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[建模教程] 偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法

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    发表于 2020-6-10 10:34 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 图形界面解法简介& j3 E' i, F  X- F
    对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:
    2 T! ?% f& Y+ |" v" e
    - b' G2 c. |, k0 q0 l% A5 p(1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。
    - A$ I* J* \1 I0 I8 X) l
    * t8 ]6 j1 A/ C2 A9 _- o: }2 d4 O(2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。
    ' b+ T$ _: b% k4 m+ Z! c6 z( z/ Z8 E
    (3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。$ N. |/ K- `, O% r* j5 t

    8 r/ a* i2 `* i0 S  x3 f! h在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。2 l6 s! a+ @/ l
    $ {: Q9 y& U4 S; P5 u6 w
    2 S) d0 L: [; L7 o  F0 e1 w5 u
    8 q4 y% U2 e# n# a
    2 图形界面解法的使用步骤
    & g; H3 _& ~! q  \& x" ^要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:
    3 t7 v5 H# K. J1 r
    $ }* @  S2 e3 T) ?) y& |" X* g4 b(1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。6 l) ^" B' y6 C! u! K
    ' j5 Y- x  p, x
    (2)利用 boundary 模式,指定边界条件。
    3 a0 b2 h; H2 X0 e. H
    % r, y9 Y, g+ Q6 _9 q- X$ s/ \% z3 n(3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
    % Y0 ]9 e6 n7 N: y& E" H( d5 [, H7 i$ i% j, {  S6 e/ {2 \! y& o
    在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解9 F5 M0 r; Y# O) g

    6 I+ U& T1 V# |7 z) u(1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。( T8 |; g" f. g  j  A: O' x  |

    $ e; x8 \5 K* N$ b(2)在 solve 模式下,求解。4 }/ Z% h7 Y3 g1 n, `( {& V# i/ \4 }) O
    # j9 Z; g: T. t4 @& k) X$ p
    (3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。
    ' n1 \9 E# {9 }" B- |5 U) e6 \0 o. T  g0 |" ^* q9 I0 d

    . @9 U  v" v% {
    6 p  z2 I- g" Z+ J. Z, Y# B4 O8 m
    ( I, M( Q! J3 \2 R5 p0 x* |
    % Y$ c, o2 J8 B' J6 e  m7 j, z3 q9 G* p9 C$ t9 p

    5 K: [! q- a* J' O, o" }  ]+ ~# X; d4 z9 x6 P; f! T% x( c
    1 Z0 x3 s, f- S  U5 m# S- R

    ) o+ Q: W' D  K+ V3 w, U注意:0 f" H1 v5 z& z  O4 d) g# ]
    ! t% ]" g+ U, T' K! W2 g" {
    1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。
    $ {( Z: ~  h- S. i; [3 t3 ]8 ~! O" h! X: w' _; z/ C0 o: S; x$ Q: W6 O5 p
    6 r* _' J7 n8 O6 u

    ( @5 b6 N- \* O2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。1 S. K8 W  a1 J$ @8 _" L! O

    ; z- P' R  l) B3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。/ [# b  t2 n7 ^8 u7 P+ y" |

    - F$ \7 g' m" G3 S6 l6 b; o4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。
    5 W8 Z' D3 |2 v$ G$ s! A: J
    3 A9 o5 f7 ^5 L0 P(1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。
    ' C! x! x8 A) `" c. r6 G  u' ^0 w2 U6 b; w5 U6 U+ C9 N$ E6 P
    (2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。
    ; ~! |8 P& q* D6 p2 N
    % {, h8 E; ~" \7 N$ ]. ~例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
    0 q! K: \1 j* q. t; i8 l7 b
    " p: U) S2 S5 p5 r2 o1 h4 Y- E3 H                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程% x7 g! J1 |4 i
    - J$ Y; p1 r/ z) ?* r8 Z) X. T' Z
    " p$ m! X2 }" X$ L
    6 U; g- q% b. ?  A! Y- w4 Q; J
    边界条件为Dirichlet条件u = 0。
    7 Y; @- U  V6 Q& N0 E
    ! q/ s0 k, Z* S; X7 x1 P0 S解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
    . R+ e# H0 b: d0 @; _+ h. n/ l- ~! ~$ T8 e+ ?! w6 c' T
    1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。0 @9 @8 Q; o5 d! K$ L0 S7 }* ^

    1 N. f: D) s8 a* I2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。, W8 t) r! a/ ]9 A9 q
    / v% c; {  J. a! B2 ?
    3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:
    + {  z+ P$ J4 E" J+ @) w+ r
    # [. B3 `  w( ?9 N6 L) Jfunction f=fun1(x,y);# h# t1 T) D& `
    f=zeros(length(x),1);
    ) \4 M9 V5 L1 S" I% S/ j& eix=find(x.^2+y.^2<0.16);. i" d' {( E4 `/ T7 E
    f(ix)=1; ) l5 X$ z* b, m+ x

    1 O* F: D4 Q4 h2 U5 e其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:
    5 }# X6 b/ n$ Q+ `% f7 R; T
    ' K4 e! h1 t1 l& U: z时间框中输入:linspace(0,0.1,20);' B3 D( g, r$ X+ G

    7 b1 G! L8 t" [5 d3 Q: P$ U初值框中输入:fun1。0 z+ w0 @- M# B5 r" @* c: e; H, D. m
    , ^: \2 \( x1 `. b( ^7 ]  \% d
    4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
    ( ?- r, \3 `4 [0 Y/ ^7 K+ Q# x9 y8 Z0 w1 W% Z# B
    5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。
    % `+ I, O6 m& C4 e* v( J, Z! O3 I" K) E
    9 b' u2 Z# o! i  n1 {) P3 s
    ————————————————* q$ U" Y% n  c
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。9 H) P- d: D7 }
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/897126637 E9 F# b# }; s2 `3 v$ n9 B2 C
    1 j8 b# s. e7 ~) o' @9 E

    % E/ H: D6 n6 h
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