【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
9 V' C1 `5 F% I一、蒙特卡洛算法
5 i/ ~! O$ g# L二、数据拟合
三、数据插值
  X4 Y" }' _4 B3 o# O: z9 y8 W9 A四、图论
1、最短路问题
' z4 Y: Q  }  N  ]5 I+ v（1）Dijkstra算法
1 J! V0 U$ i! ]3 A$ r0 b$ ?# i0 z（2）Floyd算法

8 m: D* F: t  j* v* T! a2 G) v
) w7 z* _! M# c& z0 m# A
% i1 L# b' @& P4 y) X" F
一、蒙特卡洛算法
1、定义

0 z, o5 W& J1 ?
- L% ~$ N3 ^" v8 U! S; D% d" D% B; E# [蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。
: O, ?; l* g6 L+ k! ~- T- B9 U



2、适用范围

( t5 N/ p9 L8 v7 q0 ^7 S
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
" n- z+ L8 i2 ]
6 I3 m& o# S2 c+ R: J

* s! y; x; u& [) W( ~2 u
/ e6 h4 k! C! Q7 l3、特点
* G0 \6 O. ^7 ~7 g9 J
$ s( H1 d% C% ]9 [  i; t* l% k" S
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
* O( n2 H7 U  |
7 v# Z; B; }/ q8 M  M3 _9 A( @
2 }+ H6 b9 ]$ ^* m

4、举例


y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。
/ |& q0 a7 n; b' m4 w; V



（1）作图

- @1 X5 `- a7 A
) A9 g0 }9 s8 _4 L. K' g) @- B3 JCode：


( a$ {$ m) @0 G8 b/ [%作图
2 J% c0 _1 A) X5 u! R! Yx = 0:0.25:12;
5 K" K- T8 a- Y; a% s: \. x. fy1 = x.^2;
5 v5 m# s& k+ b3 fy2 = 12 - x;
+ j7 f! a  P- Q! l$ C% Wplot(x, y1, x, y2)
xlabel('x');ylabel('y');
%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
$ f' H8 m/ x3 Q! d8 ~axis([0 15 0 15]);
+ @' W. t- E; |# @2 Q3 vtext(3, 9, '交点');
%加上网格线
/ ]: H7 W! @: {  o8 l; P) Bgrid on
6 N6 s( W  V/ y- E' w# a  ^1
2
. E( @$ Q* }' T% o5 S  X3
4
5
) D5 W- B+ j3 k; G; |6
7
" R0 g% K; d4 x" m$ ?, W/ a) J8
- p9 E7 `; F2 z9
10
$ F2 F: d4 \& o5 m11
12
4 z' K$ y- x; M2 `) G* K  Q5 S13
) k1 f( z! |4 x* r/ n14
& A1 d+ B. v, c5 z, _" b8 y) s) {

+ r- ~# _6 y, Y（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。
  t7 j! [4 p, }* D7 S3 v$ w1 K* M! p& S

5 G4 \  I% O5 J8 c( ^. O% PCode：

/ E4 b& b% Q$ {; O7 i) E. W
%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
+ S) n6 d) L4 X+ I- f; k% wx = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
2 ?, n3 o/ N( S, X$ `9 {) L  ?y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
) T) H& k2 T5 R) `5 vfrequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
) c' Y* r& a, G: Jarea = 12*9*frequency/10^7;
disp(area);
8 u+ D$ [; e% ^2 ^+ [2 X9 {1
2
3
( ^7 F& X7 a' G4 U4
% F$ B! {& p( q2 F, _2 e5
6
3 p5 X3 m: Z2 p' c3 F, R7
所求近似值：


/ O4 h. _+ h3 W9 e0 E# |( _8 d4 y

/ Y$ Y" f$ W) |) E/ S

3 X4 L, W5 N9 G# N3 k参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898


2 E& Z2 T1 P; W7 Y- Q6 ?4 d+ J: i

( L7 G# C5 W! j

二、数据拟合
1、定义
3 n4 G# X% {' C* Q

; G4 [; Y' q3 R! L5 S+ P* t; s% K% R已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。

