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全主元Gauss-Jordan消元法6 x2 R3 {8 @: w3 F, a+ L6 ]
# R' W0 {/ M Z4 x( n& b
+ F j/ J) ^+ I$ \0 L7 i7 L
7 b$ q X" w. H+ y0 L) e % r: F1 J- _, L# g* r
/ S6 `) i% o2 W! t & f: f8 q' X2 f; g. r/ [1 p5 X- }
9 j3 Y: c) x) D" v9 Z0 A+ M# w
7 ^- j1 q: w3 F
8 U; b, m5 m5 S" g2 i
W, I# K! R# I8 R+ \ Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。
9 y* @+ f& B2 D. O x; `; Z0 p% {" g% j" e
+ Q, U! E0 l$ }& j; u' e) X% ], S& G7 U3 C. H# _# R5 C
5 P1 U7 o+ `! S& T* Z6 [0 Z3 x" }. G6 v. l8 A
Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。
+ s q4 ~6 z+ M7 [2 V$ H) C
$ ^$ s" y5 ]5 E$ \! l- p* y ^/ X/ O5 ^9 Y: i7 G
( b2 `* h! n, S) x
8 S- p8 H. s5 u {7 P( o% D- d$ ^- L
下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。 K/ B. x3 o5 X( L
. b/ e1 a; ^0 _8 e7 t
0 \$ {9 F7 e @1 S- F5 M* t
+ d% Q. ]9 i- e1 _. M$ q+ T
% m' m! p5 ?+ p) p5 y8 I# |! f . ?' P3 ?: ^% u2 }
Code：
+ J; I! z# Y r. H' N) C2 J
& q; h- y. I7 m
% M2 |0 G2 k/ k& ~& K
: q4 u$ y* F s3 l3 x1 M* f 4 ]' S8 \. M6 v/ _
9 c1 ~/ E# ^" b: x
2 Q6 j \: L" p3 y7 a 4 o/ F2 B& e! U9 r8 Z+ Q8 w
#include <blitz/array.h>5 ?* G% C! ~/ a* r: p
4 J( E6 O2 a7 F ]
; p( N" x$ h7 E6 _$ Z7 o! @
$ W' v5 Y, w3 B0 J( Q. s2 V; q : ?) z( q, ?7 l( X4 J0 w
#include <cstdlib>
* ?# j" _8 K) d" o1 S9 j" X; I/ a- ]- Q1 I5 h. m$ \
$ ?- \" x: x T2 \ A* M0 \- H B; f
. W. Y' {- O8 k* v9 | 9 b/ H+ G9 p' Y6 P `( @
#include <algorithm>1 p! q& m* J' b! y
* \9 m! ]6 v6 k8 C6 d7 t
) }3 O$ T- C9 D. Y" A2 w # n# w2 p9 |8 E
) [! p- u$ ]- n) f
#include <vector>3 U1 v, G/ W9 j$ y% h% { O
+ S, L3 |* c0 Q, r; V9 _1 q0 V+ A! U6 H. B8 ~7 C8 l: @: Z' |
4 K9 G' V+ Z) p3 o* u5 n 3 U7 d7 L5 B3 _; A8 u# J3 E( _
using namespace blitz;
: f5 k% e. M+ s$ o( X/ H# ~5 d# o
! O* L Y6 G. t B$ r; P. g. a
, b2 k: b" W9 |8 a9 \7 {4 c# S * Y' z4 ?1 ?1 c5 o% w) o" u' T, U% O
$ p0 b* C; u+ G0 | + d6 h4 b! C% r% P8 v; i
7 |7 b- N4 U- m6 Q5 p, s0 v9 j' j , U3 |) @# B, D3 S2 G
void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b); B* q Y+ y- A
F. c( q1 |- [" f% H# Q
+ \0 C7 n0 ^- Z+ i" \- r$ F) F
5 T( g! a% i" H& C o: p 2 `2 O/ H6 e$ k
{
' ^9 o4 D+ F( y! X7 w d
+ x+ B- u0 N. h+ s% N: D
2 P0 ^/ o3 V; J3 @2 ~ 1 H+ i2 c2 a' z) A0 j
