【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
- m2 ]7 i. _; j9 H8 i 一. 模型
# A* E4 f7 d0 k5 K. y0 B1. 原型和模型
3 Y6 }' a, \) `- E0 @. x9 B        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
' b, m4 l' Q& [2 Y       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
& @9 S& {: u9 U) u/ k8 f       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
# n: {, @1 C5 d0 O; s3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下
3 R: F- n( e! d) p, M$ l) u' A
3 Q- M4 l6 _! y! J$ D6 b' x
4. 建模过程
8 E# u3 c* t4 a0 g        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。

! C: N( e" l) @
5. 模型分类
* V; c3 r/ {- t, o1 @- Y% D        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
+ c# z6 E0 w2 S5 m' |2 x/ V        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
; r' \5 f0 X  {$ f+ Y! x        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
' S  k1 S: n0 `  S3 W6 g二. 系统辨识
. _! m" f( U/ Z; _$ z) k% m        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


" f' J3 k. e) f6 a) q% p三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
8 d: z8 o( E' `0 Z7 y- t+ N  ?        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
8 x: g, T+ i% \1 i/ u* l用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
! m1 i; {! b9 K4 m) I* f9 q, [
, v- x* Z- n" c6 N' U. ?% E/ l
        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
6 d; h) Y; O3 L5 P
( m% ?2 x( V6 r! n! ~" T+ w" d
参考文献：
5 B# H- V* t% I- U# f1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3 s' R3 S0 w  g. Q1 r( j6 I6 `5 `  z3. 机器学习（第九版）


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一. 模型
+ c* z& W# h# l) Y  |8 \$ Z9 Y1. 原型和模型
5 z$ T: N( M' b        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
  W( \8 c) i& P& d+ p        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
4 `  P4 ~% L: F/ y0 k& k3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下
2 B, k0 V6 ?1 ^, j+ U8 m, y% Y
7 C  B, U4 C& b9 ?; w
4. 建模过程
/ g' s8 g8 l4 [# K2 P        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。

2 X' J: i" K1 V* }" R
, w, _6 L. e& P4 v4 z0 J7 i! p5. 模型分类
* a/ n+ O" Q) y) o) T        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
6 @: w/ V2 s3 s  L9 E/ Y        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
. P. w) @* K( k' \: P        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
; l  {- ?' u& w0 ^5 d# Z3 y二. 系统辨识
$ h9 R: b; \+ U1 A& g8 R$ L) K3 v        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
' C  m- v7 \6 y- S) ]        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
% i5 I8 A8 D+ w% @        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
7 g, z, u7 m! f0 |0 w) d2 b, g

" _8 b' r% [% t三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
9 I7 G! P% ^( V        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
. f, k$ f# L+ f

        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。


2 @. Z6 a5 ]+ g* R. F1 W/ o7 o/ |参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
3 c' l0 q$ A4 ~( t" Y1 M2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
% H1 K- V1 R4 Z! W3. 机器学习（第九版）

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