数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定

杨利霞

数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定
时域中，描绘系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应。
频域中，描绘系统特征的方法可以是系统函数
& Q% R/ t* E; c; C# z7 s2 P系统线性时不变特性，因果性，稳定性
1 c- U: U( h6 [1 Q5 T* O7 ^稳定性是对于任意有界的输入信号，系统能得到有界的响应。
2 P; ~% G( S: d% ?* l系统的单位脉冲响应满足绝对可和
系统稳定性可以从差分方程系数得出
检查系统稳定性最普遍的做法是：输入单位阶跃序列，当n→∞，系统输出趋近于一个常数，那么系统是稳定的
( s# X' m, F% J3 i4 g$ D

例一
给定一个差分方程
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
! [9 }8 [8 |& f输入信号x(n)=R8(n)
, ]8 Y1 i0 s# O! ?! o求x(n)的系统响应，画出波形
7 w4 b6 f: m# Y" `求出单位脉冲响应
1 `; O# a  ]4 R4 V. C8 y2 i
: z5 t* F, D- I
clc
close all;
clear all;
1 {2 [  z9 E& \8 VA=[1,-0.9];
B=[0.05,0.05];
* g1 K/ B! j2 ~; n( J: K- @# jxn=[ones(1,8),zeros(1,42)];
3 }6 v) p3 z3 Z+ ^n=0:length(xn)-1;
[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
yn=filter(B,A,xn);
; c! i2 @+ x2 }# g* r( H& H! `8 Gfigure
1 L" u" t9 X' V% Usubplot(2,1,1);
5 K8 t" j# `1 g# J+ m! P0 J' }: \# M4 [, Qxlabel('n');
ylabel('y(n)');
3 C: Z7 w+ f  C' vstem(n,yn,'.');
' i( i5 e! e0 e: s; v" f2 }* o$ l2 \axis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
title('System response to R8(n)');


subplot(2,1,2);
xlabel('n');
ylabel('h(n)');
% _0 ~# F; w8 T" r1 n( Estem(n,hn,'.');
axis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
title('System unit impulse response');
/ [, c+ u# ?1 O" Z8 m+ ]2 f1
2
3
4 U, W. w" p: j. G; }) ~4
1 R4 \& [+ E3 q, O5
6
7
8
: `6 W$ l2 z( ]- _% ~# _1 R9
6 P% H' a* o) n. g! [3 l" z10
/ S6 m/ [$ }+ R1 ~2 p/ O. d11
12
13
/ ~* J4 `5 X0 i9 ~9 s# L4 H9 Q14
15
16
17
. z: A+ x( r' P" u18
) W9 R) U4 n: C19
20
6 X" f( A7 G3 _: T8 l2 o$ b( @21
6 n( ~' U5 D6 j! e6 I22
23

0 n/ B5 f5 v4 m9 m4 d( p, q

9 e  {9 O1 @( B  ^8 ~* G
! M0 L4 O9 h3 c3 i# g( ?; C信号经过低通滤波器，信号的高频被过滤，时域信号的变化减缓，在有阶跃处附近产生过渡带。因此输入矩形序列时，输出序列的开始和终了都产生明显的过渡带。输入为单位阶跃时，中了也产生明显过渡带

, X7 f& `0 B/ ?' E9 Q' S
3 l" X4 {0 d0 n6 h$ r例二
+ Z. s' @0 ]( K1 v5 t6 S: i, a$ b给定一个差分方程
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
输入信号x(n)=u(n)
求x(n)的系统响应，画出波形
求出单位脉冲响应


& [3 Z) H2 S3 F; h  mclc
close all;
7 u' W8 g+ A2 g1 J4 o" s9 P. Mclear all;
4 g. F3 s9 J, iA=[1,-0.9];
B=[0.05,0.05];
xn=ones(1,100);
* [* l: l. R- @0 G& g' [n=0:length(xn)-1;
6 l$ T% i( e: z, N- y* U[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
) l5 l& D; |" z) J/ w# K& |5 syn=filter(B,A,xn);
figure
) u7 C4 F7 K  k! rsubplot(2,1,1);
: K$ P7 c2 f6 d! h$ k% mxlabel('n');
/ ^+ n! }. ]2 x+ Rylabel('y(n)');
stem(n,yn,'.');
axis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
. l* y( X1 Y' L' @: t7 i3 K; Ntitle('System response to u(n)');
" A5 i# e4 @$ l: }9 k