' J, T, A n9 D9 n* O, B( R | int n = A.rows(), m = b.cols();: ~0 z/ r3 y3 O# r r+ P
+ x4 u6 i) f2 B% }- I n
1 F1 N. {' R& n1 B
5 Y" X9 i$ W6 {* d/ o6 O
/ e( S9 ~! x6 v7 A0 l int irow, icol;' |6 {" Z0 G# _0 t* U1 J% }
1 G; n; r- c$ M6 F+ { I
) d$ Z- B8 ?1 ^! f$ F( M6 r
3 W# I. W7 `- o! I- I2 G" W ! W' s( }: @3 a) |" Z; M
vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n);
) Z2 \2 p) y( h, y' ^; T* R" b* g. e" R7 B8 Q: o6 v F; y
( T1 u# g( y- |( B- o1 L+ ?% K) I
' c/ }# g! T. D ( p5 b# ] r) _9 d1 m
: s: U. X8 g) P3 m7 [- b# |
/ ~6 C+ p: |1 l3 q8 s6 @! I
0 `- K9 T, f) ?* l9 G: _* U
for (int j=0; j<n; ++j)
9 S" m8 Y) O" j' I: @" R1 l" a( k2 r
1 [" v% t7 w# V$ S 3 {7 @( ]% L, X& u1 W1 G, Y7 G& X
6 O% X, q3 j2 [: {% V
piv.at(j) = 0;0 o& }9 r& e c: B
2 Y+ p( R0 _' R2 S' j2 I
/ D0 W$ \5 {& H' ^3 A2 f5 a$ b( Z, B
& F& K9 F, x! x8 P9 s ; F6 P) k- M& o3 e2 [
7 `" O7 e2 \& r3 q! ~' P
* t7 S% p7 Q( |1 P
& Q& y2 U) U( Q+ Y+ m! M 0 S2 w6 o0 M% D" a; b+ c2 A0 q: Y; s
2 y- a9 X) ^+ O //寻找绝对值最大的元素作为主元7 z9 I. I5 T# F$ ] @
2 X9 f5 e9 F" C- f% c- u, F* P5 Z
$ z5 I) s0 z8 ?3 M4 f6 w* \2 K
: n; E* ?/ ^6 a3 f6 }
+ q8 n0 _0 f6 ^ for (int i=0; i<n; ++i) { [4 o$ c' U/ @2 \& U2 b
) c5 N D5 b+ O7 B$ O) |. l
6 m- T" g- E, w6 K " ?4 X- G2 p1 n( y8 o3 @: L9 U
$ A! s! f- o, X+ _) F% X
double big = 0.0;
, |1 |; I( D$ V0 C1 u( k7 [% T8 B9 L& r0 B
8 C. n2 b! q" O0 B 7 h4 d7 F! |( _% T# x2 L4 p2 q
9 H( S" i" _ E P4 ]$ B4 ]) q( L$ j
# E8 {% h0 l; R5 X/ g8 V , s0 T# R2 [" N/ d; G- u% X( e
: c# e9 T( r' a9 [. e5 N! K+ K for (int j=0; j<n; ++j)8 i. n8 \* Z( r; p- O7 t" u1 t# P9 \
( z A$ ^3 b- A$ x ?1 [: `. f* g4 d4 e. c
" x' P, u$ f+ m R! ~+ G
# }! k6 ~3 y' [: [4 l* @ if (piv.at(j) != 1)$ r% J5 V8 P5 L- N' V- L: d( W6 g
+ Y: Q: Q n& d; C" v. k1 C
7 g0 { M3 F! M2 y , ]1 i+ L8 O" D) V7 O$ E
* Y* o+ ~6 P# G U' U for (int k=0; k<n; ++k) {
2 r- d" R# P; {9 T5 p9 ^& W% }- h2 }" R; N' B: d" k
% I. r4 B4 V7 \7 ?* y0 J
4 f( r* B. g# Y) h
) k8 o9 y+ t w: l. U \ if (piv.at(k) == 0) {; X% M$ |% m' K# l" y3 h* A' B6 y
& I E' ]' y) J2 K6 W3 N$ N! c: v
, X0 w" y1 R% _" K3 X
; p! M6 S. N( z8 F! t) U6 n4 Q! D
l5 y' w' r% z3 [7 X/ |9 k# a if (abs(A(j, k)) >= big) { j8 P7 f+ Q1 q, b
" l. j" T# D& V, K @+ ~) M% M1 k* a
( \3 r' W, w2 k! E- P* w