( m& m! `) ]$ m0 H

$ g8 [. d* g. H3 B0 L2 t& ^
2、常用方法


一般采用最小二乘法。
4 N2 y+ `) q# {5 }0 y; G! _1 f拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
5 e" ]1 z: n* Y5 G; s5 d
. Q" c/ G5 y4 p% j$ v2 j1 Q3 z$ A1 c
& w9 ?' \' g6 T2 ?3、举例

/ y: v9 n/ e- V( s0 u  \/ w
  h* k6 l/ B$ {& N: x& _( ~! W(1) 数据如下：
& V" w! ~) w7 w0 \  A" c

   序号         x         y       z
3 M$ @' O8 ~. M4 Q/ N7 _, O        1        426.6279        0.066        2.897867
- s2 i" ~) M+ l/ H+ |& k        2        465.325            0.123   1.621569
        3        504.0792        0.102        2.429227
7 w! I# v7 t6 q$ ^) [4 i& X        4        419.1864        0.057        3.50554
        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
$ h" D* r% b2 P  U! q' `        7        416.3144        0.049        3.058917
        8        464.2762        0.088        1.369858
- v* `' s2 q+ A% g; F3 g0 P" N1 g        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
        13        372.1432        0.041        3.604795
. m0 O+ V% \1 \/ y        14        389.0911        0.085        2.048922
, E" s' K  ~8 e5 L5 C5 B        15        446.7059        0.057        3.372603
/ Y1 y2 P) r6 b% ?: T, f+ B0 q        16        347.5848        0.03        4.643016
. `: k6 h- H( J% g) s, q6 U        17        379.3764        0.041        4.74171
3 f+ W! M9 |. i        18        453.6719        0.082        1.841441
% \; D3 `6 R) V1 ], R        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
4 k+ P: i' F" p        21        437.4085        0.056        3.984765
        22        408.9602        0.078        2.291967
        23        393.7606        0.059        2.910391
) g; m, N  W1 @6 K2 P+ Y# G, R        24        443.1192        0.063        3.080523
! g. Y( b6 n, G/ ^: @' c% L/ _        25        514.1963        0.153        1.314749
9 V! i; |1 v* C) i        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
0 P  Q& V$ H7 \$ M8 U1 W        28        421.5248        0.063        3.005718
        29        421.5248        0.063        3.005718
. u7 i7 J8 A4 i7 f5 Z6 a. L0 a+ [        30        421.5248        0.063        3.005718
        31        421.5248        0.063        3.005718
+ V' e+ \6 B$ x9 S7 l# f        32        421.5248        0.063        3.005718
        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
5 ^% _# h/ B3 g5 Q; b/ x6 w        35        421.5248        0.063        3.005718
        36        421.5248        0.063        3.005718
# I: A6 |4 K/ n2 _        37        416.1229        0.111        1.281646
; W6 b; C, Z, b; e        38        369.019            0.04        2.861201
* ]( x8 T8 P; Q6 l        39        362.2008        0.036        3.060995
        40        417.1425        0.038        3.69532
  _6 z3 I  s: [- m1
2
% U, {+ e, d" H, C9 X% a) u4 T3
4
) ]: J) X- E/ z8 k5
# R& B' C) `- I" o6
7
  v, d" {  Z! D0 M; U0 l: `8
9
10
11
12
0 p1 `$ n9 G6 f$ S) a/ P; z& Y7 V13
14
0 h1 P1 A, x! ]7 D15
/ N$ H1 |  k/ ~3 i; k0 P# ^/ P7 g; P16
17
$ l0 O" \" Z$ ]1 H3 C) o- p18
  G" U) U7 O( |& G19
) K4 X4 E2 Z% N4 a9 J# V8 ^- K20
5 i4 Z! E5 j7 J3 A6 m21
2 V; |' T' q7 B' X7 E22
8 o1 M( e" {/ L" r8 \/ Z23
' I9 N2 z' P" Y" i2 E- k24
25
# K( O# j$ j0 k26
$ d3 g; g1 a$ |2 K, h27
28
' l& H# A2 g5 m9 `% J3 q: N# B$ Q$ m5 ~29
30
31
, B& ^8 k: I1 Z+ f9 ?1 G32
33
34
35
/ U0 I: q/ ]8 t2 j! S, V3 @2 T. T36
37
1 a3 W5 N0 B% Q# Y38
39
/ S* p; O0 n, N4 L40
41
$ i3 q7 g% O' A; N% c

