数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定

杨利霞

数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定
时域中，描绘系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应。
频域中，描绘系统特征的方法可以是系统函数
系统线性时不变特性，因果性，稳定性
8 ]: [4 @  O* d8 q3 H稳定性是对于任意有界的输入信号，系统能得到有界的响应。
5 h/ z& x. W" b6 M& X( q9 m% h" T9 v系统的单位脉冲响应满足绝对可和
$ [9 m4 `: {* Z4 S9 Z" u系统稳定性可以从差分方程系数得出
: X  g: q3 E8 U检查系统稳定性最普遍的做法是：输入单位阶跃序列，当n→∞，系统输出趋近于一个常数，那么系统是稳定的
# \( P# a0 ?# S6 N8 b" j0 Y9 {

例一
6 D: T$ a: l0 w5 n9 {1 T* _给定一个差分方程
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
0 x7 \+ `' _7 O" W; G/ m. h输入信号x(n)=R8(n)
求x(n)的系统响应，画出波形
, A* t5 b3 T+ X/ I4 W: X# r2 C7 M& h求出单位脉冲响应


5 X- d" K. S; d7 u# b& Uclc
" c$ T3 P5 \: a. D$ b6 X+ Gclose all;
( I% s* @, e1 T; n) f5 I7 Hclear all;
, f, J7 ]0 C% `* u& G# WA=[1,-0.9];
B=[0.05,0.05];
! N+ f0 L' q+ c' n6 t$ Vxn=[ones(1,8),zeros(1,42)];
1 A6 R6 z" e2 a6 f/ D+ Qn=0:length(xn)-1;
$ o) }. @9 M3 e  ~. h8 b[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
: t4 m. g" _' D* I% syn=filter(B,A,xn);
figure
9 W8 j" \. [* c. R' `5 }/ [9 rsubplot(2,1,1);
xlabel('n');
, o' A' k. [9 ~" h* R3 g8 kylabel('y(n)');
stem(n,yn,'.');
3 X  }8 D2 {% P4 E1 ^2 u+ g- naxis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
! j4 \4 g% d: G3 R$ T. s5 }title('System response to R8(n)');


subplot(2,1,2);
2 W: M4 A  Y6 X8 }  |xlabel('n');
ylabel('h(n)');
stem(n,hn,'.');
axis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
0 N- `$ w) l- }( y* ^* Ititle('System unit impulse response');
( s' B7 q* O5 ~6 I# d1
/ a& u) i; Q6 {2
3
4
% Z. q+ ^  q! h- f5
6
- R- Z) ~6 e, {& I& E; a2 P7
' |$ Q" X" ^$ d" m8
9
10
" O4 o' d0 j# `% S, D7 ~$ Q: N11
12
13
! j4 c9 _1 ~% w! V3 m( y+ W/ l14
15
16
% `. x1 [- L) E7 n& T17
18
- j( L  ?9 j  T19
20
21
22
; ^3 a" a( x9 P' ^7 b' v0 {23
$ O. G! @. e" |' K" F- M$ Q
" A8 U0 j* |1 |9 ^4 x  x! u
" i: Y: f7 w) C+ q# L
9 u$ ^9 q1 D( g& [
2 h! h( e& i' a1 i信号经过低通滤波器，信号的高频被过滤，时域信号的变化减缓，在有阶跃处附近产生过渡带。因此输入矩形序列时，输出序列的开始和终了都产生明显的过渡带。输入为单位阶跃时，中了也产生明显过渡带
9 S7 m7 ^. ]3 O' P1 w7 A! Z, b, t
2 R& k! A! k; v: ]
# A* n6 }% i/ n# \! ~例二
# z5 B0 k2 W+ r给定一个差分方程
9 A- N! Z' Z4 K1 x& qy(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
输入信号x(n)=u(n)
求x(n)的系统响应，画出波形
' t" U, N1 I1 i* y; E: }1 w求出单位脉冲响应

, Q) h6 Z6 Q6 g) A; \) _: y& r
clc
close all;
" F6 ?' ]) c, G! _" Kclear all;
6 h9 n) J: p; u6 l* OA=[1,-0.9];
B=[0.05,0.05];
xn=ones(1,100);
n=0:length(xn)-1;
$ [, D& ?% |" b( v[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
8 R  f9 ~8 [, r% Eyn=filter(B,A,xn);
  u, B) u6 W4 d. u, R" Ofigure
4 k: l5 j' u' Y( P/ H( psubplot(2,1,1);
xlabel('n');
8 s! D- h: y, U1 O- m' h1 Hylabel('y(n)');
stem(n,yn,'.');
axis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
title('System response to u(n)');
' E) D$ ~) _3 h9 x8 I4 [
8 {) l7 K, g5 x, u
subplot(2,1,2);
! U' h2 T) M" ~0 `, jxlabel('n');
4 k2 {# Y. `; S1 M/ xylabel('h(n)');
stem(n,hn,'.');
axis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
title('System unit impulse response');
1
2
3
( F' R1 c' k8 k. d4
) H3 z- t; s  ?  |' ~! M" k- q4 ]5
8 K9 j6 |. j6 ]" b* C% F3 P# a6
% n$ b/ ^4 z. q/ A/ D" L) O6 D9 ^2 p7
% w9 k" ^% l7 j. f6 V+ X) x3 ~8
9
7 R6 e9 Q8 K$ b( S; v, ]+ @$ b% b10
7 J* t  R, F4 {9 v. i11
1 }/ {4 `+ k7 c; h! j12
13
) {  U6 ^- ^* u3 [5 e14
15
16
17
18
19
: \& i5 |4 b3 r; z2 X20
" p+ S/ m6 c7 {% @. S5 u21
22
  z2 d: z& h) P1 e* B1 Z23