" z' v3 `& V& H6 s. V. J6 W, i : U" O3 z! @- X4 @0 P8 b6 j' @* d+ R
big = abs(A(j, k));
$ C. l( P, E4 Y5 B C+ N
N4 J6 ?( j. D$ W9 X: H) C# x# \, J- R- W- t$ O% A+ \
: T5 L+ Q9 O: o& c3 `
( w- u" v6 U/ x7 i
irow = j;
" I& H% K: S: X: s* {0 K- e8 j) j& O$ V# Z* A* J
2 z: r& r( q' L4 P6 ]' l( }# u , k$ C& R2 U* }3 x+ Z
+ c% u: _2 T1 S o
icol = k;
9 V. I* B" J$ ]
# Z) r- d" G9 [ _- ~( c" W* Q. I! R+ r: ^& _
* J) ]- ^. ]; e( H: u! J* G. S- m
/ b, c1 J: W* q7 |2 r& { if (irow == icol) break;# T8 [4 ~& Z) B4 h
" y/ H, e: Z; n+ r
8 V$ }* V$ l: r
' P- x0 i! Z5 l( ]) n7 x
$ z( P4 i! W- m' j/ E7 y) i* T
}
: w# B. I, ]& n0 l" K: @4 [8 n/ \8 L% H }7 e) i
6 e$ v- t- F) E3 x8 `$ D2 C" I
; p. Z. y) R1 z( o% r2 D3 Y
9 F* m& e/ b! o* W5 x. o. Z, R }, f# h( x& {4 v- e" u
4 A4 [* e5 i/ H2 f1 I+ n8 V- K
; o- I4 l3 i5 z* V* z
9 X, j1 U# z9 ?( Y ^
8 C, v% i5 Q1 o, J
}
% D4 m: y8 n$ m4 @
; Z6 h3 V, P% M
2 S3 B: D7 i' }, N9 \) w* W
1 O1 o6 g; ]8 U6 ~: Z- }) }0 K
% M. K2 y; W$ W & `) I. m; \, N: p: d8 }) F& p- ^
; u/ I0 v9 J$ T: v/ |
& b, D7 a! i a% s4 o& t
++piv.at(icol);
4 o! K A, M* |0 U! P" R- z3 M# O# g5 Y- `
: t2 U6 w' M, R$ x2 i2 `( x' g1 C! } ' b4 {9 i9 e+ [6 s& y
/ ?8 i6 {7 J9 t8 q
) H, F% _. o& U4 r
* Q; s/ `( f2 G6 |& m3 K, ]" e7 H9 U. d$ u
, E" Q2 y3 y- N" a" N9 D 3 v) {' n+ A" L' F& l+ w
//进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换，, ]/ o- K7 s3 _5 m% c! z
' p% l {$ q% P2 c/ E
' N7 x. S$ L) E# K3 A0 I 8 y7 A3 {& W& X5 Z! B
% k# Q; A: o0 | //使用向量indexrow和indexcol记录主元位置，
; K. `5 h* H. y' u) p1 c: Q A& l7 r3 d+ w D1 a; a
+ c0 ~2 h- z! e' E* W 2 W; Q8 Y; y6 R# F# ?7 v
0 Z0 ?6 g" ]7 W1 B; {* p
//这样就可以得到最终次序是正确的解向量。
( C" ^6 b7 B7 V6 D/ D9 l% G9 T j
( N1 [: K1 n5 m4 w. i2 H( m
9 E3 V* o7 T' }: i
" H, f2 }# l& ]' |3 }: o6 o
+ W$ A" c. w; Q2 Y- k if (irow != icol) {; O5 L4 |# U1 k# P8 {, _
X; [6 N, o# _$ F3 K8 k; r! h) n
5 U6 x* S+ u& V' e9 F
- e5 s+ E, F5 W; a6 s9 e* B0 t ! K$ B% Z- P6 \: z
for (int l=0; l<n; ++l) t$ f3 Y! `. b
0 r5 i8 U9 x) X& o( C6 J
5 O n+ P4 G8 @, l
( U/ a: G3 n- J' p8 U
5 q9 p# @$ i2 l9 w1 x swap(A(irow, l), A(icol, l));6 \* j/ ]/ O# W! {2 T8 Z
4 X3 D: K5 [$ I6 l0 P4 V
0 A- ~* O ]8 F9 A$ L5 l $ a/ S9 }: x! d i3 f& O
" \" \$ I, \3 P+ ?: U
6 H% ~0 i6 z! V8 C: U