(2) 方法一：使用MATLAB编写代码
3 S) n  C0 d' f: Z1 y, A, h6 B
) e- @5 z( @) t
%读取表格
9 \+ L+ C2 Q' I* Y& WA = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
" M# f9 `: K  A  O# `* v" f/ d5 P" c[I, J] = size(B);

%数据拟合
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
y = A(2,;
9 ~( \$ ^3 ^( [9 z% P$ R4 p0 A%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
( ^* e# H) F, i%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
7 c7 T$ e* q' V- H3 r# t0 }- `  E%返回值p中包含n+1个多项式系数
p = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
: D- z% h9 I/ L, O' ^1 e2 v%下面是作图的代码
* u9 ^! n2 x8 K2 }x1 = 300:10:600;
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
/ g' O- T5 T& p7 W$ R/ oy1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
' ?  Z: c3 [1 k' F: g$ C%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
%figure(gcf);
* s3 Q8 U/ v% M( D6 u1
. ]% M0 h; K" Z1 N2
3
4
0 h- L9 m  [9 s4 `2 Y# E1 d5
6
7
. G1 Z3 Q) A* l) y; y' X8
" r4 Z& t( [; ~) K: \9
10
11
6 e" }, b( b) g; N8 a2 U/ E12
, @% F6 l2 C. _+ n1 m: Y2 b13
14
15
+ ?6 h6 a" z4 D  q7 O: I16
! }* k" o: m. K/ K  J/ P17
18
19
20
21
$ ]: t9 [  J; F# E: Q

9 z. S; I1 K& Q(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）

% P% g1 M: E5 A0 K
) r3 ~6 R3 i. d6 K& X

将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包




9 F( T- R+ Q* r# ^选择x、y变量

/ f9 p# T0 r+ K3 T' J6 J


选择拟合方式和最高项次数


  l8 t; u, L* ]  T" d: v! W( D) b

/ T$ \! d2 [7 E' x% L得到拟合结果


3 f$ \3 B/ I. e' W* h) C' Q

使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。

) d$ a" A: ^8 |0 s
. _1 p) X7 _! O( w$ p4 q: z
+ \- a5 _& X- a$ V( a; V


三、数据插值
( l" N7 ~0 S0 x+ h, X% ?2 N2 C7 V% q1、定义


在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。


0 S9 M1 w( Y: X从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。


) I, j) }, U3 o5 y

5 }( O$ g2 X3 w7 _2 n9 t4 u2、作用

1 ~' H' V: x4 E
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。



7 }; g- z# S- R2 b8 F
3、举例

/ t1 h+ F; i( L3 [6 A5 o- U
3 H  m/ S2 n; ~$ F& x5 o+ T%years、service和wage是原始数据
% I* T3 M0 D6 kyears = 1950:10:1990;
service = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
  J' Z. w5 I# c& ]6 N" L$ Z; p4 x0 j[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
+ {9 ^2 Z; N3 R1 C( H% plot3(X, Y, wage)
9 u7 b- e5 J% D3 Z5 F% R8 b% 三维曲面
figure
* v# [: c; h7 u8 M! Fsurf(X, Y, wage)
%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
" Q: ~' n' _  i0 xw = interp2(service,years,wage,15,1975);
. H2 E8 ]/ O9 O* I9 Q% Z: o1
2
9 t! v" P' Y/ D/ u2 c$ ^$ u3
7 n) J) |& K6 v- |/ H4
5
. n6 A) x$ F5 ^# _! H6
0 X* B9 t" h2 Q1 |$ _) S7
3 E$ U0 n; t- m  e! s1 q9 _4 [8
9
; _8 N: m5 B7 T4 F6 V& d10
11
# ^5 C( G0 K% l. t7 `& [12
7 i( B' K: t5 v/ `4 n. ~* G. `2 ?



