数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

8 p( O6 {  h* y4 Q7 h- U( D3 L数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
& B  x4 p. ^) R% }; h型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3 ^: |# M5 D% P% e! a, [* X- u3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
; g0 E: P" L6 T: O, u3 A' a. v一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
" I1 J( x- ]* z! A有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
' A" h4 a/ B, V& G. |比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
! k/ X9 \# c2 b: }# ^6. 按比赛命题方向分：
3 w% e; b( j2 s% \! F) y5 L% @国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
$ {8 V# u) L4 c+ V4 g' U# S$ ~该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
! e' ^5 f# K3 c以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
0 \( B: R& `' C3 ~8 O2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
% y& t8 k( U3 Q# X$ e1 l比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
! F* C$ Z, @. R7 v6 I# [0 ]3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
/ m2 Y2 ^% ^! m建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
( p+ p0 d- P  X$ g7 v这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
- c4 F5 N6 n' r: }) i; [论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  ]4 b; L: B* E: K这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
; V6 G: s# a' k, l* A( ]) h. ?* [! Y这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
- j% F, p8 Q$ ^3 Z一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
) _2 V9 n, t; o! S8 t( P) o: p6 ?- T很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
; ]! h1 t2 ?3 ?. h6 I& O: }据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
& L( T% y) [: g' E& j如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
0 c" v' Q8 c+ @5 z0 ~4 k, i的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
& M' E1 n' g0 l) d  p% ~2 G算法简介
& J* N* s" c( \1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
" z" B! [" v0 m' F8 k个条件可用：
" w( Y( P, |9 t8 L①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
$ `0 D/ L' w5 a+ O3 x微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
. N. u% l0 T( w) R2 n% i8 f①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
, |0 t4 x. G! Z3 ]1 S/ s7 f4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
( C. m/ o, H: ?2 f& J概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
) u' B, c$ Q" F, |# }5、 、 时间序列预测
/ A, I3 P4 I+ p: ]$ W预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
3 Y) X9 N5 x5 c- P0 ?数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
% ~  L4 _. k2 v+ @7、 、 神经网络 （ 较好） ）
6 `9 q! ^1 A0 W, S大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
& k+ s( P/ g% J! V4 _, k8、 、 混沌序列预测（高大上）
8 i) `' T/ E' {0 ]1 I4 i适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
; T7 k* {; n* o拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
* @: K& L. d; z+ Y, w( k* U9 w作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
4 F0 w; @- u* S$ J% X12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
  ^+ X4 _# v  ?) G优化问题，对各省发展状况进行评判
, d: j  O7 J& |) {7 X13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
3 V0 m# X2 V  r  m2 ^+ J5 ~法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
/ J4 Z( d1 q/ }3 }* B4 R评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
4 `+ N7 [- ^' C7 Y) Q: h/ P" b解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
, {, z: J# n6 i: f1 Z' D, i" \的最差值。
5 m. n' s5 ^' }* `15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
- R* ^( _' Z) e+ ^3 X方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
5 z% _# Z; ]$ }2 w协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
  G7 @% Q. V+ v6 Q% ~, h; o, n模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
/ w& ~/ I; L. s* [/ y' O: H% I$ l优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
6 C+ [. |! _, S& P% g( G智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
9 i& Q' m7 ~2 A9 ]5 o其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
7 W, z5 m0 F. B0 [  m19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
; v! v! U. d+ B; l" a( |" t20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
5 w+ J9 _3 G' j2 ]即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
3 h, G+ {- R9 X* [4 d; u/ s" X般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
0 F; E6 o9 I) Q: }3 D支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
8 o" D8 e( p- }射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
: x3 O. U! {. z5 O+ _; p23、 、 多元分析
/ Y( o3 E; k/ j- a1 d' I) e1、聚类分析、
- t* ~+ l7 V' ?  u; x2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
. o9 W+ t' i* j/ C7 p' N$ ]9 t5、典型相关分析
9 |5 C& z; Q: x) x( @+ B% ?6、对应分析
7、多维标度法（一般）
& ^# Y5 z. ?" u8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
- B- `( e+ @2 Q" [+ L1、距离聚类（系统聚类）（一般）
$ C6 p) C+ v1 K: r$ l/ {& S# k9 F8 f2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1 Y5 B& g% m. L7 l( L1 c4 f2 T1、灰色关联分析方法
( X( }/ a# E0 T2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
9 ]' F7 O# }: `' _% u! I9 h9 n5、典型相关分析
* L4 V7 @2 `9 I) f: }' ?（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
; ~1 m- ]. w* V' B2 [1 ^一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
( ~- Q' `& \7 X9 u若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
5 p7 i6 M/ n% _0 @- l  b' g8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
- G8 M) c/ d" Z; V% {量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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