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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 - p) n& F# e. A/ D+ I: W z: o+ T
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
! c3 T* J1 ~ N: p$ A/ s; C
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n 1 p O7 y( M' L2 q! E) [
for i = 1:n
- T, T5 H' i/ k3 R$ I6 A4 V
for j = 1:n
k3 Q6 b0 J( E% k, z
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
4 _# S) B! a3 r3 O) T% y1 a
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
) U/ V\" Y+ a) @& y/ S$ v# w
end ( {9 ?0 ?# t# l8 B
end
+ c& P3 B# [: j* U
end
\" j [ k+ d+ H3 N% a. F/ I
m = m + 1;
. f5 I! V/ j\" ~8 V
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); / Q2 X7 r0 S M, U' p5 T5 a- k
k = 1;
4 S% T\" X1 C8 a h- A, { G
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
+ C- `2 ^9 }6 ]) n8 g
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 2 S( o+ [7 \6 _. Y# Q7 v
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 8 f1 A/ C' n& a9 }& |* o3 X
for i = 1:n - z7 W' @3 g\" H1 Z$ x\" j3 D
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
4 [: w# }+ a: s3 c2 j! E
if V(1, i) == U(k1, i) + t$ `% |& r5 J9 Q
P1(k + 1) = i;
% ~! S9 J- j5 ]( f\" J\" `
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 0 f, h6 R6 K; v# x8 t\" T3 N. a( F) p
k = k + 1; 1 T1 X2 L: [+ i& d/ x, Q: r# a
end 7 a\" W% k6 ]9 Y# v# ^; j3 ^$ Z
end 8 ]3 h$ T) i) V. f, v# c
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
8 g: C S% b3 b: @. G" N

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
/ P7 x1 z$ [0 ~
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 : |8 V: Y\" k) I\" O; z$ Z: Y, ~
for j = length(wrow):-1:1
& `6 L e. K1 ]% y# `# t' T
P(k) = P1(wrow(j)); 8 r2 w9 f1 _2 n2 x/ U {. H
k = k + 1;
+ U& Y, n1 K\" j
end + o! D* l* N2 _. |
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。 w0 N) F$ R ]8 D7 m- o% S

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]