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高斯消元法解线性方程组

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发表于 2023-12-31 17:28 |只看该作者 |倒序浏览
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这段代码是用于解线性方程组的高斯消元法(Gaussian elimination)。以下是代码的主要步骤:# H8 i- l7 l! i) a( H

) L0 N& _' {3 l3 J* G1.初始化: 定义系数矩阵 a 和常数向量 b,以及一个排列矩阵 L,用于记录行的交换顺序。' I5 z0 L7 W" @: ]0 P& W' ^; m
6 A+ \: i0 _  a8 R$ I
a=[1,-1,2,-1;2,-2,3,-3;1,1,1,0;1,-1,4,3]; % 系数矩阵 a* U" l3 q- K; `5 T- H8 F
b=[-8,-20,-2,4]'; % 常数向量 b
5 X. s4 z+ |) W! \& P& g( vL=[1,2,3,4]; % 排列矩阵 L" s7 _0 R( p) P3 `- s- K2 Q
n=length(b);/ E, h1 r' z" r+ j! X+ }5 q
# e& M! w' f3 s7 G9 O4 `; ^  P' E; P
% [7 }6 E2 l* ~( K& I9 H
2.高斯消元: 通过一系列行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵,并相应地更新常数向量。这里使用了列主元素法,即每次选取绝对值最大的元素所在的行与当前行进行交换。
% E  E2 M6 g' A0 Z1 a& k" O
5 w: j* E; S% Z, S* o8 B$ _! Afor k=1:n-1- ^$ ]+ ?9 q6 M/ T7 u
    [p,q]=find(abs(a)==max(max(abs(a(k:n,k:n)))));) l5 P8 Y# T8 f# g
# W% s6 ~7 g* k5 v* Q/ Y
    if(p~=k | q~=k)
0 p* I; U$ T5 R7 w/ r      t=a(k,;5 V$ j' \) {5 A3 b
      a(k,=a(p,;7 a+ j! l8 W+ p% k, p
      a(p,=t;
9 q4 D7 Q( T. l( ]: p4 G" `      r=a(:,k);
( n/ W6 P6 j$ z) z1 e      a(:,k)=a(:,q);
7 K( f: @5 L3 h& `& u      a(:,q)=r;
  ]8 E$ W- s) {+ t  C/ j/ T4 @: F; o      t=L(k);
& u  K! E& K" U, d# `      L(k)=L(q);
$ R0 J+ ?" `, o- c+ k8 |      L(q)=t;
4 P5 S" @8 R/ F) E      u=b(k);$ w- f- V! K+ C) K8 [
      b(k)=b(p);, R! X) n' l2 J( U0 E
      b(p)=u;1 l) e$ M& ^0 L1 |% V/ S
    end
- v3 W, z6 w# d, }    m(k+1:n,k)=a(k+1:n,k)./a(k,k);! ]7 g5 M* Z" n7 ]
    a(k+1:n,k:n)=a(k+1:n,k:n)-m(k+1:n,k)*a(k,k:n);! m7 }3 D1 h8 \: @0 q7 _1 P& Q/ ?
    b(k+1:n)=b(k+1:n)-m(k+1:n,k)*b(k);: c, T' a1 c  t( Y9 e
end. U. A$ E  ~# m. _3 E9 f: I

, |$ R1 o; N/ y) j
( \( [* w! x) Z# {+ r9 h* @2 p3.回代: 通过回代过程求解方程组。从最后一行开始,逐步计算未知数的值。% N! L& }: v0 Y' D+ a% C
' _  E' f% g. N( A% z
y(n)=b(n)/a(n,n);+ F; i8 `9 V8 Z
for i=n-1:-1:1
. ?/ T% D- i/ X3 [    sum=0;7 n  M: Z2 |& v% A0 B1 Y
    for j=i+1:n
; z( I( ?4 h: O+ f  u5 f        sum=sum+a(i,j)*y(j);. l/ o6 L/ c  J$ D$ m; J1 A& v
    end
/ {) D6 Z# U. H: p6 A+ J9 ?    y(i)=(b(i)-sum)/a(i,i);2 [* ]# t, |1 g/ N: O7 N
end+ b& E- Y9 S9 h
; O' t& M. r+ j# h+ O

% s0 w- N3 G! p8 Z# O4.输出结果: 将解存储在 x 中,并输出结果。8 x$ y1 I3 g7 S0 B

& H8 ?5 Z3 F5 O7 f* j1 Dx(L(n))=y(n);8 G% h; D0 z& @: f* Q8 y; C
x(L(1:n-1))=y(1:n-1);
/ F9 O1 {, W/ Q) ljie=x'1 S+ L& \: B( w3 a2 E3 @
) `( l7 D# |) i' q9 D7 L
最后,解向量 jie 包含了线性方程组的解。请注意,这段代码在求解之前进行了列主元素的行交换,以提高数值稳定性。
- ~. e( N: u5 v! M3 p
* h4 t& Y" {! D, q. W
2 F) r; w5 F2 O0 {3 l6 D
zan
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