中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
- w6 ?8 D* A2 N微分方程问题
8 [2 L4 ?% H" H7 D  w微分方程建模
1、根据实际要求确定要研究的量。
1 `  D5 F9 z6 ^2、找出这些量所满足的基本规律。
. e& i2 [6 u% C$ z+ h3、运用这些规律列出方程和定解条件。
常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
( o9 n. ^- T, p/ k( L4 Z/ k, J

* I$ S! \6 i) y, ]6 ]! x/ I几类微分方程的应用实例
1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
, R% c! O5 w8 ?* ?5 C例题：

% G1 \9 u9 V6 [
! f0 ^! L- ^) [/ o第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解

# N% x: \8 N/ J2 T% {; }$ w
clc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
& G' o  N8 ~4 _4 S% @2 Z# T& @/ Wx=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
- I# `- ~: I" s! d; J0 c* Mx=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
" R; }7 `! e  c; `7 g: f/ }t=[1790:10:2000]';
  ]( \9 \9 G1 M# A1 m" X& {t0=t(1);x0=x(1);
' e7 r, I+ G2 v! W( ]! {8 {fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
0 u# e2 n# V  S* ]/ ~% q% M. |4 Kxhat=fun(cs,[t,2010]);
1 _% v$ E, h$ Y9 G' g; u1
4 h+ p  Y* B0 o0 u+ S2
& W6 p$ t" g: }* j6 i- E) k8 s$ N  H3
9 f6 m5 k# z; q: r! ?7 q4
5
6
7
8
! x  H0 H. k1 A4 t9 R* d9
0 m2 x1 @: d- l/ ]第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）




6 W' o! {, v, K/ ]clc,clear
4 O$ L0 e& h$ k/ I( @/ L& `9 qa=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
0 q6 X. M1 F' z0 K' o/ r' w* {t=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
b=diff(x)./x(2:end)/10;
+ B. ?! m4 n2 ^4 @+ y+ h, Q) K( ]cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
2
- B, I) \4 ~5 |5 ~3
. V5 @6 E( \* l4
: w8 i2 T, J4 R$ `. K$ H! {9 e' z" ~; |5
4 I& Z. L0 a! N9 D+ c6
7
8
* W5 Y5 p! _  c  ?
7 H& V0 A% @# L5 d" z$ j
0 X0 |: V. T9 a) z3 V$ t0 ^- ?
  {# x9 s8 Q  J1 h
* B8 ^. q, x8 U$ }; F7 yclc,clear
1 s0 j- C8 v* w' h6 c. J. _a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
" \* `3 V0 {  G4 C+ L- F. U( ]a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
6 s2 _1 n1 e4 t$ {b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
3 C# |! J) g# g: Mcs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
2
6 [* X- S' o, u; ?9 [7 U* r3
4
% K' F. v8 \7 q. }% A5
6
  ]7 _/ z  f2 i+ a, y% i7 A7
8
4 [) Y3 }' ~9 U- h, o8 E5 d) X参考文献
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
2 K* M  [/ O: [3 [4 q————————————————
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  g6 O. k* f5 [原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_45813658/article/details/107780619

) B7 w+ w' B5 M- V2 V- Y
+ {4 |% R+ ^! S0 f+ a