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Floyd算法求两点间的最短路

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发表于 2024-10-23 16:47 |只看该作者 |倒序浏览

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MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 7 y) V) h+ Y8 ^: h; ?1 K
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
! b1 \9 l8 H- |( [
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
k% o3 E3 M( D: {6 `4 l2 \' h* e
for i = 1:n / [+ D/ w1 G7 ?3 r
for j = 1:n # y3 M% y) G- |3 ?& e! l\" Y
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
1 i9 V( g& [+ B! C) p! {
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); / S- R& X% O+ }
end 1 ?$ m& Z; c. G* z8 o/ k3 ~
end
# }- F9 w9 A, K3 K
end
, \% H( a) d/ H. f$ L! H% X
m = m + 1;
/ Z/ ^! Z) l- Q, c: l- e
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); ; ^! O3 S; } B6 A3 Z* T* p6 g
k = 1; 6 [0 Q- E9 _5 I
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
\" s% _* N# B* X0 q% n+ f; P
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 & @$ w6 A- {; [. U
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
) ?; @4 I7 Z0 U/ K0 K
for i = 1:n
% b% k# p- _% _& k
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
+ F9 L% _3 p) F: ]/ F
if V(1, i) == U(k1, i) $ D$ d. L2 h$ s6 p! l& o
P1(k + 1) = i;
: ]; d\" v T9 S# d9 O
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 : E q- V8 L, T\" m; A/ ?. R' Q% H8 f6 I: B
k = k + 1; - k0 i) y5 S! R. [
end
# I) r' ]5 z, F F; F2 Y
end % l3 [7 V+ I! ]6 Q: x- a6 P2 e
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
: n: c8 V8 K N8 K

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
1 \2 S! M$ r- x' K- T
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
$ o* ^8 T' q, g0 n
for j = length(wrow):-1:1 - o R( y0 G3 e1 ?! g
P(k) = P1(wrow(j));
$ ^0 r/ G7 C, Q* T S4 ~7 `
k = k + 1; 9 f, j% Y) E% d1 u4 W& F
end 0 c1 a! a! h; P+ J# K7 J
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。& ~! U) L/ C: E

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]