【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
一、蒙特卡洛算法
: _& \4 o  K1 e& L9 i' R1 }二、数据拟合
三、数据插值
. Z9 j4 U& V$ d  M: D四、图论
9 A6 ?* B2 q, y- y' x4 T9 E1、最短路问题
（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法

; Q' F2 |, m3 K. }* w
6 x; y/ K) x) C( N2 L# s
+ V8 f) ^6 Z( @& |) ^
5 \( j3 d* s8 a' s4 ]$ K一、蒙特卡洛算法
1、定义


蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。



8 U4 J$ b% U1 L/ E
' U# d1 G1 h! u) U2、适用范围

6 B9 P9 d1 h3 \* G
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。


1 f4 q, }5 i' J

3、特点


( n% a+ z* ~3 {4 _9 ]! P蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。
7 ~& L$ `5 d/ ~% T" u8 ~2 x8 A
+ x" L6 f( n0 [% T

4 e' E% N7 r% |* y
4、举例


y = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。




（1）作图

8 [) d8 w( r2 G) b# p
Code：
2 i5 }& n7 n: ?7 k$ a# n6 ~

) U" o. ?% u3 }- A+ K; e%作图
5 f! F+ j5 z; L+ Nx = 0:0.25:12;
, e+ Z/ ]2 `: Jy1 = x.^2;
y2 = 12 - x;
plot(x, y1, x, y2)
xlabel('x');ylabel('y');
2 `8 \- |' o  M; o* e- L%产生图例
2 m: y; p2 k3 o/ V. Olegend('y1=x^2', 'y2=12-x');
% U8 r. J& X9 `title('蒙特卡洛算法');
9 L% H  [4 k' p) q, p%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
# _/ n+ U+ e  ?7 o. o- C$ n2 m8 Zaxis([0 15 0 15]);
text(3, 9, '交点');
%加上网格线
grid on
0 p0 A* b7 u+ v" `1
' G: r' z7 `' B, J5 X5 T+ \: j2
3
& W; P  w: `( K7 @4
5
6
7
) G  j7 m( ~  A! _& q& o8
9
10
11
12
13
14

' [6 V. L- ]: R- `& j: ~! d9 L
（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。


Code：
6 X0 k7 u! l/ e5 H8 W6 y" f0 O
- @: m4 u0 G3 d: }1 K! S4 E
%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
x = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
* @4 u, B3 k6 i1 Sy = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
* F1 n% @: f( W& K" Carea = 12*9*frequency/10^7;
) a6 E5 A4 H5 _6 Udisp(area);
1
2
3
! K! g7 a! Z1 h4 A) \" Z4
! n& X, _( u7 i% }& f5
5 w2 T" H! f, v) T3 `' p  P4 K$ T6
7
, ]6 e, o% j; J5 E/ R7 P- F8 w所求近似值：


7 S4 t2 u$ T% k, j/ j* h& }, }% o
5 H! x1 N. D: f% z  \& c


+ d3 }5 q1 n, h" R: a6 o参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
1 V. w. r' `; O# d
* m# q) r; J8 ^
# \4 }' ^* }! O. W



二、数据拟合
1、定义
% q) b" W7 M& P" B" x% s5 J
" f3 x1 G8 |4 s8 R/ U$ E8 T- [
+ I# U9 _$ a  Q' c, f* g已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。
$ u) E: S- n/ X2 v4 M4 [



2 s4 |. A9 V% d1 _5 K1 f; P2、常用方法


5 t  Y3 v: _- r$ q6 u9 w一般采用最小二乘法。
' E* D0 F  w; A$ b9 w- H拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。
( W- `$ W8 A% A' ~5 |
3 i  w. F  {- P, y  a! C4 c& g% J
  E0 W$ W2 B6 R6 z% C& {: o& h3、举例

