[请教]一道数学分析习题

helloyupp

  V' R; y& Z0 a( }
设f(x)在R上有定义，且

+ r# i% U+ i( Y$ ]! q
（1）这种函数有几个？
' Z8 {2 I6 ~6 f7 p$ g, A（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
- ^2 y4 G) ?9 u  w2 @
解：记y=f（x） .. ………………1
9 f( A) D+ w9 v$ p则有f（f（x））=f（y）=x ………2
6 O2 G- A2 h. r2 n( R0 B; D
* }% R; c; Z/ v# W5 ~$ A由1，2 两式有

f（x）=y……..3
f（y）=x………4
- g4 Q& ^+ ]+ }( A0 K
, g. t! B* [- V# c若x=y，则有f（x）=x
* z. ^/ Y, E- N+ @( h
1 ~5 Y( c5 Z3 w: T6 @若x不等于y，则

由3，4两式得

7 ?% g) ]* p2 P2 [1 ]2 B) d5 s+ L【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
: ]3 Q! g" r6 e: b1 b3 {
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv

% w* c7 P0 N7 v# X2 r" w
" x9 I/ N6 {1 w    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
$ t/ J+ B* }* a, i2 R4 k! V$ Ff(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
* O+ f( f: W2 q2 s! R  f$ o[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
& Z/ Q! l4 a- Z7 k9 L( s斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
7 G  [, }4 h' V# C6 X5 g* Q3 g- X由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
2 J* o, t: Z9 B. L; X+ M0 o. K5 \
8 k5 g5 X" E# I: S4 f(1)有可数个.

(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx
' S# S+ m7 o9 C+ t$ X2 t
7 L# N" M/ a5 N& m) o# A) C; R' x
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
* l) r8 V7 ]! a/ c
) y( z$ I5 ~9 y1 Q
    先看看