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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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1 图形界面解法简介* R B1 R4 ]7 y7 g( o% n0 z: k$ d
对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:
+ `+ ^& E/ D4 p; V: |4 [* S" |8 J1 h# P" y+ I9 z# c
(1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。, O2 F' v6 V) v) P+ j0 `
' l( q6 z4 H" V- [4 ?(2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。, m3 V* P) U/ |9 K% c$ X9 c1 ^
# }6 k1 T+ J4 e' a1 {# r, t U(3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。
8 x; e5 M: i: M* |1 r7 W" w D1 }
在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
8 N4 [- I& F" s; A. q+ c* t% w/ t: E2 b" W; t
![]()
) ~5 j9 C Y f7 i
, L5 d) {3 F: Y. K2 图形界面解法的使用步骤2 J; \$ X4 q5 d8 S
要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:. W' j# ]* s3 l
: E' _: f6 I7 Q n! D& h" @; }(1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
; a) ^( `4 _ |/ n+ j; `3 Q
; w- |4 O2 b% }(2)利用 boundary 模式,指定边界条件。
& N) Y) X2 Y; t9 k0 m
, m, }4 x) V! R0 c; c% P* l" e2 `(3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。2 i7 r& j9 o/ S ^* ~+ S
: ~* P& R( p( x. B在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解
3 z1 F' g* f$ L
+ J, F8 ?/ Q4 J' E4 k0 C(1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。8 i( F( P+ d) x F! K! z% ?
. I6 ?1 a( d7 U) a
(2)在 solve 模式下,求解。) E* ?$ r& u1 E% q) r( {$ K1 k
! Z! }9 H3 r! }4 S o9 R
(3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。7 a0 w$ w/ [9 E! h# ^. E3 n/ n
+ x! p9 b( r4 ?; P8 t![]()
# a- H8 _% O5 {/ x
9 Y; |& X+ ~5 C7 j$ ~* g2 L![]()
+ P5 N& s0 R M+ x2 Z" a( y$ f, f" }% e0 H8 Q
4 q9 n4 _6 ]8 \# y5 z9 o6 W; t : m6 |$ T8 D5 G( L* k1 W9 P
8 m0 J) o. B3 D* b2 {
6 s1 d# z$ V9 b; Y1 \
8 c8 F7 k( S8 ^# c
注意:
1 Q* P3 _" @$ A! L4 Z: ?! j3 I8 g' r. H
1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。$ ^. M' A7 C: P: M. L' Z" K7 u6 F: l
" \5 k7 j3 O9 x![]()
3 ~$ ?; Q$ d8 o( g* a6 _
3 e( X1 X1 K; W5 q8 v2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。: m3 q S& ]+ p
! `$ Z$ O( q7 }4 x9 D- o) N4 }
3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
8 C' w/ u7 b4 j) P) @
: A7 a3 U: f& T: H e2 K5 Y( @4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。
( U. a1 a9 |' @. Q8 m
' T8 ~- D% N. L+ v(1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。; R1 O9 H8 S/ \0 [
7 i+ U; t* s2 e. m1 [0 X5 ?% m/ d+ D
(2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。( {, T, L* Y! z# N7 J+ j0 G7 D% d
9 I% S9 Z+ U/ G" ^7 p
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
5 X2 `& h7 N$ |8 x; D. v) @
3 a! y0 U" c! `0 P, r 例8 求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程7 \/ j( E& ?! q3 v& }& G" Q( s$ x
2 s4 k% D) P$ Q6 X& J : W/ m" k" V; I q6 o: }. ]) G
# T0 L9 T& x. {
边界条件为Dirichlet条件u = 0。8 a, R3 g# j% G% B- e/ ^% |; @
, T# ?* b! e6 t5 c( ?
解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
% {+ \' q, y! {# J. \7 G- j* j `- V }7 s( Y( H8 J" S
1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
8 D! W4 v5 V* I8 Y; a A+ }, E1 r" N3 h& q; ~
2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。$ k, p* H( I9 E
9 T1 |! Q+ b# ^6 \5 z3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:, k' m. I- q% @. A
2 Y9 P* ^' ^) t6 w/ wfunction f=fun1(x,y);
2 t/ N: X/ R$ G Q+ P1 I0 T3 Zf=zeros(length(x),1);
* U1 u+ E1 k: i; Wix=find(x.^2+y.^2<0.16);+ p Q/ _5 c, D. z
f(ix)=1;
2 n, T4 D' I5 z0 N8 q! g( E( ^; ~9 r
其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:
- x3 K# ^& d! e/ r5 }; W( N# B) T, m4 }& s# L0 t% h
时间框中输入:linspace(0,0.1,20);) }: s5 t. c+ y' S& O/ h! K4 g
- i% E+ r+ U5 _4 \1 ?$ K7 L% g初值框中输入:fun1。; M8 V8 N( J4 E9 I% Q. P& f
8 Z) ?3 l; y P: d8 e% Y4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
0 K5 I5 @8 y8 a" |+ s) W: t* ~0 q6 q5 B# G
5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。
]: S/ |% N1 f( F, h, G v2 ^
8 y: t, }2 b" q" A
1 x: v; x: y7 H0 @. n+ M$ q" }————————————————
9 d' _8 n1 {# X L7 K2 ~版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
4 A/ o2 V7 t& f; Q& `0 ^原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
. A3 g% {; C- }6 W1 z1 S5 H% O+ X( i- `
2 @/ F7 R. j% I4 b |
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