[请教]一道数学分析习题

helloyupp

% I) C0 _% P' a& h6 A" Q设f(x)在R上有定义，且
, \% U8 r1 [9 @0 n) y% y+ q
2 H  _6 t% r7 e9 _0 _
（1）这种函数有几个？
" ?8 d% x- @4 ^& `% Z（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
' N2 J, @2 K1 Q) r$ T7 E
! V( \& {1 C) i' R8 l/ Z+ d2 Mps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
! t5 D5 \' o- F, f4 C) v$ r
! D; _$ D7 x. Y( J# Y: S解：记y=f（x） .. ………………1
0 w' n+ e* L8 z3 c% J, b7 p则有f（f（x））=f（y）=x ………2
; E% ~5 V3 r6 `2 v. B  |/ w
! i0 h8 t- O4 |9 j7 x由1，2 两式有
  ?- h. a& f/ C* l
. ]- ^! O' g/ \: X# d: ?f（x）=y……..3
% W2 T% Q! D$ I; Z* W* [) P; }0 e  T5 Yf（y）=x………4
8 ~  g: f5 ^. D& w. X
, d0 Y1 [% K/ Q1 }若x=y，则有f（x）=x
. u0 \* H- o) m, t
* n' i- X' b, K若x不等于y，则

1 q* E: \2 N* f  Z, c& K$ ]由3，4两式得

; N( l, ]7 `: @1 f/ i【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数

所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv


    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
( y- s$ Q1 @2 |8 V( x) {也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
/ q2 E- F4 x1 E' A) u" N: C斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
4 A* n7 u+ \" O5 e( `  Z7 k4 g* L
3 u# ^% Y- s6 ](1)有可数个.

  B0 H5 ?( I& `$ C- q. _) I(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx
$ E3 N6 T0 q' n( Q) d

    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
3 d: F  T2 {* \: q( P
& z3 w" b3 _& O
7 e$ J9 X! _1 K7 Y$ r1 G' P    先看看