数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

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2 |. X1 }( y3 b  c% r' d作者:July  二零一一年一月二十九日

: ~9 U" X7 G; s1 g! k& \- w本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
& p: W3 e2 @- `: x0 |* UII、 本BLOG内 经典算法研究系列
( j5 F7 a7 R# l8 ?9 w4 W" yIII、维基百科

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博主说明:
7 L3 E8 z5 q! M0 i. g1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
' e. l0 l% k/ y6 H9 O4 [毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
: G9 B1 c8 \7 b  m3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
4 R3 }/ C4 j& q; `若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
2 P( }4 @" U9 A& ~; K6 a8 Z* l谢谢。
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一、蒙特卡罗算法
  ~6 b6 O" D5 p$ O1 U/ A* @1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。


此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
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的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
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0 q/ m# L" y  s" t+ y! b0 I法。
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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0 F, ]. J2 a8 `: N- e1 v实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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2 g! z- U) M, X" {蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

, y; X! Q: q2 g/ H, e) v，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

) W) b0 g- I# s+ U为问题的解。

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有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
8 O9 G; t5 |3 q: w% w假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
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度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
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7 R1 T$ {2 W3 G9 j; B后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
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$ Q# F& I( w) V2 F，结果就越精确。
3 z3 U# i/ L3 f" b0 d在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
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拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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近似解。
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; u8 g$ d2 f6 ?! p8 Q- Q蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
6 x1 l" f* G3 f6 V! u1 h: jI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
0 _0 X* p* L2 ~3 oII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
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+ e7 q% Y( K$ S6 l* G' s此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

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" g- q& W) K6 `4 y  D二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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; [9 ~* ]: T' E, B( m学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
; a7 c* f  ]0 P数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
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" D% `# G5 |2 Z% T3 @9 L5 B、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

/ h, R; x& I1 v2 a  o6 A. A1 N完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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需要熟悉这两个软件。
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+ w9 j) C' ?" |  e( A四、图论算法
$ S3 k8 p1 C; \这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
' y; t4 D4 h8 W& \/ S' }5 S# e同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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+ Z$ ?& [( S( D6 c9 D/ c: b经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
3 o3 ]: r9 i  ~4 chttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
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9 t3 U; C) g1 L. b/ j更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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4 l$ ^3 ^/ z! {7 L1 m. r五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。


- T# K  H! K4 X! g7 P6 I这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

' l! W# i  u  P# K; U8 Y( v0 U在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
; l, s. J, U* B" B03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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0 F1 }0 {+ k( ^* ^& L% ~( h/ h另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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1 Z0 u9 L3 [+ f经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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8 e7 _( c7 s. g其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。


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七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
* X+ G( `2 K2 @: E' c+ g2 S比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
) R& A7 J* i2 L, R比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

! y& T% V$ `+ n3 X1 X3 N$ |8 \那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


& g0 @9 r  m2 o# ?) n% P在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
# R1 Q+ o/ U. F# W( c
# o, M) v" g/ G/ ^( w  n. o快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  


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八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
& @2 E- h2 U) H6 G& g事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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. g" B2 C$ j( Z5 h; |. ^+ x算法。
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

# Y. Q0 q' J9 z$ i# r7 U. T% A" h函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。




3 I0 }6 w$ a. G% {7 q十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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8 ]: U( V+ {/ ?6 w" Y& I& c, Y2 U' |7 \因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

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此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
& g8 t3 t# G  ~/ x- ]http://download.csdn.net/source/3007336

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0 j: A& P' i' }本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
6 w& b" f% b! S4 x日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
完。

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2 A8 R8 a" B3 H作者声明：
本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
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& _) x' s7 G6 Y" J
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总结的很到位，言简意赅

chace

谢谢分享，总结很好