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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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1 图形界面解法简介2 X8 B+ u+ z. L% G b% |
对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:
' Z1 _5 X: b" y) m
: G: d- e) \$ J. s0 [1 K(1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。/ P& T* a ^7 Q2 n; s4 _8 `) k/ Z
+ x& N& y! z/ f0 t i' x$ }(2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。! j2 U2 Q) C. P. P1 i
u' H# @9 x- {* z' o5 T(3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。
' m% {) _9 r; a) |" I# J9 }7 Q' q% K `$ j( F, g
在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
& B* O, H1 p+ b2 V: v4 C+ o5 d
- e3 Y" ~8 r/ i$ Q$ K: U ' m! A% O' q: s, W# R
$ c# D3 `* ^' ^/ C+ V6 Q3 G8 w
2 图形界面解法的使用步骤2 J8 n9 [2 k8 ^) [
要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:' F2 ~8 [/ x6 Y! h* j
4 ^. C/ _+ N/ m0 p1 S8 X* g
(1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
0 y! n' p+ o" Z
; y8 ]& l( U& o4 j- { H& v% g(2)利用 boundary 模式,指定边界条件。0 d# |( Y) J1 C9 t. a/ d; Y5 l
( a/ X& S4 E. |, H! d& s0 ?
(3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
8 F/ ~1 x0 h9 z9 o9 ~; P$ Q _* O, R0 J7 C) h4 X
在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解) b$ y, F. ^+ y( p7 h' ]7 T( P. y$ ^
! o4 N* K$ k2 ? ~
(1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。* Q2 B* D% ]. ?
* o, z" G! n- ?5 d" X( E {(2)在 solve 模式下,求解。
" P6 r( A4 z% \+ V# `7 G% q @/ E5 Z$ O6 q
(3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。
7 _- o+ p* _; {) |/ a! A5 C1 l+ Z) I2 R4 A
![]()
6 c: `' @1 T/ r3 e B: w3 `+ h9 ?2 e4 I% X8 I; l0 |
) A: ?" }1 [+ H! b/ R
+ {# V% j; I: x7 X' w3 r, J! f
6 e# n/ d( o$ T$ f9 `: g) ]) v![]()
2 `8 y* y+ n( m0 \& S+ z- v' u+ |( i# k' T7 S- [% B, I" w/ P
% Q2 M: J2 _. U
4 k" r' K! ^; J, Y" G/ x
注意:% `3 y8 k. U3 {1 J
$ J0 j& G d& C# e1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。
- g+ a$ g H$ R- m( E% L
2 u0 i* K2 ^ v1 b# w& Y![]()
* I$ i1 e% t# n- ~/ ~* [( V% r% @( K. F$ u% r+ e
2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。# S" U- R" R. Y8 R/ r, |" H, g
- R' x8 w% y0 S# w# g+ P3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。) m+ S8 U& Y1 m4 i5 Z0 \+ |2 x
/ t3 X# b3 F6 r8 o4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。8 z* i: c$ E9 B7 ], }% Y
) x5 h, t, Z) o2 z
(1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。) B* O! s9 R3 Q1 V6 M0 @
# m7 K# T; [: @! p8 l# }1 D4 [
(2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。0 q7 J$ h+ H& n d8 X) |
( R3 Y8 B" P2 T0 x例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。1 k& {8 W) |& t% _
6 F2 T4 a& x8 m* [4 b. i
例8 求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程2 K% l. V4 h" A3 y
0 C% O/ m# S1 u
& g" S, P$ X! }, E# P+ U
! p5 z# l: ~& z4 K i" Y* g$ V. b边界条件为Dirichlet条件u = 0。
, l+ {( L* I( e6 E1 b) O6 {! A5 n q+ W) f$ t. _0 i% R, M+ ^' b
解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
+ l5 h( }: _) U7 _5 s" l- e0 Q$ p+ t, B/ k
1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。6 R: b' O# ~5 ]' v
9 |1 k/ o! ?! _2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。
6 a# G. x* i& i/ Q* ^! {: d, P6 g6 [; `: W) T1 t- O
3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:- m3 T4 e+ {- m
8 p" H4 t" i. z: z @- Rfunction f=fun1(x,y);
# `' y: x, f7 c4 m4 Pf=zeros(length(x),1);
% k, G- ~- }5 D# j3 J6 oix=find(x.^2+y.^2<0.16);% X+ D3 H3 c/ `2 j0 l, |8 B$ C
f(ix)=1;
F9 {- `, Y( \/ e# M# @$ f; Y% D
; I+ a% X* }5 O4 t其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:
$ Z* |0 r) p, k' [
8 ^% A( t( T9 I. _: q) T时间框中输入:linspace(0,0.1,20);5 i% C* p& r* M+ s7 }5 ^& L& {
& `: R8 J5 _4 q6 H6 E初值框中输入:fun1。
c7 Q# |, R5 _4 |0 A1 i9 V
1 G& c* c1 R7 g0 u5 F& j. |4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
" ~: Q/ O1 M+ x' J# s1 J8 \. S# {. f2 H5 P% d
5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。5 z, i! I3 |! z, H7 F
5 j; {4 i4 U4 Y( L+ q/ [# s9 s, s( Y1 G4 I" _7 |8 q
————————————————6 h7 e; P: [, z# v9 N0 E$ G
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$ d7 s! c* w( d2 d5 N/ a
1 [% ?3 y9 C- U |
zan
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