【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

$ }* s# {6 _, W2 B5 {【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
& |( S; J6 i$ V 一. 模型
1. 原型和模型
0 Y; b9 [4 R- M! l5 S        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
8 A$ {) E, B9 @       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
) G" d, k4 J1 u; q& `3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下

& ]8 H$ `, |. q" r$ e
6 E# v$ q6 b9 X8 y/ d2 f4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。

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5. 模型分类
8 y% V5 [: [& U3 x5 {        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
2 h3 G0 ^( ~: G* @        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
9 `& a/ ]& D# x! e8 T  ~二. 系统辨识
: V4 }; p9 l9 N/ s        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


' ?  N7 s9 Q# F& y三. 机器学习
! @6 a; |. F9 u6 J/ I  C7 {4 y: n7 l       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
& D) B* W8 X( ?7 k# N! o7 Y& R+ l( y用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
: f4 Q- Z9 t, V0 i- f& L

        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。


, I! F( E; `7 @参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）
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# j! Z7 @) W' L' G, @原文链接：https://blog.csdn.net/shandianke/article/details/42581155

一. 模型
1. 原型和模型
3 B. P0 d6 }. C8 }3 w7 j        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
& k( ^- p, X' f0 _% r       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
. Y8 k8 B, s1 [+ S        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
( J3 j/ b. Y/ ]* C5 L) n- G3. 建模步骤
! X3 ~& n2 N9 K5 Y        按机理分析方法的建模步骤如下


4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
% v1 h$ ]. n8 w# G7 w4 V

7 C# m1 F! A- t5 H5. 模型分类
0 Q/ d' U9 G* J4 ^1 {        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
' l" k% |+ Z% ~  J) D% c4 Y3 ~$ W0 r        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
# k" ]8 }# ]7 u        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
! \9 `) I2 D0 Z- M        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
4 ^, X4 t  g9 u( r$ z9 a; b        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
  j2 x$ |# c) ~3 [        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
' Y9 U2 z* G( b" g& ]8 M$ W: u        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。

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' P1 R8 ]  W3 p: h三. 机器学习
8 K; E" X2 o+ b# ]       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
: t. O* q7 _' ?; o& W" n        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
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        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
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参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
- ^" a1 u) J6 c8 s7 g! h# i5 [8 U3. 机器学习（第九版）


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