复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）

杨利霞

& h* U6 V2 {& i1 U, T- z( a9 e复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
一、SIR模型简介
7 q7 y" J5 B. w3 C+ O1 l
3 g  J, A: t  Z( Y0 g; ?在典型的传染病模型中，种群（Population）内的N个个体的状态可分为如下几类：
& _' g/ r+ y' z& F4 Q
(1)、易染状态S(Susceptible),即健康状态，可被感染的个体。

(2)、感染状态I(Infected),处于感染状态的个体还能够感染将康状态的个体。
* Z) O7 V0 _6 w1 `; [
+ c# C6 N# P- }) x. X9 j* v" g2 h5 ^- X(3)、移除状态R(Removed,Refractory or Recovered)，也称为免疫状态和恢复状态。一个个体经历过一个完整的感染周期后，该个体就不再被感染，因此就可以不再考虑该个体。

另外还有病人的日接触率λ，日治愈率μ

! ]" h# S2 V$ j! ^这个λ是针对于病人而言的，代表了一个病人接触多少个人。而可接触的人包括除自己以外的种群中的所有人。

- o* p- a! y4 u/ w4 R4 utips:

1.初始时刻，只有少数个体处于感染状态，其他都是易染状态。

2.假设病毒的时间尺度远小于个体生命周期，从而不考虑个体的出生和自然死亡。

3.一个基本假设是完全混合（Fully mixed）,也就是说一个个体与其他个体接触的机会均等。

. P+ D5 M2 |4 G. @: Z7 |! Y二、模型中涉及的方程
) W  F/ d6 \% @: {/ ?
1.S(t),I(t),R(t),N(t),N
! u# t" J4 i- @! E' N; b
$ ^6 j+ e/ t) u+ P. TS(t)的意思是第t天健康个体的数量，I(t)是第t天感染个体的数量，R(t)是第t天免疫个体的数量
- H" O/ A8 y( t7 K9 L
0 g2 R8 v4 h6 ?N(t)是整个种群的数量，在假设情况下固定不变为N


! Z! t  L: P" n5 ~& L+ K
& Y+ f1 ^' s* l) G2.s(t),i(t),r(t)
3 s+ k- v; G0 J
: w5 a" {/ W9 j. l0 ]1 l, G# h
6 i3 r, m8 m4 ], @2 X
由上方公式可以看出，s(t)的意思是t时刻健康个体占总个体的比例
( P9 Z$ q$ r* Z3 K
3.关于S(t),I(t),R(t)的微分公式


其中S随时间的变化率是这样理解的：
9 q' P! U$ `& Y; @( N+ M; q- k0 ~4 W4 s9 C

6 @! G! L$ w$ wλ作用于S(t)和I(t),是一个病人的日接触率，这个病人可以接触健康人，也可以接触病人，但是接触病人不会导致S有变化，所以有效的变化是这个病人接触健康人。
. l  L& n; a" f' W
如果λ等于2，也就是说一个病人每天接触2个人，这两个人是不是病人不知道。

; n% ^) H& Q% R# ]6 L如果λ等于0.5，也就是说一个病人每天接触0.5个人（有0.5几率去接触人）
" N& L! v2 t- `# {+ C5 K+ p
  N1 A3 P# i' M那么λ×I(t)就是所有被接触的人的数量，要把里面有效的人拿出来
! D* P+ }/ m' W( W& h1 a
有效的人的概率是S(t)/N。

这样应该能理解了吧，我理解这个公式用了好久好久，简直是一个傻吊。

! K1 U3 W0 ?& F% h+ T# d, A, I网上有的文章i(t)和I(t)不分，导致理解公式特别困难。

: O! J& c) e1 \% |  p最后作图都是用的i(t)，s(t),r(t)随t的变化的图像，所以纵坐标是一个百分比。
, A' M$ n3 v! X2 q4 b2 x" R; f! _
, M' Q2 a; r) p. J7 `; Q# A1 u, K4.关于s(t),i(t),r(t)的微分公式
, y* I2 P, ~+ c4 R
& M6 G/ j: G1 @; R* Q! ]' f* M$ [

: u7 \; x6 S0 O7 o8 O  d( j( J* F这里细致地做了微分公式的推导，方便大家理解

0 `6 C3 l5 e: ?% G9 f) x' |三、具体模型

4 f% V( y+ H! c" n+ r% d1.sir.m 脚本
. O3 u, @& Y  `# k7 G% L* b
$ G# q- p6 d8 Jfunction y=sir(t,x)
a=0.8;  %感染率0.8
% Y% E2 x1 E' {4 b# ]( ~b=0.2;  %治愈率0.2
4 S5 E1 _$ @& W+ Xy=[-a*x(1)*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2),b*x(2)]';
%s变化率,i变化率，r变化率
& A6 O% C% _7 |5 |# Y%通过这三个微分公式，求出s,i,r随着t的变化图像
  {/ s& x; z/ ~4 l, O( E! ^, I2.实际运行脚本 sirrum.m
9 r3 e- Z0 p, t4 V8 x1 Z8 ?
[t,x]=ode45('sir',[0,50],[0.97 0.02 0.01]);
%ode45参数：1.函数句柄or函数名 2.t的取值 3.3个y的初始值
%ode45是用来求解常微分函数的方法
%原问题只知道变化率函数，这里求解原函数，用到该方法
- Y$ R) f$ A  v* g2 z. K[t,x]   %不加封号，作输出用
, U, m+ h% y/ l" a7 x& m# [# |plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')
四、小结



搞了一下午才把那个公式看懂，网上的公式不好好说明清楚，很具有迷惑性，可能他们也没了解这个小写函数大写函数的区别。
& c( A" a3 Z( |' Z" Z6 T9 h8 A
在豆瓣《猜想与反驳》一书底下评论中看到一句有趣的话，摘录如下：

每个知识分子都有一个很特殊的责任。
( d7 ?; Z% X7 Q! O% ^: |6 {3 [2 r
他拥有学习的特权和机会。
/ S7 i) _' H: |$ `- `! Y. V
2 C: Q, k1 D* ]* I7 [5 F作为回报，他对于同胞（或对于社会）有责任尽可能简单，清楚，谦虚地描述他的研究结果。
" C, ]( d0 ]" S1 D- }, N
知识分子所做的最糟的事情(主要罪过)是，
- U" M9 M0 F; x' N! t% d
试图对同胞自命为伟大的预言家，给他们留下令人迷惑的哲学的印象。

任何不能简单，清楚地讲话的人最应住口，继续下写功夫，直至能这样做为止。

: @' f1 l; t$ `; e, i6 ]所以，有什么问题都可以问我，如果我能帮你的话，虽然我也是一只很菜的菜鸟........
$ D4 j1 X, a/ K3 F" y8 m# n————————————————
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6 f- v9 ]0 O9 J  H! n2 w

2863358207

总结的太好了，我微分方程就是会建立，但是不会编程，感动哭了
( A1 n" E1 ~' a! Y7 O% u- B

FMLXQLJN

你写的很详细，很棒。
+ d5 b6 Y! W( i  x( E) Y

nmslaaaaaa

这个没考虑潜伏期的
; d4 o3 E2 w3 j" x7 x