e# n, @$ Z( ~- {( C' F1 [6 p6 N& _7 { ) p8 M: g, p# I" O5 G6 y! B, v9 d
for (int l=0; l<m; ++l)
* L/ Z: h# m* g7 a
% d- |; t2 a/ A0 Z9 U7 y
- Z1 Z" Y0 u$ T + K4 ~% @' K" D! p6 b
* }) W; q. P' A( H; q swap(b(irow, l), b(icol, l));* Y) l Q6 {$ Y* _0 T. b
+ J+ h4 x5 v! U; N1 l
, v* R- E7 t" s9 T; U* W
1 B5 X, N8 q; C % ~/ M+ ?! _5 K! @7 b% q
}
% G! U- f3 F1 I& }1 K) s6 }
+ b' h/ [6 I& b) D# G9 y; j$ p9 N0 u
- u: `, o* P8 B& H* e% y. q2 G# a
/ H2 L2 e) N1 m! [9 ? V ; o$ a4 a2 ^, L3 O
/ e) ]! N) j5 F; S; g2 b7 ` 8 Q- \3 S; j9 M. ^7 n& @# j1 v0 w
indexrow.at(i) = irow;
$ }- c& L- F' V( L2 c$ q" L- r% X) ~1 }5 p# U
9 J- r& x7 \* z0 D* M) @ & [+ @ Z2 q# `
- o5 I, c: S9 V' Q
indexcol.at(i) = icol;
1 Z O9 \$ T W) x& @! R9 y% P0 S% B+ I$ g' \& L: j3 l
3 q7 | N9 t) E; n7 M7 l $ N, i4 h$ {; j B
0 a5 C$ [& b j) t1 v
e3 s* A; N+ l; Z; z* e% l! c7 @( J7 I! c. U9 ?
- L$ M( y7 x1 y2 e4 r& Z
1 j, r0 Z C9 I4 h( V: V 6 Q5 i; ^. Y- J/ }. F9 V
try {% `" X% S) E& X) P
; ^' X. _2 J" A# w* h3 z* w8 H
2 {6 l) g' g9 Z
8 o L8 e7 A5 I9 \1 ~' s$ ?' b
: U" l+ X! }6 N } double pivinv = 1.0 / A(icol, icol);1 @( U; S9 C4 q! U
! w. ]9 L; F5 T, }* w2 k" C1 m
9 H2 u( U8 \. e2 B( R( c: a3 a
3 h0 I9 m. C, r$ I1 X7 e
) B8 U% J* p2 K7 \
' Q$ I- K% a- M: `( L
: Y: |4 |5 r7 q8 X% s9 V$ g& \; G * u0 }8 v0 g9 l' P! X
for (int l=0; l<n; ++l)9 m5 Z6 }3 g' q
2 D) w( @% o9 V- v( p0 }8 y: ]5 o- [
" `0 L, [- T1 l6 K: e
. |5 [1 c: }6 Q/ M* c! R/ P& Q; H/ g
A(icol, l) *= pivinv;
6 c. r8 J; D+ }) [, ?$ J
, J! P' |' [. [5 L& K
! @' g& }- C9 u' V3 K: P- I % d( |5 @$ e. i, @% `* D; a1 E
6 ^( `# f+ x3 \5 H$ H for (int l=0; l<m; ++l). H' T# r& u) G
0 ?* R# |4 N7 X1 Q4 f$ M
# W; G) D* _9 K$ P5 G- x3 ^* j ; N7 G$ f$ x, e4 m
7 W% ^+ x( p8 ^9 R( ~& u: y b(icol, l) *= pivinv;
5 R7 _9 ^) C, @* }
' ?5 C! \& M( C- S& e$ Q: i4 F3 {, Q$ q2 z1 o9 V6 j$ E* L6 Z% |1 }
# s' }4 [! @( G" X# V
# \7 F# ]' Z; y) ]. E% s; b# v
) c) x' k/ G3 T3 G
. \& _( H; d/ n # f8 v4 d( W( v m/ |
//进行行约化
8 d1 R4 h1 p" b3 f P/ h( E |7 F/ k% ~1 M; V# S6 j" K" h
+ i/ u v& _9 u) t
( u& r3 Q7 f& w6 L# w
7 T6 a! ^ J* {5 e
for (int ll=0; ll<n; ++ll)! y0 U! D6 l4 |' U
/ R8 p" k; D/ @6 J8 o
# v* \# r; S9 Y3 L. ]0 l " @4 ~# F. F7 E1 T$ y
]; _9 l3 t8 l( P
if (ll != icol) {: l" i. t0 x5 V' }& ?
