排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
$ @! e: D% s* z- T2 M$ ]) Y
9 |7 Z1 _( X1 ?" K0 H1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。
, |: `- ]# g0 y* H* r8 E) b& j& L: E
) Y( O) t* z* Q2 J1 v1 C' ~9 s
1 c7 Z$ p9 Y1 a

- h# o$ N6 {7 z
; h+ h  K  P8 e0 W2 F) }% r* N$ v) S2 损失制排队模型计算实例
5 T: }  k4 {' h+ \% I! X& I; t' n2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
2 r, \  A& w5 M) u& \例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。



model:
, \- r. l9 }# r/ t, O! Q4 ks=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
1 T* H* Y  A) J! F5 hend
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

5 d& x4 q9 u8 z2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
/ x! e' Q+ L3 c1 X! Y例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
' n2 u4 I8 f) v% @' j# }' |


3 e5 g* q& L' \' [

由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：

model:
lamda=200;
  L! @, z4 p% M( imu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
7 R% P. i1 v0 W3 p. L" G7 [$ j0 c/ x4 ceta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
; W+ z* v  t' F: f! V. ^0 Lend
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：

model:
lamda=200;
% K. U# m2 A3 f# zmu=60/3;rho=lamda/mu;
@pel(rho,s)=0.05;
end
' A# B5 |4 h: j: @求得 s =14.33555。
2 H! h& P) l6 H0 D6 {
) B  w7 L$ K: }& [  V( [4 `7 }! U! J& @第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
" n3 z. }! q* {( |* M
model:
lamda=200;
8 t2 m% n9 W6 @/ s: Z9 umu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
7 R8 h3 |: k) \" G! ?3 E8 cQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
1 y( Q1 e; b1 c$ `9 p比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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