KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
, [% r1 M; V! L9 L& d7 e
! P6 u. {+ M; l. O* p) v4 i6 z3 c- H
, A3 g5 l9 e% p  g; A' u! X提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
7 n" A; F6 _% T5 {5 r8 L4 D　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
& l9 r( x( M; t5 x9 A% S先上代码
+ ?+ R& Z3 `" R  A8 e
6 T/ p- R; {* N0 D) F* H  m
void Getnext(int next[],String t)
{
0 o1 a0 T: \' j+ A( a7 y   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
4 v- z8 N4 h6 p# @' ^% x   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
3 V9 L- U% j) ]# I6 u' Q! n      {
9 K; w. V6 M% |) S4 X# Y% c9 I         j++;k++;
         next[j] = k;
! N4 B0 C" `8 s' u# s. [7 l      }
1 f7 p' ]! \; F" M3 {. S7 Y7 Y4 H      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
}

ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程
- f0 L' z3 s7 A, @+ T
* U$ q0 d. }3 J
特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。


当 t[j] == t[k] 的情况
6 o+ F7 }3 P$ b6 [" Y举个栗子
: \- K, V! ^; x2 t; _
观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。

4 C, {/ F" C* O8 H+ S/ ]7 V& L. ^
当t[j] != t[k] 的情况
6 d9 d$ J; ]( G关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
# X8 x, T  _6 s- L& V

我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
% h1 R7 u" p& c9 F9 ~: E在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
3 q$ Z6 n: T3 {1 f- c7 l4 K
& K% I( I: J( |, C% j' ^2 v　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

+ _6 D8 X8 i+ ^6 X4 @
4 b+ h. u9 X: M( m% D至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）


) C& a/ b$ M' d' U) Y- n7 L( h因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。

6 S* ~2 q+ c' l2 V! K% [* L
再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了

. O9 L: Y  n5 j5 }1 O2 y
, ~$ v( \  S& C' g3 d/ J* G; i8 NKMP算法实现
0 I7 L% S' E: H$ G& e, T, y& `当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
0 D& Z& }. b: j以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

. C* P  I' U9 [- N. B2 k* S上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”
# J/ x* g- B: i; }- u
将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
# Z# P9 }/ S2 R, ^% W

: b9 G  ^# W4 [# H2 Y/ T# r  b都明了之后就可以手写 KMP 的代码了

2 V% a7 Z) p$ ?$ Q, Z
" a0 h9 ^1 O, }  |/ X- Eint KMP(String s,String t)
{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
' k9 c2 q; P% U2 p. w0 o   Getnext(t,next);
! I, d& E; f( I   while(i<s.length&&j<t.length)
4 v9 |8 K7 f& i   {
* S  e- f: T) w& T      if(j==-1 || s==t[j])
      {
: d- T8 q2 r' ]         i++;
7 y+ H: r$ x9 E; w         j++;
; B$ k4 P, H' ~      }
2 W* |4 f$ A$ q5 W      else j=next[j];               //j回退。。。
   }
   if(j>=t.length)
, G" K" K$ o/ f3 e0 g+ G       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
( U, [6 c7 a$ d1 o) l+ @3 v   else
      return (-1);                  //没找到
6 r# R! \) f3 Q/ n* F0 K}

8 [- C; e9 ]4 Y/ {: C+ o改进后的 next 求解方法
  G4 O& |3 ^7 l; n+ {先来看一下上面算法存在的缺陷：
5 z7 m6 |* A! T! _/ X2 O
- t2 J' N, X- E- P! ~显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
1 V6 x. R7 y7 F# p

) a" G* }. x, @% a" _( F所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

+ d( I& {( \: P* H5 {7 ^
显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。

2 @2 x  q$ U5 [% b9 k9 W2 K2 \  B; O2 Y
" I5 G8 w0 v* {* p/ ?* m所以我们需要谈价一个判断：


3 v% k7 O: l' D# t8 R# w  Q" qvoid Getnext(int next[],String t)
) O" {, h9 o4 M" q7 a/ p$ \6 C8 l+ l: L{
+ }' e% G. \0 R1 R8 ^% E   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
# e0 v4 G' Y( e6 E8 v" |   while(j<t.length-1)
   {
  W% q5 r  R5 a& M2 J      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
5 B6 _+ i( H1 k- ^' C         j++;k++;
4 ^  X7 x" d, e         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
. l5 ^& `3 N. S/ R' M         else
            next[j] = k;
      }
, f5 [! w2 h+ X; J; b6 S      else k = next[k];
   }
+ s' y% S# H$ N! q+ I8 g}
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: D3 N: A  g' i& E5 s8 l/ J原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736
* T/ b- X, Q9 E0 j
& _  H7 m6 }" E- q3 C3 f

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