数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

0 {3 M; q" {3 o4 R/ X, m今天学习了插值法的matlab实现。
; w0 k' q8 |' M& A* c+ b/ h  k我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

3 @8 f( N: `# g! V. f一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
( j; {8 H& |; w, p而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
+ w. @( E) P9 X2 @1 i- ~! R5 }
* g: L) s" X* U接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
" k  a0 H' \: E1 F, l$ ^0 X（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
: ~6 x+ ~0 ~0 o. i# ~② 分段三次埃尔米特插值：
+ |8 R* H! H! R) Q$ _4 F5 s  w
  w7 S  n  h, s! ]/ J- ]
  _* T. }7 F, D# R# i2）三次样条插值函数

其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
6 G" T, ?+ n$ R6 m* m/ r这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
" \( i( z" H+ n  [- r9 U. Q
. u: q% o; g$ @6 `/ l接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
9 O- a! y% }1 [9 k! Q1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：
/ A" }! D' p# f  u  n4 m- C5 a+ Q# x/ W
, y# o( @, v5 O2 [3 y) X（2）运行结果：


; t$ n/ l6 v+ k7 z$ w6 W2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：
' ^, G2 n! D5 Z# J& w
" g- L9 g( A' Y# _- M
7 ~( b( r+ P& e3 Q（2）运行结果：
- ~8 C2 y, L, N2 i7 c
4 E. n  }1 v( t, y" F
经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
! k+ z& N7 }% h" P1 N
3 L+ a9 I# R( K2 ^% d: I0 |, b注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
) F& ^4 A- h$ v5 B! P  Y原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
- g8 A0 D# t6 f. t( m- v/ ~5 E

chace

谢谢分享 努力学习
" J/ I( J8 O& N% L( P- o

张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~
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