* E$ X, H) s- f: b" Ksubplot(2,1,2);
5 n) Y% u" t" @- j( t% Txlabel('n');
ylabel('h(n)');
/ l. n. Q7 m. p' I  ~7 wstem(n,hn,'.');
axis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
  B9 V( B' E- @& l  o1 R$ M# Atitle('System unit impulse response');
1
2
+ l4 `5 p9 e# `( J3
4
5
6
( O: {/ t" v9 j2 R  w* G2 U7 E% _* y7
8
9
& u( ~8 V0 k. n4 @" K# {, V$ y10
& A2 E* B" O  {7 L" @  M8 @11
# O& `7 F  ^) H( m& Z! i12
2 V# L8 s: V; G+ `7 C13
( }! A, E7 n  W& _+ V1 r. m14
3 H% w- Q* ^) H6 N+ Z15
5 {7 c! H' x. ?# S2 j+ F16
17
0 y6 o- T: Y  H+ b# q/ }" V7 h  R18
& g, p/ h3 Z- f2 ~* i8 }2 S7 o19
20
21
( ?& P  C* Y( F$ ~22
23

7 W! F2 j# p' d" U! y  m4 d

! D% O# s+ |% c, p
例三
给定系统的单位脉冲响应h(n)=R10(n),
用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)


, V  B8 O; D( O" F/ ^+ ]clc
close all;
clear all;
xn=ones(1,8);
) i1 v! s. g3 A# Un=0:length(xn)-1;
figure
5 a$ v) Z  e5 n+ K0 f  nsubplot(3,1,1);
2 R  S  b/ s6 t$ V; ~3 {& z  jstem(n,xn,'.');
xlabel('n');
ylabel('xn');
! j- @* t. \9 d  F! Taxis([0,30,0,1.2*max(xn)]);

3 U  y2 D" _) [- h9 B9 O; p
hn=[ones(1,10),zeros(1,10)];
$ E; }6 w0 x! o- B0 M/ Dm=0:length(hn)-1;
subplot(3,1,2);
+ F5 B' J) h3 I" z# Vstem(m,hn,'.');
  n! o  I; O3 O# Zxlabel('m');
  b0 w! |0 Z' \4 }) Zylabel('hn');
  _/ ~0 B$ H9 R) _7 V. a% ^axis([0,30,0,1.2*max(hn)]);

- O5 B5 V+ Z  R7 [
! U: R6 f# |5 k) Wyn=conv(hn,xn)
& E/ q# Q/ q1 [  m7 w$ p  r$ ?l=0:length(xn)+length(hn)-2;
subplot(3,1,3);
$ d; N9 Y# }. L1 G* M4 jstem(l,yn,'.');
xlabel('l');
/ ~9 l. f- S5 q( Y/ `ylabel('yn');
- U1 y6 D. j# H, z, `% \axis([0,30,0,1.2*max(yn)]);


  q" w% p# m' d- h( S. I1
$ y" @. h8 x# M2
+ k' L5 l5 d  H- v0 a3 {3
: a  `7 v1 G% S3 x7 s4
( N' T! l5 C% _* j1 z5
4 x7 X% l" B5 S% q, S6
7
* Y4 o2 K$ ~' J( ]8
* \8 y) D! H% G9
10
11
12
' q* U7 U$ q; D13
14
15
! p$ D# z4 q; b8 Z6 d16
; I( d+ {% V& X! V0 C' _17
* V$ j% L6 _' D3 _/ T) d18
19
) w6 y$ @* Q( }6 u4 m6 P& A20
21
# I/ k) u; D2 O22
23
24
25
" ?  c) ^2 i1 j$ w* ~) S26
# I6 j# r; D0 T; G! _" I27
( V/ V. @/ N# w" s, i5 d; t28



! K4 {$ S' e. a3 `8 Y
/ K/ q' A; P3 }* e, q; n例四
给定系统的单位脉冲响应h(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)
用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)

* V5 \8 d( `3 I1 S! l% R) e3 X
clc
close all;
9 H5 t3 n4 w! @7 uclear all;
xn=ones(1,8);
n=0:length(xn)-1;
figure
* x, L  O6 u9 Osubplot(3,1,1);
stem(n,xn,'.');
- `7 l) u) C; M$ S2 E9 V% _( E. axlabel('n');
2 z& u$ w% [( `0 r* Z0 Nylabel('xn');
axis([0,20,0,1.2*max(xn)]);

$ w" Q" ?7 [) q# _5 E
4 C/ ^5 n$ I) Z6 \- H9 Uhn=[1,2.5,2.5,1,zeros(1,6)];
+ G1 d3 t- n$ \1 D+ Dm=0:length(hn)-1;
subplot(3,1,2);
* ]2 ?$ x* v7 z- T- s/ _' Jstem(m,hn,'.');
xlabel('m');
ylabel('hn');
9 K4 Y+ t& h; a% Z. C2 s4 k  d6 [0 J/ Taxis([0,20,0,1.2*max(hn)]);
! [6 |4 a4 X* L! D! `
" S4 j- C- f/ K' K2 a* S$ M
yn=conv(hn,xn)
l=0:length(xn)+length(hn)-2;
subplot(3,1,3);
stem(l,yn,'.');
) d8 c$ t& H, R5 s$ Oxlabel('l');
ylabel('yn');
& V2 b* i2 {  R' W- I& x1 X6 xaxis([0,20,0,1.2*max(yn)]);


