数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
; [9 O( N) v$ |0 J/ i型、马氏链模型等。
% M3 a8 D: X2 R5 X. }, ?$ x2. 按模型的特征分：
! W4 F. D$ f! Y( Y( ~静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
  @7 ]) ~9 A9 p6 W3 `9 S( x3. 按模型的应用领域分：
9 O' {$ W& l+ p; F* i8 V人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
- X0 c! P5 x0 k. m7 \4. 按建模的目的分： ：
5 f9 J+ T( P4 x0 }预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
' b6 K# t5 F) k2 B一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
1 ?' c/ o- m, c. Y! }" ]往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
) y0 w) D! F0 k$ O# ^4 P6 g7 s, O+ i6. 按比赛命题方向分：
  v) `, b* Q- o0 Y- P国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
' k; o: {% S+ q% @# w数学建模十大算法
& {1 p1 [' [# {9 v1 、蒙特卡罗算法
9 ?* M  _. W1 ]$ |5 Q( ?该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
& B; F; h$ |) b. I3 f# i以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
  T* K1 W  N+ O2 l; O建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
, x& w9 w3 a* I0 y, t4 M! h( Y! ]# f5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
- }( S. r; S: i" n- O6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
4 F1 `( `: y5 G这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
# B: a; o! m; J* T0 T7 M当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
5 }, x5 ?+ t5 k. O: [  v# S一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
+ s; d+ f& k5 e+ z1 S- Z+ e很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
  e& v3 y' I& ^& j& i0 ]据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
& b  H* X  n( E6 b+ L10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
3 P# K( u" ~4 A1 x* d的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
' s3 `1 F& n) n9 [- U0 t8 A7 @行处理
' N4 N; [7 A7 j算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
2 @9 T9 V% C2 C解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
. z  B. U: A8 u0 z+ e* r4 {个条件可用：
' P5 i$ k! i6 F3 L6 L0 o①数据样本点个数 6 个以上
& X; t+ y. h) P/ I; R8 C: T②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
( J, i/ r  Q" o4 R. l6 I& ^! \! G/ `微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
3 e0 \8 U% ?0 r/ ?5 R! G' B, \找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
" a9 r% m( Z# p6 ^) o% \. ~求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
2 t6 X* P& A7 Y% h. w& \化； 样本点的个数有要求：
1 V0 p# J, i3 E0 x①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
; B2 G4 C7 c3 _4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
2 A  \3 W4 {. s! r预测波动数据的函数。
% j- g) o7 L5 B$ H7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
" `8 Q; ?2 ^; n) |* o# b2 q办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
% X: e4 P. L/ P1 R) R4 h7 X8、 、 混沌序列预测（高大上）
; {7 X7 l! ]% |2 X: _适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
( S% D( R7 n! o8 k. U2 b9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
$ v! v1 s$ u+ z4 r. S6 i4 N$ ~( c在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
1 l- ]8 Z8 e& ]' N0 M. m11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 H; u0 Q0 T! w; X作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
) @8 n* C! z7 r# P# Q12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
7 f+ Z4 p9 N* O( F/ c- O, o秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
) ^8 ?/ j) T# P; U法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
) T* W& g! \1 N' m似。
$ E5 @; f9 [) d5 I; x9 l7 }14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
7 w# c& S& \. }: n7 T来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
% m3 V. {& v5 h" E: t16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
0 L7 f0 ]9 y, ^& u# N0 {' `% a5 X素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
0 M5 v* G5 v6 a8 U% ]2 c# @此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
! |3 H7 \9 v: [$ ^; ^' p4 C! r模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
9 J/ x" Z6 T( z# q0 J( k优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
/ _! {6 a' ~# u! k+ X其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
8 c- @8 N3 E; N& I20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
0 i4 c8 h" [8 q/ J! R8 X# k排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
) m/ k" [( T* n( F即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
" x3 T$ }2 y3 s' |计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
7 K% n/ j: S4 G/ H: n' t21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
9 R  V9 }8 r& g* x+ J例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
2 ^- f: V- i6 O$ J& l支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
1 q0 n1 R- W# i, |% G5 C1 q射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
1 i% ]/ g# `8 i6 Q23、 、 多元分析
6 n. X" a4 b! p1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
# J" ~1 b0 t, o) ?8 V; u9 ]4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
( a( w9 u  \; ~8 y1、距离聚类（系统聚类）（一般）
; }) J, P9 g0 p2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
" s  e, b5 T* ^6、贝叶斯判别（较好）
! Q6 W: y1 Z: C% l* Z; Y5 t. \7、费舍尔判别（较好）
6 Z( f: |8 k9 L  B* v* o5 K" f( L8、模糊识别
25 、关联与因果
6 I/ V; w; F) ?1、灰色关联分析方法
. G! S) A2 b/ B( e- s0 S: h2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
, W$ }7 B+ w; G# B. \( A9 W3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
+ ]3 D/ [7 \8 @. u/ V, }9 E: k( w" O（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
( a9 G" ~1 ^/ ~8 y一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
' J/ w  d+ x2 g% L6、标准化回归分析
( M7 ]" C7 X$ r! P% x& M4 u若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
) ~3 r* W4 M& a% `' M数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
, t; I" D" ^) |1 h% {8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
" p/ a$ D) v7 d5 }6 ]9 y$ N9、优势分析
% o7 g% j9 d0 A4 @% I7 C2 d26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
- s4 x$ c7 }7 j) w  }8 _6 j量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
5 A* M* z4 l# n; c率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
4 Z: O' v2 E' m
" c4 I  F& Q  R
1 c: e3 R& R+ h+ w+ E) M

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的