! }1 U5 ^! G5 [9 q7 d. O4 \/ ^


4 g; n5 e7 K( e* [' s  v/ G6 y3 H例三
9 p( G) s- d2 H' N+ z  b* V给定系统的单位脉冲响应h(n)=R10(n),
用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)


+ l6 t0 W9 ?( h! |- p4 ?clc
8 {9 |( ^3 x- L  N# Hclose all;
; I4 O8 E1 ]" c( Nclear all;
xn=ones(1,8);
/ h5 b# W6 S  @  L4 zn=0:length(xn)-1;
figure
0 \9 E# r8 w- c  R* |3 t5 _, Csubplot(3,1,1);
stem(n,xn,'.');
/ Z4 C% w4 [  _! s, Yxlabel('n');
0 a3 o. \) B5 b' Y3 h! Q  hylabel('xn');
axis([0,30,0,1.2*max(xn)]);


hn=[ones(1,10),zeros(1,10)];
# Q' U  r: M) ~0 {4 @6 w$ |. Em=0:length(hn)-1;
subplot(3,1,2);
/ v3 l' L. \+ }9 O  l9 Q9 ystem(m,hn,'.');
# z- W* `& ~' A- z" N: qxlabel('m');
" e3 @4 y0 t+ r" H8 s" Sylabel('hn');
axis([0,30,0,1.2*max(hn)]);
7 |. o9 n1 c5 @/ p9 J% {

yn=conv(hn,xn)
l=0:length(xn)+length(hn)-2;
subplot(3,1,3);
stem(l,yn,'.');
xlabel('l');
9 H, U  H# f& w/ Nylabel('yn');
# F# I9 j3 h8 K. ^$ vaxis([0,30,0,1.2*max(yn)]);
1 M3 C3 l) N& i. o! a7 }

1
2
3
4
% v1 L" T" M3 w+ C7 l3 |! ]5
6
" X. T0 c8 S: B7
/ n( @% \( a0 C+ {9 f: C8 ~8
9
10
11
* `1 F) c' B  D& [. j12
7 R+ l: W6 s3 W; c13
14
15
16
+ Q6 }1 j; v2 t$ v17
+ c% }+ P# @  C" @/ [5 P18
1 I" R% k: T' q5 c$ \. f% A19
20
& N: U. r& {/ j! K' D+ l5 x+ |21
22
' E# }: a7 v& s" k  I* _23
( |1 d7 [1 A' F0 i24
/ F: {+ K2 g% P25
26
27
28
% E% ]/ v; M: e
) ]  e' o6 y7 a- |

0 F: m8 w- ]4 H/ d' p6 ^: s: S
# K6 f$ m1 \5 t. J( }$ Y例四
给定系统的单位脉冲响应h(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)
3 I% e. W- c% }, u1 T用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)

7 j, o$ L  G5 p! [! b
clc
7 @9 A* E' d1 S4 [0 _  t1 a/ Gclose all;
, W% L: d! w& x" w* ^3 q4 o$ tclear all;
xn=ones(1,8);
1 w4 d4 Z# x6 S, ^+ En=0:length(xn)-1;
figure
subplot(3,1,1);
. T( w( x5 u3 H8 i7 W: }stem(n,xn,'.');
xlabel('n');
ylabel('xn');
axis([0,20,0,1.2*max(xn)]);

4 d: d' I. }7 M' P: S1 d
hn=[1,2.5,2.5,1,zeros(1,6)];
m=0:length(hn)-1;
! x3 h. i0 R9 {& E6 n# a9 fsubplot(3,1,2);
stem(m,hn,'.');
$ k; r3 ^$ N0 W1 kxlabel('m');
ylabel('hn');
4 N+ [0 k* x8 L2 Qaxis([0,20,0,1.2*max(hn)]);
$ j  v; E0 z) F) @% K% ^. E
# p, I! w8 o; D. ~9 F
( [* P7 S8 M; R' B; `yn=conv(hn,xn)
l=0:length(xn)+length(hn)-2;
subplot(3,1,3);
1 Y+ W! z" c% x, C/ d0 wstem(l,yn,'.');
* ]  E4 b; r# V3 vxlabel('l');
ylabel('yn');
axis([0,20,0,1.2*max(yn)]);