可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合

) g( C) i. n8 U

2 R# X0 J; v! {( S; d

6 b  y/ g1 P7 s2 Z0 p
+ K6 k) x1 r2 T% d( j四、图论
1、最短路问题
( b3 V) r3 e2 y5 w7 U最短路问题就是选择一条距离最短的路线。


5 y6 k6 n  L& @$ _$ s! z& Q0 `% N例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
# {& F! i, t1 j7 {
; l, c9 k; B( q5 m5 r2 K; F
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法


9 G+ O* M' B$ p7 n

（1）Dijkstra算法
* i& V) u- V' e( W: ^9 M- J4 s6 ]先给出一个无向图




2 @. z' v- d0 a: {9 R用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

% L- }6 A! M% \$ d+ A

3 g0 k# X6 b+ P" l


代码模板：

$ X" R! Q5 j; q0 O/ ]; Z
#include<iostream>  
* ~9 p  V9 _$ _, A#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
1 }/ q  l  o/ x8 K. Z) z#include<cstring>  
#include<algorithm>  
" Q" r4 i6 \! a% J: O+ @5 H#include<vector>  
#include<fstream>  
" ]2 y% J7 s2 V! T6 z7 [+ v# dusing namespace std;  
  
const int maxnum = 100;  
8 c$ ?% q% D. ?0 M9 Oconst int maxint = 2147483647;  
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
8 `- b% C3 ~3 rint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
int n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
- k; t% H* b) c% x6 Kvoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
& c+ s, `7 r$ I% G' o4 Q7 i{  
. y" C/ f+ V' t: n' ]# R    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
' o3 M6 C' C! W/ ^0 ^    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
1 Y) P) d7 o8 k        dist = c[v];  
        s = 0;     // 初始都未用过该点  
" k* _2 s8 |9 m; f        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
        else  
            prev = v;  
    }  
( |  o7 T9 G6 N, a3 [# U* z4 @    dist[v] = 0;  
1 y" E2 S# D# X$ F. z    s[v] = 1;  
  
$ h* i5 W; j, C3 ]    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
; y7 b' u9 L4 @. a8 @" x4 v* S+ i    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
$ X+ L) l" \9 S3 D: A        int tmp = maxint;  
        int u = v;  
% Y0 O4 B: ~6 `; p5 d: i1 P        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
  `3 s: v# ?$ ?  R6 ]! p            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
2 y2 O" ~1 t5 m. `5 w                tmp = dist[j];  
            }  
        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
# z$ ]. I3 L: f3 G" J( J( G        // 更新dist  
  k! j, [9 R- ]        for(int j=1; j<=n; ++j)  
( |( M1 r9 {; h% I% p% H! A            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
            {  
                int newdist = dist + c[j];  
& ~6 E- r+ q8 x+ T- @7 R& U9 W+ L                if(newdist < dist[j])  
7 @3 v3 f+ y( O9 T, [                {  
) {& G: D, @/ B1 j4 R                    dist[j] = newdist;  
  ~! c2 U  @5 L9 w                    prev[j] = u;  
                }  
            }  
3 B2 g: X& \2 ]* P7 ^0 `, Q7 R    }  
}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
{  
    int que[maxnum];  
# j) \, x# }) R. k    int tot = 1;  
% u8 G  H- S+ t  \# N: E$ C    que[tot] = u;  
3 n4 c$ j* }5 S0 @2 t9 V% I( J    tot++;  
    int tmp = prev;  
0 U  V+ _& y9 O% U4 O/ ]    while(tmp != v)  
    {  
        que[tot] = tmp;  
  u4 _. F2 N5 ^) }1 H% F+ L" E        tot++;  
, g/ t: X) q, y        tmp = prev[tmp];  
    }  
$ Y) N7 X6 E- s0 d' u9 h    que[tot] = v;  
    for(int i=tot; i>=1; --i)  
+ R9 o7 Q! W2 `0 |5 X2 Z% n        if(i != 1)  
            cout << que << " -> ";  
- X1 Z) ~6 t+ g) O        else  
            cout << que << endl;  
- _# s& ^- b! H, x}  
1 `" r" q% p9 `8 z  
int main()  
{  
8 X# J) ?8 _6 e* {  J0 ~    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
, m7 j. |8 c0 |1 S; ~    // 各数组都从下标1开始  
# l2 I6 y/ g( u* m- @1 t5 a    // 输入结点数  
; R9 e! Q4 O  k/ Y0 d    cin >> n;  
( {9 _9 ~; u' z4 G! ~    // 输入路径数  
    cin >> line;  
* x6 }9 U* u4 O/ S4 b# y7 e: _    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
1 ]! {* e0 U! l' m    // 初始化c[][]为maxint  
% g2 ?) |0 Y9 w- l8 e    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
; q: Q7 b* [. z& R" H) C    {  
        cin >> p >> q >> len;  
! G" {. H  l$ i' V        if(len < c[p][q])       // 有重边  
        {  
  G9 |% a0 ]' G$ g; |            c[p][q] = len;      // p指向q  
; t1 N5 `! v% b            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
    }  
% f/ W) ^4 L: G   for(int i=1; i<=n; ++i)  
  ]) S/ b! c7 L1 h. M  m        dist = maxint;  
8 G& h: y  Z" d) Q    for(int i=1; i<=n; ++i)  
, P5 f# G: B, x4 L9 O. B+ i    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
# Q8 K" X/ e$ V. A; W' R        printf("\n");  
# n0 Z3 T( L/ u" \0 c& G1 b    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
& H; V0 e. O/ j//    {  
//        printf("%-16d", dist);  
# I6 f0 R8 Z# T2 ]4 d& L$ y//    }  
- u4 G% Y$ Q) F    printf("\n");  
) C- M6 t& X+ Y: {' S- h9 [+ I1 f     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
     // 路径  
" P% o# G3 U' w. p    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
# ^$ ~& k% V* J    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
}  
  
