[请教]一道数学分析习题

helloyupp

, ?. w4 M! u) \2 y5 C& }; S
8 K6 u) B" M2 z设f(x)在R上有定义，且
: G/ `6 V( I% i1 l- _9 H" g
# G/ H; t5 I+ Z! E! d
（1）这种函数有几个？
+ Y( A, a$ L# `（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

解：记y=f（x） .. ………………1
0 o' K- d' u. ^# H* Q/ B则有f（f（x））=f（y）=x ………2
8 Y8 [- Q3 y; @8 S6 ]: a
* p  @. Y6 N5 Q由1，2 两式有
( }) g! p* T# D0 P
* d5 @# x1 C4 z& X/ ~/ of（x）=y……..3
f（y）=x………4

若x=y，则有f（x）=x
; l! w8 N, W" w/ l& r
若x不等于y，则
6 v" F# A$ P; w$ ^  b9 C: n
+ k) S9 p  Y# a由3，4两式得

【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

2 v0 O8 Y9 P2 C& ~! T1 C斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
4 k$ a! q5 d- F! C7 g2 k
  [) {5 Q8 F9 W% ]3 d
    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
: B3 r2 O4 c) ^  L" w& V# E\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
8 R# ^; o! A' |" H. A[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
. ^6 x/ o" |; u& z3 Z也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
" W+ L3 M! ~/ q( G1 L) @" j) t斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
* I' f( a: n3 G0 I
(1)有可数个.

# Z; L: g# k2 ?( g# ?(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx
; J$ J9 o6 c0 Y+ p" W" S
; b& y+ H2 U2 M/ Z" ?( ]1 J
( _3 |4 y1 s7 k7 O0 d5 c    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp

6 g) J* K8 Z) \0 @; I
2 y& x. U+ U5 V    先看看