偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
- p) L0 h. k. U" i1 ~! B/ ]对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。
$ Z" i" N1 U; a  Y' @
（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
8 j% F- R5 z' h
（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

4 `9 }7 B4 c7 d* M* t9 u在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
1 i3 D4 I8 R" m& m! t; m! |
! }4 |# ?) j% o+ m8 f# R  j1 j
% d: x. c1 l) g# T1 q
& v, U2 g, r: N' j. J2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
3 n' I  f) f/ ]/ A
（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
5 I* m8 l, Q+ c" l3 F
（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
5 D$ p% A+ }2 O/ e* I
% Z# E8 \1 v2 ~8 x& ?$ u在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
* `/ r  Y( d) N8 E5 F
（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
! n' c  l* m) y! ~! Y
（2）在 solve 模式下，求解。

（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
  Q( S5 B! W& B* V8 e/ N

5 }! D' H7 h  w. z8 F) R! r



2 m8 m4 g( a( }# p" a! P


) O8 ]8 O3 ~- Y( z  S' c0 F
注意：

* V' [! {$ B& k: v) |1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
2 `  P9 a3 h, y& b4 ]

+ w! H" \4 A& h$ H% x$ w% M
2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
6 c4 w3 b- U. c( y% M( _7 a( n
3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
! a: ^- Q5 x% V7 P5 N" }7 c
（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

2 L) y5 U9 g6 j) G3 c7 J例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

1 W) Z+ }" L* ]' `/ W$ P                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
' d7 A2 p1 n/ v- y  r
/ a! b+ Z4 Z5 x& G  |/ t) O

边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
. {  @! D  t% B$ R  e6 z. B
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
4 o1 t5 p; A& k
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
" R. @9 g4 G; [8 ?6 C5 X$ t! M# G
3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
5 B! o8 w9 P: m- a, z0 {
function f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
4 @; i+ l  e8 o& D# J, b! @f(ix)=1;
) Q3 i" l5 R1 z) a, g+ J
其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

初值框中输入：fun1。

4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
1 D/ d5 T! }( G% U" e  B; E
+ z/ B: c2 M- B' h( o5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
1 ]+ M/ \/ r& e5 V

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- j- z+ t) \+ C% J+ O* f* b! g. D原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
3 T! p4 _- f! W5 g/ b

' T. i. e" i, {8 v: v" S- Z