偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
+ `+ ^& E/ D4 p; V: |4 [* S
（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

' l( q6 z4 H" V- [4 ?（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

# }6 k1 T+ J4 e' a1 {# r, t  U（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
8 x; e5 M: i: M* |
在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
8 N4 [- I& F" s; A

) ~5 j9 C  Y  f7 i
, L5 d) {3 F: Y. K2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

: E' _: f6 I7 Q  n! D& h" @; }（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
; a) ^( `4 _  |/ n+ j; `3 Q
; w- |4 O2 b% }（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。
& N) Y) X2 Y; t9 k0 m
, m, }4 x) V! R0 c; c% P* l" e2 `（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

: ~* P& R( p( x. B在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
3 z1 F' g* f$ L
+ J, F8 ?/ Q4 J' E4 k0 C（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

（2）在 solve 模式下，求解。

（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。

+ x! p9 b( r4 ?; P8 t
# a- H8 _% O5 {/ x
9 Y; |& X+ ~5 C7 j$ ~* g2 L
+ P5 N& s0 R  M+ x2 Z" a

4 q9 n4 _6 ]8 \# y5 z9 o6 W; t



注意：
1 Q* P3 _" @$ A! L
1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

" \5 k7 j3 O9 x
3 ~$ ?; Q$ d8 o( g* a6 _
3 e( X1 X1 K; W5 q8 v2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
8 C' w/ u7 b4 j) P) @
: A7 a3 U: f& T: H  e2 K5 Y( @4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
( U. a1 a9 |' @. Q8 m
' T8 ~- D% N. L+ v（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
5 X2 `& h7 N$ |8 x; D. v) @
3 a! y0 U" c! `0 P, r                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

2 s4 k% D) P$ Q6 X& J

边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
% {+ \' q, y! {# J. \7 G- j* j
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
8 D! W4 v5 V* I8 Y; a  A+ }, E
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

9 T1 |! Q+ b# ^6 \5 z3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

2 Y9 P* ^' ^) t6 w/ wfunction f=fun1(x,y);
2 t/ N: X/ R$ G  Q+ P1 I0 T3 Zf=zeros(length(x),1);
* U1 u+ E1 k: i; Wix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;
2 n, T4 D' I5 z0 N
其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
- x3 K# ^& d! e/ r5 }; W( N
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

- i% E+ r+ U5 _4 \1 ?$ K7 L% g初值框中输入：fun1。

8 Z) ?3 l; y  P: d8 e% Y4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
0 K5 I5 @8 y8 a" |
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
  ]: S/ |% N1 f( F, h, G  v2 ^
8 y: t, }2 b" q" A
1 x: v; x: y7 H0 @. n+ M$ q" }————————————————
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4 A/ o2 V7 t& f; Q& `0 ^原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
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