. w$ ]0 t% b2 H* j
(1) 数据如下：
5 x/ N* M/ J7 \
- y, ?# S7 ^; N% t# z7 e$ p' K
   序号         x         y       z
        1        426.6279        0.066        2.897867
        2        465.325            0.123   1.621569
        3        504.0792        0.102        2.429227
/ L& H' W2 O6 h        4        419.1864        0.057        3.50554
        5        464.2019        0.103        1.153921
        6        383.0993        0.057        2.297169
& |! E) @, k8 p% X, ~        7        416.3144        0.049        3.058917
6 K3 ~- _" o& E# S# g        8        464.2762        0.088        1.369858
        9        453.0949        0.09        3.028741
( ~/ i. F; C- j6 B' i5 h        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
        13        372.1432        0.041        3.604795
        14        389.0911        0.085        2.048922
: e; n' Z& \4 f3 w1 q* E( a        15        446.7059        0.057        3.372603
        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
        18        453.6719        0.082        1.841441
) e7 p; Z3 u: k5 K% V        19        388.1694        0.051        2.293532
: x/ ~( a* H: y        20        444.9446        0.076        3.541803
# z  H# e2 W# p# F        21        437.4085        0.056        3.984765
7 r+ C# i6 d3 X+ T/ e7 F) d3 ~) U  ~9 y        22        408.9602        0.078        2.291967
- W$ P8 g6 g+ W5 r. X4 y        23        393.7606        0.059        2.910391
$ ?" _8 h9 {. @0 v4 t; B! z        24        443.1192        0.063        3.080523
4 h, m3 _- C* U- X% f  L$ u$ M3 G1 o  L7 e        25        514.1963        0.153        1.314749
' ]9 k! a" `/ p" b  v# o        26        377.8119        0.041        3.967584
- {! I1 i. a0 V        27        421.5248        0.063        3.005718
        28        421.5248        0.063        3.005718
: b" h: o9 W- W5 ~. w        29        421.5248        0.063        3.005718
3 U9 a0 E$ U& V% f+ ~9 p, F        30        421.5248        0.063        3.005718
& h2 ?' x3 r2 l5 e" p4 e7 k, ^, X( t        31        421.5248        0.063        3.005718
        32        421.5248        0.063        3.005718
  s" i4 o" h- V- _        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
        35        421.5248        0.063        3.005718
# T2 c" }" F: k% {; p        36        421.5248        0.063        3.005718
        37        416.1229        0.111        1.281646
  {* C+ Y4 w. c) c; [2 N2 A2 o7 t        38        369.019            0.04        2.861201
        39        362.2008        0.036        3.060995
) ~0 \1 d& n! N) p        40        417.1425        0.038        3.69532
+ `4 f- U5 b' W% l# J1 t' E1
2
3
% m. ~! g% X  L% Z' K5 M/ K6 |4
$ ^2 ?2 h8 n& M% k, j3 Q5
- C% @8 [! C  ]$ ^3 Z! s: t1 v6
+ [/ R% m' H+ V: f! I* U+ ]( D7
  c& Y+ J5 r, g6 C% P3 _8
' a; O/ n5 Y$ A) |. X, I$ Z* C9
  M6 f. W+ F2 g: @10
11
) J! i5 T" H  }12
" ~  B8 a2 l% V" h7 ?7 A! G13
14
) ~& K1 \: h/ G5 x15
16
17
18
19
# |* {1 c, ?# h20
21
+ N& M: Z+ v; K# z22
/ \( s6 Q5 T5 `: ^" z: Z" Y/ S23
% M0 T: P6 P% R24
25
26
27
1 l) j' O& a8 d) J+ F28
29
30
31
/ @$ P0 a+ S3 i& @& Y1 k1 Q32
! s. L. R, {: U) ~33
34
5 s; n1 E: j' z3 ?: i" |0 J35
36
4 m- o, g; q8 c9 g( m37
38
: w& a8 v9 B" Q. Q39
40
4 [# X7 A: n( N4 |7 m0 C41

