[请教]一道数学分析习题

helloyupp

设f(x)在R上有定义，且


（1）这种函数有几个？
. C3 F: F+ w+ U% D（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
. S0 P# j- j! ~. I9 y1 d% I
ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2
4 b/ A* @1 p3 J, R
3 I0 O( j# e+ i由1，2 两式有
( [+ j, p1 Q$ C9 r5 v: G
f（x）=y……..3
f（y）=x………4

4 G) ~4 z. U' ]/ @+ @% J若x=y，则有f（x）=x

若x不等于y，则

( b* Y" Z- h4 f# `) J2 J4 y由3，4两式得
2 b4 h( \% @: @" r5 R7 Y' G
! K# E% I7 G" N【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
' d$ H! a# r8 Y# l3 L: x也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
5 f1 ^2 M/ b2 Q; _
& k( g% _  \9 _# n% H' v所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv
0 i9 z+ V0 s$ \0 [$ ]5 W

    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
6 ]( X8 w4 v% ~1 O1 F" u" x& p; u; Q, H也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
6 A) L# K% Q. ^* ^7 x5 h
(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx
- F3 x  i  d) |- R$ S5 g0 [0 V
, t7 n: p5 O8 u. J( W2 X1 m
% h# }$ d% b' ?    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
# d  x! _$ ~# V% ^

9 z; q1 P7 r; k3 B; }/ b$ t! n    先看看