中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
5 B; m3 ^1 M, m) ]/ S/ P微分方程问题
微分方程建模
/ P- @+ _. F& h' E3 p% b1、根据实际要求确定要研究的量。
' d$ j0 `6 C6 @* ?# G2、找出这些量所满足的基本规律。
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
常见的列方程方法：
# `. z; E7 R. X" n4 `6 D（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
) A3 }# j+ w% S" ?
/ r) `' s" S( y
" H0 Y- I, G9 u; u6 c. c1 P几类微分方程的应用实例
! o; W( D6 ~7 S3 j; F/ W" T3 c1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
% {7 E7 J7 I# e2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
3 Y+ Y! i' p* ^2 b7 p7 V! H例题：
# \) @4 r' e) ]+ C6 V9 g4 W" G

/ [# T. S- b! @3 X, J+ g" E8 h第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
7 N9 i4 Q7 W9 a! B; h

! T4 n2 b0 k7 g4 u1 M, Z; Hclc,clear
: f1 }3 q9 h+ p. r& s- w2 l" W6 T- xa=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
. M6 y4 V& Q7 wx=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
; n1 h# |8 d: a, p* k% Pt0=t(1);x0=x(1);
$ r' c  U! H9 mfun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
& I) z1 J2 n- F1 j( {( D( |7 P, ecs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
xhat=fun(cs,[t,2010]);
* x! U) X) u# r* M3 W/ A9 J6 c) E; |1
2
. m7 [4 x' G6 {3
' G1 F, U) Q; ]7 R# x" A/ ?! G4
5
" o* O- o5 g3 f" k) q* s0 D6 A9 `6
7 Y% ^$ X' n  K3 s7
# s& R9 Y$ e! F( p1 A( J8
0 N  d8 i1 t2 q9
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
- J1 h) x% q  q4 Z. E5 z

& s; _) Q) V& O7 r5 N
1 Q1 Q" \+ e5 V) h
clc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
1 [- J* l" ~9 h% j0 yt=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
6 {/ [# ]0 K0 r& y, b) Fb=diff(x)./x(2:end)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
* n3 E+ I+ E' i2
3
4
5
# \. u) K/ s3 O: v6
& h% r' |7 G1 d7 q, n7
8
2 t5 }. @% j3 b+ Z


" ^$ O+ Q4 l$ c. s. `+ P
clc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
8 i  e5 s# r3 I) Mt=[1790:10:2000]';
+ R0 v8 i+ ^) Wa=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
/ u5 N( d7 [+ a' ~% f' A! X( gb=diff(x)./x(1:end-1)/10;
% A8 u' w2 Y( G" ^# Ycs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
2
3
4
5 e0 m, M( Z( _8 B$ Z5
# J% L( G4 I" U, @# ]' k2 I+ C3 ]6
8 {  \5 ~' [; `- W8 W4 k7
+ v: A% O) _6 V8 S' E7 ]1 c) L8
6 ?) o1 B; ^- g6 u' K参考文献
8 L, n' D( D4 m/ Z; W  A$ A/ G司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
/ [" s: S4 ^$ J————————————————
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