中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
- V: `3 j$ N6 r# O8 j2 A+ o+ D微分方程问题
微分方程建模
1、根据实际要求确定要研究的量。
- o8 ~( }2 j5 Z1 q2、找出这些量所满足的基本规律。
5 C/ @& V; ^9 q2 Y3、运用这些规律列出方程和定解条件。
- v; P& o9 n  R  S常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。

  h: A- `, [! g- c; l
" z* E5 J$ t7 c, |几类微分方程的应用实例
, m# g$ i5 {, X) H/ o1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
例题：


第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解

" z& L) L, h+ H; V/ v8 Z6 D  z
clc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
, g; b# o( h# j$ [x=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
3 b3 Q* E2 Z$ T( P' xt=[1790:10:2000]';
t0=t(1);x0=x(1);
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
xhat=fun(cs,[t,2010]);
+ b4 @2 e! ?0 R5 d$ @+ ?7 o" Z1
2
3
4
& o4 n  Y! o" [; P5 i3 c8 W8 I5
7 H  h# _. P2 _1 g9 n8 v% P% j- e6
5 C. B- O  \+ ~7
9 {! M: [1 C  n) l! P! T% b: ^' V8
9
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
; T7 t: o* W2 l6 a' v

7 k! C. E& E# _. G8 H
3 o1 R( r- R2 }  _8 x4 n) k
- s7 E8 M' {0 a, g  d$ zclc,clear
# p9 @3 h% U% h0 T7 ]4 U1 fa=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
  E* B& X* }* k7 N2 |2 B$ n- i3 zt=[1790:10:2000]';
$ k% V% p$ p5 {% D7 y- da=[ones(21,1),-x(2:end)];
b=diff(x)./x(2:end)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
$ O0 e+ j) a! ?5 u/ |. z* C1
2
: J/ D# @% v! }: \5 q/ l+ ~3
" a7 l, t5 F: }* A4 y: t4
9 X9 V; f# _) ?" ~% ^9 o) m4 d5
! M9 ]2 l0 G! S' r6
# m1 `! J" m% F1 b! L, E7
& x8 @6 @* E9 a9 f' Y4 D9 T8
( l" Q; H8 R. v
* F/ T5 w1 J$ {. x; Y# p" H$ z: P
! m! l  M- p0 Q- R
- S. v7 V' h4 e" J3 m: N' C9 D, _
clc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
# M+ o* n. ~, E& L8 H2 g9 ~t=[1790:10:2000]';
' E$ Y, G+ m* s5 ?' V7 O+ o% Z$ Z# r9 Qa=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
% ~* m) |- f9 Y+ v1 F- W" z1
8 h+ X+ i3 O& Q' f! c; k2
3
4
: x" D5 s" ^$ L4 `& B. I8 v5
2 ^8 ~, j$ j% Y/ m6
$ S/ T0 v" N: p. M3 k7
, i9 `. o! |# H+ N% @8
参考文献
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
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1 `( a% i! n9 B! `  x* Z- \& N