自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
- |+ A  D$ j: s2 V函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

6 u+ v3 m1 @" t1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
1 O, H8 a/ M: c+ d& Q1 x4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应$ W9 v1 K# r\" S- K0 f% |9 [& x
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   ! N& h- j' q* A2 X\" o; z  }
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用. b6 M0 \* T# n1 Y# O1 N
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用5 Q, M7 R# I% k4 g$ R% s
   
5. 0 N0 r2 d) `( a( a7 z6 {% f
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解2 s& O8 U! g+ r\" o5 m% f7 ]3 }
   
7. k1=f(x1,y1);8 X+ ?/ s# a- t6 F, g, V
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);- k8 Z5 C* y. g
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   & |  S. r' r+ ^\" t9 I+ `9 S
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);: q/ k( E/ B# b
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;: ]- T, }' e2 G7 k% x
    
12. \" Z0 S  M) o% |1 ~/ D
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解* }/ z8 @  J, j3 [
    
14. h=h/2;
    3 E$ T: t& l7 ^; Z
15. 
    4 f8 d! o1 F. O* }
16. for i=1:2
    . _3 @6 o  g& _  v# f
17. k1=f(u1,v1);
    / a, J* ~7 g/ V: J
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
      i- }% e6 l/ ^, G1 p: u8 Z
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    3 U$ T! F# g0 |: w- w\" q. m* V& H
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);' s8 h/ r  M7 v9 G( ]4 {% ~  L4 Z
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;' P1 B7 H7 I1 Q) d3 X2 h
    
22. u2=u1+h;/ H0 g2 N5 P0 F2 B\" @
    
23. u1=u2;
    + q- R1 `# a% p$ t. a4 i( w
24. v1=v2;) k, Q- Y* R; y) Z$ o5 K
    
25. end
    7 F  _, d$ V) Q) Z1 }# C. P
26. 
    2 z# T0 ]0 ^& D4 T% I9 d
27. err=abs(y2-v2)* w/ P& F4 l5 D- f1 \\" f8 A) i
    
28. 
    % a* y+ r; s& f& W

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