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[建模教程] 偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法

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    发表于 2020-6-10 10:34 |只看该作者 |倒序浏览
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    1 图形界面解法简介
    - p) L0 h. k. U" i1 ~! B/ ]对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:! F8 K$ c6 p$ g. z
    0 A- l6 @- K  N1 H* I* o
    (1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。
    $ Z" i" N1 U; a  Y' @6 {0 P9 m9 v. r2 {
    (2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。
    8 j% F- R5 z' h8 K: u/ X9 o; I& a
    (3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。2 b0 @& F  v' e2 @$ {! x5 s1 b8 O, G4 c

    4 `9 }7 B4 c7 d* M* t9 u在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
    1 i3 D4 I8 R" m& m! t; m! |
    ! }4 |# ?) j% o+ m8 f# R  j1 j
    % d: x. c1 l) g# T1 q
    & v, U2 g, r: N' j. J2 图形界面解法的使用步骤- S9 b9 j8 k+ K) r# D! g
    要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:
    3 n' I  f) f/ ]/ A4 O& V+ \) S' \. [: ^
    (1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
    5 I* m8 l, Q+ c" l3 F& t  C! ~( `! i/ x
    (2)利用 boundary 模式,指定边界条件。- k7 V" y7 v5 n2 a
    & X# `0 p" K# f# g; Y" f8 ]
    (3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
    5 D$ p% A+ }2 O/ e* I
    % Z# E8 \1 v2 ~8 x& ?$ u在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解
    * `/ r  Y( d) N8 E5 F( V# v% s- D& E1 H. X; V  \
    (1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。
    ! n' c  l* m) y! ~! Y" \; O4 J5 k% n$ U4 I! x' F
    (2)在 solve 模式下,求解。+ b1 B3 j2 B" A* Z  S. p7 [
    " B2 [3 ^' |& r4 J7 C
    (3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。
      Q( S5 B! W& B* V8 e/ N, g/ F0 j9 @6 T- f0 q4 p6 f

    5 }! D' H7 h  w. z8 F) R! r7 @% x0 L, U- D) d. M
      }; A! g; M6 E; ?, D* z
    " r1 [2 h) ~/ y, a% X0 I

    2 m8 m4 g( a( }# p" a! P* _' V" l& `; Z
    . Y5 M; F) ^; m: m6 k

    ) O8 ]8 O3 ~- Y( z  S' c0 F8 U( b/ D6 M- m
    注意:% |" _% d( q5 J

    * V' [! {$ B& k: v) |1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。
    2 `  P9 a3 h, y& b4 ]6 A8 o. I3 J" |* f: Z$ s# s

    + w! H" \4 A& h$ H% x$ w% M* N" v, w1 h! G
    2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
    6 c4 w3 b- U. c( y% M( _7 a( n- K' H  U. n# D4 [1 v3 t
    3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。+ j% ~. e6 r9 a8 ^+ `
    ' Y' {( Z! ]) j7 @0 z% |
    4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。
    ! a: ^- Q5 x% V7 P5 N" }7 c& {8 p/ q. A' B
    (1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。3 k1 r0 `. Z4 F- ]- q/ G
    0 [) P" K; g) a0 r, q& s" G
    (2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。7 V% K9 p( U6 u8 C  z5 l

    2 L) y5 U9 g6 j) G3 c7 J例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。  x& A* c1 \2 s$ r( N

    1 W) Z+ }" L* ]' `/ W$ P                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
    ' d7 A2 p1 n/ v- y  r
    / a! b+ Z4 Z5 x& G  |/ t) O% Y; `+ d" k4 Z) `: g; F7 `
    3 H/ h* X) P$ q- r7 Y1 v
    边界条件为Dirichlet条件u = 0。+ J& e6 D* f+ A5 o
    . Y) a& ]9 s; i  v8 X$ f
    解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
    . {  @! D  t% B$ R  e6 z. B8 ~5 L, _1 W$ e- ^0 H
    1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
    4 o1 t5 p; A& k* I* ]% B$ [( Q+ [$ s% T; O
    2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。
    " R. @9 g4 G; [8 ?6 C5 X$ t! M# G1 |+ E+ P) N4 W
    3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:
    5 B! o8 w9 P: m- a, z0 {. b3 @! O4 Z6 o! K5 B- E0 O4 z5 D
    function f=fun1(x,y);, I# D- w8 g, ^2 _+ k
    f=zeros(length(x),1);' ~/ v9 N/ q; `0 u; T0 p
    ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
    4 @; i+ l  e8 o& D# J, b! @f(ix)=1;
    ) Q3 i" l5 R1 z) a, g+ J; ^; f0 W3 w; U; E! E
    其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:& V  _1 B$ \; b' Z8 A
    5 }9 N' y! R* Y2 W
    时间框中输入:linspace(0,0.1,20);3 e" q$ _- p- r/ S* _  |3 h5 D: @* }
    $ W  O( x: k% k& f
    初值框中输入:fun1。. ]  R  a3 o  {8 o; R6 Q& W
    . E7 N. M, E1 T" b
    4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
    1 D/ d5 T! }( G% U" e  B; E
    + z/ B: c2 M- B' h( o5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。
    1 ]+ M/ \/ r& e5 V! R7 r& Y+ d) j  z7 `' h* j
    - ~& x. ]* M2 t8 _/ @1 o! H5 b3 s
    ————————————————
    " M' ^* Z2 g7 S+ F$ U& p0 ]+ V8 h" e版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    - j- z+ t) \+ C% J+ O* f* b! g. D原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
    3 T! p4 _- f! W5 g/ b% W' X, s( B  p- L* b# o

    ' T. i. e" i, {8 v: v" S- Z
    zan
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