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还在为数学建模的事发愁?带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

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杨利霞        

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    2021-8-11 17:59
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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

    网络挑战赛参赛者

    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

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    群组2019年 数学中国站长建

    群组2019年数据分析师课程

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    1#
    发表于 2021-7-9 17:26 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    还在为数学建模的事发愁?带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法1 R" I( V0 ?6 A3 {3 d; S% p
    9 v* ?1 W2 E5 M8 y
    前言
    ! W& }" V9 \' m2 _数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一,包括全国大学生数学建模竞赛(俗称“国赛”)和美国大学生数学建模竞赛(俗称“美赛”)。在这些比赛中取得好成绩,不仅有助于保研、有助于找工作,更重要的是形成科学的思维模式。以下是博主精心整理的两个matlab专栏,包含入门到精通及实战内容,需要的小伙伴可根据自己需求自行订阅。2 J8 q) K7 d4 |8 `9 E! n$ l" O

    " G. i2 l; t0 \" ~) F0 K0 d

    0 x1 R0 E4 e; n- V/ c- \MATLAB-30天带你从入门到精通9 {+ e2 j- W5 ~& `
    4 g3 D5 k3 p$ p4 Q
    1 T. ]8 c! p& R7 V& v, A3 n5 X
    https://blog.csdn.net/wenyusuran/category_10614422.html
    6 W; x) g) k( w  d% c, a- R4 B
    . C: s- J) z  c4 ]

    9 N$ b, p  p2 z) G. RMATLAB深入理解高级教程(附源码). O; _1 e  N7 \% B
    1 B9 A+ k' J" `0 }; O" P+ k
    8 f  _3 D5 G6 ?' S9 A+ @8 o
    https://blog.csdn.net/wenyusuran/category_2239265.html, I. O: J; S! ^& r# l4 ~( e6 p0 K

    ! k( P- x0 x+ `# N# ?
    0 `. _2 K: s- X' K  H. }
    在博主的资源中也有各种算法的应用实例源代码,需要的小伙伴自取哟。
    - f( I1 H* f7 C7 p+ M- P4 a0 M, }: b( z; T* P& u7 E; d
    & D+ |! j. A1 ^2 V# V+ f3 H5 i) _+ y

    9 B# K" N( [; X: j9 C  S
    3 D! {  [( ]9 N$ x/ u" B# k
    - v# Q7 h2 R+ z3 R! j

    ) V3 z7 j0 N% w5 A
    1 o  S1 V$ J; @+ |+ Q. g0 B1 N

    # v) U( {% w4 O

    ( O  p9 P6 t. t! _7 W/ ]  C ' M0 X3 l! z0 i8 v& y- T
    / i- F! k8 B2 r7 w$ \/ O9 K3 Z
    * X/ Y- {( |+ [4 Z! e* X
    01  蒙特卡罗算法- N: E& H8 M7 P! L
    1946 年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。! Q$ H- w7 K- }
    9 Z2 i; @) L$ @/ W3 h; }( A$ ]
    3 n, _5 F4 V* L7 h1 A/ l; V
    蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。, V( Q) E, V5 j3 o  w

    8 L% B) p0 b. f/ B- y

    . G) g4 H/ p/ y  o由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。
    . r( m7 F$ t' W* {0 u! I  u- `
    0 t) Y8 G: Q- p0 o& Q8 c$ C8 Q* a8 m1 @
    2 m7 B) u! `  Z& y. S) U
    蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:+ V! a' Z$ P7 k; b- \
      S0 \  y5 w0 ?7 S4 D& q

    / O6 p$ w' ~. J* L/ c( E* @8 w1 y3 A当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作为问题的解。
    . w; u  K" H8 q8 Q) p' Z8 E5 K4 ?+ Y; V, w0 ~& v7 E

    6 ?3 u- b3 M% s+ o& y" Y举个栗子,直观了解蒙特卡洛方法:, h* D9 |' z' m! |, {0 B

    6 ~1 B: g2 O: [* C

    8 ]* U4 N( N" L  B假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如:积分)的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候,结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。
    8 }4 K& X' n/ H% f: P% o" B1 f' b- i6 K# e+ d) o

