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一个复杂的工程通常可以分解成一组小任务的集合,完成这些小任务意味着整个工程的完成。例如,汽车装配工程可分解为以下任务:将底盘放上装配线,装轴,将座位装在底盘上,上漆,装刹车,装门等等。任务之间具有先后关系,例如在装轴之前必须先将底板放上装配线。任务的先后顺序可用有向图表示——称为顶点活动( Activity On Vertex, AOV)网络。有向图的顶点代表任务,有向边(i, j) 表示先后关系:任务j 开始前任务i 必须完成。图1 - 4显示了六个任务的工程,边( 1 , 4)表示任务1在任务4开始前完成,同样边( 4 , 6)表示任务4在任务6开始前完成,边(1 , 4)与(4 , 6)合起来可知任务1在任务6开始前完成,即前后关系是传递的。由此可知,边(1 , 4)是多余的,因为边(1 , 3)和(3 , 4)已暗示了这种关系。
' ~* e: ]/ `' T$ @8 l- p在很多条件下,任务的执行是连续进行的,例如汽车装配问题或平时购买的标有“需要装配”的消费品(自行车、小孩的秋千装置,割草机等等)。我们可根据所建议的顺序来装配。在由任务建立的有向图中,边( i, j)表示在装配序列中任务i 在任务j 的前面,具有这种性质的序列称为拓扑序列(topological orders或topological sequences)。根据任务的有向图建立拓扑序列的过程称为拓扑排序(topological sorting)。图1 - 4的任务有向图有多种拓扑序列,其中的三种为1 2 3 4 5 6,1 3 2 4 5 6和2 1 5 3 4 6,序列1 4 2 3 5 6就不是拓扑序列,因为在这个序列中任务4在3的前面,而任务有向图中的边为( 3 , 4),这种序列与边( 3 , 4)及其他边所指示的序列相矛盾。可用贪婪算法来建立拓扑序列。算法按从左到右的步骤构造拓扑序列,每一步在排好的序列中加入一个顶点。利用如下贪婪准则来选择顶点:从剩下的顶点中,选择顶点w,使得w 不存在这样的入边( v,w),其中顶点v 不在已排好的序列结构中出现。注意到如果加入的顶点w违背了这个准则(即有向图中存在边( v,w)且v 不在已构造的序列中),则无法完成拓扑排序,因为顶点v 必须跟随在顶点w 之后。贪婪算法的伪代码如图1 3 - 5所示。while 循环的每次迭代代表贪婪算法的一个步骤。
: W8 M! Y% V2 X5 B现在用贪婪算法来求解图1 - 4的有向图。首先从一个空序列V开始,第一步选择V的第一个顶点。此时,在有向图中有两个候选顶点1和2,若选择顶点2,则序列V = 2,第一步完成。第二步选择V的第二个顶点,根据贪婪准则可知候选顶点为1和5,若选择5,则V = 2 5。下一步,顶点1是唯一的候选,因此V = 2 5 1。第四步,顶点3是唯一的候选,因此把顶点3加入V $ q! ~% P* u4 U' ^& ]6 ~) k
得到V = 2 5 1 3。在最后两步分别加入顶点4和6 ,得V = 2 5 1 3 4 6。
" ]& c( o2 d" n1. 贪婪算法的正确性 / U' D$ C* p7 a A
为保证贪婪算法算的正确性,需要证明: 1) 当算法失败时,有向图没有拓扑序列; 2) 若 7 {0 a' b8 q1 C
算法没有失败,V即是拓扑序列。2) 即是用贪婪准则来选取下一个顶点的直接结果, 1) 的证明见定理1 3 - 2,它证明了若算法失败,则有向图中有环路。若有向图中包含环qj qj + 1.qk qj , 则它没有拓扑序列,因为该序列暗示了qj 一定要在qj 开始前完成。 % A9 M' z2 {" X7 |4 k
定理1-2 如果图1 3 - 5算法失败,则有向图含有环路。 " I( t$ _0 a4 X3 M
证明注意到当失败时| V | & y& V: ?% e" Z! [6 J" ?! e
2. 数据结构的选择
# Z6 {2 {" k. ^为将图1 - 5用C + +代码来实现,必须考虑序列V的描述方法,以及如何找出可加入V的候选顶点。一种高效的实现方法是将序列V用一维数组v 来描述的,用一个栈来保存可加入V的候选顶点。另有一个一维数组I n D e g r e e,I n D e g r e e[ j ]表示与顶点j相连的节点i 的数目,其中顶点i不是V中的成员,它们之间的有向图的边表示为( i, j)。当I n D e g r e e[ j ]变为0时表示j 成为一个候选节点。序列V初始时为空。I n D e g r e e[ j ]为顶点j 的入度。每次向V中加入一个顶点时,所有与新加入顶点邻接的顶点j,其I n D e g r e e[ j ]减1。对于有向图1 - 4,开始时I n D e g r e e [ 1 : 6 ] = [ 0 , 0 , 1 , 3 , 1 , 3 ]。由于顶点1和2的I n D e g r e e值为0,因此它们是可加入V的候选顶点,由此,顶点1和2首先入栈。每一步,从栈中取出一个顶点将其加入V,同时减去与其邻接的顶点的I n D e g r e e值。若在第一步时从栈中取出顶点2并将其加入V,便得到了v [ 0 ] = 2,和I n D e g r e e [ 1 : 6 ] = [ 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 3 ]。由于I n D e g r e e [ 5 ]刚刚变为0,因此将顶点5入栈。
6 g; |' M0 w( e8 u o- }程序1 3 - 2给出了相应的C + +代码,这个代码被定义为N e t w o r k的一个成员函数。而且,它对于有无加权的有向图均适用。但若用于无向图(不论其有无加权)将会得到错误的结果,因为拓扑排序是针对有向图来定义的。为解决这个问题,利用同样的模板来定义成员函数AdjacencyGraph, AdjacencyWGraph,L i n k e d G r a p h和L i n k e d W G r a p h。这些函数可重载N e t w o r k中的函数并可输出错误信息。如果找到拓扑序列,则Topological 函数返回t r u e;若输入的有向图无拓扑序列则返回f a l s e。当找到拓扑序列时,将其返回到v [ 0 :n- 1 ]中。 ' p$ G" F& H2 h+ i/ q0 E* b
