还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

杨利霞

还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

前言
! W& }" V9 \' m2 _数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一，包括全国大学生数学建模竞赛（俗称“国赛”）和美国大学生数学建模竞赛（俗称“美赛”）。在这些比赛中取得好成绩，不仅有助于保研、有助于找工作，更重要的是形成科学的思维模式。以下是博主精心整理的两个matlab专栏，包含入门到精通及实战内容，需要的小伙伴可根据自己需求自行订阅。

" G. i2 l; t0 \" ~) F0 K0 d
0 x1 R0 E4 e; n- V/ c- \MATLAB-30天带你从入门到精通


https://blog.csdn.net/wenyusuran/category_10614422.html
6 W; x) g) k( w  d% c, a- R4 B
. C: s- J) z  c4 ]
9 N$ b, p  p2 z) G. RMATLAB深入理解高级教程（附源码）


https://blog.csdn.net/wenyusuran/category_2239265.html

! k( P- x0 x+ `# N# ?
在博主的资源中也有各种算法的应用实例源代码，需要的小伙伴自取哟。
- f( I1 H* f7 C7 p+ M- P4 a


9 B# K" N( [; X: j9 C  S
3 D! {  [( ]9 N$ x/ u" B# k

) V3 z7 j0 N% w5 A

# v) U( {% w4 O
( O  p9 P6 t. t! _7 W/ ]  C


01  蒙特卡罗算法
1946 年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。


蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

8 L% B) p0 b. f/ B- y
. G) g4 H/ p/ y  o由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
. r( m7 F$ t' W* {0 u! I  u- `
0 t) Y8 G: Q- p0 o& Q8 c$ C8 Q* a8 m1 @
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：


/ O6 p$ w' ~. J* L/ c( E* @8 w1 y3 A当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
. w; u  K" H8 q8 Q) p' Z8 E

6 ?3 u- b3 M% s+ o& y" Y举个栗子，直观了解蒙特卡洛方法：

6 ~1 B: g2 O: [* C
8 ]* U4 N( N" L  B假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如：积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
8 }4 K& X' n/ H% f: P% o" B1 f

9 Q( L& O2 V& H) L/ K0 E

  O, `: F3 }- F: ~
4 R5 C; q( o$ P$ y5 k
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。


8 h3 j5 c9 J+ M7 H2 {0 s$ P7 }蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
1 i# c0 |% [$ _* V2 [

a、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解；
: d3 n0 p) ~  c& o  P
7 k3 \& m8 [6 E6 f0 a
b、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律；
: z# t. L+ o$ A' }8 X' X7 G

c、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法
9 L% H1 F4 ?0 C' h/ h6 d

( l+ K# s$ Q$ ~9 Z$ j等等
. x% }- [8 _8 M$ v( b1 ~/ c3 ]" ]
8 B/ L7 ~# d. b' \# D; z2 _
02  数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
$ m( G  k8 _, [: W! T! ?; e我们通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用 Matlab 作为工具。
! O! Q# R  u( e* z4 t
1 w/ d# g$ k9 D" m5 i  h
数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年 A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
1 d2 O: ^$ E: q# ]) x9 `
1 K8 C* O& d" {$ x' Y* S
& b! e, S* `( M- P# I  G
+ W6 ^# j9 O; _  B


此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉 MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
$ P/ C9 C7 s# |* |! c. b" m9 V, W
- j" w# |2 G1 u) Z* x0 Q- W
4 ~/ D# T& I/ ^3 _ 03 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
, \# J* N7 |3 C3 e% Y数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。

2 M2 `4 W/ ^5 Z# L3 ~
8 l1 [6 r! f5 h) T" ~3 [遇到这类问题，求解就是关键了，比如 98 年 B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。

9 ~9 [8 |3 a# [
04  图论算法
这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。


关于此类图论算法，可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
: r2 i  ?' O: D1 E

1 s- q. V+ o. E+ y9 ?

, ^! l$ G; ], z: d" d
- n- B# F! J* ^- p( x3 u
: e9 Z! C$ j$ H. [* ~. I/ W6 e; \ 05  动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如：92 年 B 题用分枝定界法，97年 B 题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。

4 F: ~7 c% k+ b; D) I* ]2 @
7 x" C! J1 l% M4 I! e
8 m* n5 ^1 [( N4 r# [
# `4 K# Q" _: d1 c% b& ~

- |4 G, U2 s9 _这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

! `( d9 D/ y3 t. n
06  最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
% X* A) k$ c' g  q: I7 l4 a( N

) _( G' ]+ N+ P# V- Y在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题的模拟退火算法，00 年 B 题的神经网络分类算法，01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。
& @$ R* Z* M" A+ {9 S6 @

还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系，当时是 86 年刚提出 BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。


4 J9 K  P" y" v  Z' q- X03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。




' Y, e3 T0 d% J0 g. O$ D
3 C# Y( T  N/ {8 ~' T1 r% M


# P. o- m& Z: a3 x& Z
3 p2 K/ ]- x7 u# \ 07  网格算法和穷举法
4 {/ r: H6 p) a7 c4 h. V# O# d. k网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
7 E( ]2 k1 |; o" G1 ^

比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点，那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算，所以计算量很大。

) E' @! f6 c4 q4 A; [9 r
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久。
  E5 I# ~; j# S

& y" J% z& h& N% T( {- i5 v$ L: z穷举法大家都熟悉，自不用多说了。
+ ]9 p, I+ b1 R5 C1 j  _+ r
+ h4 n2 x7 h" }9 ]) n3 D3 _' j* j" S
08 一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
: y- B9 [: {! [/ ^2 O0 _
) `  b; A3 |* S) t  Q
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

- b( o/ M* v0 p" L+ |
09 数值分析算法
- Z5 `2 ?! O! v数值分析（numericalanalysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的算法。


如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
1 P! y$ y% Q) U0 O( C. y6 }) I& ?

6 W+ j" X( P; j* l+ |' G2 o这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

, F) e+ I' m' p" `7 s, b. B
; N  x: f% M: g- @0 ~ 10  图象处理算法
( W' F, e- p- o+ w4 i+ Q在数学建模竞赛中：比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算，03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把 MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
7 U( {2 C1 F2 l8 Z
) k- y( x* k' H
- D0 L: b) Q$ z8 I
9 K: q7 C/ Q! P. e* \
+ f* D8 h: k0 v/ o! E' l————————————————
9 l3 S% e" |# H9 K' |% C版权声明：本文为CSDN博主「文宇肃然」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/wenyusuran/article/details/114093268
+ h# J( Z$ w) ?: z% a
; M) Z8 Z8 f' `7 Z/ [8 W
$ N9 t! M$ Z1 U& D; c; Z3 Y