数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

) z) Q1 K, @0 p# }  Y0 T数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
: b3 `* r3 Q" d! a" t9 R# O' S几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
/ I6 k/ l9 m0 J/ g/ z% s# T$ [型、马氏链模型等。
1 ~' a8 r3 t8 D5 t2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
1 |( Y$ _% x' I( P9 Z* X性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4 f4 X! H4 l6 n1 v% L) K- {( i7 X4. 按建模的目的分： ：
* L- x6 X. @  Y$ f- e$ z& D( R预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
6 s* N3 B* m0 B比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
& N% u9 }- q3 `& T国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
; a+ p8 T4 J1 e; C2 L+ M数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
" P1 A0 N/ _( w0 g) \% V$ N" R2 o# A2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
; z$ c- e8 E4 H: K% a: b建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
7 x/ u; z1 K( R$ x4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
) P* W2 R4 G: W7 `& g/ X: h5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
4 F$ s' z7 r% X: p这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
% a4 ~. r8 k) Y4 p4 L, k6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
& c: F. ^( X1 V2 E/ T3 L( w帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
2 }9 g0 M' \9 m* g& y, C7 、网格算法和穷举法
* |- G( m, r6 X- r当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
& P$ p7 ]7 y  ?; X- |7 `8 、一些连续离散化方法
- t3 \( U: h4 i8 s3 D. o* Z很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
4 U/ C4 T, K8 `) Z$ A如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
; j) u5 d$ p) j3 `3 _' T如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
/ s! ?0 n3 ~3 j* U& K的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
, D: R3 @% w2 H9 {( `/ A' I行处理
. R5 w' ~* _9 Q% p4 L- t算法简介
; s  P7 V% m1 j# u  L! P( E1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
; }1 ~. i; {5 o解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
! S6 J0 t  p- k& w& ?个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
: }  l/ i8 P6 p7 k6 }②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
/ @3 ]* @; s  q- _# ~6 ]2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
$ b# d7 R& p; n# ]/ r微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
$ ?9 K3 n" |9 f6 o; Y9 }3 、回归分析预测 （ 一般） ）
, S: S0 I0 |* J! P0 ]- ?, ^求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
2 ~7 t* G* Y+ y. _化； 样本点的个数有要求：
1 T2 A2 H5 q" s①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
7 d" g  q; i' _% b5 ]+ Q; C②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
) `, x" S2 Y0 S. M  b! T一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
9 _2 A1 f1 Y$ _" Y互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
. T1 P4 @& v  f0 d* `2 }" L（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
' K0 o( W6 E" N9 d2 Z  @数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
3 x% W0 w! _6 v% c; s: C7、 、 神经网络 （ 较好） ）
0 Q: n$ r! E. q7 C8 A1 x7 O: N( _& J大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
' ?9 ?9 Y7 S0 Q! l办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
/ u; h9 R4 r0 v0 Y# O8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
% k/ Q& N. D; N: d' Y1 ?% D拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
6 \- i6 C7 o+ L6 U4 k评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
2 A3 ?+ S+ K& @( r; v11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
( ?) L  v0 n) i12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
  n4 V; K% @$ D: C1 J# J优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
, q- [( @+ I" t5 R7 ]法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
; z7 H+ ?9 k8 o$ C9 r  n, w& m. u14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
4 ]3 J) s+ p% B4 V2 c1 c& \评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
. w$ R6 U; J3 N解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
+ T- g' T" V% h, T7 X可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
5 M4 w0 X, q  g来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
. m2 w) ?3 I# g  E/ \, `9 B量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
/ g, u1 D: M! ]8 H! G; R素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
- @6 ~9 }& b2 g5 b模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
. f0 J7 S& }) ^& \) Q1 h18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
3 l- d! q8 i+ l智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
2 S9 V* r; y7 ~2 F& a' c算法、神经网络、粒子群等
. z) H- t' z4 y9 E6 o, N  ]其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
4 ?6 |+ l0 V8 \- Q离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
; M3 G: c) b. V即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
+ o; x  U( c; r: P; {有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
; i3 f1 Y( ?( G0 p+ I! v21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
6 v- p2 A- \, Z# U( E! G例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
4 r" U! D7 x/ b* \2 D# H$ ?射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
" C3 j. J  d3 t3 d8 n* R4 l1、聚类分析、
/ q8 V! h5 c8 W0 `: H2 h6 I  ]1 i8 y2、因子分析
5 {% s0 e; {* z4 J3 z5 j3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
8 \5 p. P# r9 z  g% d0 x/ ]从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
- u6 N5 B  t. Z$ i7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
1 Z, l0 l2 Z' ?: @# n主要包括以下几种方法，
* d2 Z  r9 p, \" x2 |& a$ g1、距离聚类（系统聚类）（一般）
9 c( R1 X4 Q, p4 Z2 l+ m8 P; P2、关联性聚类
0 M+ o7 A8 E0 X: M3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
$ w: [/ j! j! X7、费舍尔判别（较好）
/ ^6 ^) _1 ~2 E( ?8 o& c8、模糊识别
& S8 X0 v  J$ g! N' q8 k25 、关联与因果
- J& j2 H* z( n% j2 m+ Z. K0 N" Y1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
) k3 ~( m: @5 Y% a3、Person 相关（样本点的个数比较多）
3 Y$ K4 E' P! j; e: l4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
& |1 b4 D. J1 E" j% |" E一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
* R9 @7 r' L9 A! S7 M6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
0 F- u+ F: W) `8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
1 I1 H. s% O. p" A4 x& {: W, @9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
$ o" S" P( c6 X! F! o. k% g率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 ~, Y2 _/ |$ b7 g6 Y. g————————————————
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0 G* x# b& N5 l6 L0 ~; n