数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
! v8 \6 X( e" R( G# w
; v& Y5 @. Q3 C) J今天学习了插值法的matlab实现。
* M( r" g( _) X! ?$ F' }. i& Z  e我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
. ]: Q! {* Z  z$ W5 X
插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
0 G# @6 {8 |. o: T
: a3 G: c* ?" T, Z# \4 L* o1 t. U- A一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
3 ~) T) e: }! S. p) T7 z
接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
; F' O6 \" U4 A" n① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
5 I+ {7 w( P1 x( C3 }② 分段三次埃尔米特插值：
  l* e  v/ _8 V& M
7 G3 h+ J( y; n( o  p* F2 J
3 d% S' ]: p! O# f$ R3 I! Z2）三次样条插值函数
" o6 M) @5 R7 }0 `- [
其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：

7 p: h+ \8 i8 Z4 M7 [, N, D接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：

( o7 P( N& ?! s+ W（2）运行结果：

; K  R+ ~  k: p
2、三次样条插值
8 ]  m, A: ^- D; x: ^（1）代码部分（pchip函数）：
3 I3 A1 S; M4 D% y7 z
2 k3 A/ e4 [7 }8 J$ ^/ X
（2）运行结果：
5 i2 b! J, h, ^2 d& @

; r* \1 Q# h7 R6 R经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
$ l8 E& \, N3 O7 T! i1 G) X; x
注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
4 P# D% D2 O9 j( b0 i
, n1 E0 f7 E0 o7 D1 i: @' \

chace

谢谢分享 努力学习

张迪迪.迪丽热巴

发表回复
9 \6 ~! R5 `( @/ V4 N! |

张迪迪.迪丽热巴

发表回复

xiEnqing

听说回帖加体力~