偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
2 T! ?% f& Y+ |" v" e
- b' G2 c. |, k0 q0 l% A5 p（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。
- A$ I* J* \1 I0 I8 X) l
* t8 ]6 j1 A/ C2 A9 _- o: }2 d4 O（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
' b+ T$ _: b% k4 m+ Z
（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

8 r/ a* i2 `* i0 S  x3 f! h在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。



2 图形界面解法的使用步骤
& g; H3 _& ~! q  \& x" ^要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
3 t7 v5 H# K. J1 r
$ }* @  S2 e3 T) ?) y& |" X* g4 b（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。
3 a0 b2 h; H2 X0 e. H
% r, y9 Y, g+ Q6 _9 q- X$ s/ \% z3 n（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
% Y0 ]9 e6 n7 N: y& E" H( d5 [
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

6 I+ U& T1 V# |7 z) u（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

$ e; x8 \5 K* N$ b（2）在 solve 模式下，求解。

（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
' n1 \9 E# {9 }" B- |5 U

. @9 U  v" v% {
6 p  z2 I- g" Z+ J. Z, Y# B4 O8 m
( I, M( Q! J3 \2 R5 p0 x* |
% Y$ c, o2 J8 B' J6 e  m

5 K: [! q- a* J' O, o" }  ]+ ~


) o+ Q: W' D  K+ V3 w, U注意：

1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
$ {( Z: ~  h- S. i; [3 t3 ]8 ~! O" h! X


( @5 b6 N- \* O2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

; z- P' R  l) B3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

- F$ \7 g' m" G3 S6 l6 b; o4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
5 W8 Z' D3 |2 v$ G$ s! A: J
3 A9 o5 f7 ^5 L0 P（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
' C! x! x8 A) `" c. r6 G  u' ^
（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
; ~! |8 P& q* D6 p2 N
% {, h8 E; ~" \7 N$ ]. ~例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
0 q! K: \1 j* q. t; i8 l7 b
" p: U) S2 S5 p5 r2 o1 h4 Y- E3 H                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程



边界条件为Dirichlet条件u = 0。
7 Y; @- U  V6 Q& N0 E
! q/ s0 k, Z* S; X7 x1 P0 S解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
. R+ e# H0 b: d0 @; _+ h. n/ l
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

1 N. f: D) s8 a* I2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
+ {  z+ P$ J4 E" J+ @) w+ r
# [. B3 `  w( ?9 N6 L) Jfunction f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
) \4 M9 V5 L1 S" I% S/ j& eix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

1 O* F: D4 Q4 h2 U5 e其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
5 }# X6 b/ n$ Q+ `% f7 R; T
' K4 e! h1 t1 l& U: z时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

7 b1 G! L8 t" [5 d3 Q: P$ U初值框中输入：fun1。

4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
( ?- r, \3 `4 [0 Y/ ^7 K+ Q
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
% `+ I, O6 m& C4 e

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% E/ H: D6 n6 h