数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
$ T1 b  }+ t. A3 p* r% D* B几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
4 e- ?1 u7 J; X8 {! \: {型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
7 L6 B$ N( d' ~$ ]& o. t静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
; ]( g" L9 L( d& h性模型和非线性模型等。
3 L' H" i: Q% Z. A3. 按模型的应用领域分：
$ A5 a5 f/ ?5 s! M8 D4 n) t/ `) X7 \人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
0 z. e! }0 w3 x  |4. 按建模的目的分： ：
/ H3 s  Z0 P$ M' S" Y8 \5 p- [预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
/ E& ]2 \/ H  L% C; k/ E8 j4 Z一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
' v9 @5 I/ t/ b& }往也和建模的目的对应
9 d8 b$ P2 i9 x6 Z/ j9 s5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
- q1 W. \% ?6 _3 N比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
8 l% Q: L3 ^; D" D% R1 h6 x9 H& m6. 按比赛命题方向分：
; a' \% D  o6 Z/ b' l6 a# _国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
* y& N+ E/ ^) Z运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
9 S3 M" k7 c. y2 e0 Z9 Y8 F数学建模十大算法
3 W: L1 I- A( h! x1 、蒙特卡罗算法
( n' r& p4 w6 _7 I+ D该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
' A! z3 t6 L) X/ [  ^" p' B以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
+ u4 E8 ?7 ?! n$ G法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
0 {* o& R, e; G, _5 f4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
' P2 N) L0 h$ H8 _# e: t* Y; @论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
2 y% H6 x: j- A8 T( m5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
5 S: a3 ~4 v% h4 L& |! @6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
( W% t% S7 A# V2 @/ [3 @& G! b这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
6 A- W& a5 e0 N1 R8 z1 O& ]9 E' a  T7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
) o" ^- a2 k6 l# D0 J8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
' b& d4 n( J' V! W据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
+ p5 n; [+ O( X+ N9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
$ L/ D+ n( u" c( L# c  W如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
( a/ ]( d3 L! M- i4 W( S0 h3 I10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
3 y  ]$ d) Q/ S. r& [9 {6 j+ O算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
% c' F7 f" p9 g0 u1 A( H个条件可用：
. {1 J+ X8 x8 X( l6 f! j9 g①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
, h7 j5 v; m8 }- d1 r/ K1 k2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
3 t5 i" Z8 ]6 ]0 O5 k微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
; s* f( s0 |3 w; u: F& ?其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
4 H) D6 \. }; a: i2 h+ \找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
- S# G: L. Q) I2 e0 k  g& [4 ^求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
6 W1 ?, ]% W% |/ i. R化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
5 ]3 m7 Y, _) |9 W4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
6 _  c5 @6 \' ?, j一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
8 f# {2 p( q0 D0 U概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
1 |9 H, [# O$ w% U7 s' N5、 、 时间序列预测
$ W, [+ N1 C+ o$ |) ^预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
/ k% h3 O% T) ?) b4 g$ n9 E（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
- p, ~& q1 m9 x2 s8 h" n+ M数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
& v* K4 a9 G- d! J# [6 A8 l预测波动数据的函数。
7 g( Z' ^6 i' v2 y% G1 l! O. k7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
! C) y3 E- A# X2 Z, n办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
4 j. F; t) x  s, R! {+ L拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
( E1 f8 x! v+ Y; S2 v6 Y; B逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
0 m' X: D" h2 d5 |8 _; d10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
0 N* G' J5 o" S2 r5 l. M11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
. P' a* h6 d- `12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
0 l  {& s9 R) w! X/ n13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
* `. q( W' \) P似。
: \6 r  Y1 k. k$ \14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
! \$ d# J% |2 y5 c! W其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
; l- ]1 O* D" N, [$ d评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
6 A4 b# t; a: x的最差值。
1 c" }) _5 O. }, |( {% @! B/ S: |6 k. M15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
7 C% `/ h, O8 `" Q9 [7 r7 b17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
; A$ \' p* X) t7 E优解。
! v( }9 E: z, X; P$ k18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
' D6 M8 N2 t, w/ g非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
+ u. F6 I& y; ?) G; [' h+ p9 d算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
6 c1 V& t( a" O- A, u5 {  [19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
' f, @2 S- i, }3 S离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
$ t, d* d. S+ E2 k" C20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
) a. J0 D4 u8 d. l2 t有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
& x  \! X( B( l5 y! x般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
+ s, ^! Z% [3 a+ ?21 、图像处理 （ 较好） ）
. C3 T8 p  p' kMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
- Q2 J2 L% h( D# b" P例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
( T, p) E  E6 v( j22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
, q& h5 n$ h; T支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
# f* H& o0 c4 d( ^+ n射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
, d, ]. _- Z6 j, B1、聚类分析、
2、因子分析
6 ]3 d7 y! q6 ?! Y4 S" Z3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
' w  U- _8 _0 k( r1 d% _& M4 D* Q各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
: M, n5 p; o* Y( P" R) z- f2 ?  P从而达到降维的目的。
4、判别分析
' \9 }5 d9 x6 z8 r5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
8 |. @, O+ j& O9 Z: U4 B24 、分类与判别
9 b1 n% f) @7 a* B4 S" u5 Z5 U主要包括以下几种方法，
" A9 ]4 K$ d+ Z: S/ G6 M6 \- o1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
9 J" R+ ^" u. N3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
% l. L3 A" C5 m  O. E( y+ a8、模糊识别
25 、关联与因果
' C/ q" ?- K* d& i0 ^9 X1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
' K! s4 o' K7 |1 w5 |9 K/ c4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
4 @) }2 X6 f0 [* F7 l7 M% t' R0 _6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
- @' g, Z! {& _. m0 R; i8 a1 {( c数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
* `' F$ S& f) v9 D1 n: V8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
3 P* |: u2 O! R3 x2 l9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
1 P7 e' m: D! x  X量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
: B! |' h7 i" l# I$ P" B————————————————
% x! ]& b$ I7 e" m( Q1 ~版权声明：本文为CSDN博主「Data_Designer」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964

1 A) y5 r! I( P$ d! B% `# i