【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
! ?1 Y9 X2 L7 P* z; n% n+ y 一. 模型
' e* b/ Z: _7 h9 T( p% N; H+ l1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
/ i# _+ C1 q+ L8 ^) S) ~- Z7 U1 C       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
3. 建模步骤
: n+ Y2 f  a6 o, {! E        按机理分析方法的建模步骤如下
' n: `" B0 z9 h! V) v6 ?; p% Q, n* U
  |1 h) _% X7 N. P$ S# K
3 Y9 E$ k$ K6 p2 @4. 建模过程
. J, G4 D/ f6 l6 a4 ~; L( }        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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. v; x! ?$ A4 A+ x# n
4 a* y  O, \" q7 d# w5. 模型分类
9 j/ R5 L( N) O# ?6 ^        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
# ^9 O- i5 Z5 g% Y* L8 I# m        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
! j; _8 @6 W9 Z& b! G( U+ V8 Z2 J( p        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
) b6 m7 A; ^8 q- W& I1 W* P0 }        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
! Q5 X/ D. e4 \) T% g5 J: l        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。

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三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
8 M6 H' f6 b3 Q+ D4 h1 b4 O用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法


  G- F& c' V% Q5 m) @( q6 F7 A        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
3 a" p$ e" V- |, a7 w! k$ k
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参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
0 e$ A/ g- s, D2 P5 p8 @' v2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）


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一. 模型
1. 原型和模型
4 I* ~2 k+ O  ~0 h  U5 f. Q        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
9 c. k7 e# [4 M! s# Z       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
6 q% {7 V4 ], P6 {1 w! f+ D3. 建模步骤
; j3 F# P9 F: {4 K        按机理分析方法的建模步骤如下

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4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。

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5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
6 c9 t" ~4 }6 H* i        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
) O5 n8 [& s. e# E9 h& F/ X        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
, q0 P/ M6 |" i- ^" K        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
! o9 F- F! \0 P5 V) k/ j; v4 v6 K3 s        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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5 Q+ B; l# z9 X: o+ Q/ [5 x三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
* T: a( g8 ^# D! p用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
' Z1 T0 }3 a% ?0 V# x) g9 E
; y* w( F" a; o+ Z4 W+ ^  V
        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
1 Z8 p: n( r% {1 O0 R8 S
5 M7 W$ s$ d! b; d
参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）

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