数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

: R- ~( ~% C; P7 {% p5 P数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
* `% s5 \& r5 Y7 W- c# X& a: P0 t" V2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
* q( `9 _7 j, s" s4. 按建模的目的分： ：
4 {6 M, |/ @2 D5 y预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
& }: y/ l. Q; M0 ]' _- u一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
$ K' s' p- Q  N2 u7 R( X有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
* j$ v/ `# |0 m+ s! ?4 X$ Q国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
* n) y' N# \0 j! ^9 I# i运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
  i! W: G; d  c0 }+ f& V- w6 G  Q数学建模十大算法
/ @+ Y  Q5 T: F0 e3 E8 R4 j$ n1 、蒙特卡罗算法
6 F; o: f" c1 X  D( p4 B3 k该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
, u, ^! r/ N6 N( m2 j( p以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
; Q8 W8 u8 x8 r. F4 Z2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
6 T, M4 g( u; q0 d& z# V0 q通常使用 Matlab 作为工具
) R& {! |5 @4 q  W3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
7 E$ b4 n/ x7 W- u7 Q( C+ k4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
8 \2 B! A/ K: B; {% q3 A$ L" f% X$ a论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
  n& J& `9 a# G, e2 R5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
7 G" G* D- |2 U+ |# P8 `! T这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
5 b# x9 y$ S1 R# B+ b* t这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
" Q. [2 m9 p( g- Z( z: x' c" ]一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
7 x  Q, i+ _: @6 t2 p7 H2 ?2 ]  `很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
+ v6 i, y* S( g1 a" y4 C! z9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
& I# `" P) q  m( n2 r6 a行处理
' H& x- V5 e" q7 O% P  g算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
& M8 H1 ~9 E, B! x9 Z+ ]3 P解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
* C* q& c% L- o" Q5 `7 G' n* {2 _个条件可用：
2 I; E' g  b! F' P) p①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
7 ^3 s3 e+ ^- v( r找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
1 C* T! u  M9 n. E$ Z1 N3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
/ D4 N4 `9 o' c3 a# K! ~4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
& W) ?% u' i& ^7 T: T5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
" X+ G7 ^1 N& {（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
) @0 ]  @# G( ~9 o8 o数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
+ e; D0 Q1 d( g, m( R. Q7 @, S" z% B预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
& G8 ?) G! U/ t, n/ @! F7、 、 神经网络 （ 较好） ）
# O, N. r: C/ B' y大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
# r, c( Q2 I! h9 I1 K9 x适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
# a8 Z; d0 ^$ \9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 L3 M1 B7 b% W: F& H( F- S) g7 ^评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
  j( y) f* _2 {8 m. E2 v11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
9 p2 I' `' r) W# x7 E作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
+ S. P4 z( K& Y9 U7 X; r1 S13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
2 r* L: M/ b: y; ~2 S+ f( `, J法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
/ M3 M( i6 e; F, O" f似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
) p  V* ?, X' @! x5 X评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
- r. s7 s9 o' u# ^' b9 Z' |% j% e: Y解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
  a) |8 C5 z$ _2 b9 T15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- ]8 G9 ~1 y; w9 a量有无影响，差异量的多少
, {4 N" Y4 B: c- Y/ B6 C+ f协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
3 @) A# m2 Q# a6 P& S此外还有灵敏度分析，稳定性分析
. z- G8 o' x, F' m5 k. H17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
# b$ e) b0 K% K( q优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
0 K0 r5 J9 |! R6 `9 b非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
* K  ?2 ?% p0 \智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
- Z, s1 d0 u" _( P其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
4 r; v2 @8 t  a6 _3 `/ k+ s离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
- O: D2 S% w  ^* A/ m20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
7 s3 ~! ~" o+ L. _. s! o即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
: y- X2 p- L4 g- |. S9 c计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
2 k, Q# i% N: w1 V5 O$ q支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
+ Y9 V8 Y1 r4 _1 l# @7 O$ m3 {射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
/ B; Q3 i) m! ~  x' X23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
+ Y, l5 T; U( E; Q9 \1 j3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
% u0 n' {$ F  p$ w7 x0 F从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
+ I8 M0 i/ G' k" C2 }$ F- y  d6、对应分析
$ U+ U5 v3 j4 {" \, K9 s7、多维标度法（一般）
* u1 ~+ ]7 B  O! W. z$ h8、偏最小二乘回归分析（较好）
- G6 \! }! B4 z; b; ~* Z24 、分类与判别
; K! E7 d1 |4 ]' J$ L. I' [主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
5 y2 Z5 E. w/ }+ A1 c4、密度聚类
5、其他聚类
6 R# t: Q3 U8 Z: V6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
1 C! D4 Z; j6 z2 R1 l8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
6 e# k# d% a+ f. V2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
" d! n& h0 i/ V- I4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5 A$ @) c; x4 C4 d8 s. H5、典型相关分析
; F2 Q* g& w5 E- K: X$ J（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
: G; R; G  T0 v# c6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
7 C% v1 m7 `9 l0 Y计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
' A' k- q9 h+ D& A* L# Q量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
) j, V, _' d0 G, r* r率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
* I0 x9 m3 @8 F# }————————————————
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) k7 G" [6 O) \$ z
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