数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
; v2 C( }5 S* S) ^1. 按模型的数学方法分：
6 e, k4 c1 a  s) r, Y$ k几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
! J1 f: ]+ h- {$ {6 b8 w& [. @型、马氏链模型等。
7 l0 E' |' x! c& _# q2 |2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
1 w& K1 s% E7 x( ~0 N% ?' U性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
* q/ X" Z: J4 w5 T* c$ |' u人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
5 W* _& [& B9 R6 d4 g' L4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
+ x! G- I& d, n一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
: @5 \5 S9 n" Y0 R1 d5. 按对模型结构的了解程度分： ：
) |) Y2 s! U& l: s有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
; n, g3 L5 t8 k国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
% ~4 |/ m5 d  B, O数学建模十大算法
  s# L. Z5 W& O3 ?1 、蒙特卡罗算法
7 ?( E; C& _1 w" R$ G该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
6 d( I5 P4 Q/ P$ |( h以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
/ N! [# _, L% I" i& F& X; B通常使用 Matlab 作为工具
1 w( Z4 G4 \% p4 f3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
, F% E: G. d/ D6 p' N建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
! ], O' S9 z& y# m, L5 X$ t法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
" ]# I2 u! D+ K4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  [; z- {  P# ]0 A2 k9 i这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
+ m. g' o3 F3 i7 [当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
- ~9 U; j) w; {8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
' i6 R/ m( @- J0 y! b10 、图象处理算法
% |4 \8 o% Y7 _* _' A; i3 K8 k( i赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
  R$ H9 m' ~$ Y# L/ w2 Q的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
+ d) \' a/ i5 u行处理
算法简介
$ n3 e! |% G% J0 `' V1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
0 u* A2 u6 ~0 F& a; e1 B  D& L①数据样本点个数 6 个以上
: M2 B5 R! \) P: n②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
2 }9 _& T2 d* v% [  |其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
( n3 x3 d  M  I, w6 I* \/ f1 h求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
0 C0 _4 C# u. D1 x一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
0 Z% o1 l! s3 }互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
2 ^9 y' x" q3 k& n概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
4 ]: \. _" E3 Y预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
. L, ?) E" A0 ?6 o$ l/ q6 T0 u( J（较好）。
1 N: n+ G# `' d$ \# w/ \6、 、 小波分析预测（高大上）
  F5 q* c+ R7 P7 Q2 Z4 u数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
7 t9 _: v- f; m预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
5 U# b4 C6 X4 \' C+ l* x7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
6 B& G+ x3 R( o) O- k: o! m办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
7 W) K: C  u% J+ O8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
+ t% h+ m* B7 ]; F在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
" X* u6 H) g, S$ r9 E5 q* ~0 M逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
" Y/ B5 w* ?! z1 t10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
& f" {) [8 c# t: u- v, [- e! ^评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
) n' [7 k$ j6 ^. G8 N11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
, ?3 @1 N1 |6 m6 l$ K9 L' d/ I作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
. d1 Z+ Z8 a  y优化问题，对各省发展状况进行评判
- N/ J" J1 H: i! W) J! E13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
) D2 I" [4 e# @, X, ~+ X: e( E- f法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
3 H: D  n" B/ L* U' X14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
0 E; V: Y9 W) {+ V9 i其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
! A" t9 l6 b( H0 Q1 B的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
- t2 X: r# R3 j: B! u0 L来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
5 v* d) P" o; X5 y! i% j: T' N该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
0 I2 L8 r0 A3 f9 A( U( w; K方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
# O9 J7 A- p1 z7 U2 W( d3 v1 ?量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
6 f% e0 ]8 r, V( S. X5 l6 J1 v此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
) g3 Y5 l' U2 J优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
# p2 g" p1 W7 i1 w0 Q算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
; r0 n2 U% A6 u7 y. g19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
& q8 V- v" u7 G7 g' y. W# ?即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
3 h! ~* \& m4 P4 x) O, b; [计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
1 A9 z& F; g" |0 \; a" i般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
8 p( t7 P2 j1 O4 U4 o& Z射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
$ j$ j" M( O5 Q- U5 J. W. b从而达到降维的目的。
, e/ u& C) M* u1 Q5 D4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
. w% u# s5 d- F4 k+ L1、距离聚类（系统聚类）（一般）
& E. F, f3 }2 M, l2、关联性聚类
1 h3 {9 F2 q/ x$ p3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
( ]- E! V0 x! m' v6、贝叶斯判别（较好）
- V: f2 M) W0 }/ i4 Q" P9 b, J7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
" [& ]' Z# T% ]* P6 P+ ^9 ~1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
* z0 I1 N6 @) @2 K% y- A9 g3、Person 相关（样本点的个数比较多）
, i1 J4 e4 P# l( D  `" `* ^4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
+ O) \) k* R8 f. S% K; _! Y! T* Q8 ~! V0 {（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
5 f( m8 p5 I1 r1 C一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
6 r- r! @' q8 I3 `2 F/ {1 d0 B4 z7、生存分析（事件史分析）（较好）
/ E2 T3 F( E; s/ ~5 l3 ^1 v, N数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
4 J/ |6 p' c/ D: o7 A* x4 w- ?8、格兰杰因果检验
, f+ T" g# {* s5 H# D1 ]计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% T' V: v. n( q2 @9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

8 \6 Y, {/ J8 l) W

2 `8 _* B4 O7 v+ Z6 T

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5 J  S" E5 U. q& f) B
9 B5 t0 R+ g, u111111111111
1 R+ g% y7 R5 o4 O/ g* ^8 \

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% H& a8 ~+ a5 d& B9 b7 j; y; o

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的