    9 Q( L& O2 V& H) L/ K0 E8 l! x' M/ e/ r& ~

      O, `: F3 }- F: ~
    4 R5 C; q( o$ P$ y5 k
    4 _: @/ \' ~: ]# O
    蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的近似解。4 Z! J6 \% Q1 l0 P
    & [9 |( F( b' |; R, f

    8 h3 j5 c9 J+ M7 H2 {0 s$ P7 }蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:
    1 i# c0 |% [$ _* V2 [! @. P0 a5 t% e2 p3 S! A
    1 a" S$ h+ k& n/ U' @$ \- {8 r
    a、直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解;
    : d3 n0 p) ~  c& o  P
    7 k3 \& m8 [6 E6 f0 a
    8 p; |3 |5 \* V
    b、采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律;
    : z# t. L+ o$ A' }8 X' X7 G& i5 G. Z) u, l$ ^; {6 V3 `
    # w" l9 u$ H9 M) L. |1 P
    c、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法
    9 L% H1 F4 ?0 C' h/ h6 d& f4 H" r) H( O/ N3 j& V

    ( l+ K# s$ Q$ ~9 Z$ j等等
    . x% }- [8 _8 M$ v( b1 ~/ c3 ]" ]
    8 B/ L7 ~# d. b' \# D; z2 _
    $ X0 f0 K2 }2 [$ q
    02  数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
    $ m( G  k8 _, [: W! T! ?; e我们通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用 Matlab 作为工具。
    ! O! Q# R  u( e* z4 t
    1 w/ d# g$ k9 D" m5 i  h
    ( w/ E; X+ }& P
    数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年 A 题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。
    1 d2 O: ^$ E: q# ]) x9 `
    1 K8 C* O& d" {$ x' Y* S

    & b! e, S* `( M- P# I  G
    + W6 ^# j9 O; _  B
    # R( t! K. r3 t; V
    $ x6 t, ^; \! v* i% T6 G
    3 z! J5 w, G# S" U. P  `5 L
    此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉 MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。
    $ P/ C9 C7 s# |* |! c. b" m9 V, W
    - j" w# |2 G1 u) Z* x0 Q- W

    4 ~/ D# T& I/ ^3 _ 03 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
    , \# J* N7 |3 C3 e% Y数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。8 h( X' l) y; m4 p' a* D

    2 M2 `4 W/ ^5 Z# L3 ~

    8 l1 [6 r! f5 h) T" ~3 [遇到这类问题,求解就是关键了,比如 98 年 B 题,用很多不等式完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还需要熟悉这两个软件。" v# y4 B1 D* f, h4 Y

    9 ~9 [8 |3 a# [
    / G( E# H$ P! ]4 k. O  j
    04  图论算法( [. H- U6 }- }, x4 W/ }4 k
    这类问题算法有很多,包括:Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford,最大流,二分匹配等问题。% `/ D. q; a, [. s7 _' o) C/ F
    ) _& V2 k5 L1 A; |' \; A9 P( f( ]  K
    8 U4 ^$ F$ A! p. F* C
    关于此类图论算法,可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。
    : r2 i  ?' O: D1 E' C# \# k3 u3 J* L/ }9 G6 c

    1 s- q. V+ o. E+ y9 ?4 _* n8 ?, _' H, X1 Y

    , ^! l$ G; ], z: d" d
    - n- B# F! J* ^- p( x3 u

    : e9 Z! C$ j$ H. [* ~. I/ W6 e; \ 05  动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法/ A$ v% D/ R( [4 u
    在数学建模竞赛中,如:92 年 B 题用分枝定界法,97年 B 题是典型的动态规划问题,此外 98 年 B 题体现了分治算法。- E, n# n% c3 u; y0 h+ K

    4 F: ~7 c% k+ b; D) I* ]2 @

    7 x" C! J1 l% M4 I! e
    8 m* n5 ^1 [( N4 r# [

    # `4 K# Q" _: d1 c% b& ~/ Y2 l7 D, g0 m/ v2 }

    - |4 G, U2 s9 _这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。: }, h* l& i! q) ?3 Z  g

    ! `( d9 D/ y3 t. n
    ( v# D0 _" K, z. _3 j. [
    06  最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法# u. T" }% Q# ?. {' r5 U
    这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
    % X* A) k$ c' g  q: I7 l4 a( N/ T% d% Y- ^4 Q  e/ r$ d$ b5 ?

