数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

4 d. e# I7 x' i# y! t: W9 K数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
* n9 \$ V' h; x0 f5. 按对模型结构的了解程度分： ：
6 O$ G/ n/ K  p5 p" i有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
% ?: o# `; p$ F% s6. 按比赛命题方向分：
) `# b) {* [0 v: B6 \+ B国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
3 J, y6 m9 I# F2 U运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
( C0 A3 q% S8 W) }3 d* _% o数学建模十大算法
' v' \" @! n, ^5 N2 I7 q% e3 I! u1 、蒙特卡罗算法
: R# I( o" B& M3 p9 w$ H& b) a- ]该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
/ [) \* R8 S3 W. \6 r% f以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
$ |! D3 e# c* G2 z( n9 p7 ?! }2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
' A5 |0 H4 \+ ?) ?( w, K5 q6 s建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
* _/ Y/ M/ M( ]( u4 、图论算法
) z& c! t' t3 Z3 w这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
7 |3 b5 R0 |, l1 _论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
6 B4 A" o) D4 n+ H& ^这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
& n; F5 J. N1 ?) h8 ]; O$ I) L4 k, e帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
/ J; x: L4 T4 g# v) ]) M( o. x当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
' w$ c! X* h0 i7 X一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
# N8 y$ w  u% d6 V; O1 t# `$ r6 B6 Y很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
+ f4 D; P+ d1 Q' }/ u赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
  d% D6 a& p! x, f行处理
1 i8 J3 f, n/ f算法简介
) d( ?( ?/ c, e' S, J, }1 I1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
( y  s9 R' j* W4 Z! c解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
2 i& S: B( R* g: f' x②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
) S1 j0 z! x. f6 k$ ~+ @其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
0 H7 I/ ^0 _0 J/ p! }找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
3 t. X8 G2 `7 m5 \求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
! J4 V3 H6 U" O化； 样本点的个数有要求：
7 j. @! t5 ?7 d9 Q①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
4 Q! r/ d7 w- I: f* V  V一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
0 S3 q, v" x% g$ l. V! ~7 x% \2 S预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
! k* @, u# ^; u数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
4 _/ v9 q5 h. O, N预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
4 u2 i, t3 D% I% n9 k2 s5 ^8、 、 混沌序列预测（高大上）
8 z1 i: x8 y1 u9 t. V2 ?7 Q适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
6 `  `3 s( ~& G9 }! U1 H2 h# @9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
* R- B. z% m' E  E% ]拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
2 P) C: U# Q/ }& c逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
! n" k: F& ^$ U3 u5 i11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. q5 c" i0 \: H作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
" _$ b: i0 e: k3 s12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
2 [$ ~! d1 _3 I) x; ^/ ?; [/ e优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
: x; }7 T; d/ P# a. X- l秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
8 l# m/ S$ l& ^0 D2 J, X法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
& o0 r- j1 A8 y似。
" c/ m7 g- w: j14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
6 ]2 K; c5 U  [2 I; \  t7 [% U其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
- g0 _4 ^4 D5 v评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
1 q* N/ h; Z7 P, G1 x解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
: k2 F; q( y) v6 v" C" E9 M0 k8 P$ f的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
" V* \/ j, i0 E3 f% a( m该方法做评价比一般的方法好。
  f& a' J: Q. s16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- w3 n+ C4 y# l' w9 @/ B8 S量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
3 C4 h; E% V6 k' u素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
% b( {& D# e4 m  m* M17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
0 |; _: Z. z& l, F$ C非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
- s) P8 u6 R& x- |算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
7 z( f  M/ c" P$ {8 c19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
1 [: G& b- o' e9 \* R8 B* z% m1 a离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
2 G' a3 K- c9 U8 e) J6 g; M* X排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
( E  W5 @6 {$ K3 q4 }MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
1 U, W  Q4 ^. \8 I$ v例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
4 X; ^( `$ E& m/ s7 ~! N8 h射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
9 x8 y5 d7 D, Z/ S6 A. h2 [0 s23、 、 多元分析
" P/ u6 N/ p# X& c, r: w: o5 K  r1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
/ P: w5 z1 [( D/ T% t* n5、典型相关分析
6、对应分析
3 K# l; B! q1 i# l8 X" G4 z1 `7、多维标度法（一般）
  u$ `% s! ]  p' b! I7 g8、偏最小二乘回归分析（较好）
, y( @% o  z" t' O5 {2 u24 、分类与判别
, ?( C" C( i8 G0 d) x" j主要包括以下几种方法，
7 C# m) O. }8 ^/ g" y4 @1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
( r4 m8 x+ l0 I3 g- H4、密度聚类
5、其他聚类
& ~8 f2 p/ K# w7 ]& e1 P" C6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
* K% X# S7 X% j2 j0 ]8、模糊识别
; k6 b* ~/ u# |25 、关联与因果
" N# p. y" ~; G! |9 _' Z, b0 V1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
" o$ P0 c0 J# v3 Q' Z5 F（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
3 d" X2 i1 u0 k- ?$ d一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
: O- K+ F# ]3 H& j( U6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
4 {: N3 X1 o/ r量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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3 ~; j+ O! p2 M5 E: M! |8 |原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
6 A* z0 _' _# i7 F' l. b