偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
' Z1 _5 X: b" y) m
: G: d- e) \$ J. s0 [1 K（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

+ x& N& y! z/ f0 t  i' x$ }（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

  u' H# @9 x- {* z' o5 T（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
' m% {) _9 r; a
在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
& B* O, H1 p+ b2 V: v4 C+ o5 d
- e3 Y" ~8 r/ i$ Q$ K: U

2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
0 y! n' p+ o" Z
; y8 ]& l( U& o4 j- {  H& v% g（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
8 F/ ~1 x0 h9 z9 o9 ~
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

* o, z" G! n- ?5 d" X( E  {（2）在 solve 模式下，求解。
" P6 r( A4 z% \+ V# `7 G
（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
7 _- o+ p* _; {) |/ a! A5 C

6 c: `' @1 T/ r3 e  B: w3 `



6 e# n/ d( o$ T$ f9 `: g) ]) v
2 `8 y* y+ n( m0 \& S+ z


注意：

$ J0 j& G  d& C# e1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
- g+ a$ g  H$ R- m( E% L
2 u0 i* K2 ^  v1 b# w& Y
* I$ i1 e% t# n- ~/ ~
2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

- R' x8 w% y0 S# w# g+ P3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

/ t3 X# b3 F6 r8 o4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

( R3 Y8 B" P2 T0 x例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程



! p5 z# l: ~& z4 K  i" Y* g$ V. b边界条件为Dirichlet条件u = 0。
, l+ {( L* I( e6 E1 b) O6 {
解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
+ l5 h( }: _) U7 _5 s" l
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

9 |1 k/ o! ?! _2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
6 a# G. x* i& i/ Q* ^
3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

8 p" H4 t" i. z: z  @- Rfunction f=fun1(x,y);
# `' y: x, f7 c4 m4 Pf=zeros(length(x),1);
% k, G- ~- }5 D# j3 J6 oix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;
  F9 {- `, Y( \/ e# M# @$ f; Y% D
; I+ a% X* }5 O4 t其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
$ Z* |0 r) p, k' [
8 ^% A( t( T9 I. _: q) T时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

& `: R8 J5 _4 q6 H6 E初值框中输入：fun1。
  c7 Q# |, R5 _4 |0 A1 i9 V
1 G& c* c1 R7 g0 u5 F& j. |4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
" ~: Q/ O1 M+ x' J# s
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。

5 j; {4 i4 U4 Y( L+ q/ [# s
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$ d7 s! c* w( d2 d5 N/ a
1 [% ?3 y9 C- U