% ~+ U8 T$ K' X; X
% f0 N% }& q  L% s(2) 方法一：使用MATLAB编写代码


1 m; E4 z, a0 M: f% F%读取表格
A = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
B = A;
[I, J] = size(B);
# m9 _3 s: E; u+ h! `
%数据拟合
%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
/ p$ ~' C. Q% O  h- Rx = A(1,;
y = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
%返回值p中包含n+1个多项式系数
* F/ G& M2 h0 y- s( {" tp = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
7 a/ `; Z, G% h* {3 F- K4 S%下面是作图的代码
# N& A# [1 Q( }" k1 hx1 = 300:10:600;
%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
! T6 }! r" W- G5 u4 j4 e, V4 j" Yy1 = polyval(p,x1);
( A, l3 j3 U6 i/ @+ w2 y4 \plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
8 ^8 N/ y$ ?! z1 O# s" n%figure(gcf);
1
) G1 V+ Y2 ]: x" B/ i1 ?2
, `6 b  s. L  w5 [7 X. v3
4
5
$ \9 F/ b6 L8 X* W; ~9 u0 A6
7
8
9
10
/ V9 t. c8 O, Y# ?3 p8 Q11
12
# |8 O6 _, n3 @: X13
2 p2 Y4 Y5 _  Q* l6 p% L14
15
16
3 E; R$ q7 h0 l& z17
, n/ E  z$ ?- R- @1 @; O18
19
20
, \" H, }! |: _% H0 C$ }3 O* s21
& v" K% U6 T0 D2 S. u

(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）



: V1 r3 o, q* L" x
8 @; L- q* q2 ?将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
  F: p7 V' T: b9 y
" \3 F4 T/ a0 l/ [! v4 S
: S, M, p3 v# {$ G3 w
9 U2 k- M1 w& Y, P3 q
, y2 I+ F9 P3 S' o, Z选择x、y变量
! e9 |+ B# `% }; `# N) k
! W7 [' v6 V& a8 h
# E6 x) Z/ U! i7 w/ l- M2 ~

( ^4 r# v" O! W/ a4 y9 e0 s% k8 i2 |选择拟合方式和最高项次数



9 Q  y, I* k- x& s$ [4 H$ K
" y. N3 l1 _; m2 \/ w3 z9 f3 ^1 P得到拟合结果
2 Q. M' H) d/ Y: P# H7 Y2 A



- M0 H( I8 R) F使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。

0 H* Q# U) V9 }5 ?! @. V




  u, X6 \0 v$ i8 }三、数据插值
1、定义

: L+ Z2 \1 c% H% u
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
& r# o& Q6 o6 M4 _. }8 c+ |

/ L, _+ O0 U  i. h# B从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。

4 d" }% w8 k% U* q( G* \' ^- a% |
- a9 _9 K$ `+ O1 {. o1 Y; {9 L

9 g# a+ Y2 \# v5 K4 w' v( D2、作用
- d: H2 m0 m7 e) A
' V. B2 z* {* p0 u7 o& E
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。

, q/ K( M( j2 s# o" \9 O! a

2 I- I5 Z! y" m6 f8 d- A# b
  t9 e$ n' Z& p/ M. t  t: Z3、举例


5 X/ X4 f' X4 K' z%years、service和wage是原始数据
years = 1950:10:1990;
" i7 l9 ?6 o/ c- F) vservice = 10:10:30;
7 E# }, i+ X$ V4 [8 qwage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
% % 三维曲线
: D5 Y! w2 ]0 b) C, r% plot3(X, Y, wage)
% 三维曲面
figure
, N" ^6 W% k' tsurf(X, Y, wage)
%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
w = interp2(service,years,wage,15,1975);
5 ~0 D# d' {. q- U5 B1
' H- ?$ r, Y" u, R6 M2
3
* b1 F: C; m; ?" V4
; C8 F7 g4 a" x5
6
7
- B+ H5 g6 A. V6 h$ Y4 S1 V8
, d' m. R2 V7 K9
10
/ X" b0 R7 y  L3 H& Z11
9 a+ v9 w" F7 m! C0 D12

  _& ?& a) f: J9 Y" K- V
% q# o2 O  E  t2 ]
7 Y& |7 X& a/ ^1 N
3 Y& ~- Q& x$ O1 ~5 c2 W* G可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合
& Q6 |* B' o/ L" P& L



7 P+ h; a2 L- ^2 Q3 J* o

四、图论
1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
# F0 n9 W. p: \) F$ s8 L

