复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）

杨利霞

复杂网络实验六：SIR病毒传播模型（matlab）
! k, f- f/ @$ q/ v9 u2 {一、SIR模型简介

在典型的传染病模型中，种群（Population）内的N个个体的状态可分为如下几类：

(1)、易染状态S(Susceptible),即健康状态，可被感染的个体。
) P# E3 i+ y* u; b) ^* U5 ~
! z& ?- m' P3 K(2)、感染状态I(Infected),处于感染状态的个体还能够感染将康状态的个体。

2 ~1 Z* Q& d' |" b- Q(3)、移除状态R(Removed,Refractory or Recovered)，也称为免疫状态和恢复状态。一个个体经历过一个完整的感染周期后，该个体就不再被感染，因此就可以不再考虑该个体。

* S! j4 Y( t, d4 Y! @另外还有病人的日接触率λ，日治愈率μ

5 C7 U3 s) o) u; Q$ j这个λ是针对于病人而言的，代表了一个病人接触多少个人。而可接触的人包括除自己以外的种群中的所有人。
/ g- @4 j% H, u1 s* w
tips:
6 P; F* }/ M0 J: m1 A5 ^
1.初始时刻，只有少数个体处于感染状态，其他都是易染状态。
" M) R" y: r' e9 G
" |0 p* T% t# {6 T1 \. E1 F2.假设病毒的时间尺度远小于个体生命周期，从而不考虑个体的出生和自然死亡。

3.一个基本假设是完全混合（Fully mixed）,也就是说一个个体与其他个体接触的机会均等。

8 ^* y% d& y1 Q0 ?  p二、模型中涉及的方程

3 W) k+ r( }+ o% w6 a: `! c1 k. [1.S(t),I(t),R(t),N(t),N

S(t)的意思是第t天健康个体的数量，I(t)是第t天感染个体的数量，R(t)是第t天免疫个体的数量

, b0 @1 }% g, }1 c/ nN(t)是整个种群的数量，在假设情况下固定不变为N
2 K9 A7 w3 f' g$ X
9 g) S# R* E  X3 w4 z! H

2.s(t),i(t),r(t)
. w, F. T# x1 T6 u! }% e- P

' d' O3 ^% y5 Y' r
由上方公式可以看出，s(t)的意思是t时刻健康个体占总个体的比例

3.关于S(t),I(t),R(t)的微分公式


3 \& J9 \: @  @% U; h8 G+ B其中S随时间的变化率是这样理解的：
' I5 P7 A" t8 ^- W  G6 J

- O. @( z: Y# m8 W5 Gλ作用于S(t)和I(t),是一个病人的日接触率，这个病人可以接触健康人，也可以接触病人，但是接触病人不会导致S有变化，所以有效的变化是这个病人接触健康人。

: R1 ?$ A( n; u: }如果λ等于2，也就是说一个病人每天接触2个人，这两个人是不是病人不知道。

9 B2 q9 o( `9 I- o2 V# B8 l5 n如果λ等于0.5，也就是说一个病人每天接触0.5个人（有0.5几率去接触人）

那么λ×I(t)就是所有被接触的人的数量，要把里面有效的人拿出来

有效的人的概率是S(t)/N。
/ c8 B# J. W3 S* C
  \4 [5 R* i/ u. c6 v这样应该能理解了吧，我理解这个公式用了好久好久，简直是一个傻吊。
! C1 D; X3 f( k  f9 b- [. m
网上有的文章i(t)和I(t)不分，导致理解公式特别困难。

最后作图都是用的i(t)，s(t),r(t)随t的变化的图像，所以纵坐标是一个百分比。
6 _) h3 ^9 l. |! p: J4 k6 f
4.关于s(t),i(t),r(t)的微分公式



这里细致地做了微分公式的推导，方便大家理解
- Z6 @. u) c. E* L# S. C" u
三、具体模型

; B) z5 x* N2 l5 K% \% J1.sir.m 脚本

function y=sir(t,x)
! E( \* S1 w( ua=0.8;  %感染率0.8
7 `/ m/ a( c! ]" Sb=0.2;  %治愈率0.2
* Z% d/ M8 A* U- {& L& J. jy=[-a*x(1)*x(2),a*x(1)*x(2)-b*x(2),b*x(2)]';
) R7 z* C. z1 C+ K8 }%s变化率,i变化率，r变化率
7 J, m  z( [0 ]4 M0 Z$ K0 r%通过这三个微分公式，求出s,i,r随着t的变化图像
2.实际运行脚本 sirrum.m

; n$ E% t5 x& H6 L" I+ z9 _[t,x]=ode45('sir',[0,50],[0.97 0.02 0.01]);
%ode45参数：1.函数句柄or函数名 2.t的取值 3.3个y的初始值
, X: f- q6 V. Z% L' ]; w%ode45是用来求解常微分函数的方法
%原问题只知道变化率函数，这里求解原函数，用到该方法
[t,x]   %不加封号，作输出用
& E; ^; t$ q- [; T/ _* tplot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')
四、小结

: Y" k- w& E  \. H
2 O( K$ w& ^5 z( h# x6 t. p
搞了一下午才把那个公式看懂，网上的公式不好好说明清楚，很具有迷惑性，可能他们也没了解这个小写函数大写函数的区别。
3 C7 ~4 V3 D6 j  l' m
在豆瓣《猜想与反驳》一书底下评论中看到一句有趣的话，摘录如下：

/ l- z# a  w# S5 s( [每个知识分子都有一个很特殊的责任。

他拥有学习的特权和机会。
- c; f; i& {. U/ t: R6 i# i: P
作为回报，他对于同胞（或对于社会）有责任尽可能简单，清楚，谦虚地描述他的研究结果。

3 l- @* d& K3 F2 _知识分子所做的最糟的事情(主要罪过)是，

试图对同胞自命为伟大的预言家，给他们留下令人迷惑的哲学的印象。
4 r0 }8 r. j- H9 k/ L
任何不能简单，清楚地讲话的人最应住口，继续下写功夫，直至能这样做为止。

5 d' o- W2 n) p; Z所以，有什么问题都可以问我，如果我能帮你的话，虽然我也是一只很菜的菜鸟........
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( P9 G: ~2 H  e- V% l8 I, y4 O! @

2863358207

总结的太好了，我微分方程就是会建立，但是不会编程，感动哭了

FMLXQLJN

你写的很详细，很棒。
# X1 y  s  m. p; c

nmslaaaaaa

这个没考虑潜伏期的