数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

0 v, v. X& h( e数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
: P/ a8 ~: W. v) u1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
4 W! E& ]. M: ]8 O2 N型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
- I) p4 j6 U/ M4 L9 y  @$ G性模型和非线性模型等。
  |8 a- q/ G, y7 F  [! A' Y3. 按模型的应用领域分：
6 ?' ~1 [* k% t6 l人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
# b: C/ [( n- K1 M9 f6 h7 U# J  E预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
0 {( c1 ]0 `0 a+ `( z往也和建模的目的对应
: J4 ?  U6 o! R; Q7 C! U8 u5. 按对模型结构的了解程度分： ：
5 v! z& }' \6 w* H" f: g5 J有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
8 c3 c' E5 D6 O3 x: v( H5 w国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
+ V9 `; J8 q8 ^3 X8 G1 x+ Y# l运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
3 Q3 ], G6 n  K7 L+ O1 、蒙特卡罗算法
! D: X9 N! X% V该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
8 S( u' P: M7 u2 x/ o) E* E  r/ X- q3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
, ]+ i) \+ R0 F4 [# R+ I建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
2 K6 A3 m  _9 l& o( H4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
% H! W8 h# }! V1 Z  X; q) V" t# X论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
. f3 Z4 }1 B$ x$ O, b5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
% ^, T2 D0 h7 o# l4 L/ k& }; @这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
( W: t7 v" s- {+ Z0 E" g6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
) A, S# S6 s! {, X8 Z  E' t帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
+ r) G+ v7 N% I4 F  y5 V当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
  b% F, E' ]1 E; S! n1 ?' r很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
/ ~2 ~) ^6 P- s) z4 ~1 w+ i据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
# P5 p! V* y; i9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
0 k  J+ p' {& `" S7 K2 r/ a0 x- \如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
/ e! ^, x$ o  c/ d# y% z! E( b! i10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
1 ~" K; K5 |" g- C! G/ h算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
4 n* n  C2 F2 j, J2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  n2 x: [, y$ X  s+ v+ x微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
$ e+ t1 k7 _' i3 ^3 z) r①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
/ w9 G6 V# u3 s) ~7 r1 H" ?一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
5 G+ V! n" w) E  p5 B概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
8 p) z0 s  }: b! I) g6 ^5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
+ J3 h9 C9 ]. v7 ~7 h* L2 W4 K; ^预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
4 J; N8 w* b5 \9 R) r7、 、 神经网络 （ 较好） ）
  x, F5 X' V( n9 }! g大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
$ M1 d1 B/ z: ~0 v/ a4 G, u* t# y+ D办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
0 Y# I7 Z: {, A5 u+ U: z拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
+ w# `/ p' Y/ f# \  O& ?& R  j在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
5 ~  k- `/ j3 X3 n5 s逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
( a4 @$ ]  [* V0 S9 @( A9 c  S" V作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
1 T- ~1 i. o; O; y12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
4 B) d9 L6 F4 \5 ]& L优化问题，对各省发展状况进行评判
! ~$ f5 m( I9 n% e6 x13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
- ]2 R2 Q, }5 B* V( u解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
$ ^: C+ r, t  O5 @$ L# `15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
! t4 ~: u5 A; P1 L3 L来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
6 N4 M( a/ g# T9 C* f9 s该方法做评价比一般的方法好。
1 r6 a+ ~) N2 g' y0 N$ E# l16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
# a3 z9 Z7 K0 t6 {( r协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
6 w8 z" W/ J: v5 u! h* [素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
4 U6 D7 }, V$ \0 _/ m3 c此外还有灵敏度分析，稳定性分析
. D) y! g; j$ c3 V8 k17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
% u0 G9 X+ R/ F# S0 J4 {* d7 D8 w模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
. a1 E8 \$ e$ ^: _- }* Y4 F18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
1 @) I* R- [. v非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
6 |0 E' ]+ A+ {) a2 g智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 p% }3 y# i3 N- I) y算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
: L; K, e& Z; P) k' I9 f19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
- x0 b" h5 U. q6 r4 S! I# _排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
, \! u& n: p* B) S$ @" I有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
2 j0 }3 ~/ T% h" b般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
. G. ]& Z1 h  h2 L: E21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
8 K0 R; h' x# c& X' h例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
! R4 _! l9 i. K/ e1 i& W支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
  C$ Z' {+ E5 O  g, ^: K; L射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
) Q# I- ^9 \$ b8 K7 E! c9 b1 [0 x1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
' y# Q' U& P1 o  p; H3 |各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
& S- @" W0 j# A从而达到降维的目的。
( `  @% v- T' ~4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
( |4 j) c. f, y" f2 Y- u8、偏最小二乘回归分析（较好）
  C7 l' J1 ^3 F  \8 z5 j$ U24 、分类与判别
! b* v, F& n3 `) e. z+ {$ D主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
* f. v0 k: K) i9 O% q1 c% Z0 d2、关联性聚类
. ]; c( q) b3 _$ g/ m4 b$ l( ]! z3、层次聚类
( e# W" Q6 M; W4 ^4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
" N& Q$ a$ j& V' P" K25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
5 X6 C$ k+ q& u8 l6 N6 ~" w3 }/ C2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
7 q8 n+ h8 K- f7 `! X6 J7 E3、Person 相关（样本点的个数比较多）
8 e5 E2 @- p* t/ q3 B0 K- K* h4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
+ L6 r% j" j# y1 u: ?% k（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
4 `- U) r3 R2 L若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
6 \( q6 V; W+ n8 }  z9 n2 V4 v/ A* h7、生存分析（事件史分析）（较好）
0 H+ {" Q. `7 _% q# Y$ U数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
! A% `4 ^7 }, E% ?9、优势分析
  i, h1 s* Z) E2 N& _( z5 e26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
6 T4 Q  a7 o9 V4 U8 W& X9 n6 S量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
, I. ?9 J; U/ R# T8 ]0 h率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
6 B# Z2 b0 i, q) O% R4 X————————————————
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% A; v% |& }0 b  N原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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