数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
- G( d+ O. B; i! u* R静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
0 @4 H& i) r- e, u7 n9 W6 z/ b, h人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
9 }+ |* W( E1 L预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
( ]% Y; a* N2 m5. 按对模型结构的了解程度分： ：
5 D; o& a9 e# K有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
' e# A  l, M3 e, f( T  f$ y6. 按比赛命题方向分：
: x. f! o2 J( p. ?! t9 L0 L国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
2 z4 A! h" H6 i% h5 T% y* h7 e8 L通常使用 Matlab 作为工具
3 B% k( E3 c& m7 ~( e) Z3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
) R8 e5 x5 R+ R- @! H$ G6 P4 、图论算法
% s3 D% t+ S$ s3 v8 e7 |' Q这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
3 F: ]# |  S: h) I6 @论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
( P4 T& `$ K0 B" s9 L! g" w8 S# v6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
9 ]9 A3 A5 ]5 B' ^. X) p  [7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
# G+ X5 d: F* J/ K& U3 p0 q3 n9 q据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
+ P7 J- A8 q# B0 Z' P# {赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
4 |' w! @' E! p6 A) k4 v的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
/ J+ L9 F& x" Q) @: v算法简介
8 r, I( y$ ^1 j3 R" v% P1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
: `, v$ I" ^1 _+ l①数据样本点个数 6 个以上
. [% G$ B4 e  u& O②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
1 J: Y/ m8 d) H2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
1 Z, J, @4 ~3 k& w4 ^- y找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
% M7 G& |. R: D求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
! d0 b( L4 t( B4 q* `; I* P& c$ m②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
! y) e: e6 D: f- o互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
" M2 g# g1 D  m2 k( W1 [+ |0 \: z/ S5、 、 时间序列预测
* M3 F3 \9 z  t% u( n预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
1 T% ~8 [) T6 ?* k7 Z2 a9 U（较好）。
) X) M5 m; G2 r1 ]  z) ?6、 、 小波分析预测（高大上）
4 F$ H( u2 j& b7 O. n; M数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
$ c2 m& c) [# t" I预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
) q3 Y4 G# T1 p预测波动数据的函数。
9 T2 S7 P- y5 V0 K7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
+ ~0 n) R- f9 S/ ]) E办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
5 |; K# ]% I' x( ]' I适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
: p! d0 n) ]) s1 _拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
) O/ o" m9 J; F& P2 q6 C4 G1 H  B; b1 L在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
4 {! z+ e  J8 T  i. ?4 [逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
6 o. u4 X3 w% B3 u) B7 F; i2 X评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
* l% ]" U& f3 ]2 s11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
1 g, L8 J8 D; ^% w2 Z! v优化问题，对各省发展状况进行评判
# I2 y, B# O  E13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
& H- ^! i$ x5 O秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
) k3 l) c) e; O似。
. l' V0 N& C5 U; W$ K) @* U14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
& T0 n" r( R1 p# Y其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
$ a  u0 n( j  H, d3 p评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
! O+ x& k7 i: }7 g0 A) G4 ]解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
: d! N1 m% R8 o0 C  X; R可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
2 m! ?7 [; L9 |+ c该方法做评价比一般的方法好。
' F9 e* t! e" N8 z+ [( {6 S( g16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
, l9 L% v3 ^0 B0 S9 r* N1 w% P量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
& \! \2 ]4 T& b$ u' z  {此外还有灵敏度分析，稳定性分析
1 r$ i/ c# K  s7 I17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
  p* {) W' J) P模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
- z1 B5 B; W9 U* Q$ g4 m优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
% ]2 {" f" j$ Y9 t, l" o' q4 B. Y非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
, ~5 {3 A" W9 e, n- S4 r其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
: W& o" [# t% _% Y即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
' t! A/ v. G1 T, k2 H有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
' g, B  L+ k$ ~# s5 c% {例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
. V4 ]0 S) K/ Z9 L/ a支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
0 \+ L. w+ s0 W1 ]2、因子分析
& r2 K$ t1 y' J4 e9 p  C, \7 y9 _3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
& V8 @* R4 f2 A. a2 Z各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
6 R9 j" ^* K; B% W( }4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
; B/ [! w8 h" H- `% `  m7、多维标度法（一般）
9 A, |% }' s% K" y+ G4 d! E2 Y7 J8、偏最小二乘回归分析（较好）
9 j. P# r: z  V6 Z7 m24 、分类与判别
9 A0 J8 i; \& r- d9 @1 Q主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
$ P+ i9 R6 R  m. U/ [) [+ {) H/ G2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
% c2 ^. X* H. r; y1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
+ k9 I9 T/ d2 i: S' K( D4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
& \3 {1 W9 D" \  }% n6 a* q7 ^5、典型相关分析
& h5 f  A: ]8 O+ u! X& c（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
- u; E, y7 f! k7 T一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
6 W! u; H0 t/ F3 @若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
, Y4 M6 Y* {( s数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
5 _  P  a/ R) Z9、优势分析
: u2 H, }' y* l  M8 n; }26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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& S' U4 a1 S0 Q: Y原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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