中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
4 e/ s/ A" C. H/ h" ~1 X微分方程问题
6 s" _+ R! }+ s3 Y微分方程建模
) Q* o1 [7 v; z. ]- J# m1、根据实际要求确定要研究的量。
2、找出这些量所满足的基本规律。
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。


" P* R6 G5 @( n4 R几类微分方程的应用实例
7 U" S& _) Y% j1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
例题：

9 l2 x8 @5 I6 w2 f- X* p; z
; e$ a- J: [- J第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解

9 s9 V( P! m' W6 L5 C
clc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
; b3 F$ D$ s% P: G3 i# ^* ?6 ox=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
- D3 t* {2 N0 P% Pt0=t(1);x0=x(1);
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
9 B! \0 B$ G5 k# V  d" Z4 a: uxhat=fun(cs,[t,2010]);
; m9 H( T6 l8 q/ Y1
2
& W2 |0 u: ]) e9 D! o/ d3
$ \+ [+ t8 Q6 Q; M6 O8 J4
5
6
7
8
9
& ], B( ]+ t" ^第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）


- Y4 c, `' J4 b$ ^8 h

3 K) K/ R4 A4 o) Nclc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
b=diff(x)./x(2:end)/10;
# ^5 e4 E! d; g- D3 k! ycs=a\b;
* u( n9 ]# u+ U' y2 sr=cs(1);xm=r/cs(2);
6 d$ u" X& E2 v. i' u5 M3 L9 T1
3 Z0 E' V1 K) U2
8 T, N  a4 q% p. T! ^3
$ H# [3 I7 f9 ^. g4
+ Z. ?0 O4 s9 c" A0 a, j" L5
/ U1 y( R( C9 p% z2 I4 v$ B; X7 W8 h6
7
" \- G1 v, A7 v8 b8


; C! }. ^+ N! U' A0 g

) t& `) ?8 x! bclc,clear
; c& Q8 I0 `" g5 g1 a% ma=textread('data4.txt');
' Q" J$ ~1 b  a' r& fx=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
2 O5 r' \9 x6 a/ z; v0 Zt=[1790:10:2000]';
4 i" _+ }: K$ T5 O) W6 za=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
2 U2 D! v3 N  d  S4 H% n" X1 Ecs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
6 J; {# h# A, _1
! C6 F5 P4 X5 V) H8 d1 z2
. e/ Y4 D# I% s" \% T( I9 P# c3
4
5
6
7
8
参考文献
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
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