& i$ @4 q1 L( ~( V6 q' G+ ?$ F* @, B例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
- p3 g2 q+ S0 T# D% V

具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

) P' P/ G& I6 `! Y6 I4 ]


3 V& Z, t$ l# v! w" ]* |（1）Dijkstra算法
4 s4 Q8 x; l0 F: H/ B- w, k& p# d先给出一个无向图


' E' |( n* b3 K/ E) Y
+ o+ o: i: t2 o$ c  Q
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下



* c7 r- z( K; A1 b+ g; F3 ^$ E% D/ J3 e


代码模板：
* i- l  u) \8 @0 l/ O

, s; L% D5 {. s8 J#include<iostream>  
0 m4 \) a9 P) S#include<cstdio>  
4 O' {0 b0 h: D  u$ b#include<cstdlib>  
0 I* I$ D5 Y9 \8 J0 v#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<fstream>  
using namespace std;  
# T9 h# J: R! r( d. M9 B  
& D8 `2 K5 ?5 `5 Tconst int maxnum = 100;  
const int maxint = 2147483647;  
' S4 {2 o" y& C- v- c: S; S! Iint dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
; X% U; D/ ?& F9 a& E. j, `: oint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
{  
3 l- o( v! m" t7 }8 j! l% ?+ m    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        dist = c[v];  
+ L( Y$ n9 \" p7 N        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
% p/ M. t5 Q  x            prev = 0;  
$ [6 W9 N. J9 a: t' n) G! m. b; G5 l/ o        else  
2 J* u- q% W* n; O: l            prev = v;  
* S# B" u# [# g    }  
    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
4 A0 |. z7 G* n: J* p3 Y9 g  
: H4 r  T8 h0 @+ H# x    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
    for(int i=2; i<=n; ++i)  
    {  
        int tmp = maxint;  
1 x7 C  i6 s$ E' m        int u = v;  
        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
0 K+ ?1 L3 U- y; X" U1 [        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
  Y# |) \) {! J; |0 m5 A            {  
0 }3 a0 \& M9 p                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
                tmp = dist[j];  
3 k0 S, E2 c  l6 N) m+ ~            }  
& F. N% P! @2 F) @/ v: e        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
  
        // 更新dist  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
6 u; {9 L0 q- ^7 t' w) B3 r* B( D            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
! F$ w1 @' k  e: J3 e! Y            {  
                int newdist = dist + c[j];  
                if(newdist < dist[j])  
0 p  y9 Y, H) B6 g1 ^- G: b8 m                {  
4 N7 y# ~- N; r% k1 h2 V/ a                    dist[j] = newdist;  
* r. P/ C2 Y9 r/ @  V9 r                    prev[j] = u;  
) G6 C- q' p6 W                }  
; h' Y2 u# J- V1 z  f; S3 @            }  
    }  
' F& P. i; v% o: d}  
void searchPath(int *prev,int v, int u)  
9 ~5 _# m7 |+ a{  
    int que[maxnum];  
- W. X6 I- x6 V$ W1 M! s0 k6 x' [2 ^    int tot = 1;  
) K6 \$ X+ K# W& \. C: O: ?. u    que[tot] = u;  
    tot++;  
7 O3 l+ Q, L9 }5 D* |  z6 ^+ T    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
    {  
        que[tot] = tmp;  
        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
    }  
    que[tot] = v;  
    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
( O# Y) n& e  V$ J7 N3 V3 G, l            cout << que << " -> ";  
$ ~4 {  q: z+ d  s        else  
            cout << que << endl;  
8 j. x) v8 w4 ~2 F}  
  
