自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
; O  \* B. h) O5 j  G) t" l( Q函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
! P6 v- \+ a5 l+ ]函数的主要步骤如下：

+ C. ?% a3 n5 q( l1 k: ^+ Y, |! F1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
: |8 |- D/ A) s1 X& y3.将步长 h 更新为 h/2。
' b1 i" }* D/ u4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
# l0 B$ D) C& s) `/ q5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应7 g. }' d4 A3 l  q3 p; ^1 D. I
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   2 V* d, u- @# T1 p0 P2 c* H
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用, @; z, f; E4 s( b8 c( x
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   $ D8 D2 k; }$ W
5. 
   / K* d- E9 w/ ^* J$ O
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解0 v\" M2 ]! \2 z8 [# `. q# ?
   
7. k1=f(x1,y1);: a% k3 u2 d9 g, _/ r: |, `
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);, l: a9 C* \  e! X; \( z
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   0 H: b2 x. `9 P6 Z; ~* W. e3 z9 B
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);6 N! L8 {5 i# K/ {2 N6 \
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;5 O! E\" `* V3 f0 G) j
    
12. 
    % d) H2 B) H- w7 p- h/ w, A* A
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    , a\" s) G* s) J4 `
14. h=h/2;$ c% B, h# a6 b; w; J8 s+ d
    
15. 
    * w' n3 O0 o- i4 d/ e9 N
16. for i=1:20 M9 e6 Q7 s( b% x
    
17. k1=f(u1,v1);, t% V: C+ n, v- `2 [( C( o
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    ( J  K6 D. E  [
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
      X/ d* C1 t\" k& i/ y6 [
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
      D0 C9 |5 w* p+ `2 U
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    1 u0 s: Y7 E; S; F. \
22. u2=u1+h;
    ) R+ _5 p4 Q+ a( F( w! w
23. u1=u2;
    * B* `0 M  u, ]& J. p) r0 ~7 y+ b
24. v1=v2;
    ; t' ^0 f4 `7 r* w
25. end
    ! q8 h. {7 R% J  R
26. . |: L) R* {6 J: {7 @
    
27. err=abs(y2-v2)9 {- S( [2 e\" K4 `) x
    
28. 
    ) ~2 @6 S\" J& e. k- Q7 t

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