数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
) K& M$ d) O/ [# x5 _性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4 A' _( L: @( o) M4 A4. 按建模的目的分： ：
% s/ ~3 `" n# M7 H预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
4 |$ a, F4 j  I1 H4 u6 s往也和建模的目的对应
! s! J# Q. j) R" \5. 按对模型结构的了解程度分： ：
: k: u* [/ {, X, c有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
8 Q* w8 Z- [+ v( k/ ~比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
. Y# N7 p3 s( B8 ?6. 按比赛命题方向分：
# w* x' E* n6 @国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
: m  Z5 o. D% ?+ b$ b" d$ b数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
; l" A9 }6 K" V: {+ Z, ]6 T, w该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
7 O- J) Q9 C) o1 r2 K$ I/ ~  a以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
* l( k+ R- S: F% _: m0 m比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 C' V% a$ d; Z" ?建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
/ U4 G3 @# F' U9 d/ U4 、图论算法
& s5 h1 t( o( v- X2 `4 b这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
4 U, k0 i  M) W$ D论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# ~7 g- z2 h8 V' l这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
, Z1 V8 J; n1 Y+ X/ G( r6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
+ {: c0 z; m6 F( h很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
6 P6 i2 F" b% i3 O4 X- ^$ m% g9 、数值分析算法
5 f9 p. K: u3 k! a: E如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
" \% {/ o: ~- k, C6 k10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
& c# m# y/ i! F的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
( b" W0 P3 Z, _6 H6 v5 H8 S解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
4 s" s" a$ U+ w% e9 q个条件可用：
! G# P& _0 @: r& T- ~①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
! v8 K5 W. W9 v4 k& |; E: b6 P# \其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
8 K$ Z/ m- q6 f$ E求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
: p/ N; W; E8 d. I①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
) i4 G9 t$ c1 B②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
! A7 S/ |8 w5 J+ T- {" V' q一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
' A. X1 R5 N, `4 s0 J5、 、 时间序列预测
+ T& R% |( i! }# b8 y; O& k6 O% [/ g& p预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
" u0 `5 a- Y" Y7 c4 k: K& M- G（较好）。
- Y2 j1 p7 b) L* Y# ^6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
; n9 E( p0 M" E4 |大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
) t% m2 p) b+ c拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
- V% e' B8 L4 \" Z10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
0 c7 T; z1 q5 _11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
0 r; u% g2 C# n/ V' O优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
$ y! Y/ s& _% m2 F7 j1 M9 z2 p1 q! d秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
5 n; R/ F/ ]% ^1 h' M0 ^2 K法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
( z  T) s4 j" ]; U9 N$ u似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
- d; w7 O5 j1 |: D1 C的最差值。
2 d4 S0 j% E# d1 c- U$ l- J15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
! ?$ R9 I% E8 G9 @/ m2 s该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
: @' ^& \" ?( l$ b8 l* i方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
& S! P  ~. G; u( h! x. J量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
' W3 c% E) D4 a素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
- N) x2 W8 |$ d( d' _此外还有灵敏度分析，稳定性分析
1 G* D- j" b3 ]9 `+ J6 t) B17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
2 k& Z/ p1 k& \& Z( M- `! m优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
* D3 t: v1 ]) q! o1 }7 L. M8 N' t非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
% g! F7 M& H4 [* X, i) w算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
. W- P" z+ Q* _  F$ M2 z) ]4 l5 f8 j19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
1 [  y! I7 S+ F3 B" \离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
% l  p! z/ T% W' o! X7 s3 L计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
& d/ j: B5 Z% X般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
0 k; V4 D4 K- q5 c, n% L: T21 、图像处理 （ 较好） ）
$ U9 m; g' K+ D: [' m3 LMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
- _& F$ [/ c& d, {& V例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
9 W/ _9 d: T( \( A22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
4 k5 \! m) F4 J" z9 x, [支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
) t6 G6 A1 T' s  q% ^6 m23、 、 多元分析
, P. i$ [% z; u1、聚类分析、
" G1 K9 e7 Z- a  H2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
* N* e0 X& O7 k" {7 l从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
  z; I0 ?- K5 k) n( A& V7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
- u- n5 z1 C" _- [) O: Y8 ~" ~# `1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
- M6 g: D5 @3 Z" {  b/ y0 H: o  }3、层次聚类
4、密度聚类
4 ]2 r  a  v+ o2 P. ~! N! w5、其他聚类
9 A4 \' @) v8 M+ h/ g: j" J4 a9 O6、贝叶斯判别（较好）
  @0 x4 r; U( A- \5 k9 K, t7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
1 o- R9 S& K; a25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
' y% y# M3 p( k- {5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
' [/ H& J" M' `若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
- M+ V9 Q0 K5 x' I- K- C7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
. E2 s) Y) d0 ~计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
/ D5 i. |& u8 t5 D  s4 h7 O* C9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
8 ^' r+ l. o: E6 K率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 T/ C- M, }" t# P7 X

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- Z% O3 p3 w, Z# I/ @1 \9 O$ d+ d. H

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的