- O9 [3 y/ x4 Q' d' E, p C
- a8 g, |& p$ T0 J& D ) Y+ E' f1 P9 i5 t
, U7 w& c, B9 b
double dum = A(ll, icol);( l# B, J3 D$ i$ D4 O
i4 g& G U/ u# U8 A6 H
( V% j' w( [9 W% b
6 k* g( a3 [' G v- ]. d
4 C7 N* V$ B' E- f( Q0 I, m & p2 {% {* ?& E3 _
, ~ L, c3 l; E5 J ?. i
& c$ I5 \; e" N, _) i for (int l=0; l<n; ++l)6 S0 x" Q6 t6 [6 v$ |; Q; i
' R3 I+ s( }* k& g# W; r: _9 d$ n/ J8 D6 h1 E% B
+ N |- B4 f& y& H m* y ! z+ M8 b+ M: S0 w) M
A(ll, l) -= A(icol, l)*dum;! |' u! _1 t1 P! ^3 u0 R
5 C0 k7 s6 j, Z+ {: T5 ?/ o* A3 V0 j3 a) w& A
. E1 ~& q% ~5 r- M3 G% q' c* y* o
% j& k: _4 E$ L/ z/ B) X
for (int l=0; l<m; ++l)2 M5 C" x5 B6 Y1 S1 `
3 Z4 D: E* Q, {
3 C5 C" W; {% a& ^: y4 T$ u) ?
/ H" N2 P+ G8 N' V" y! ^
( x5 ]% ^ h, S b(ll, l) -= b(icol, l)*dum; y' z& ?( N0 H2 G- C3 R
3 t, e2 D `. w% y) ^( o9 b
5 k/ {9 q, @3 B' f3 G/ r* O
% `4 |+ `$ p+ h' W1 f
+ u1 |4 n2 M4 e7 Y9 A( X }
2 [& ?# Y+ P4 L3 f- H& A7 z @% W& g0 }- \# }" q" w, Y+ ` E" k& \
' W# e# _8 H: W# X6 s
( b, I0 c/ ~. x2 y8 }$ g
8 q8 u4 ]- _$ x/ r6 P }
. U- W- B$ e0 Q4 }7 ?0 O
' q! J( l$ [, t# {* u0 p& H+ v$ y5 L; Z; R* d" ~3 F3 h5 {
# g+ `( g2 n" `4 X3 L# U4 U' U+ R
; j& r' k3 {4 `0 O5 P) c5 [( k4 |. O catch (...) {$ o3 J' [, G' o% A& @" J
6 v* h2 A& d+ F& a9 @
% V" k& n" p' Y g1 V% W 7 R5 y% X: R3 z/ P. H
* f4 M( c4 u% y" _* H V+ A" | cerr << "Singular Matrix";
. C" _, N% Q- t; _0 m' T% _8 b. _+ b. X
" Q5 M+ w! j* v. | ) ^$ A. ]0 J! s' l0 l' K4 E8 R2 L% R) [
+ {8 s" o0 E2 [/ k
}
, E; W' D- Q$ B1 q6 z( V% \
* d' s8 W' t0 e3 ]( ?7 a M2 B, `5 f% a& K1 o% t
8 Q; F8 R4 f, V& @' U& S/ H9 l' {: b 9 G. V: W G* G$ R3 D* K/ q
}1 s6 P$ ~1 P8 A( c" n
9 h/ h' p6 S/ x0 v W9 ]
R: e5 @3 V( \6 }5 M2 [: r ]
; E; J* I1 c) U
5 Q5 |* c" H6 ^0 M6 {, ]& B
}/ W% w* V; `/ c3 @6 ~+ i
: Q# Y' ^+ O$ i# d
" o; ^5 J8 C+ C* g 6 g0 `& F* P5 E% w! T
