数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定

杨利霞

; k% ~% A7 _5 Z0 y# n数字信号处理matlab——系统响应和系统稳定
时域中，描绘系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应。
4 \- x8 g* J! j1 @0 I* p/ m6 t频域中，描绘系统特征的方法可以是系统函数
系统线性时不变特性，因果性，稳定性
稳定性是对于任意有界的输入信号，系统能得到有界的响应。
" J- z7 M! @6 A# z系统的单位脉冲响应满足绝对可和
  z& \/ s( T# V3 D. R* a系统稳定性可以从差分方程系数得出
检查系统稳定性最普遍的做法是：输入单位阶跃序列，当n→∞，系统输出趋近于一个常数，那么系统是稳定的

( L6 ^1 R8 i# p3 p; d8 a/ h! W
例一
给定一个差分方程
5 `' q) t8 D( j1 f4 J  \! sy(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
% {3 c1 M* J# f( d$ f7 r* ?5 y输入信号x(n)=R8(n)
求x(n)的系统响应，画出波形
' o3 {6 J1 K" A: V" n7 T求出单位脉冲响应

( k7 D* W% E8 p
9 @- A+ r% T9 Y1 t9 ?8 Jclc
, S: u1 J8 v( P1 E' w  kclose all;
clear all;
" I! \& _3 ^7 o, N. A4 Q# ^; z7 gA=[1,-0.9];
% r* m. @/ e% K3 x- k, X: iB=[0.05,0.05];
xn=[ones(1,8),zeros(1,42)];
3 [. c. `7 z* {9 A, H- ^" G5 C# H' rn=0:length(xn)-1;
9 d0 n" J0 r1 Y  e[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
yn=filter(B,A,xn);
figure
- K9 L/ Y& _. ~0 e6 L! @subplot(2,1,1);
xlabel('n');
ylabel('y(n)');
5 k3 M: M  u! Y  U# n! D' lstem(n,yn,'.');
% ?9 @& s" E, `. v3 m1 S4 E$ Aaxis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
1 S5 t. E% X9 f: Ktitle('System response to R8(n)');
1 w+ B/ U0 L4 V) X
2 j( h" ~6 O3 ]# G
- G2 q' O8 w) X( `# Csubplot(2,1,2);
* c7 i( V) `8 S- d0 a" Y% ]xlabel('n');
ylabel('h(n)');
stem(n,hn,'.');
axis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
+ `7 S$ a$ e* Jtitle('System unit impulse response');
* l7 b# a# q  ^: g! R1
2
3
4
/ }2 f$ }; N1 g& @5
6
1 r7 r( o! N4 O- G5 s) G7
8
2 @! Z4 j1 t; M9
1 X7 Z" i. [8 G0 ~" X( ]4 V/ z10
11
# ]  G1 N0 e; D  q7 b# _6 Q12
1 p$ S5 y6 f# D7 n13
14
15
# i1 K8 J8 B, ~8 a% Z16
& y/ o( ?2 S5 H! s% V9 f17
18
& d$ y8 L' h% Y. b* P% W2 \19
: k& ]4 M! S* y$ e+ J& N20
21
22
23
# }$ B0 U: C- q2 q  k4 i8 V
/ C1 I8 k) \# a2 N  h  J/ B6 L

. @$ @! P- e/ D7 u: q
信号经过低通滤波器，信号的高频被过滤，时域信号的变化减缓，在有阶跃处附近产生过渡带。因此输入矩形序列时，输出序列的开始和终了都产生明显的过渡带。输入为单位阶跃时，中了也产生明显过渡带
/ Q" B; P) ]! F

* ]: u5 s+ N' _; i" x9 ?例二
给定一个差分方程
y(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)
输入信号x(n)=u(n)
- I4 e4 [! U1 f! i7 h求x(n)的系统响应，画出波形
求出单位脉冲响应
( @! s" J* I8 o( r& B

) k2 O- x5 w$ g0 G( Pclc
close all;
3 q* [( B1 {/ `. w% E/ Pclear all;
A=[1,-0.9];
  m/ H% k+ H* bB=[0.05,0.05];
xn=ones(1,100);
n=0:length(xn)-1;
[hn,n]=impz(B,A,length(xn));
yn=filter(B,A,xn);
figure
subplot(2,1,1);
xlabel('n');
ylabel('y(n)');
stem(n,yn,'.');
axis([0,length(n),min(yn),1.2*max(yn)]);
1 p# b3 T* t  rtitle('System response to u(n)');
0 W$ K5 G% S: X+ _

* r5 w! x& ]- i) v' K% Fsubplot(2,1,2);
xlabel('n');
0 H% d8 h+ l# A8 _ylabel('h(n)');
stem(n,hn,'.');
* ^( L- H7 T6 P$ @. @( [8 Raxis([0,length(n),min(hn),1.2*max(hn)]);
title('System unit impulse response');
1
2
3
4
5
; F5 S. b  n0 N% z. n0 ~6
7
8
9
+ Q# M. s+ @/ P( p. j10
11
12
& e: L  O0 D: v  a3 U7 \13
! S; Z) N' r, U6 y4 }14
+ v0 x/ T! Z5 ~& R15
, O; V7 q% K3 `! U* f+ o3 K16
$ _4 g& L% c$ j  u6 p17
18
19
. c1 M& |- y2 Z8 d) k20
21
) p+ G! L  X7 d& T22
23
7 }( w6 ?' a% |$ [& F, u7 @& t& b