2 L$ ]+ P6 p! o* r7 i" I+ x  Jint main()  
. j3 N, {# d- X8 }% y! _4 Q8 Y3 Y{  
* j6 g/ |) @# h    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
    // 各数组都从下标1开始  
' N3 ?' @3 P" Z) T/ f; n4 m, K    // 输入结点数  
* Z. ?. B0 @8 _1 |    cin >> n;  
; C; E8 l- f& q2 M8 ?/ p    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
    // 初始化c[][]为maxint  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
, S. g  n! m/ ]* J& B* U        for(int j=1; j<=n; ++j)  
0 P+ b7 Y7 V& w/ \* L            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
    {  
; R% j. t& w" n+ M( K        cin >> p >> q >> len;  
        if(len < c[p][q])       // 有重边  
2 a3 T- j0 F) u% @        {  
            c[p][q] = len;      // p指向q  
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
9 j; ?" r. G, Q0 G7 e    }  
   for(int i=1; i<=n; ++i)  
5 W; c! p& F$ b3 Q" u2 i( {0 ~$ T        dist = maxint;  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
( s4 h( h7 i8 W* V% \    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
        printf("\n");  
    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
3 E( d/ t& U) m//    {  
' V  i0 I! t8 U7 ]1 V//        printf("%-16d", dist);  
//    }  
5 G- H( }: r% c2 [7 e/ H    printf("\n");  
     // 最短路径长度  
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
' g" Q, U& h4 H1 V! K- g- j     // 路径  
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
0 B3 w6 q. ^7 k) k4 l    searchPath(prev, 1, n);  
    return 0;  
5 o. m' V( C6 H+ n; X$ V}  
: t& G6 z4 f' a4 o* Y  
% R/ q2 k8 J. S6 D  
/*
输入数据:
- L7 E9 O9 U9 `; ^ 5
: E3 R* P5 k+ r/ L 7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
% r8 {  t. n' D 2 3 50
3 5 10
' u* m' k2 V( f4 X6 }) n 4 3 20
2 p' Z- _" t, H1 V' u$ V  C 4 5 60
, ]( {5 t& v- }* h, A5 y 输出数据:
999999 10 999999 30 100
6 j* q! L$ y& C 10 999999 50 999999 999999
) _" ?; O# U5 J# a' d0 _ 999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
# `* y! r( r9 D! s/ C 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
1
2 c6 n% ^7 `% G! p& r; x: @! V$ Z2
3 L) e- R" O8 o3
4
5
6
7 `! Z9 j% P+ i! z- G; V- C; g7
8
) [; {; h* a! _8 P  i% _! ]9
10
11
: m( X. e$ M9 e" g, r3 G  @: n' v12
8 X+ ~) h7 o3 @# S$ Q, h- m13
. r: b. j& |) `14
15
16
+ N6 y6 [4 Z3 t6 {7 m" M5 Q17
1 d& ~: {, X5 u18
8 {$ A: p5 k/ Z7 ?! g' F* z19
