自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
# I% s* ]- [# a7 b) y* i. @函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
' G3 P* {: j$ U2 ?& T* P8 [函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
/ k* j9 M* C" ^函数的主要步骤如下：
  s- ]& G  X1 C" {' y
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
! I+ I* {$ e9 l! t/ _6 S2 B: Z5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
  U; C/ I: `- a* l# v
2 [3 ?3 v& s7 b% ^这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   + D\" Z, u& ~6 P) E( m
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   / n' B; m; t6 ]4 `' ?! t1 k* E6 w
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用8 y- J8 Q, s) A3 _+ b7 V/ P
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用: ]  A) L) V/ I0 N1 {2 _9 x
   
5. 1 n6 u. d! m( s, v, \
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   ) y4 _$ z  C+ b- d: b8 |: B5 l; w
7. k1=f(x1,y1);
   1 U! I+ ]! f5 }' S
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   , k8 w, U8 a, G& x9 ?' N
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   & ?1 I8 i) M+ O6 k( z
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);) V! M2 l, |& K( {% `, j& F1 k
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    : H\" r. V! f9 V0 R( J4 ~
12. 
    ; u9 L; U7 e- k' I- M2 F
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解% v( q4 z0 i0 q; j3 B7 \\" e1 @
    
14. h=h/2;8 s5 p) W5 u1 f0 c
    
15. 
    ; K# K- i5 B' T' H
16. for i=1:2& I, s' y4 f' [
    
17. k1=f(u1,v1);
    ( _, D# j' m/ T& _$ i5 P
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);& _2 U3 E  B! v' H
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);2 y& x( Q& J4 u- r- S, E, G
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);# t; x9 O# A* R
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;  G5 }# L7 z2 l
    
22. u2=u1+h;$ O- M! `6 |4 w' Y+ A9 W/ S
    
23. u1=u2;
    3 g2 y0 l) Y1 A\" c
24. v1=v2;/ q$ h  \+ f5 n' W5 o
    
25. end
    ) E# h  l5 p) X9 {& I& d
26. 1 C9 W2 U\" c. a$ d- J. X4 |
    
27. err=abs(y2-v2), n+ }% c: F- V/ [- @) a7 ?/ o
    
28. $ Q! B% A) ?7 \. C2 S! [\" i
    

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