6 N* l- j1 f1 [5 D7 ~% r

例三
9 t" S5 g1 \& o( j$ f$ N/ M给定系统的单位脉冲响应h(n)=R10(n),
用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)


clc
$ F& E+ ]# Y3 r+ Z6 hclose all;
" g. X1 t: A& q6 x; ]clear all;
- Z) {/ N2 u) q$ Kxn=ones(1,8);
n=0:length(xn)-1;
figure
( m1 ]7 L2 f+ g, q6 a* ysubplot(3,1,1);
stem(n,xn,'.');
xlabel('n');
' T6 \9 k5 `9 ]' bylabel('xn');
axis([0,30,0,1.2*max(xn)]);


; i0 V/ u! W. T( nhn=[ones(1,10),zeros(1,10)];
m=0:length(hn)-1;
subplot(3,1,2);
# i0 a) b; N# Ostem(m,hn,'.');
xlabel('m');
ylabel('hn');
axis([0,30,0,1.2*max(hn)]);
( A: P4 ?; H" Z
$ z2 W5 u- o' V& z/ L* v+ O
( B" y9 a' ~' f* C6 r+ O8 c9 qyn=conv(hn,xn)
  n! }6 P+ ~8 a" C6 G6 G2 bl=0:length(xn)+length(hn)-2;
subplot(3,1,3);
9 V4 G4 x0 [* ?stem(l,yn,'.');
xlabel('l');
ylabel('yn');
axis([0,30,0,1.2*max(yn)]);
3 O2 F! y5 M! A$ N9 m

1
2
/ q4 v+ E- P  W% K; y3
4
+ p* a* o- o9 b. @5
6
# m* M2 Q+ J: [8 @$ @! y7
8
9
- ~, V) l8 b+ }$ Z( p: t10
11
3 G- {0 X$ `6 W3 z' I4 ~12
# K  G, ?7 z8 o# k6 I" D13
+ F8 B7 I* n- ~; x2 m; x14
15
16
2 ~( h! ~9 q% l* Q9 Q17
18
19
* t4 J7 c- R. p6 s. ?& b20
7 P4 S6 Y' T8 @: C( s* E1 ^21
; c7 a  a/ u" V; A3 ~4 l. m22
23
5 [3 |0 @2 `) Q/ q8 O# T: E24
) J* D2 Q8 n# Y7 R# E' v7 d, c25
26
27
28
3 B6 _% [) s; r
- ]+ e: y5 v5 e$ V/ _

# o! J3 T( {0 z& [2 o
例四
, Q" Z3 i) @7 d7 z# c给定系统的单位脉冲响应h(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)
用线性卷积法求x(n)=R8(n)对系统h(n)的输出响应y(n)

* J7 |9 Z0 i$ F9 y3 K) {8 T. e
3 Y/ D' C# T; e9 @" [2 a, }0 _clc
2 R6 r1 x$ f" D8 w( g) |close all;
clear all;
xn=ones(1,8);
n=0:length(xn)-1;
# o# ^, y; G/ {; @* T8 \figure
subplot(3,1,1);
stem(n,xn,'.');
5 O1 X" F9 o9 J$ \xlabel('n');
$ X$ |$ K. Q; l8 ~$ r0 T6 f9 A/ ~2 ]ylabel('xn');
- _# n# o# i. U& R% c% G4 qaxis([0,20,0,1.2*max(xn)]);
2 f9 u0 Y% n% M) D& ?7 T! e

hn=[1,2.5,2.5,1,zeros(1,6)];
m=0:length(hn)-1;
subplot(3,1,2);
stem(m,hn,'.');
" L$ ~2 u6 O6 k4 ^xlabel('m');
3 z$ v) q0 v9 S1 c- ?/ r( `ylabel('hn');
9 p9 E6 V1 L& Z3 Caxis([0,20,0,1.2*max(hn)]);
0 S/ Q& k, O! J, m

% ^& X) w# i$ r: V! zyn=conv(hn,xn)
% v9 J$ D% ?" X1 g9 x0 h( ol=0:length(xn)+length(hn)-2;
5 ]8 }" p$ q! u' Y+ P$ \' Bsubplot(3,1,3);
stem(l,yn,'.');
xlabel('l');
ylabel('yn');
axis([0,20,0,1.2*max(yn)]);
6 f) p/ J: n. X, H' ?" P

+ g/ N6 ^+ E- b, s3 r4 u1
: S5 {5 f( k* a0 \2
3
4
5
- t, O  J% V% l2 V0 O  T; n6
) G* \7 e7 K) h' S0 x7
8
9
4 ^7 g& J# T3 v( ~0 M* M10
! k% l" N1 s+ N2 D' ^. |11
5 Z$ ?/ E6 ~5 Q$ x9 K* L+ `, F+ ~12
13
14
" r# T! p7 j6 m5 a( K% F15
16
3 H+ p  p( _! Z17
" h+ D6 X# y& e9 q18
19
3 J2 _0 O2 N5 ]. B  H- d6 ^20
21
1 W' H1 c5 r' f9 [22
23
1 z& Q9 Z2 ^) e0 f24
25
( L- c* [4 m5 e5 u" E26
27
28