) D& z; q/ l& K1 v20
. Y% T' m% [% J) @9 [21
0 M% g  X% J" S; |3 Q  L2 I22
23
: J9 b- q; q# v$ |2 u1 W24
25
- r- d$ f) B" Y26
( J7 O/ U1 D5 A1 L, O8 \! o( K0 a27
% c7 S) M  E8 R# Z1 z8 T28
29
30
, E& u8 c0 Z8 _' K5 b. ~* ^31
32
9 f8 p  O. }( c% ]4 G; g9 w1 |33
34
35
36
37
38
39
0 D0 N/ x3 ]' y3 J6 w- l  P5 Y40
41
# D/ M" j7 N3 H% J* D3 y9 R+ O) X  k2 F42
4 r" H: o  J0 B0 t4 ^. [- }43
44
/ b0 ~* O6 c  |5 W45
& c. j- }7 V+ c/ s1 A5 I  b46
47
+ E) {4 n) D. c48
49
6 k' e& X9 z; o, [$ V3 e6 _50
51
' f1 n! M4 s/ C6 v52
: M! H% F& u3 F8 b' V53
54
55
56
57
58
59
60
61
3 c, u4 Z; }& A) A& {, s: n; j% o62
63
64
( H, ^0 l' o, ?; J: I/ i! i65
' X5 ]* ?' y. S8 j# |8 t66
67
68
69
70
71
72
# b/ m2 x! u  \( v& m/ l73
74
75
76
% E. L4 K$ T/ u+ t; p, F! M% |0 [77
9 b) U- I/ p( E3 J/ [9 J6 U78
9 z% I1 v" r% f3 u79
80
81
82
- W8 ~3 n! o& e! g$ q- q83
84
) m9 f. V0 P( P; y$ w/ |85
86
' e: ~* A$ L  ^" n% B87
' S  n/ y. {9 B+ c' u  ~88
89
6 o6 g# G% o  ~/ Z90
% ]" S. _) f+ @( b- I, {91
! D* B, |/ f/ c; ^# k2 p$ t92
93
- c* o, p' d& D- O6 Z94
4 G# I7 q. }8 O4 F6 s95
96
97
98
99
: z1 Z7 b# V; [9 S6 e7 S6 ]100
. H7 |$ Z; u* q! R7 C" m, k101
102
- Q$ H: W7 v# o' M* o103
$ Q5 l. ^3 r! B3 Q# D104
9 S5 `1 c6 k$ M6 N3 X. q( p105
106
" ]% [& Y6 d. S" a# B% b* s# B) @107
108
; u, p' I4 D' ], p/ Y, M1 w0 g109
110
111
112
113
114
$ C+ n% Z5 }' j3 E115
/ G7 C- O; {4 o1 Q9 G5 E: Y116
% C% E$ H$ Q. A117
/ M& b+ q: Y1 z  A7 {% ]118
, [- e8 H) M% h. a4 t' w- {+ i119
120
121
* `$ l1 {$ T5 m8 D4 V122
123
124
, ~2 ^3 ~9 j% W& Q125
& p4 I, o  B5 J7 w+ v! k126
4 J$ s1 L' Z- c9 U$ J/ q1 A$ Y9 b( l127
8 U# b7 k; w: t1 @# @2 V128
129
  G) R% }0 ?; G6 D130
* o) g; \! [" }  L# Z! j' V# W131
132
5 w; k# @. t7 J133
134
135
- W4 j' }* e  {$ S* {: o136
% E' \) |6 ^$ U+ |5 i" Y137
138
+ Z' z0 b% \: J/ @, N0 d+ V/ o139
140
141
; o3 S8 O) F+ ~- X/ g8 w142
143
8 o9 ?8 ?$ T( |& _1 d2 ]144
145
. y+ e/ G5 @% |- z! H% m146
. |2 s) p, q. S' x9 A) i
# {( z4 m- l$ {
  j  k( u5 Q5 d6 ?1 F4 g. I5 {& E8 G3 c（2）Floyd算法
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
: f( g  j5 y2 A# H#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
, ~) {0 F. ?* Z, s#include<cstring>  
#include<algorithm>  
! Z* s) M+ o. F  h" Y- S1 _#include<vector>  
5 F. t* j9 J- d% k+ N#include<fstream>  
using namespace std;  
  
