[请教]一道数学分析习题

helloyupp

+ I& {+ P: _3 d/ i+ b设f(x)在R上有定义，且


（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
. n. X! P3 a  V3 G. V; g. h! Y1 t
- |, M* P: F5 K, S1 O解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2

9 N% A  Q/ W8 f  T6 ~0 j( K# L3 ]( m( e1 e由1，2 两式有

* [2 u3 Q" j9 \; l8 }8 [/ Hf（x）=y……..3
f（y）=x………4
9 N% |0 C. ^" c* C: q
若x=y，则有f（x）=x
( a7 f9 O1 P3 t+ j
4 U* Y3 P+ N, t8 W% t若x不等于y，则
) U5 d- _2 @2 d' x- @  B
由3，4两式得
4 H: a! ?7 t' F) B& n
" N6 a* `& B9 n+ L6 E& K5 F9 ?) p【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
& H3 c( e$ ~; v0 Z3 Z
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
% F% v; U; Y, V& ], k
: l1 g' M! O2 L' t& P% U2 F! G
    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
" V; p# r# S, u\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
, u5 J/ C' ^6 E% E& |[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
3 c8 V5 @7 T/ b/ b$ p1 I3 C也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
" q0 f; n% r6 R2 Z9 ]斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
% v  U. k0 K0 V: Y7 h7 q6 n, k
(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx
- k' z- F$ W+ f' n' E5 J$ f6 o, F  F

    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
: H# ^3 j- e- W7 P
1 i! I7 ~# T1 S7 ^3 ]
( B. v- ~2 T  n    先看看