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数学建模-常见模型整理及分类

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杨利霞        

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    开心
    2021-8-11 17:59
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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

    群组2018年大象老师国赛优

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    1#
    发表于 2021-6-23 17:24 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    ) d% s$ O* q5 D; v
    数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
    8 |. r$ f* k1 ?' d% E1. 按模型的数学方法分:
    " }( R% r+ N5 _: S5 j几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模' H: o3 r, `& N( H- O; r
    型、马氏链模型等。
    3 Y+ j9 ?" m1 ~2 W2. 按模型的特征分:
    % ?* y# j6 Q% m3 @. N+ r! C: f3 V4 m静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线. y4 `( }2 B+ G7 j5 O
    性模型和非线性模型等。" _, K. a7 u# O9 k: D
    3. 按模型的应用领域分:1 K3 s9 m1 _  V3 @2 V! x9 u
    人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
    5 I6 R$ i7 e8 M# v4. 按建模的目的分: :
    2 }; A4 [) u; L5 d5 U预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
    0 x& A- ~8 N  g+ [0 P/ `, o一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往3 J0 f1 V. ~5 |* J% h! D( a9 B$ K
    往也和建模的目的对应: d8 p" f9 l+ R/ q; C5 ?" R4 {/ ~
    5. 按对模型结构的了解程度分: :
    ( e5 z6 H' O$ o+ l$ g. t* `有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
    7 x1 h! ^" c5 C% Z0 n% S比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。
    - W$ z' g" O, t3 a6. 按比赛命题方向分:
    5 k7 Q6 h3 v4 P* {3 |国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、) R) y+ H! e1 ]* u; v
    运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)
      U, `% `0 Z2 Y0 O3 ~数学建模十大算法
    9 @& D) N; G& q+ y! c1 R+ f1 、蒙特卡罗算法6 I* S- n( `" H1 M- d+ P! L, M9 H
    该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可
    ! J: D! m% w0 V! ]& Y$ w以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法
    ( J" c# ~( H- Y; a2 v2 a/ f2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
    & ?6 [4 `; y% x* b2 W比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,0 {  o! |! z7 C1 L6 @& ?8 ^
    通常使用 Matlab 作为工具! L! P6 D/ M3 {% N; b
    3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
    ) o* O! |. Q' m建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算9 @0 w4 D( Y9 [% Y$ _$ t
    法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现! n/ ?# z5 O$ k7 {4 @& v/ A( ~+ J
    4 、图论算法
    5 F" O' G$ \: e- h! V这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图' C5 ?; g3 g) ?3 U% k1 ~! S, H
    论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备- Y$ K, v* k! c
    5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
    $ ~2 q; V& M; I  l5 j8 v% _. @这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中4 _6 N2 r# ?' a. f& t3 n) q
    6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法7 y$ @* ]8 `, A. j* C
    这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有" E) h$ M3 l% D+ F! A1 z, `, a
    帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用
    ; @4 o, y. e! U( U9 l4 z( t- l7 、网格算法和穷举法; z# C1 j3 e* a1 m/ G
    当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用
    * c8 x% V( U9 R8 \" ?3 W一些高级语言作为编程工具' ?: ?+ l8 Z% y2 V- F/ q
    8 、一些连续离散化方法  H- A/ k  p0 f
    很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数, J% Z0 i4 g5 z2 Q1 e% w! Q5 Z' |
    据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的0 S! o/ O- u. c
    9 、数值分析算法& J2 I8 P* F6 n$ S1 z
    如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比# e$ N4 a! {' v) O
    如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用7 t9 m. i4 O: I! @' S4 @
    10 、图象处理算法
    1 P+ ]  v- h: x) O赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片! w( \2 M- a% u6 d3 S: e7 d
    的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进* ~7 l2 L5 t6 W# ?' D3 x
    行处理6 D+ i' x9 h- k2 s
    算法简介1 B" m5 w0 `) F: B4 _9 w, B
    1 、灰色预测模型 ( 一般) )# e9 {  i6 |, {' W  l
    解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两0 O) ^# D2 b, o; n' [$ q, z
    个条件可用:
    3 L# q2 ], T* h" x" q6 g8 k* `8 [①数据样本点个数 6 个以上
    : Y6 s. F  M6 a. s②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大
    % U7 r4 Q+ q" G9 l  [2 、微分方程 模型 ( 一般) )7 W& ?  b% c; F: I" O3 L
    微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但6 G+ d" `# @+ b7 A, Q; [
    其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以/ M, F, n, n$ r# e& o
    找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。5 ^1 j/ x9 G- z
    3 、回归分析预测 ( 一般) )$ s  \# T/ r  `" t* e5 [* U- _
    求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变' |) p* M& M; \6 l6 K4 A' ^
    化; 样本点的个数有要求:
      [- M5 i' E7 t+ r①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;) s. `! g# B  y$ O) F* E! r0 ?1 r
    ②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;