2 G+ u$ l% W/ ]) O0 ~7 z6 v9 U
! U; E8 G7 }; I! I. z1
2
3 i) b" `2 d8 u, g: L! ]% q3
4
9 J$ I# C3 H2 E$ u7 z5
6
7
8
2 b" |" W4 W- {, d& \9
10
" u0 r3 I' M6 u1 u3 f. G: |11
& h# A( {1 U6 g9 x# k12
% k$ S" L- f, w. ^13
14
15
16
17
& C# j# |, K, S) \: }18
19
" m4 S7 S8 k2 ?% q: B5 L2 S# W20
21
22
23
& B) o  x+ K. }0 Z3 P24
25
26
27
28
5 H! z( _# _0 V

; Q. D6 N! }: }5 D* s+ V
7 x% }+ G+ o& a/ F4 f4 V, v
/ s0 j8 Q$ \/ _& J* i  a( m例五
" z& l  b4 Z! k# J# ^6 b+ Zy(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
1
/ o2 G: ~9 O- N7 x( h: D: f谐振器的谐振频率为0.4rad
2 C5 K  N$ |+ s3 d9 a+ {; s输入信号为u(n)，输出为y(n)
求系统的稳定性和输出波形
5 Y4 e- T, P* ]& E2 i6 A" ]

clc
: r1 V2 i. Y$ E9 t1 pclose all;
2 r! Q, j2 ?" m2 Aclear all;
un=ones(1,256);
n=0:length(un)-1;
A=[1,-1.8237,0.9801];
& Z$ ~$ }# |4 f% F. X0 ]* MB=[1/100.49,0,-1/100.49];
yn=filter(B,A,un);
; a) c. ?7 U1 h& ]3 I6 `figure
* ?& m- D9 k3 Q2 w4 Ystem(n,yn,'.');
xlabel('n');
  r3 Q1 l3 [5 Y% F$ Aylabel('yn');
axis([0,length(un),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);

4 c' o4 @% I; Z+ N) W: c
1
2
3
4
5
- }; j8 O' E3 V& _5 x, q$ |( q6
5 ~9 l& F& r# H) a1 ?9 Z6 o& z7
% b9 w0 Z0 V! y% P9 v; y9 r- e* n8
9
: V% P# |4 I) ]- ~- j10
* B2 g& S3 S/ L! `11
) @9 v7 f4 X, F- T12
) f( z8 S# w' c" e. _13
5 K5 W$ O, q) H( l( q14
2 p' u6 W1 ^/ e0 s8 n5 |. g: b
% n5 r. t  x5 @; B
稳定
检验系统的稳定性
输入端加入单位阶跃序列，观察波形，波形稳定在一个常数值上，系统稳定，否则不稳定


例六
y(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
  p. C: @& V% @3 k. q! `8 c1
/ p8 }$ W) Q# m" d0 l谐振器的谐振频率为0.4rad
输入信号为x(n)=sin(0.014* n)+sin(0.4*n)，输出为y(n)
求系统输出波形
! \! y0 E" I6 c( ^/ A

clc
/ f3 v1 F: F/ K% B4 w+ |close all;
clear all;
$ V, x" ~7 W5 @' i- I1 sn=0:256;
xn=sin(0.014*n)+sin(0.4*n);
; b* A. h8 Q6 A2 O2 V& `A=[1,-1.8237,0.9801];
B=[1/100.49,0,-1/100.49];
yn=filter(B,A,xn);
0 F$ a8 r3 d3 \( `figure
& h( S. h/ L" L8 }3 T# fstem(n,yn,'.');
xlabel('n');
ylabel('yn');
2 [: L5 F, U  e1 u* Qaxis([0,length(n),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);

; v  D& \" g6 G6 x
1
1 ^' f7 Q6 P( p2
3
% R1 S! o2 y8 W5 x+ ~  |0 \& p4
5
$ R) |3 q6 Z8 u! B/ Z6
7
8
9
) z7 @+ K6 I: h4 g5 w* L0 \10
11
  O3 ]; g/ j5 j4 b# h( H12
13
% P# ]4 A! c( D- }9 T+ t14


时域求系统响应方法有两种
. D* J9 @$ ~# y8 g1.通过差分方程求得系统输出，需要初始条件，是否是零输入响应
- R9 T0 I) ~: Z& f2.已知系统单位脉冲响应，通过求输入信号和系统单位脉冲响应的线性卷积求得系统输出


谐振器具有对某个频率进行谐振性质，实验中的谐振频率是0.4rad，稳定波形是sin(0.4n)
, k( J! A# q& w; [0 X- o————————————————
; I& {/ z) G7 H9 [9 M0 V版权声明：本文为CSDN博主「dqw~」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
7 Q0 F: F9 e2 P/ K. C" w原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_41129832/article/details/118405258
, h1 R! m  j% U# C4 P" y
& h1 Z5 B  C/ @) a5 d0 p: I

1051373629

谢谢了！ 谢谢了！
0 _% H4 o' u* v- L

1051373629

5 ]  U( G6 F& U/ f. F! Q谢谢了！ 谢谢了！
: n' l; o: I( O, a7 p. V6 D0 }