数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
" c# F# W9 ^. u% z静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
* w. {4 ?8 A0 u: e8 J- Z$ O+ G0 E) p3. 按模型的应用领域分：
7 M3 g* p! _' T' b$ \- e" q. W, m人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
/ ^$ W9 u3 D! u: R5 W一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
% y$ G. a' k# b: }* w5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
: U+ ^/ H6 V0 j2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
- c, [4 P; F) T1 |) L& x0 c% J通常使用 Matlab 作为工具
6 b9 e2 E- z, U+ Z3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
5 \. U$ r/ M: P0 z  c建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
$ [0 o# U) K* ]5 M/ w3 [/ J法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
- F; c. {$ V* ~9 o  b5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
- `7 s! f9 W9 ^0 a这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
0 \& b& ?5 @0 z9 |7 、网格算法和穷举法
' t; B$ U& k0 H当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
% A0 k0 V% E3 B% G9 、数值分析算法
0 N) U: S% k0 z& W: y" W# _' b如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
' o4 H7 D1 o6 T6 N, f" a% Z$ b如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
  F' e" j5 j+ P' @10 、图象处理算法
# l: k3 g6 z0 U7 X1 l# ?赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
+ L# U$ p1 k" M7 G* k" m的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
2 d2 o  \$ n: v4 B% o行处理
# Q! L  Y3 f1 W7 |( q算法简介
% \3 G6 }1 ?/ u" k2 t3 Z1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
) g$ b5 A6 d7 I个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
3 ?$ Z) c1 ~) {4 t7 g' m* j8 `②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
- ]* J$ ]0 u2 H2 O找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
( u; P1 f4 @- I) a3 J! j; e& e3 、回归分析预测 （ 一般） ）
* S3 O0 |4 K' U- s求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
4 V2 p7 ^' T9 F$ _/ ~化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
, L, m( e' j5 t9 F; X6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
* x* G9 t8 C% \+ @' K; U' o预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
1 x( ?$ V. W3 B适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
& r( x  e- C* L2 J) G# G% V逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
% d2 L/ y+ d0 s; y7 }评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 o6 p. B, y  W: p5 g11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 W" H  V& I0 P: L' L& @作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
# U: {# C7 H2 S2 @8 v12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
' G+ E* q% b- d8 v" ~优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
+ T$ N- S" `$ e. P1 M0 S2 ]其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
" `( R! _/ o2 r解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
7 l- v& ?9 H! P8 N' D. n可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
4 A9 C" ^1 T% [/ u- X8 u# R% A) O! k来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
2 w+ r/ {% C9 N6 S7 i% B2 O  x该方法做评价比一般的方法好。
9 ?; V6 S: J$ \( v16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
$ w) P' y. Q- w/ w2 S3 J" b8 n6 r协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
# w* h/ M# r7 @% S! w2 e素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
+ q6 R$ k" t  u) ^8 h: I  X5 s- h17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
+ F) [) e! O( q( {/ j智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
" c4 J& k0 W. r3 r2 ]0 j1 X' ~" Z: i/ v其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
% ]) }0 V& o, I+ n7 |+ I19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
& t% E  q: y  h! Y' L/ U排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
9 b1 y% |% C& T( d有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
! o+ [& A  `9 }3 @  G+ r+ L" S% n21 、图像处理 （ 较好） ）
: c5 `9 [2 x7 A; iMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
7 h$ x  G- q! G" w- S" s# T22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
4 {0 @4 V+ r3 n23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
! B. U; Y9 k  e( ^, v6 Y6 ]$ G各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
% _# c. t5 y2 N& L0 A& \从而达到降维的目的。
4、判别分析
5 {" r: x4 _! S' y: R5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
  O. w2 w- P6 T8 X8、偏最小二乘回归分析（较好）
- C' T: L9 ~( @1 p$ X24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
( n* B$ b6 a7 I4 Q( }4 {2、关联性聚类
/ J7 s) N( e) @- v; Z! b3、层次聚类
) ]$ d  i1 J: U4、密度聚类
5、其他聚类
3 L6 S9 {9 s# H6、贝叶斯判别（较好）
  V- m" d3 {7 _) S' a7、费舍尔判别（较好）
2 e4 x  o1 _6 Z, k* D8、模糊识别
6 u. U4 I  s$ J' S% W25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
. r/ v2 p  F( p2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
1 S. a4 ]5 z* _/ n$ z4 O3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
7 Y9 [+ Y8 z* A7 B4 K' P' L6、标准化回归分析
! z" u* v/ D9 ^, E" t* {若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
+ k2 j4 ~8 c& h  z! r- D' s数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
5 X- h& A! ]- C* b9 w& {8、格兰杰因果检验
3 K1 J* }/ @$ y; m计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
3 M' i& b' v: N( |+ w+ r