数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

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' A: h- `! `( q6 N  Q作者:July  二零一一年一月二十九日

% u  w' j# \/ r9 r8 v0 h4 m本文参考：
$ t* U4 R0 }1 E4 D0 N* p# }2 _I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
$ ^: C9 Y' n! n5 g3 eIII、维基百科

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5 X5 J9 ^3 Z/ d  D' l1 u3 y博主说明:
1 B' Y& N! ^1 P  ]; Y2 m. K; m1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
  c. J( b8 C0 x& l4 n4 r# k同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
/ [; M  v: Q; Q: d' s毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
) s4 C8 h! X1 y且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
! T2 n; X6 _" [$ i0 N& u9 `3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
5 o3 @) x# ?. T$ b若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
8 T' C- Q; A2 Z9 T6 K" o. M8 |  o6 t+ `+ L谢谢。

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2 _1 I0 y* `4 l1 D5 O0 v
1 y( ^- R; X, o9 C- d" C4 n一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
) N- C2 I4 P/ _3 K9 C1 D共同发明了，蒙特卡罗方法。

1 E7 I( n5 V9 }( z
0 z9 q9 m8 ?3 s* Q. c此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
; e$ i7 M( \0 t! T7 V0 ahttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

3 o- [( K5 O* W! `的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

法。
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, n4 _+ y1 [8 P4 ?- ?( Q( J4 M

' r" f5 f9 N3 \# D$ m" c% U2 L由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

' p* b9 \. A2 ?" x实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

0 `, V! k6 i% k; O  n* H% b5 u; B1 k，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

  z/ B# E5 D$ N为问题的解。
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有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

/ U, {5 \; g+ p$ u  ^度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

( ^+ y3 O3 @6 ~: h, F5 D后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

5 M+ I" X% W) d1 ~8 @，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

$ l, u" {; @, J$ e+ j拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

; O9 C2 A/ h9 `; g1 `# K  f8 i近似解。

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- S" K, K& d2 ~% f& W9 [5 E蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

+ m, A* p4 \: a' y蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
5 P8 J) G$ h$ ?I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
) n( E: h0 b  W  T6 `: d/ w  PII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
+ J; x& A  {  d  g5 PIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
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. Z/ N' P- ~& v% e5 Q% [6 e此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。


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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
) _( C/ H- n5 C" O. `
  Z: m9 ^) {5 p3 z6 c* M学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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( _# B, [8 ^+ C) v7 H9 D

2 g! z7 R/ [7 Z! H! }9 D此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。


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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
5 w* {+ s5 q& x" B( c" g$ U$ T数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

" B* A9 h+ G' c6 m7 a5 m% r、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

# U, z% |" X0 s' R需要熟悉这两个软件。



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! `2 n$ V5 x7 M9 y0 S8 f四、图论算法
! E- K* _8 d& M这类问题算法有很多，
" }# B$ W- R7 s* l4 W& B4 N5 [# X包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。



关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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& H4 n7 B  {6 y/ |& f经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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9 T: P' T* \" k- J4 N五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
5 z- W: k6 Q: k6 \, b% x. F在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
, m1 f+ o, o$ ~- }9 M7 H此外 98 年 B 题体现了分治算法。
+ h  }% V8 a3 X6 D" O! x/ q

& M# `( B/ E: q+ I) L9 \& w$ v这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
% E7 X9 d+ C( N推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。




; X  w/ u& H2 @+ D6 T( }六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

3 W7 p) o4 W. d, m( s& t7 A: l: U在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。


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8 |) H4 B" n/ G% S另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx



5 W; m7 ^. @; p0 h$ m; m8 t其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
5 ]4 s* Z% ~# k5 Y7 |, E比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

+ c5 P4 p$ Y; U& e7 I* c' o那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

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在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
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7 r8 k6 n3 z8 K, z. L) k6 p快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

% }: m( R3 V4 F: T1 l穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
' ?! |3 w5 L4 ]
; {8 w% G& J- r, W# J) V; q# Y中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


9 q2 h$ {7 }0 T/ D% b( K+ U这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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九、数值分析算法
3 J" _# R3 {) h4 H! q数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

5 x3 X$ P1 u8 Y) j+ k" v3 ~算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
+ w2 G1 U, n% X9 A- X因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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! n; V8 S. c) Y) f1 ~+ s! y  Z/ K
" u8 p4 f- U# v* T/ I3 t十、图象处理算法
) c: z8 d  p. p7 w/ @在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。


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此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
  H; l* s# D1 i9 x  a! T- Chttp://download.csdn.net/source/3007336


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本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
  ~0 a: t' |7 K4 Z日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
9 l3 \* E5 _- X" I! s3 s完。

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作者声明：
) f+ E  x9 K' Y本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
/ U0 Y/ C+ R8 n# L& b转载请注明作者本人July及出处。谢谢。二零一一年一月二十九日。
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总结的很到位，言简意赅

chace

谢谢分享，总结很好