  
/*
输入数据:
5
7
1 2 10
  t% Z" ~- W# p 1 4 30
, v2 a( u9 {& m4 l) Z 1 5 100
, U; a6 b' _* ?; I9 C" C3 H 2 3 50
  f( i+ z2 h5 n) ` 3 5 10
( Z# C" b$ B4 h# T0 T 4 3 20
4 5 60
0 y6 d5 G8 V7 q8 ^ 输出数据:
% D7 O) B0 t1 d0 i 999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
# G  v" j' X" g 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
9 m' V" z0 {4 T9 `" q1 |8 r1
2
3
" U% e1 P" A/ C6 [5 h1 m9 w4
5
2 ]" g$ [% _1 R9 Z( C% P! B6
9 X+ T0 ^# p- Z# o8 S$ `7 s7
9 _: K. @' \, ^& E3 T- g" l8
8 n  a. s9 o! D+ ~  V+ S( w+ B9
10
11
6 u9 P8 B' I8 v2 J7 R4 n12
' R. o' g/ v0 h4 a2 J2 D13
; p9 ~& R! J8 p14
15
16
17
18
19
+ n  `2 C  P: o$ X20
21
% W' H7 |1 j* k  f8 m! H/ V22
23
24
25
26
8 p% ?+ j* P; W3 f9 V* s27
28
  D  o* _2 `; d6 T% L7 D. @% z* I29
' }( X. v, r- p4 E0 i6 X30
0 e9 [6 x# ^' y- s' q# E' h  g0 ~31
9 W4 R' v! k5 H; h3 G- j/ y32
& M6 c# `$ q$ Z6 t33
34
35
$ U; d0 l2 ~( }1 Z5 [' m; b' L36
37
38
39
" u" p1 i0 @$ b( V3 f  T40
$ B8 x7 E" N( i% R41
42
43
; `& ^+ Y4 t& ^% Q! P) y44
45
3 L( o7 J9 ~6 k4 Y5 O) d46
  s9 l" a2 ^6 E7 d) K" `% \4 A47
48
. B  d* z) ~8 Q5 z2 X49
$ E* T/ z$ ]6 T50
: R/ k8 S4 {0 z+ m: U; o51
52
53
9 Y$ Z; I/ w  |' ]6 {2 s54
55
56
57
58
6 e2 t3 ~6 B* N" A& ?& n59
# F7 }' v3 E& q$ y) J  ?60
- S( m: t" d9 ^- s7 K0 I; T; y* y/ l61
62
: i8 c! k% {& O5 p9 _63
64
65
4 i4 d3 @7 g6 f: s( V66
67
68
- }9 P. |( F5 k* N69
70
( \, h" I" Q& o( `7 v71
72
73
74
( Y) C7 b. x; f: V3 h% b75
76
77
( @6 b2 B! }- [% p4 T% B78
79
% U4 G0 @& M. W" t! @80
81
, y; _4 v& r1 T3 b% b4 c82
83
4 n1 t) F. a+ p- k, Z# Q- N84
85
86
$ ]8 E+ i+ {* H+ l' p. T# z, ]# U) j0 r87
4 K/ L1 f, l/ i1 j; B; r: ^88
* J* A; ~& p( O1 L% C  S% I! N) A3 U, M89
5 B0 T/ H0 L4 P! Z5 S. x" A90
+ f( R& t9 T3 B91
  M7 ]0 ]% p. t92
93
5 Q8 {3 S* z1 m5 x5 Q" E/ v94
95
96
97
% t5 g* l/ x1 T- y! T# M/ v4 @98
99
100
2 |" K0 U6 X/ @+ [2 U& ?8 x# i' n101
8 _2 Q: k) W& R0 Z+ r102
7 T( }5 }" m7 u) A* A103
' j4 p# l3 Y) B) ^104
. G# X9 G8 i: e( X7 h2 S4 L105
106
107
- g1 F& F0 p1 a- |* D108
" H7 z% ]+ D% t! J" r$ e109
9 Q2 u; @7 U" t110
) w' m; @0 _2 C' D111
112
1 Z; n/ x7 ?6 U8 V( l113
114
115
) X# Z" D) J) i+ F116
117
118
119
5 f$ `* W/ h5 P120
: I8 v$ C, z$ @6 t5 ~121
. b3 ~+ j( o9 B2 U* w4 s$ x1 E122
6 m; u6 l6 u( k, [4 q123
2 C! Z' Y: z* W0 x' ?0 O124
125
126
" y1 P# U; O5 A; x127
$ w' A3 a+ c: P6 V$ G$ U8 W128
129
7 z( P, e& ]7 @. d1 D( R/ z130
131
132
# r- H6 t# d) R2 e) _133
134
3 t( Y6 O9 [3 O* H135
: c* k; c2 D+ }/ D3 w( e3 ?136
137
  y/ y$ c! C1 _4 z9 k138
0 j: a! z# l: N( N" o" A9 q139
140
& O8 Q$ s2 B& e! }141
142
2 w/ [7 s& Z; H2 a143
144
145
' {2 q& Q' I9 o5 [: |- M146


