数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

; R: z% E7 A0 D' T& X  _# j今天学习了插值法的matlab实现。
: @3 m- |  w  \2 s" q3 J我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。
$ D) Q  F; d$ W# b  w
8 ^0 b, X  P9 l' Z插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

  @/ l4 I% \1 O, [. E, m' H8 Q一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
9 \) J( H5 `" m! [5 J  Z而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
) r  X; P2 I) Y+ e3 ^; k$ a这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
& j  ]' i' R9 ~% s* a
/ n; }8 a, @  _7 B- t接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1 ]8 {& K: b2 R5 E* i! X* i9 Y: H1 b* J1）分段三次Hermite插值
0 N3 o0 [" L& D' K* M① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
) a" O! T9 h& f（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
& I1 q! C' K! n" x. l3 Z  O② 分段三次埃尔米特插值：


2）三次样条插值函数

, y+ c8 B' `3 S, \4 H& }其次，再用matlab分别实现两种插值法
这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
( A! ?5 M6 x: Y( h这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
1 @7 d3 e+ i* @0 }9 W* T8 z7 Z% m
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

这是我写的代码：
! N( k, \# D3 I+ Z+ L1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：

3 _1 t5 S3 G# Y: t' u（2）运行结果：

- V0 s( V3 V$ k% E: ?
# N6 c: f+ e# F8 y0 n! V/ E# c2、三次样条插值
* w: l+ N$ n* W/ t（1）代码部分（pchip函数）：


5 C  V$ K' g% N5 Q( ]7 f（2）运行结果：
9 A/ c2 p" ^. W% v  E9 @( j
/ n9 H" Q; {' r: I
- z3 h* `, t- @) y经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
1 C* y6 B) |( {3 u3 |
注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
7 |6 U" s, ^5 |8 ~& V, N* t1 Q5 k原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616

6 J, m. y# }* d1 ?/ a% n, r8 ?

chace

谢谢分享 努力学习
/ m. y0 Z* q2 q! W

张迪迪.迪丽热巴

发表回复
  l0 H1 z# P; R/ K9 j( F

张迪迪.迪丽热巴

发表回复

xiEnqing

听说回帖加体力~
9 ^9 {8 N. X; p/ {3 c$ F