数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

, M5 N4 {  B$ m9 T. T( X数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
" @6 Z: D# j+ U9 b1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
7 c# ?: l' S/ I% S% e2. 按模型的特征分：
6 L  N+ U4 @! U4 ]" B( J8 t1 }6 T5 ]静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
5 j% ]. F/ W0 Y3 y4 O性模型和非线性模型等。
) I: W# ~2 r" x! l3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
2 i/ |. p5 d2 ~4 I4. 按建模的目的分： ：
4 L/ m; i- R2 l* M  q- T! `预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
9 f; }; L% m2 i7 ~有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
, N" G! A9 _4 W) @) F" N- T* q$ s比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
! r# m8 e, x3 r* }6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
. @- o8 C8 M8 ?6 V1 h1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
/ u2 |6 f( h3 y& ]% r+ f比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
/ I7 o* v0 a" ]/ R法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
! ?4 m& T' I8 g! ^  _5 e! o* [1 j- s论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
) ]1 l: f9 z2 D7 w) O; |这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
) q5 i# Y2 |# q. S5 V% G5 @当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
2 |- I. s6 ~# B0 m, t0 c6 h8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
; l9 s& H6 G, g) t+ m5 Q9 j10 、图象处理算法
6 [6 Q4 {) d8 @1 `( ~& v; I7 ?- S& @赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
( X1 W  A0 L1 a) {% W- Y" X1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
! `: L- l7 |$ d3 V& y% E! u- o: n) y' x0 m解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
$ x& X* |; k2 Z. G" ]1 Q- |; c个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
5 E/ ^( q, q3 x( r1 b8 }% I其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
8 X" v  O/ I+ Z, `②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
, F$ r. @1 D) @& `: D4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
  y$ x; R. P# P" x互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
' n' x" y; ~2 N4 f! l- }  r预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
3 r5 q, E# h, K/ i+ X（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
6 B! O& o8 h  }: j" L预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
$ `' e9 w0 i& v1 O9 c# O3 P7、 、 神经网络 （ 较好） ）
4 W% v0 D7 g- T8 Q大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
" t% M+ @2 t' j* x3 Z5 y8、 、 混沌序列预测（高大上）
# s8 Q) q3 @$ Q+ ]2 s; q适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
& C5 g1 {9 L  O" |1 x9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
8 t* n) v& j* R% Y0 ^0 t* A( {, |3 z* D拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
) d4 u* S6 u! N  l逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
* _/ d( z; ~7 M" ^10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
* R3 [9 H& p5 j7 }& q评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
0 n- n7 y% d* A" o& T12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
( ^* k. w$ B; o2 I  ]( S13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
: d3 O1 L" q5 V0 ?9 n! k, o法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
3 A$ ~# @2 ]1 k( \似。
( a, u# ?1 h# n14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
; o; O& p1 C% `) S' y9 [其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
* `; X6 c: A* E4 e6 y评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
9 g  m  f! n1 ]6 U- j解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
- s3 C; [0 ?# S& w3 Q' ]的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
$ E: P. c2 q. k4 N可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
; r3 @" [3 J' H, J  k来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
! l) O: Q! v$ ?6 u5 q$ M1 w2 l' r  w该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
2 p1 g7 v! W' n( @& ^2 ^  W# Z量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
5 z2 T6 j; T9 X2 G8 _" a( H此外还有灵敏度分析，稳定性分析
% n. D! ~" y: n8 g$ A2 U1 M6 s  @4 N17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
4 P8 I6 T0 C9 T1 Q模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
0 K1 E+ s% u! g优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
8 t. d( t1 \9 o' `3 v$ R! D智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
% r2 @+ o, F: c# C* F, C3 n其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
( o  \( u8 \: a4 v8 I9 d" H19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
# t1 t- A$ j2 S8 ~" {0 y离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
3 A. i8 {  A, N1 B20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
- e+ [( l# K4 [* ]3 ]9 r排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
6 p. y) _8 w3 M6 t& z; s! O# q+ k) Z有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
! w+ j% A8 y- N: J; ^5 A# ^5 C# T计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
9 x5 m2 j1 K. X% C  w6 G21 、图像处理 （ 较好） ）
2 J4 P. ~* j9 M, fMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
' I% G; X# M0 r2 }4 }5 p2 {例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
1 N" i. k! Q: Z射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
: g9 B3 n/ f! j5 L- [1、聚类分析、
2、因子分析
, m' d4 y- |: b3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
+ z+ e; L% e% T5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
# v: A! p- w2 o# I6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
  H( \9 Q1 W/ g. Q. x2 I8、模糊识别
3 {- A" H/ [' i25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
+ N7 I, L' y7 H2 |! t4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
/ ?- p* f* }4 [# S6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
; o7 C5 w9 `9 h* v$ h7、生存分析（事件史分析）（较好）
1 z2 z/ I7 U  Y, D( x6 a; m+ O2 k数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
- R" }9 ]0 K4 f3 E2 E1 w8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
+ C7 A$ o: J% K1 A) g26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
, U. N! l$ E5 L8 x1 a& U! P量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
+ `& j( T% l, {率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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3 m( ]( z( z  P! u/ s1 J原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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