6 L" E7 g% ?& l  A* u; A# I. z9 f（2）Floyd算法
2 R, V7 ?; o; V#include<iostream>  
4 ^- P6 W5 x* E- `5 m#include<cstdio>  
0 a* j5 Q( J9 U- D# w7 s+ @#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
& n. R' \8 o+ C6 O+ w2 v; A4 I#include<vector>  
#include<fstream>  
# C( Z* `6 P+ m1 Pusing namespace std;  
+ C4 ~5 d$ {# t3 `  
//设点与点之间的距离均为double型  
4 O! S! F6 \: N# b7 i+ l3 udouble INFTY=2147483647;  
const int MAX=1000;  
+ C- ?6 M" {* ]2 }double dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
' J! V9 K+ b' j7 K+ Vint path[MAX][MAX];  
int n,m; //结点个数  
5 a. v0 q- F% N0 D2 R& F/ i  
% R2 J% X8 J4 X- ]void Floyd()  
{  
    int i,j,k;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
& g+ b  L3 _/ p+ V; [    {  
$ s% |9 P; x+ \, o+ r3 H! u* W        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
            dis[j]=a[j];  
  I" ?* e8 X% H* e# j. e% P            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
                path[j]=i;  
. k, @% f5 _3 p+ l( `- u1 k% j            }  
" \5 I9 ~. U- L# B5 \& a( v            else  
                path[j]=-1;  
        }  
2 G5 [9 q" N. o* n. ~8 s0 L! [+ e    }  
+ B8 A8 P8 d) y5 i( C3 q0 Y& I5 a  
    for(k=1;k<=n;k++)  
8 k! Q  S, m) S3 n4 Q8 G    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
            {  
- [: t/ y0 G0 N8 _% f                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
$ `0 b: U% h5 _7 M" e0 G                {  
$ i$ R; |. d( M+ q$ P5 k1 F4 R                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
6 i) r# Y% p( s* l2 M* ~                }  
8 E8 ^& z, h& Q: ^. T. \$ x9 O            }  
5 p6 [! Z8 C) g        }  
    }  
: Y/ T7 F) O8 I3 _/ }: B0 ?}  
  
