排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。




! a4 E! @3 f+ e
2 损失制排队模型计算实例
, ?- Q% ~. K9 b' ^; m0 O# N2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
" i& ?4 d+ P+ G例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。



model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
) ~6 P' S! j& t: Z4 P5 XPlost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
% V" F# U2 x2 cL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
# i  U5 w, y; u& g, F求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
0 i9 v) a* I9 ~; _1 P) R
2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
# ]* R2 }* y' a# q' i% v
解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为

- }% c  S% X$ I2 R
; Y( R) a( K4 C; Y% U2 C

& m- I4 ^0 e7 _
由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：

model:
. f9 K8 w1 s4 t, {, flamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
- @/ l1 c% r; I9 s/ V! PPlost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
# n$ V7 |6 I. Y3 L8 f5 B) D" P; @# ML_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
+ v3 C. x4 ?5 gmin=s;@gin(s);
end
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
' M6 n5 o. t6 j) P0 X
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

) {: O8 U( L4 o4 v  _第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：

- P& b; U: n. u# Z1 @model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
@pel(rho,s)=0.05;
end
0 b. n- x* y& s% K; P9 S求得 s =14.33555。
  g5 r* q. ~3 ~, o7 f
第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

model:
lamda=200;
  b( X# z9 Z- D1 {6 n3 K7 U: k* @mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
/ y/ s" v4 Z, v1 b7 MQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
7 @* I" y3 Y& A2 w+ \  ~* Leta=L_s/s;
end
/ B7 ?  j! T2 S% ?比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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