变分法模型的运用：生产设备的最大经济效益

浅夏110

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损 程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总 是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转 卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

1 问题分析与假设
1 I: p. M$ Y, [0 w  g0 j% K8 d  p



2 模型构造
根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖 价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可 控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选 单位时间的保养费u(t) 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成 为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程



3 模型求解
$ k: Q& z' M- j2 m  D' Z3 o首先写出问题的哈密顿函数

! ?; t7 c3 t( j' ?% a4 {# q
( i7 ^, A3 M) L8 c- @! a
# T, m' {$ G) U, F
- N' y" Z) `* u' c* V; N



7 L3 D- A. O, e
7 l3 d. w1 E1 D" l( Y: Z9 _将（27）和（29）联立求解，编写如下 Matlab 程序
1 a' s- r# b  |, s2 l2 Z( H
[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')

4 D8 @' j8 _, J( K& Q
* B7 K! q0 k9 w7 f% }* w5 g5 x

变分法习题

& O& l, ]2 x+ q: V/ z' \
+ w# ]( A, G1 k
3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突 然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从 经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？
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