3 O$ {' L' I9 |& h7 O/ Hint main()  
1 ?9 ~$ l; v9 z{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
    double dist;  
7 m# A6 u" K; S! x3 C5 k) F    scanf("%d%d",&n,&m);  
; Q! u! b% ~: o- }# B1 K: j    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
0 ]6 k' [3 G/ T" J            if(i==j)  
4 W+ p, ]  R/ R: ]                a[j]=0;  
: _: x: a% I$ ^* V% x5 x            else  
                a[j]=INFTY;  
! w3 Y1 A% ]; ~. b       }  
" v5 Y0 M  Y  ], W5 t+ l; f. L5 u    }  
2 T9 P: p( Z9 G$ V# t    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
9 A3 _4 A) M" g2 P        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
! H1 n  o* ?) M    }  
    Floyd();  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
# n! m$ L  w% U2 ?2 Y& q       {  
            printf("%-12lf",dis[j]);  
       }  
       printf("\n");  
    }  
    return 0;  
}  
1
# t: J1 J0 S1 V/ L- ~- z$ O& U2
1 D4 x# q: c8 R6 s3
4 S, l5 |0 C- Q% N! T4
5
) \7 r  M1 b" z6 s, V6
" ~# S9 ^* j# p* \3 ?7
0 ^" [3 R# ~, Z/ l$ `8
+ t  ]6 q$ e0 q$ o7 z9
10
11
12
# e) C. e% W; M2 Q) n, U" D' e6 B13
* K- N* d+ D8 q) ]2 j14
8 O6 e6 S; w/ i( N! W- N15
16
7 U7 Y7 h( j2 k! S17
4 f% d. q9 G# s4 \* R) H0 g' C18
19
20
21
22
23
24
& e; R) j( o2 A5 J25
26
# x! a; a( T, E27
28
29
# Q( q* h) J8 e# t30
31
32
) x* K& e6 i+ j0 p33
34
35
36
37
38
1 S" I% z# `& T$ t7 E& t$ I39
40
41
5 B! F" y5 N0 `1 v( g' r, U/ `) L' x42
43
4 p, x$ }0 l% Q8 o* c5 r44
3 F5 P5 y) R0 i* a0 |45
46
47
- V4 w6 U/ e6 g3 y48
49
3 l( k% i' w3 {7 j' j- Q) \50
51
52
4 e& }. s7 t! D9 D! ]+ i* F- W53
54
2 i9 C- \) k# N) D; Z55
& V, s2 E& ?6 M. ?1 r6 L# ]! q56
57
58
, b0 E& S5 j$ j! d: |59
; Q7 m3 s' P. L6 @60
, c( N$ G& A0 B' |% s8 u$ G61
- j5 `4 S5 \2 N. w" g62
) B0 u6 u) B# i) ?  t# A$ L63
64
/ X! W2 r. Y# V0 W. M65
66
$ L' d& i1 @# R1 m! t! [67
68
1 U  X2 R. z2 R; Z% B8 k69
! X: z) M8 E+ H- a0 o2 \3 [: \70
( J& }9 f. L% Z4 k' v( n! m71
  \8 v4 F+ M+ O& y2 U72
* B4 u' O- P  v/ @9 y' m' T73
74
75
& b+ N+ u+ E' M7 w76
77
78
79
/ W( H' ~$ c' }# w80
81
- W: ^0 B7 L. y# @! o9 i82
* c1 ]) E. K  L+ u* ]7 t) F83
0 W9 P1 Q: n. R# [* S5 |; G, Y
8 Z. q' A8 M$ f& i/ c. ^9 l) C( k
————————————————
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. F- _6 {- j* }3 q2 t

; O* E( O) o& e- k) ^& ^