    1 b2 u2 f% C, ~1 z& l) Z4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )
    4 e! r$ c- h3 }6 C9 Z一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相
    + x( }) y+ }/ D, K$ M3 h: g互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的
    - ~% k$ V* A4 n# A8 `) o概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。
    " g& }5 V8 @+ W5 C  y% \2 [0 C. k5 T5、 、 时间序列预测
    * Z" q/ U, j. O; b6 ^5 V预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA' }4 h4 t) W6 X; |& S4 A
    (较好)。0 ]) Z7 G# o( ^6 z; \8 N
    6、 、 小波分析预测(高大上)6 U6 ]0 @) u* s  j" m% q
    数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其; w" l& y% \4 y
    预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的) i2 `; \# a- h8 }9 I# `: C  o
    预测波动数据的函数。
    7 |$ j& B% f( D7、 、 神经网络 ( 较好) )0 _9 X7 M1 V5 g4 }% R+ I  Z
    大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的
    2 B+ p5 K3 F- ]1 o& s& }办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。, c1 G7 P+ O3 Q4 i3 W
    8、 、 混沌序列预测(高大上)
    7 t9 e! X7 |) w* Q! Q2 r8 `$ h: m适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。
    ( S. `2 C# ~  \! e, r9、 、 插值与拟合 ( 一般) )
    3 p! O* r  h0 W拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别8 x0 I: Q  t) s! i
    在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;2 l7 }8 O. [1 f7 o5 ?# a& z
    逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。+ _9 E# s# D( }# u/ H/ U7 O
    10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用1 ^! V9 S' L/ r# ?8 H. {" Z
    评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序
    6 v9 R( {! K8 g- k, q$ V11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用
    3 P3 D  P/ V8 z1 P% D! j作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策
    + g5 Q! _, c3 l4 ~0 A9 \! Q$ d12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) )
    0 T/ _. ?; p9 _+ m8 j优化问题,对各省发展状况进行评判% y9 p) u/ p  e# P; b6 `5 ~4 v! b
    13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )
    - f& H/ X, |, V" w- i! E秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权- u9 N4 n9 x: Y' S% t9 w$ c
    法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类2 h, O- b1 V$ x4 a; z
    似。
    6 a* v( \' y. F) G# }14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) (备用)- t$ g2 O! S' B. ?3 q. I' Y
    其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若
    4 G0 p/ ^) [. V$ m; [评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优
    & H% ^! i" f9 |: B# ~( c" _解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
    ! C) j, b/ o2 x+ u的最差值。7 J+ ]9 f1 m3 R
    15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )
    2 ]# x0 w' J" I; w/ s2 Q' n/ [可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出
    2 S6 L  V4 \& p7 j$ \来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。5 B8 A3 p/ J: g+ b
    该方法做评价比一般的方法好。
    ; ^+ }9 \' Z1 d16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) )
    , C4 R* P+ \5 d, [; g+ f, H方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产% E, Z. t+ q  z8 r- U* V
    量有无影响,差异量的多少
    - N- _! E$ i. A协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因* ~$ Z- S. [1 n- l3 g5 [/ V+ ^
    素,但注意初始数据的量纲及初始情况。, t# |" l& U' d9 w
    此外还有灵敏度分析,稳定性分析" \# ^$ l  l6 t7 d8 W/ @6 G- x
    17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 ( 一般) )  |5 f& G3 J; X$ J
    模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最, t5 G, U' O* ~4 M
    优解。3 M4 K! k  \/ Q* d' h. Q
    18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)5 @. q) ]9 B: B. U0 @
    非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题
    % g4 m2 a! c! d* q- i# |0 u智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
    7 I0 U+ F+ B! B* o5 l! n! C. N+ P" W4 E算法、神经网络、粒子群等
    ( i+ k( j/ q" R$ M8 c3 O# |其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等
    ! k! H2 t# Q( J19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )+ k! V/ J, g& E8 u9 @8 d1 J9 j7 w3 s
    离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
    ) A9 Y8 F' m9 R$ g' {& R, T5 z20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) )5 t1 q3 M8 V: Z/ H6 t
    排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,& V- w/ V: T4 P
    即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和6 @8 G5 S; z( }& @& w
    有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。
    ( q: v6 P9 n3 J4 z! V计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一
    3 O, w- V2 N  S6 J: \; m) _+ o( ]) x般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。% |5 N8 g# P9 k3 b8 ]/ C4 w1 X1 N
    21 、图像处理 ( 较好) )
    8 d. ~: f4 K. Z1 \5 C  j4 |2 D" EMATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。$ z% \/ x2 n) o( s, h; |, L
    例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。- G9 g5 C$ B1 g: K1 q
    22、 、 支持向量机 ( 高大上) )
    + j* p; l) L( S# Z1 ^% S支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映. N2 ~" S# |' G$ I( i3 ?