4 ~1 |2 y+ h3 d; _! T$ b//设点与点之间的距离均为double型  
8 N" R  P! R- m/ `  X1 }double INFTY=2147483647;  
const int MAX=1000;  
' a9 q, g& }; `2 A' ?7 G& mdouble dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
; P' Z1 F8 O5 e: E- S4 G% Jint path[MAX][MAX];  
/ m- M4 f: a7 [' N, l- P# [; vint n,m; //结点个数  
  
/ b# E3 e* A4 x* i1 `  zvoid Floyd()  
{  
- ], _2 ?4 a1 ^9 M/ W8 k    int i,j,k;  
9 `2 g7 N$ V8 w0 C7 y/ B( [    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
        for(j=1;j<=n;j++)  
# q; s. B+ u7 h( a) d# r; t        {  
; A# a5 x, O% R5 g, U4 A. K            dis[j]=a[j];  
5 T  ~& j$ m* e9 ]            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
            {  
                path[j]=i;  
4 \) b3 k$ F2 _( i1 h7 x! G# O; z, E            }  
            else  
) g% _" _5 W4 W# X8 P                path[j]=-1;  
& p7 j0 Y2 ~7 D        }  
4 f2 f& Q9 E% n( n3 Y$ [9 j    }  
* `# z# y! ~7 M! r9 Y; {  
    for(k=1;k<=n;k++)  
  ~" N  i0 A4 L% ]! q2 e$ O    {  
# ~- E$ V0 J6 W        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
            for(j=1;j<=n;j++)  
! P0 t$ L6 x7 h( v3 G            {  
                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
                {  
3 K9 [+ `- U$ m, @                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
# u0 I7 d3 y+ \" Y6 N3 x, z                    path[j]=path[k][j];  
                }  
            }  
        }  
! U$ r* A9 O7 W# ]# @0 e    }  
}  
* @& G9 q2 U; T! a$ u  
9 a5 [/ W4 z! F; _, B1 Y( W& z' M) Eint main()  
7 {, B  N# h0 n{  
1 G; w& `( q) T0 n0 i    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
8 U. j3 p7 u, a; S    double dist;  
2 R5 e/ z* z3 v( E* E# k. s. `    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
/ o% f8 m+ U; e7 H. O: ~# F6 l7 ^    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
+ g# j$ z8 `9 P            if(i==j)  
6 h! _, \# r8 C7 @: x3 @1 S- X                a[j]=0;  
1 M5 d9 S3 K+ s% U2 Y* H& e* f            else  
1 e" W1 \: ?/ M, y                a[j]=INFTY;  
3 `: j9 s1 G6 C9 V       }  
    }  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
7 b+ r: K  Q7 F* q" Z7 z8 s        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
    Floyd();  
8 X7 O" M0 \; w3 E5 x    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
4 C! d* A- n# B  U+ q4 Y       {  
  e- @! E. L" q7 |; o4 |' [- Q            printf("%-12lf",dis[j]);  
       }  
       printf("\n");  
" [5 \! U6 e5 c% }    }  
    return 0;  
}  
1
2
1 H+ f: o" H! H1 B3
+ o* k; b& ~* P4 q3 B0 W5 Z2 q4
5
6
7
8
7 M# I0 a* F5 B, T) c. }9
( f# e% f& ~# n2 h0 A0 l/ K10
3 J" E& D3 i3 [; M& R) n' x; I9 B# Z11
12
13
14
15
2 Q3 b  M: S# c  I4 m$ C0 d1 L( k16
17
- }$ S6 Z4 Y8 |18
19
20
$ y( d; r& Y, l! I" Z21
; ~( N* r& l5 Y8 Z$ D* D: r22
23
/ b- x) Z8 g5 L; H8 k( G8 t, c  F24
25
& ]+ m) ]" V' ]8 T! ?* \0 ^26
27
28
29
# {0 Z. Q& u. r( O/ K$ ?: A: @2 h30
31
5 y1 R2 @, ^  l6 M32
* {* L" \3 }: n6 M+ b" ?! Z/ k$ _33
34
35
36
8 s/ K2 R& K( A2 V# T2 e7 t  Q37
38
- n1 X  r' g0 b, U4 Z0 x39
40
3 Y9 ], H! u/ s2 N$ W41
0 P& T, o% H* n8 Q42
43
) }- j; G0 R5 Y44
$ {7 b7 L  ^( Y9 ~% A8 }1 v45
46
47
5 B" e& \& Z/ I48
49
50
51
; A& p1 \% L& K# _1 i52
/ w, j1 J. ~+ r0 t  Q, }53
( Y9 B+ _" _% ^5 V9 M% F54
4 h' v7 H5 V" m7 k8 q$ q8 R. A" o55
# q( O8 r8 _3 k56
# C! I0 d: }6 H& v  J; \. F5 ?57
. O" ^) r* r5 E1 b; P! T! X/ I58
6 G% ~8 d4 A+ i" `: A3 ?  \6 E7 J# |59
60
/ h5 T$ S: \2 }6 t: O6 _$ x: J( _61
4 X2 H1 M* {2 Z! c$ e- y$ N. ]9 u62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
' N' ~! b( o+ g! w72
$ y: C0 v' H7 J5 T7 E7 j73
# n( ~0 K  u2 k) a$ N; E+ V4 k74
75
76
/ T2 I) U& p9 q7 V+ A77
! ?! \# ~$ s: R; n78
0 I1 v' X* A, n0 P  h79
80
6 G+ R# i, S  S( P81
82
83
  }+ L1 L2 A7 {1 s* a3 @4 c

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9 r; `* r% C. ?原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44668898/article/details/106607288