变分法模型的运用：生产设备的最大经济效益

浅夏110

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损 程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总 是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转 卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

1 问题分析与假设
- a/ |0 @* @) J% i7 d' a



& }7 d/ i& V  n2 模型构造
根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖 价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可 控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选 单位时间的保养费u(t) 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成 为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程
3 ?# W- F7 G$ z! H
/ ~' e) p6 e" R; _+ g# c- c2 l

3 模型求解
, p- @& `7 W5 o3 ^9 H) L首先写出问题的哈密顿函数
0 n+ h, N7 D: f. D' n
7 {3 W1 N! O* q4 Q1 n3 K

; ^% `. j. c* r% \' O
. _8 ^/ y+ z5 U
# z7 }$ j* j0 }3 P8 T8 d

* `& \$ ^5 O0 a/ @+ o5 C. O, O

2 @. A: O4 c4 ?! D9 H将（27）和（29）联立求解，编写如下 Matlab 程序

5 ]0 J! z8 g' z; U7 v3 j[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')

% j3 d) p6 T+ n0 ~  N


* @% q$ u- |& r# g' e( E$ e变分法习题
# I  s8 p+ F& e/ P

+ q4 \. D% v$ n0 g% t% |; Q  d
7 y: D7 M' B* K( V: g+ c3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突 然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从 经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？
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