    射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。/ w6 t' f0 `% e; `9 E  [' {0 b6 E# |
    23、 、 多元分析6 I2 F+ m8 ?1 |( _3 u
    1、聚类分析、
    ) |+ Z6 l5 \. m- B; e2、因子分析% V# l/ ]. S, F3 p8 N6 w
    3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析8 O7 v' O1 L; S; E. m: [9 w
    各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,0 E" R' S" t2 V7 y$ Y9 P
    从而达到降维的目的。1 b% [; ?  r6 C
    4、判别分析
    ! \3 g+ N" O% H5、典型相关分析
    7 D# W5 f7 I- e9 N: I; U6 w0 o8 |7 o9 }6、对应分析. I% v; ]1 Q; e" g$ N
    7、多维标度法(一般)
      M+ x* S' l% j- t1 A  _8、偏最小二乘回归分析(较好)2 ~+ z1 Z. S5 {! e$ Z
    24 、分类与判别
    9 d* }1 S  z8 K5 ?* I* f主要包括以下几种方法,
    + B. X, B1 r1 z9 S6 k1、距离聚类(系统聚类)(一般)
    % e  u2 I' u3 c3 @# V5 v& X2、关联性聚类8 T0 n' q* D% n8 D1 u. ]5 G
    3、层次聚类
    4 i' K* y! q0 c. l. a* W# W4、密度聚类
    ; R0 I$ G! t" }5 F5、其他聚类
    . J6 T7 ?9 F* R( W) {$ d2 r; I6、贝叶斯判别(较好)# K/ u. q% u* F
    7、费舍尔判别(较好)' x! q6 _0 z& S0 N9 Y; I- V% E
    8、模糊识别8 T: j8 k. ]# l
    25 、关联与因果
    - R4 z) P- ?# O2 g: z1、灰色关联分析方法( ^( C. z7 z8 N4 p
    2、Sperman 或 kendall 等级相关分析: W- x; U6 A: l) D$ _$ \
    3、Person 相关(样本点的个数比较多)
    7 i8 V# i: ~) J3 o1 m4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)
    9 m; }3 l6 L. U& w5、典型相关分析5 }- L2 D7 `7 T
    (例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪
    ; ~2 q; D. y- p& j一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)0 }  k+ \" s1 O
    6、标准化回归分析& `6 S  m9 R4 ~; `; `! J  h
    若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
    0 V  v+ T/ t% A# y: L4 I7、生存分析(事件史分析)(较好)
    ' c5 y, P$ }6 B3 ^; e! Q$ ?数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响0 D  s: A* d- K$ W9 U" f. V- h5 p$ k
    8、格兰杰因果检验
    * w) F& k* s0 y7 H1 L2 S计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响
    4 q* d( K6 w/ n2 D+ B6 `* Y9、优势分析7 k2 ~% p) t+ H/ F) N$ ]7 s) ?5 }0 U
    26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) )
    / O3 y0 @) K0 D! U/ K量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速
    2 \+ G3 A/ h$ M: W6 d# g率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。# N5 K% m& S8 |0 K4 o8 l) o: W
    ————————————————
    & a' `4 D: m) [4 a* l版权声明:本文为CSDN博主「Data_Designer」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    3 W8 z% N6 M3 A; |原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
    ) i4 e  [* `. n8 e3 O
    1 C3 f1 v* S5 H
    ! \0 |9 b; y4 m+ _
    zan
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