偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
, ^" w5 [8 x5 u$ N' `! ]
( [5 E9 h5 `7 D（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。
, _& P: S/ z. l# A
（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
/ T, g3 Y7 l: l, _7 E/ O. b
（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
1 G# t% |% Z$ E7 ]4 n/ }
在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。



' b4 ?4 A" I0 a. _/ g, |  D( p2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
% ?: b& _5 U4 Z0 I
$ z1 a, }: V% v6 G9 j! Q（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
4 A& L# {8 q$ @
) n5 j1 _6 U( |# e（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。
$ Z3 o6 t' K0 d8 ~% ^
（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
" y; j6 |* i" T* K# j2 t5 z
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

, I! X% P8 Z9 h9 q（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
& b9 a" j  n4 o( f7 u. {
2 O* Z# B- Z. q/ i3 d（2）在 solve 模式下，求解。

（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。


" M6 u9 s& @' t( s, Q% D

4 Z$ R+ K% x3 Y; D
! f  ]( n# M$ [3 H
5 j: X' N1 {1 B- b; u
" `- k% t, B: d, `$ a" }% P


+ P( g# y2 X& {* k0 W6 m9 t注意：

1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
: a. p6 L% t4 j& Z


2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
- _% t* [/ ^# j& o) T; W- ^3 P/ x9 a
& w1 v- G3 e; X* O3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
' }4 ?5 `1 U$ l* }+ C: y0 E) d3 |) L: p
. X" k4 g% y7 h  E. T4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
% y0 j, H) [! ~! U8 M
+ K& h# r: m! Q, b* r5 D（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
. G* \$ C6 R. @" ?* F4 k  m' t1 R
" Y3 I  j) M* G+ f（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
4 D, R# ~- h/ r9 E1 h
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

* D  R9 l. V  f0 T$ i) d

3 R9 t! p- a9 B. P% A4 Z; t边界条件为Dirichlet条件u = 0。
+ n( O8 J$ T, r1 ~) f
解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
! i# ^9 j& L4 X! l  h- D* g% N
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
+ e8 ~" D2 i4 Z7 _; W
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
( W: \( D/ U: f8 m2 y9 t- i; U
! e5 O  |. M' X  r- }- W) h/ Rfunction f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
) ]/ A+ Q9 {1 t: ff(ix)=1;
' K4 S! O0 t4 d( r+ r5 h- w
其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
' O+ g- ~/ ~8 W9 T8 U0 h; i
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
" t% I8 f, p7 D4 \; Q: g% y
8 L4 `* X: v2 J$ c/ c初值框中输入：fun1。

4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
9 D7 [$ ?+ w- \# a9 C9 {. p* M
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。

0 M* Q. u; N" y- [& d; {$ ?; R8 B
9 _6 u. s3 }6 C; y————————————————
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  a! ~5 P8 I6 m: L5 i! S9 K2 G8 p