中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
微分方程问题
微分方程建模
2 d% H( z9 p# Q% P( F1、根据实际要求确定要研究的量。
) [/ M" Y% L  v3 J& ^2、找出这些量所满足的基本规律。
0 ^" a5 u8 p3 t9 S5 p3、运用这些规律列出方程和定解条件。
) C4 l- K2 ~' A/ H+ k! |常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
6 g3 h7 {! C* z# y# E
* u6 z! D; I7 I) ]* R( D
几类微分方程的应用实例
! z; O7 z# L& C) l( [1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
例题：
0 u9 f7 M) n4 c/ q( Q9 C. C

第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
9 ^. l1 O- z  ~/ y( `) q* r2 [
  T7 ?$ A4 \' t5 h; `' }
clc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
x=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
5 d( I9 `$ X5 K* tx=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
t0=t(1);x0=x(1);
1 K6 n0 `3 V1 l/ s6 O+ L- Efun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
+ I6 R2 _% S4 A2 n9 @8 F' vxhat=fun(cs,[t,2010]);
! o; {& H9 v% K3 |1
2
3
4
5
6 V6 R( ?: }( B9 U2 v/ f6
  W  Q- ^+ D. U6 d9 s  B7
6 g7 p3 W/ A# I' G* C& A0 z8
9
6 V. s5 z7 ~+ I$ w第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）


$ }8 R7 c7 s6 V' R- V
7 ^8 x% Y* N' \* H, z
0 ]+ h& C3 }4 h" v4 @& e4 ?clc,clear
a=textread('data4.txt');
. P" s7 a: _# E- @$ y, R# t# I/ W1 Vx=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
, K5 e9 s5 [7 m7 {: At=[1790:10:2000]';
& g$ N3 k5 Y6 W- k3 ta=[ones(21,1),-x(2:end)];
b=diff(x)./x(2:end)/10;
cs=a\b;
" Q& B3 g# @4 P6 q8 Z7 k) Jr=cs(1);xm=r/cs(2);
1
2
3
0 ~9 b* x, y+ S4 J4
- t7 v$ l  B  J% {0 L5
6
7
: R) n8 C! X( M$ B2 Z  o8

- N' ]0 C/ M" o7 a! Y+ W* C


1 j# b, A4 }6 e# u- J, R# uclc,clear
9 z' m5 X; \. w7 _a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
4 O. _; o( e  k) @! \6 I' M3 R6 tt=[1790:10:2000]';
& z' Z6 G6 k; za=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
* E* y2 n- t$ h3 q$ y) y; h4 ^3 N$ T1
. ?, {  z* {" l+ a( [2 ]2
3
, r# K+ G! N7 b6 P, t4
5
6
3 z& A! R4 p/ ?- N* y3 {8 b& s2 [) a2 M7
8
参考文献
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
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