数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
9 ^, c/ F8 J4 G5 b2 Q几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
( b5 p) u. I' j' W6 x2. 按模型的特征分：
. E  s6 f3 d7 I& i$ ?静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
5 M% L" v# s; g- }, L% V: ^4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
- W, Z2 V- Z/ ^' H/ ], ~! ]4 n: v/ F往也和建模的目的对应
8 g& j* l4 {2 ^* l8 r: [5 q5. 按对模型结构的了解程度分： ：
8 _  g5 e7 e+ n8 p) |有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
3 E9 P+ {2 D! Q3 E% `2 {6. 按比赛命题方向分：
5 y2 D( \( I* G  r$ I国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
1 y  V+ ]% O4 X8 K' h& Z& [数学建模十大算法
' k, X( h; Q) y0 a9 x* i3 y9 K6 I, q1 、蒙特卡罗算法
8 n; o0 X4 e  W) d7 n# s6 D4 j该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
# T. s( m7 Z6 ~以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
: z# V3 C8 h1 t  {比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
  I- s7 b/ g" H法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
- |+ Q( w3 }4 Z  x0 y7 W4 、图论算法
1 P  d: s( f  q4 O/ }; N- g这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
) U3 n7 o! p# D, X1 @% d; R论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
$ r) n- }2 q4 q. f& d5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
2 A" J, x2 s5 C这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
; R/ E) a+ i/ r0 o4 p" ^" x1 |8 J2 w帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
* T9 \& ]) a+ ~3 n5 y( g3 l6 |7 G一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
1 s$ R$ G# X7 @$ |2 I  N* o$ z很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
0 m; Z3 Y3 `1 q* H据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
1 ^0 `& w4 r1 S/ L- g8 o1 V% F如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
  T" V7 h+ W+ ~# j- Z: g3 y如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
+ v0 E4 M" x; [赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
% f! ~1 m: T3 X: [: E的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
4 U8 H$ o5 E/ ]8 k. f1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
! d  A! c& n) z# ^解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
. E5 ~$ C% d4 r7 k" D- Q个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
$ Z4 S2 b  X& K8 ?②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
; m+ }+ k* g. ]找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
0 q( g5 m$ \& M) a, X$ ~求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
& Y  i& U, O. L! v  K3 u②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
2 `3 U: T1 _# ]4 ~- j- I7 ^) i4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
2 C7 S% X2 M. t& [1 H互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
) J3 U) @$ ^# I概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
' U9 c( u. N- @1 B7 G5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
1 L5 H& g1 s4 V1 B4 [( H) x（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
3 u; H7 c& X! s5 e数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
1 B" T* a2 r/ }7 U% H8 v% c  T& a预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
  c4 X. `, K2 |4 b, @" |( f6 K预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
6 Z6 f# E( e0 r7 E3 Y8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
( L) a; i" F& e" F5 [2 i8 o在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
1 |1 t/ N/ T  ?: f6 @* B! L逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
) G0 N' `0 v1 p5 _: D$ f优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
* D, [4 }1 g* u! G14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
3 ], K" ?7 i1 ?) w5 N其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
. Q6 \' H4 I4 t2 v/ `* v" X$ l评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
) x% }; k  C6 ]4 f8 }1 a3 A解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
9 R+ |0 F$ e1 K! p$ v; K15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
$ U0 j- b) ?9 ~  R% ~( v- _; G来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
2 j$ s4 e( K! L( T16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- l, F. u2 X  o8 s量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
8 m( t4 Q# A& X! H( j9 a2 w此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
1 q5 @7 `* M* j3 O; f# u/ X! W模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
$ I* C" A' ?' @1 I优解。
) v9 z) r: g9 ~) T18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
! p: T/ D4 k9 a* O" ?9 K: |其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
# X! h8 y7 F+ Z0 S" |" }8 N19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
$ k9 o* A4 `0 P20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
7 W# S6 |% [( n, H6 ?; F排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
3 a; c. N: Z5 Y有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
/ o: A, q  H/ r2 ]) @/ V3 B计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
, L: a* g! S, R/ [1 ]9 I2 x21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
; `+ g7 {$ t% }8 e/ F4 ]) n% K例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
* l# E0 ~( ]3 ^- P" r22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
* K8 ?9 y( h: X. o( C支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
6 c. u3 T* V7 @* Q7 B' E! A. p射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
( P- i% h) ^4 e$ U" N23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
+ ~6 ?+ y0 ^  i- |5 v; X3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
4 C( J- Z4 B# `. v6 H8 N从而达到降维的目的。
4 S& l. A' W  @( K( D! ~% M4、判别分析
! a& ~; {+ ^7 V$ s/ u5、典型相关分析
1 j2 D$ H4 C1 f8 T& p" z6、对应分析
6 ~' t" r4 a# n* i% I2 \- N7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
2 M: V4 f0 q2 G: [  y. y" O# F24 、分类与判别
0 `2 m1 e+ C; r主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
" N6 U) u5 I- o# k  y( n. D: v5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
+ m# u0 n  l+ K/ f: @1 K+ z3 }7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
/ o+ D- J, |* g0 P2 `5 k1、灰色关联分析方法
& \) \) N. n. G0 W- ]2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
1 O3 \; M3 _+ n6 p, P" z若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
6 {/ e4 [, e# W8 q0 p& c! X数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
. p. U0 u$ f# v7 O9 I8、格兰杰因果检验
. D/ C; Z7 B* n$ T$ n8 u0 I; p计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
3 N0 \: N, k* t$ L+ t; N" S1 n9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
; n; m8 t" D. E率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
, m; G& R. `- x. U& l3 b3 c

2 g2 [. t. c& Y2 L2 Z; c. X
# R3 K, O  q* q" N0 E( d7 {# R

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的