自适应步长的龙格库塔算法

2744557306

这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
3 c, Z; F4 }$ c! z& k$ u函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
5 Y! T1 `% D) K& c$ s函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
" w7 Q. Y9 u  {2 j
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
5 R- s7 L: I# `. s( g
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应' H* H9 a6 ^7 Q6 M# M4 O% s3 I/ ?
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   4 K* {4 q2 u- g0 p# M; P
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   7 G2 S8 Z, M4 [
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用5 [) I' L, Z, l! o9 Z
   
5. 5 V+ c! O7 I, j' o7 Y+ s
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   \" [; t( i* X9 ?' s
7. k1=f(x1,y1);% {6 ?2 S; y% `0 W. `8 P, X
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);* X4 Y1 [! @; _\" g1 k8 D3 Y
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);9 s, _3 F\" l* w# a) U. G5 x$ l
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    $ J; P3 a/ A1 w\" X6 U. [
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    . x! U' L\" F' R* T
12. 
    5 s6 o0 A\" R4 O$ l1 }
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解$ m8 \+ @1 f7 ]) f9 f
    
14. h=h/2;/ V% k# l7 r8 r, `4 J
    
15. ( b5 D9 B) _  v! P
    
16. for i=1:2
    ( l# V; L# f6 B  c9 c4 E: v3 ?
17. k1=f(u1,v1);
    6 P6 Q5 t7 v2 F8 ]3 H# N3 O+ Z
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);* t6 g2 g\" n. M+ ]+ T8 B4 Q
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    ! Z9 l! D, y. r
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);\" E, ]4 m$ q& i) d
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    1 ]$ ]6 b1 L+ J0 }\" G/ `
22. u2=u1+h;2 N4 R4 ~0 B1 b  m
    
23. u1=u2;! x1 B7 H) p% [' D' z: W! x
    
24. v1=v2;
    7 _& ~7 f' o4 E9 h2 x\" o& t$ @+ @9 U
25. end' I! q8 |% T- S+ {
    
26. 
    2 f+ O; {' m5 U% t* N
27. err=abs(y2-v2)* N( |5 U% M/ x1 r) S1 {) a
    
28. 
    5 r9 J3 b$ k3 ~4 B8 l; r; X

复制代码

3 e9 W* m. A  p, ^2 @