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matlab实现解决空间上的温度分布

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发表于 2023-12-30 19:57 |只看该作者 |倒序浏览

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这段 MATLAB 代码实现了一个求解一维热传导方程的显式差分方法。该方程描述了空间上的温度分布随时间的演变。
以下是代码的主要部分解释：

1.a 和 b：空间区域的起始和结束点。
2.m：空间网格的数量。
3.T：模拟的总时间。
4.N：时间步数。
5.af：空间步长和时间步长的比率。
6.f：表示初始条件的匿名函数，这里是 (f(x) = \sin(\pi x))。
7.h 和 k：空间和时间步长。
8.lmd：数值参数，与差分方程中的空间和时间步长有关。
9.x：在区间 ([a, b]) 上生成的空间网格点。
10.初始化向量 u，用于存储每个空间点在不同时间步的温度。
11.使用初始条件 (f(x)) 给 u 赋初值。
12.空间差分的系数 l 和 v 的初始化。
13.时间步进循环，其中使用显式差分方法更新空间网格上的温度分布。
14.计算真实解 true，这是通过解析解公式 (e^{-\pi^2 T} \sin(\pi x)) 计算得到的。
15.计算数值解与真实解之间的误差，并将结果打印输出。

这段代码的目的是模拟热传导问题，并比较数值解与解析解之间的差异。输出包含每个空间点的位置 (x)，数值解 u，真实解 true 以及它们之间的误差。

close all;$ q) N* s& o U
clear all;
' w% R* b2 l2 R: \1 s
a=0;b=1;m=10;T=0.5;N=50;af=1;% X% }- e. T& s0 P% R
f=inline('sin(pi*x)','x');% H0 k# P+ t* v; Q6 X* j! r; N
h=(b-a)/m;! ?2 ?; G. O, m* I
k=T/N;
( g, L, f& Q/ L. ~) M+ T2 m
lmd=af^2*k/h^2;2 k0 j6 ^( U4 n7 ~
x=linspace(a,b,m+1);8 @; w\" G3 s) u+ a
x=x(2:m+1);9 v( z5 F( D- M2 c\" \) }1 s% J
u(m)=0;
) j0 R* B d( W! p1 i! a
for i=1:m-1
! d3 h9 x% ]! X& N- U
u(i)=f(i*h);\" U7 y) C, H; T6 o& v9 k8 K( |1 r
end3 m3 K1 E7 c' |! z
l(1)=1+lmd;
: k& E- D5 d6 W+ B
v(1)=-lmd/(2*l(1));% ~: C% a X4 ]+ F4 W( i3 N
for i=2:m-2; y/ l1 t- x: O8 @9 q
l(i)=1+lmd+lmd*v(i-1)/2;
\" w4 n( s) s/ S
v(i)=-lmd/(2*l(i));! J' o$ @0 j6 B5 S5 w
end: F/ F5 w% }' H: Z& S
l(m-1)=1+lmd+lmd*v(m-2)/2;
. M* M8 a# W! f! O, _+ s; q
for j=1:N9 E/ j& W# v3 H( s9 N
t=j*k;( z+ C9 ?9 H7 V! h# O, n8 n\" s
z(1)=[(1-lmd)*u(1)+lmd*u(2)/2]/l(1);0 P& z8 M3 J. m/ \2 S
for i=2:m-1
! D5 `' k9 A+ p, G! e
z(i)=((1-lmd)*u(i)+lmd*(u(i+1)+u(i-1)+z(i-1))/2)/l(i);
$ c# X* U) P7 q( l2 B4 b& e
end& w$ z3 q7 ], @0 d4 a4 ~! x& g
u(m-1)=z(m-1);9 ]- [0 d$ G2 Y1 F8 U, P! I) n: X
for i=m-2:-1:1
) u% w2 I8 u4 {\" E9 A3 Q) U) t
u(i)=z(i)-v(i)*u(i+1);
4 H; K% b+ c1 S& [
end
/ n5 p4 `! j; Q! F6 s
end; L( }9 t2 ]3 c; X' d& o
true=exp(-pi^2*T).*sin(pi*x);/ x\" }) d, Z `5 M) I' K
error=abs(u'-true');( @8 e; ~5 s4 j& l( }7 {
re=[x' u' true' error]
: C' v2 g4 ^! o4 B
9 A4 `6 E: h1 D