3. Network:Topological 的复杂性 1 L9 O: ? M9 [6 P) e8 `' T; o5 X5 i! C
第一和第三个f o r循环的时间开销为(n )。若使用(耗费)邻接矩阵,则第二个for 循环所用的时间为(n2 );若使用邻接链表,则所用时间为(n+e)。在两个嵌套的while 循环中,外层循环需执行n次,每次将顶点w 加入到v 中,并初始化内层while 循环。使用邻接矩阵时,内层w h i l e循环对于每个顶点w 需花费(n)的时间;若利用邻接链表,则这个循环需花费dwout 的时间,因此,内层while 循环的时间开销为(n2 )或(n+e)。所以,若利用邻接矩阵,程序1 3 - 2的时间复杂性为(n2 ),若利用邻接链表则为(n+e)。
* v g. `1 \4 P8 F3 Y+ w程序13-2 拓扑排序
( {' S* v K! f' k, ubool Network::Topological(int v[])
2 l" ?$ l2 W0 L4 z7 ^# U{// 计算有向图中顶点的拓扑次序
5 _3 Q9 Y' _2 T v# B$ c; s r7 G0 n// 如果找到了一个拓扑次序,则返回t r u e,此时,在v [ 0 : n - 1 ]中记录拓扑次序
0 o( E5 @ ?/ J6 J$ K9 E// 如果不存在拓扑次序,则返回f a l s e
8 O0 j* J: p, z( kint n = Ve r t i c e s ( ) ;
4 ]' | k a+ b- x9 M- o// 计算入度
: {# J8 a1 y+ K! b6 Z/ p* q: Lint *InDegree = new int [n+1];
: |! L3 W2 C* G- ]+ z- i& o0 b1 pInitializePos(); // 图遍历器数组
. g5 F0 C! O' S1 H# z6 hfor (int i = 1; i <= n; i++) // 初始化
; |. c( Y+ a1 IInDegree = 0;
- s8 }2 I: h9 c9 e* e$ Nfor (i = 1; i <= n; i++) {// 从i 出发的边 : o. u, G5 E/ }9 Y
int u = Begin(i);
9 ^7 \1 g }: z% j7 L2 C9 `- Lwhile (u) {
|6 P) c% ^: D* R! S. [( rI n D e g r e e [ u ] + + ; ( l; K0 w! ]0 U) W
u = NextVe r t e x ( i ) ; } 8 m; h7 q# J4 N* C+ W
} 1 B* ~2 ~' \1 }+ j9 o9 j9 |$ s, b
// 把入度为0的顶点压入堆栈
4 G* J3 G- F7 n) ]9 V+ FLinkedStack S; # I; g& P6 ^/ ?2 g6 B
for (i = 1; i <= n; i++) 1 p' r7 @$ C" ]- w; i# l4 k, a
if (!InDegree) S.Add(i); , k2 ?1 J- a/ e0 Q
// 产生拓扑次序 5 h# ?; r4 h% X" B8 j
i = 0; // 数组v 的游标 * \2 d W: H7 z! v) ~8 p5 S
while (!S.IsEmpty()) {// 从堆栈中选择 1 H, m% w2 w; }8 z- { H
int w; // 下一个顶点
: G2 I* _& [4 k2 |S . D e l e t e ( w ) ; : S7 w: a4 y+ C( u# w& p) F4 n
v[i++] = w; ' `( z; a5 v4 W+ c2 p. I. p
int u = Begin(w);
+ E8 ?+ a3 e9 c: g% _" ^while (u) {// 修改入度
( F# I1 d% Y. _2 b1 MI n D e g r e e [ u ] - - ;
1 t3 _# u2 u7 c% ]; c6 Sif (!InDegree) S.Add(u); 4 i; r) a5 d# c2 `4 ]" i H
u = NextVe r t e x ( w ) ; }
/ A9 q7 N2 h% k) V2 [3 {$ u0 g}
: V6 \7 R. T" u1 FD e a c t i v a t e P o s ( ) ;
C' |* O6 Z2 \4 L' d; E5 @3 pdelete [] InDegree; * m A+ S$ u. [( s! K/ t
return (i == n); ) `3 {! Q. v* C* |0 C/ G8 I
} |