1 T: u- q' ?3 h9 F& p1
/ o! h: E3 F6 k7 ^8 ~5 _# l- j2
& D2 I* }8 [9 j+ S! U' q3
4
5
6
7
; \6 \0 X$ x( y8
/ b4 z1 W2 \& I; \$ L$ B3 U* \. p9
' i4 X# k& G, B8 a9 F! H10
- k) C4 Z  r: a1 I11
, o. Z7 _3 w' S, z12
5 ?2 l/ W( J. [4 L2 T. c: G8 e13
: z2 J1 a9 Z2 b, {14
6 i% B: f# m; X# j  m7 U/ d15
16
17
, U2 r7 Y" V+ z- S0 s18
4 i$ L1 d9 p9 h1 l9 N$ [5 I19
# P7 `- g: M3 }4 n20
# X& O" u9 l. F# D$ Q21
22
23
24
& f4 Y+ B; S1 _  v% `- Q4 d! W25
* m% \' c1 l* T, V9 p0 M26
3 t$ c6 r' S) M7 Y. u27
# \4 l2 d3 a- v28
7 k! x  @4 s& T  ^2 s4 N( b
+ }& c* u3 F; k4 y" i6 E


例五
y(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
1
谐振器的谐振频率为0.4rad
输入信号为u(n)，输出为y(n)
8 W. \9 J) S: K2 W+ t求系统的稳定性和输出波形


. F: t6 M( i9 C1 Jclc
& _% U- L% C$ |8 i3 O. cclose all;
clear all;
un=ones(1,256);
n=0:length(un)-1;
A=[1,-1.8237,0.9801];
B=[1/100.49,0,-1/100.49];
yn=filter(B,A,un);
figure
stem(n,yn,'.');
9 j% y* o$ o# j5 hxlabel('n');
; w0 f; b2 B4 [6 J9 k/ w/ jylabel('yn');
6 \% I0 D6 d9 T2 n4 E3 z- caxis([0,length(un),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);

4 e& r4 w! B: c  t
1
2
3
  ^/ n+ A: w( Q: c) O4
5
6
: N, l, Z0 C# D9 G7
* G9 o; o8 t$ F( i* N( x8
/ s& E( i* z3 y+ u3 ]9
10
- B) K& q* c2 w% }/ z$ p8 r11
3 C3 x. a& }* k/ N% v12
13
' I' r4 e0 e3 }9 }& ^! r14
  X; m) `8 B) K( N5 i

稳定
& U; c$ w; q5 o- ]. A3 F检验系统的稳定性
输入端加入单位阶跃序列，观察波形，波形稳定在一个常数值上，系统稳定，否则不稳定
" c* v) q. T; G6 g$ s. @
4 T5 G" d; I8 }' {# O$ O3 U
例六
y(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
1
谐振器的谐振频率为0.4rad
" {( T! D  a6 M) `9 s' B0 I+ h输入信号为x(n)=sin(0.014* n)+sin(0.4*n)，输出为y(n)
求系统输出波形

  m7 @4 [& D. g; h
clc
close all;
9 F( ?# X# z# A5 xclear all;
n=0:256;
xn=sin(0.014*n)+sin(0.4*n);
/ r" ]/ j# }2 mA=[1,-1.8237,0.9801];
B=[1/100.49,0,-1/100.49];
* M% D7 V: o0 I6 k+ S# Ayn=filter(B,A,xn);
' t; [, Y, `. t4 G  ^2 f5 {figure
# C* h1 ?$ [+ Hstem(n,yn,'.');
. f. e1 K+ I$ Hxlabel('n');
ylabel('yn');
8 y+ o# A' g5 Vaxis([0,length(n),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);


1
2
3
4
5
; n" P5 U3 ]/ N. y6
7
( |8 b0 ~+ x! z; m: \8
3 w: W/ p5 R1 Q4 ~+ h! `' n: X( o9
10
11
12
13
14
8 |7 Z  [) R7 V5 O* G7 X$ z- W

时域求系统响应方法有两种
1.通过差分方程求得系统输出，需要初始条件，是否是零输入响应
# W; W/ Q6 U! V9 u$ e6 k- Y2.已知系统单位脉冲响应，通过求输入信号和系统单位脉冲响应的线性卷积求得系统输出
7 H0 u1 o/ w4 j# L7 V
6 p  F1 h6 g7 D2 j8 `+ w
谐振器具有对某个频率进行谐振性质，实验中的谐振频率是0.4rad，稳定波形是sin(0.4n)
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: o+ W$ S6 }: n# f/ J- w1 |
8 B3 x" x6 n4 g0 Q

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谢谢了！ 谢谢了！
7 y; p( ~8 Q/ I) @

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谢谢了！ 谢谢了！