], P# x. _+ m# e* ^2 C%预测后续数据
( r) z% \9 @" k1 L" Q! FF = []; F(1) = A(1);
8 _1 x4 w( }! a+ N: {: X) yfor i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
3 y- R" B4 h, D( H, b, H' s    F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
end
: m5 T& q: s; A
4 j5 _( X) s4 X; A%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
$ O$ k% K* Q# KG = []; G(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %10同上
) F! }! g: Q% o/ e    G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
end

disp('预测数据为：');
G

6 S0 n7 ]2 ~  i3 Q* t$ t%模型检验
; }/ D# n# @% a
H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
  B, [# v5 u6 S. |%计算残差序列
$ X- E4 v7 m# t! Bepsilon = A - H;

3 C+ x& g" g/ X7 k% ^, o1 O* L%法一：相对残差Q检验
%计算相对误差序列
1 Q# C# v  K( f9 Y5 U' d/ F3 `delta = abs(epsilon./A);
%计算相对误差Q
) d. H8 b* |+ i# w( A# U; adisp('相对残差Q检验：')
Q = mean(delta)

+ ~  s( G) N  C2 G+ a, V%法二：方差比C检验
disp('方差比C检验：')
C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)
2 @0 M& O1 G2 w+ x+ Y5 A
/ v. h# h$ ^: w8 v% H6 a3 |%法三：小误差概率P检验
S1 = std(A, 1);
tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
7 e: i4 X1 ^4 b) Fdisp('小误差概率P检验：')
P = length(tmp)/n
& d2 o2 d6 f# o) @& z% l
%绘制曲线图
t1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
t2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...
8 W" \5 B3 h2 m* I6 [, V# ]: |" S
* b0 M- |2 ^. q2 k( H, eplot(t1, A,'ro'); hold on;
4 S5 a. s7 X5 h7 i( Q/ Hplot(t2, G, 'g-');
xlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
legend('实际污水排放量','预测污水排放量');
) U. |& V7 C: Q0 e8 j1 Rtitle('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
, y) @- v6 i. N, I, vgrid on;
, |1 e' e& q, A- D1 M6 I9 M

9 s6 c! \8 h. @. Q) q5 @% N9 U* J0 z
4 H+ K4 h' w. J