【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
. v9 J: U, N& g- z! x; X5 ?1 m( I 一. 模型
& I( i+ t  g/ N- v2 Y1. 原型和模型
# P  B' q* u+ S        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
; w( r4 \3 u6 y; }( N: w' t8 j2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
+ Q* s6 ]2 _  _) t! j3 O3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下

7 {- d( h8 H- }4 ?, y& ?0 e$ V+ ~: ^
4. 建模过程
8 n# j4 _* O  n/ g1 k* c& p5 n        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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. B; A9 b; E# G
' W6 z, F- Z, |: I2 |5. 模型分类
9 a, [/ z  [6 z# s1 ]; B2 ^        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
2 Z) x$ d" `. d        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
& o. ~! L1 H. m' T( L        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
2 `9 T+ _% L& M7 H3 M4 n: X7 j$ H        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
& C0 z& `" I4 U( x& ?) N, U  V        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


8 Z3 A/ n$ Z; ~5 z: k5 Z三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
2 d. O) T# Z! C7 V        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
0 Y" x, c: n$ h6 Y& Q用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
! }. ]7 v! Y7 B$ `* @" d1 x* Z

        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。


' @7 ?2 ^. }6 H# i# k; @& {9 j0 ^参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
  U: J* A: i6 m2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）
' B" c2 c- P3 W
8 Q$ \; _; M1 |
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% f" y" S: p3 C" K5 I' U原文链接：https://blog.csdn.net/shandianke/article/details/42581155
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$ X5 c. v. U8 z! M" E+ W7 I 一. 模型
1. 原型和模型
( V" v, a5 S8 q        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
* ^) |6 C% f0 {. Y  l' f       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
- l4 |) |2 z# g+ m       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
- M# N2 p7 u- p# F2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
& r7 L& L, G  n- A& D" @) p* y( k3. 建模步骤
. g; P' Q( H: M        按机理分析方法的建模步骤如下


5 P( M( V, B8 p4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。


5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
& l6 c/ ]2 v- h0 I2 @5 h; ]        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
" t# _/ @( f; b) z二. 系统辨识
        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
& Z2 e: ^8 P- a        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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; J2 L: W* d5 c, \三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
" z! @% Q4 ?6 H  S用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
6 S0 ]4 h6 U$ A9 Q8 R4 S3 c
" E4 p3 q5 d  {" R* P7 z
        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

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# n8 K# K; v' c( u* E+ h/ d参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
4 h6 t6 N9 n( K4 |  V) s/ n2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
/ b4 i$ L9 g+ a" r* O% l/ [7 L3. 机器学习（第九版）
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