. H! k4 t2 f o: r9 k3 @
- w1 t: b8 I2 G6 C. m
. ~% B5 z1 J0 {4 K1 t
8 C* u7 ?( ~; T, b2 D int main() W* [. `+ M4 |% D* @9 e9 _
: i- e. Y* e1 \ r5 Z' T5 E; l' e% ^7 Y+ e" T* o; h8 |
4 v, m& ^- w$ B
" ]0 D) @9 ^5 n6 {+ i {
6 s- e/ k% c# n" X: a% s `/ P8 z: q
7 u+ z3 m1 V$ k! F- T3 Y$ e/ _- w3 y + g- l3 m7 R2 Q' Q& l) h2 T! T
% O- E( j% L1 Q
//测试矩阵
1 e* ?; F6 \7 s$ @: M: `8 {4 `) i! @* a
8 \+ i3 |+ P+ |: l' t u
& K, e( R3 w& d& W : A8 L! H. }( P6 ?2 z
Array<double, 2> A(3,3), b(3,1);
, w; s3 C) T$ Y1 |# x* F
8 x4 x1 r- `0 Q6 b7 j+ i8 X* K6 j
: Q& f6 H8 Y: ~/ f9 Z c5 n ( }/ f) @7 n9 C9 E& }; E! B& I
. O! o% g2 ?- m0 ` A = 10,-19,-2,
0 E5 L9 M8 r( U/ v' ?2 }/ Z t, G4 ]
+ {# x+ p/ _4 l S/ i
) U p, n1 v5 y' A, }
8 |+ ]8 s0 k5 P6 ~ -20, 40, 1,
1 y" U6 j3 \9 Y5 a9 H! S& {0 B3 Q) a7 U
/ Y8 u4 g2 i. `
- F3 L' }, I$ }1 P- I8 s( b. u0 B
* ^ v9 T/ I1 z, G' g7 `! K* G
1, 4, 5;
3 J: G+ H4 G, z) G. `7 K
6 `# U& m8 m$ t! a. l# X9 A* N1 s0 S0 Z
. Z. n4 a1 W" I {% J( G5 {* j9 e
# q* y+ s2 z! l# j2 I ; x0 q1 R# ^# T X
& H% g- G. G3 _& _
( X3 ?. @( @4 Y/ `6 e5 n! c" f b = 3,/ Q$ [6 j: m2 c0 @! A5 L
5 x0 j; l; w v. H8 Z) H2 }$ I, T8 ]3 _7 C
1 w: b! N/ F! u8 r4 u
( y9 v' A8 v9 B/ x6 Z/ x* l, Q+ G
4,' z2 S- x7 m6 F
- S5 q5 w; x u# z; m7 W8 l8 }+ Z# ~+ q. ]
8 B, d+ W2 s1 x4 f# p G( |" B2 r
/ w$ z, F- ~1 ~4 } 5;' ]# Z4 K4 [2 I8 |- L$ z
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从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。
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" G, b* i) d& [1 o , k: z- U! Q: l' o j
注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素
' S! _/ M# B2 l ' d+ w @9 H+ r5 A4 D* n1 X# l/ l, Z
! ?- ?+ c1 j! q* W5 h; T* o, O5 Q ( x/ Y/ J0 y+ {" L7 ]4 l+ u8 X4 U
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