数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
8 |. r$ f* k1 ?' d% E1. 按模型的数学方法分：
" }( R% r+ N5 _: S5 j几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
3 Y+ j9 ?" m1 ~2 W2. 按模型的特征分：
% ?* y# j6 Q% m3 @. N+ r! C: f3 V4 m静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
5 I6 R$ i7 e8 M# v4. 按建模的目的分： ：
2 }; A4 [) u; L5 d5 U预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
0 x& A- ~8 N  g+ [0 P/ `, o一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
( e5 z6 H' O$ o+ l$ g. t* `有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
7 x1 h! ^" c5 C% Z0 n% S比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
- W$ z' g" O, t3 a6. 按比赛命题方向分：
5 k7 Q6 h3 v4 P* {3 |国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
  U, `% `0 Z2 Y0 O3 ~数学建模十大算法
9 @& D) N; G& q+ y! c1 R+ f1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
! J: D! m% w0 V! ]& Y$ w以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
( J" c# ~( H- Y; a2 v2 a/ f2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
& ?6 [4 `; y% x* b2 W比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
) o* O! |. Q' m建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
5 F" O' G$ \: e- h! V这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
$ ~2 q; V& M; I  l5 j8 v% _. @这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
; @4 o, y. e! U( U9 l4 z( t- l7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
* c8 x% V( U9 R8 \" ?3 W一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
1 P+ ]  v- h: x) O赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
3 L# q2 ], T* h" x" q6 g8 k* `8 [①数据样本点个数 6 个以上
: Y6 s. F  M6 a. s②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
% U7 r4 Q+ q" G9 l  [2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
  [- M5 i' E7 t+ r①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
1 b2 u2 f% C, ~1 z& l) Z4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
4 e! r$ c- h3 }6 C9 Z一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
+ x( }) y+ }/ D, K$ M3 h: g互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
- ~% k$ V* A4 n# A8 `) o概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
" g& }5 V8 @+ W5 C  y% \2 [0 C. k5 T5、 、 时间序列预测
* Z" q/ U, j. O; b6 ^5 V预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7 |$ j& B% f( D7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
2 B+ p5 K3 F- ]1 o& s& }办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
7 t9 e! X7 |) w* Q! Q2 r8 `$ h: m适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
( S. `2 C# ~  \! e, r9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
3 p! O* r  h0 W拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
6 v9 R( {! K8 g- k, q$ V11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 P3 D  P/ V8 z1 P% D! j作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
+ g5 Q! _, c3 l4 ~0 A9 \! Q$ d12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
0 T/ _. ?; p9 _+ m8 j优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
- f& H/ X, |, V" w- i! E秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
6 a* v( \' y. F) G# }14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
4 G0 p/ ^) [. V$ m; [评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
& H% ^! i" f9 |: B# ~( c" _解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
! C) j, b/ o2 x+ u的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
2 ]# x0 w' J" I; w/ s2 Q' n/ [可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
2 S6 L  V4 \& p7 j$ \来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
; ^+ }9 \' Z1 d16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
, C4 R* P+ \5 d, [; g+ f, H方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
- N- _! E$ i. A协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
% g4 m2 a! c! d* q- i# |0 u智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
7 I0 U+ F+ B! B* o5 l! n! C. N+ P" W4 E算法、神经网络、粒子群等
( i+ k( j/ q" R$ M8 c3 O# |其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
! k! H2 t# Q( J19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
) A9 Y8 F' m9 R$ g' {& R, T5 z20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
( q: v6 P9 n3 J4 z! V计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
3 O, w- V2 N  S6 J: \; m) _+ o( ]) x般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
8 d. ~: f4 K. Z1 \5 C  j4 |2 D" EMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
+ j* p; l) L( S# Z1 ^% S支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
) |+ Z6 l5 \. m- B; e2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
! \3 g+ N" O% H5、典型相关分析
7 D# W5 f7 I- e9 N: I; U6 w0 o8 |7 o9 }6、对应分析
7、多维标度法（一般）
  M+ x* S' l% j- t1 A  _8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
9 d* }1 S  z8 K5 ?* I* f主要包括以下几种方法，
+ B. X, B1 r1 z9 S6 k1、距离聚类（系统聚类）（一般）
% e  u2 I' u3 c3 @# V5 v& X2、关联性聚类
3、层次聚类
4 i' K* y! q0 c. l. a* W# W4、密度聚类
; R0 I$ G! t" }5 F5、其他聚类
. J6 T7 ?9 F* R( W) {$ d2 r; I6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
- R4 z) P- ?# O2 g: z1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
7 i8 V# i: ~) J3 o1 m4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
9 m; }3 l6 L. U& w5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
; ~2 q; D. y- p& j一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
0 V  v+ T/ t% A# y: L4 I7、生存分析（事件史分析）（较好）
' c5 y, P$ }6 B3 ^; e! Q$ ?数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
* w) F& k* s0 y7 H1 L2 S计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
4 q* d( K6 w/ n2 D+ B6 `* Y9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
/ O3 y0 @) K0 D! U/ K量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
2 \+ G3 A/ h$ M: W6 d# g率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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3 W8 z% N6 M3 A; |原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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