数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
3 J# N1 b; K2 j- J) T# M, @1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
5 Z7 K8 i) t$ o! M) \0 J2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
/ X% n, J! I- R0 E6 @2 ^8 u性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
5 a" Q1 u4 T$ J# R+ [/ g人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
) E  o7 I3 M0 m$ v预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
! X2 a  _; x4 F一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
% t6 o% J* ^  A' K  I( d比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
# D: J: v# c) s国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
8 v' a& A7 u! [6 P0 w! O运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
5 s! w2 }+ K* H6 W1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
* t. b& @, L, N0 v% o1 r/ C以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
. ], ?: a. n& k, X7 a2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
) `4 R. f; J$ K: |0 w* x法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
- x2 B  W) n3 y  p1 W* d6 w+ }4 、图论算法
9 n2 H; z! `+ I  q  d% w这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
; a- l+ n' E( x论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
" W5 A3 z" M7 N$ X; \5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
. `5 _+ H$ {* ^9 i$ ~: b1 J这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
7 D0 d6 a8 y2 l  s& y6 E5 y6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
) i7 H! g8 O/ k  \  l9 j帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
3 c  }- v( B" `7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
2 F% i9 B: P2 O4 U. ~  V) |: A很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
7 D  i* Q. k7 e6 j1 B5 W4 S据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
1 p, V! V4 E/ [% ~. A) l4 C如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
! G. D6 t* [. S6 x8 H10 、图象处理算法
  _1 f$ p: `. w0 s. A6 s7 Y赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
$ f- P( w. {; ]! o5 \& K2 K% b; K9 J算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
; w! T/ w& }9 X& f; @解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
/ Y& }/ T, W/ X①数据样本点个数 6 个以上
6 A+ B( d3 u: L; s: i# Y% M' M②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
  z, l5 D/ _: u- E2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
0 q/ a) F6 {& _' n其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
& T- C2 K' ]# {2 j7 N化； 样本点的个数有要求：
3 f, p# w  A% V% c/ K①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
/ s* ]$ ?( z: T, m* v概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
1 Y. _! D8 {  U/ s5、 、 时间序列预测
- K3 ?! d' N9 _预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
* r6 M9 R! B# f（较好）。
! M# ~. @2 T# E8 H6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
1 ^! k9 G/ c! \, E' m0 r- a( q: m# }预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
0 G6 z7 Q( c7 o* g& x9 S1 E' L7、 、 神经网络 （ 较好） ）
8 L' |1 k4 |' e7 w0 y9 J3 |大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
0 _' R% S; d0 h, i& z2 r) p# t办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
  t- z/ \" o6 y- k. e) M8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9 P% ?+ m/ p+ j+ X8 q9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
( a% ^1 ?! f! s) I& s: _5 Y, {: W7 S拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
* m  ~# t* v' C逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
( `) d: J- S0 |, K' v8 k+ n评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
5 r# r6 h0 `+ ^13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
0 p) n2 {* }1 b7 |# G. ^6 F秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
/ Q" F* w- D4 l4 L! S" p/ G( R评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
8 q5 Q. B3 R  C: Z! Y解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
! j% L$ S: |3 {1 J可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
- m; y* _8 |# K3 X+ n! k16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
7 c0 z# R2 C! I$ i4 I7 k1 P( F素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
2 o+ R- X# w' c5 ~: y17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
! f& y; ]+ v+ J* e" ~' ~! y% w  M模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
2 e. Y! z5 V  H6 {8 Y+ a4 |+ h! T% g18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
& `2 L* ]& Y" y, ^* @! v: u, T! W6 }智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
/ e% @' d7 d+ [6 j# X6 i算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
( a# a# k8 b6 p$ H; A) d) ^19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
, F* u* r  Z  v9 \+ r3 U1 Y离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
! u  a1 o, |1 |5 f20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
) ~5 c3 V& W; J- m- {) y有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
: Y+ M$ J# [1 L/ F9 N4 B般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
0 A: ?" m0 X# K8 \) s( W6 cMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
+ X" V9 p# ?8 w# y8 `! ?1 f3 ~2 J22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
( n( Y4 @7 t6 E8 O. S! l* T; z3 L  g支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
4 T1 N4 D8 _* m; |射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
1 ^# D9 V. X5 o+ U7 i2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
3 ^8 B, R) |! V2 a* }* `: Y) T从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
& @3 f$ Q" A; r/ {8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
- {/ j: R" j# v4、密度聚类
5、其他聚类
4 v( z( r. i3 r0 w6、贝叶斯判别（较好）
9 q& \' T- q: T( n; C  ~0 w7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
+ @* n% L; \3 l: n( q25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
3 o- @2 T" ]3 }4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
4 N- C& t( {. |5 K7 V3 e) C; J5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
; f) B' b8 x6 ?4 j; m+ T/ f一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
- o1 Y0 E" J! u* z) B, s+ W7、生存分析（事件史分析）（较好）
& E5 H1 b: H6 q7 k数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
& c. c) [8 S( g2 T/ _. Z% J. o; M计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
/ g" K% f% E1 S6 H9、优势分析
% ^5 G, F6 W. i2 E; S/ F: P1 m6 d26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
. _2 e0 M, o) l/ C6 s0 b率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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