KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
( ~0 j/ f! m& J! U简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
) R5 [& ?2 ~7 _0 Z3 p$ b. D  r; j0 Z
2 Z  R5 x+ y& d/ Q1 k
提取加速匹配的信息
4 y$ o) e8 B4 ]9 P　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
- j" z" x8 V: }3 o! w2 ~/ e7 |　　
0 {/ e8 r; n0 J0 b. R　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
先上代码
/ ?/ O5 l% p2 X5 x5 d, E; S5 j

/ `6 n; J" C/ G5 Ovoid Getnext(int next[],String t)
{
) f6 b+ T- g& C" B2 v  _7 k   int j=0,k=-1;
4 i' H6 f# }3 b- ^0 O$ \- I% n   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
   {
- }. \+ g4 M+ }+ P- }7 n2 ?0 }, j' G      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
4 _, s7 i9 M! U; x. t         j++;k++;
         next[j] = k;
6 a  e2 I+ B1 w- N5 p6 S. O      }
$ F% X: ?/ Z; P, ^      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
. G0 C7 c, Q8 ~: }   }
$ ]4 ?" E9 f$ G- n1 E/ r}
3 N% W: J! P9 b# i  J3 E0 e$ [
3 h7 }! g. Q5 R) Uok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程
9 b1 K4 i) _" H) P$ I* ~! ~) j

8 i& m' J, P' a6 O0 j0 f特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。

0 V' j6 ~2 R( L) ^6 J
当 t[j] == t[k] 的情况
$ p2 l: i$ J! [* m: ]5 A+ p举个栗子

观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。
" L, v# T) n' z0 V
' }8 w; D9 S" O" a/ A; ?" o
, [1 x5 g! [/ p7 r: P2 ]9 z- O当t[j] != t[k] 的情况
. Y9 O- \" c& C关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
' W) B6 m/ L! d7 T# b+ ^' Z$ a" g! b# L

$ K% J2 |' t, u0 q$ q我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。


8 J8 ]- u9 x( C6 Q4 S至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）

3 M4 w- ?( A2 r: l
) q; {6 _" |8 ?因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。

. P6 f, @- C! [' ^/ ^5 n- n
再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了


KMP算法实现
% Y1 K( F5 Z; O3 m当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例
1 l* u  T! o3 _; l
上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。
4 H0 y: j3 v6 A& \) y
根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

) |7 Y# k# C) b9 O) z' j. z将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
7 |7 t5 X7 v$ E* |% u3 ~
8 w3 a* n2 u" n1 y( c
5 I$ {6 D3 ?6 l都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
7 j: ~7 l; m+ q& a" N) v

6 k, K' J; R  l% Kint KMP(String s,String t)
{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
8 N8 f3 y9 i% T0 T, D   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
/ |) l# ]" d3 F! u( c8 {      if(j==-1 || s==t[j])
3 X% Z) `$ g4 a( b! _. B. h      {
0 x3 B+ j9 t2 U0 `7 X2 L         i++;
         j++;
3 _: y! U9 v! B0 z      }
9 K; `/ f$ w( k3 |* A2 j      else j=next[j];               //j回退。。。
7 L" ^! w7 J- B% D/ @   }
   if(j>=t.length)
' ^4 c& J7 l. U: l, C       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
/ a+ z- m0 i2 p! {      return (-1);                  //没找到
& a! ~9 x) t: i0 J" r6 j% M3 p, l}
. i* w1 Z" i" w+ m& v8 Y9 M; q; Q( S
改进后的 next 求解方法
' T+ @" B  B5 R/ m: H" h7 b  P先来看一下上面算法存在的缺陷：
$ ~  G# d/ t: y; X0 E0 O, l" K  A
显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

# U, w9 C# ?; b( w9 Q! m- g3 N
1 w. S. i- o! |: N所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：
9 h" }8 U" l+ J* R' F0 J
5 @! u* K2 F- K不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
* d! I* |) n& P; W, B
- ?9 d9 E) e; [  y6 U; v
显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。


所以我们需要谈价一个判断：
. S4 x" N6 V# e5 [# ^( F

5 d- j, d' Z( V  s" j3 pvoid Getnext(int next[],String t)
' \, a! }- K6 \6 ^' D7 m{
   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
2 n3 P+ i, d3 h" G2 h, {   while(j<t.length-1)
% t" q8 V" q+ o   {
+ w; ]7 s& V3 N4 D) c      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
# r) C: o# j+ @2 w6 r/ _" X8 L, Y3 ]         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
" f/ q! M. [7 W  X8 J) {- r            next[j] = next[k];
; T5 Q% q, @  @7 s; S         else
/ v' g) P) g# C6 b/ |  D            next[j] = k;
      }
      else k = next[k];
   }
}
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