1 D4 q2 x/ V: K+ W/ R3 Z1 H
! e: g/ ]# Y+ r" d( Y) M& N. [8 i

1 A3 C$ a9 U7 n例五
! _. }+ m2 m. A) Ly(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
3 m% e1 K& a, U8 Y1
谐振器的谐振频率为0.4rad
# z/ h/ _, |" Q8 V8 H; ?输入信号为u(n)，输出为y(n)
求系统的稳定性和输出波形
: g& y- E0 n9 `% v3 \) m# N% k  p
7 O1 G* ~( p; t+ l* D( m
clc
* r5 U/ ?. |. L. u+ pclose all;
clear all;
$ w! e, N9 G' B1 ~0 p. Z0 jun=ones(1,256);
, v  T4 z% Y! l9 d8 V& T' x/ _n=0:length(un)-1;
A=[1,-1.8237,0.9801];
6 l8 c8 @, x$ A( i/ L" r9 EB=[1/100.49,0,-1/100.49];
yn=filter(B,A,un);
" c8 W4 L3 E& P' C. f0 zfigure
stem(n,yn,'.');
xlabel('n');
2 l2 p/ H4 Q+ [ylabel('yn');
axis([0,length(un),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);
4 l4 W( D/ m5 D! {) c

- q8 M8 r  m& _$ a- K4 A1
2
  `# H/ F+ Z$ z( m$ M+ C3
4
5
6
* a  v: v* F9 @% x7
5 j' y# O  Z  J* E' H5 a7 A) H8
9
10
: h; n8 J$ t) S+ ^, C4 e11
12
/ @9 Y7 h) Y+ R' U13
14
9 x* U' g- G2 t6 r6 a% q% h
- N" S& M  o6 B/ |" \
: Y/ z  C0 D$ m稳定
3 s8 {; i0 d0 W* e检验系统的稳定性
, [$ z( r0 }  ]输入端加入单位阶跃序列，观察波形，波形稳定在一个常数值上，系统稳定，否则不稳定


$ K# F" y9 v9 e  n例六
y(n)=1.8237y(n-1)-0.9801y(n-2)+1/100.49x(n)-1/100.49x(n-2)
1
7 _. ]. O& ^3 k4 A2 j/ V: K谐振器的谐振频率为0.4rad
7 Y3 L4 o+ J) F( P9 y4 v7 O输入信号为x(n)=sin(0.014* n)+sin(0.4*n)，输出为y(n)
( ?. \0 i: K2 l' s% l6 E& O求系统输出波形
2 g, W; ?* A0 J. y  A

5 Y3 n9 ], \" u- X% Qclc
1 O6 H" a6 t/ {6 }% y! ?close all;
- @+ L/ B1 e, v2 Mclear all;
& G( J% [( p+ M( ^3 U& y1 {n=0:256;
' Y( m( X2 v$ p8 ixn=sin(0.014*n)+sin(0.4*n);
A=[1,-1.8237,0.9801];
5 E, t  @7 u" |; j( v  ~  [5 ^# E7 g9 JB=[1/100.49,0,-1/100.49];
  e4 ~3 [( v* r& `3 r# X1 q' cyn=filter(B,A,xn);
; p4 |& e8 e; O- Zfigure
stem(n,yn,'.');
xlabel('n');
5 J. H1 j9 |% @  Wylabel('yn');
axis([0,length(n),1.2*min(yn),1.2*max(yn)]);
) \: z+ G+ M# v! \' d, z
+ ^3 Y# x) n3 i6 W
; E, {. y8 I( }* n6 ~" f1
2
6 z4 K  @7 w8 a! s6 ?3
4
$ h# K) @% A% i6 u5
6
7
, q$ a% t" H) G) ]6 X9 v+ d3 I8
/ x+ h& e/ X% D9
& X" T! J  f( x  A0 n+ Z2 ~10
7 B' I  T, }* H7 s5 _11
12
# u" V; C' G& N2 v( o8 I& x13
14


4 z4 u& }* f4 @& k时域求系统响应方法有两种
7 O* L  O/ t! K/ [! T1.通过差分方程求得系统输出，需要初始条件，是否是零输入响应
" l6 @( a3 j9 e! C+ Y2.已知系统单位脉冲响应，通过求输入信号和系统单位脉冲响应的线性卷积求得系统输出


' _4 D* q5 d* b4 E* N谐振器具有对某个频率进行谐振性质，实验中的谐振频率是0.4rad，稳定波形是sin(0.4n)
————————————————
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! f8 J& z& g5 a2 W( |9 }

1051373629

谢谢了！ 谢谢了！

1051373629

0 V: K& |9 A+ e3 F; d+ d! `谢谢了！ 谢谢了！
- w9 U" l, Q" ^% L- X$ A' f# |4 C