    ) _( G' ]+ N+ P# V- Y在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题的模拟退火算法,00 年 B 题的神经网络分类算法,01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。
    & @$ R* Z* M" A+ {9 S6 @+ E# z  q& Y3 t5 r
    ! u5 ^  B- ]* y$ x' M4 ~0 `
    还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系,当时是 86 年刚提出 BP 算法,89 年就考了,说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。7 T5 F1 S. s0 t  K
    . p* q- E9 P+ Z8 _

    4 J9 K  P" y" v  Z' q- X03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。4 T& `- r/ x$ ?9 r
    * H4 F/ a! a+ `3 l: ?" H
    , ?$ A, [! d! x- Z# s% M( E
    & i3 B8 y! t% S6 P* v8 K

    ' Y, e3 T0 d% J0 g. O$ D
    3 C# Y( T  N/ {8 ~' T1 r% M
    ; }4 Z# V- k8 z* Q" |1 o
    + m& t* K/ T/ E

    # P. o- m& Z: a3 x& Z

    3 p2 K/ ]- x7 u# \ 07  网格算法和穷举法
    4 {/ r: H6 p) a7 c4 h. V# O# d. k网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。
    7 E( ]2 k1 |; o" G1 ^* }! c3 c( p5 @. N5 G4 x
    , S6 g" Z+ A- _( p# V
    比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点,那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算,所以计算量很大。/ j# M+ j* p# L1 s& G) b5 C

    ) E' @! f6 c4 q4 A; [9 r
    6 F; ?( U- d0 k8 U  K
    在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用MATLAB 做网格,否则会算很久。
      E5 I# ~; j# S/ \: n* k' P* P+ Z# y, t9 I

    & y" J% z& h& N% T( {- i5 v$ L: z穷举法大家都熟悉,自不用多说了。
    + ]9 p, I+ b1 R5 C1 j  _+ r
    + h4 n2 x7 h" }9 ]) n3 D3 _' j* j" S
    ' G5 e2 b0 i! x) |- q' N
    08 一些连续离散化方法: j6 J: Z. L2 l& m
    大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。
    : y- B9 [: {! [/ ^2 O0 _
    ) `  b; A3 |* S) t  Q
    ! I: ^0 Q# ~2 P
    这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。# F5 Q9 o% q7 v- r/ L) L! j# n

    - b( o/ M* v0 p" L+ |
    & b5 |. y& i  _" G% H
    09 数值分析算法
    - Z5 `2 ?! O! v数值分析(numericalanalysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的算法。4 F' \9 R. h+ S7 d5 t% y/ ^0 k
    9 Q6 p& Z+ X# J/ `8 r. ^; \! Q+ K# y  X
    1 C( ^7 l1 W, }" {
    如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
    1 P! y$ y% Q) U0 O( C. y6 }) I& ?9 O+ C" T& a. Y0 M

    6 W+ j" X( P; j* l+ |' G2 o这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB、Mathematica,大可不必准备,因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。  j: R  f& e: p$ K7 ?

    , F) e+ I' m' p" `7 s, b. B

    ; N  x: f% M: g- @0 ~ 10  图象处理算法
    ( W' F, e- p- o+ w4 i+ Q在数学建模竞赛中:比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算,03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把 MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。
    7 U( {2 C1 F2 l8 Z
    ) k- y( x* k' H

    - D0 L: b) Q$ z8 I
    9 K: q7 C/ Q! P. e* \

    + f* D8 h: k0 v/ o! E' l————————————————
    9 l3 S% e" |# H9 K' |% C版权声明:本文为CSDN博主「文宇肃然」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。* _2 l9 N9 [2 v) R4 g$ C9 L! j
    原文链接:https://blog.csdn.net/wenyusuran/article/details/114093268
    + h# J( Z$ w) ?: z% a
    ; M) Z8 Z8 f' `7 Z/ [8 W
    $ N9 t! M$ Z1 U& D; c; Z3 Y
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