自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
$ ~# p0 \7 I8 Q' H函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

0 r" q8 |1 C# V/ o% H7 e* w, d$ w/ V. M这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   5 p9 Z3 c/ R- [: s9 s
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   & l7 B% L3 O1 Z1 S0 B
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用: Q. E) C7 a, p9 n% h: q; ^' Y
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用, n( a8 a: R. K7 @
   
5. 
   & w5 s. O+ ?: G/ W2 R9 Z
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解( |: x: Z0 h. h( `  J2 u
   
7. k1=f(x1,y1);
   5 `, h5 e6 x; R9 A- N& w* o' E
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);+ k7 ?3 F; B; m, ?( q4 |
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   ! s  O1 [7 }  p1 s. [( L4 ^, ?3 H* V
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);  v& L6 y% Y% k! Q6 K5 n
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;- B3 _# C2 J  p\" `, T
    
12. + \0 j9 c) M9 p
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    , y5 X' R! l& S$ j2 C
14. h=h/2;! n+ m- l, R0 {/ e8 c( x6 \
    
15. - }8 d0 f& {) ], Q' M+ K& ^* a
    
16. for i=1:2
    & X% O\" f- [2 N. e0 Z
17. k1=f(u1,v1);
    9 L! B\" J' d' a+ Z& I8 D7 G5 Y  S
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);1 U* c4 f! U\" c' u. m' T0 e' m: L
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    3 N\" W0 e7 j* m6 D' \% D% ]
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);' K& t# t+ f- K' i7 R( L' q
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    # ]' D. b. \' o& e& r9 \
22. u2=u1+h;
    + [, O# S! a5 q. M' ^+ J
23. u1=u2;
    3 P# n1 F# p2 d6 S! V
24. v1=v2;! E; x8 j% t( o' e, P& {, E+ A+ d
    
25. end7 F0 D( l! D, V, E  F0 v+ R
    
26. 
    7 b( `, D7 t\" b
27. err=abs(y2-v2)& _1 f; C; n5 f5 \3 t6 z! ~( n( w\" C
    
28. : S3 U* u2 t- g0 S2 R2 j
    

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1 R( f9 R# A9 N2 }" d0 C