卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
! D$ d  X2 l8 y. X0 ^: u(1)一个小错误.(我会在后面指出)
(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)

结论:卡丹公式不能解一元三次方程!
1 C2 c$ x9 f% A9 H% x. I3 _  [
: F( L8 g) r' o6 E& v7 Z- g先请看卡丹公式:
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
第一个小错误:

8 _1 p* L: u2 h3 P* U. m+ } 第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
( X' K1 y5 R! _  H& s" g& E9 gω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.

% S/ h) L! B" `, Q第二个致命性数学逻辑错误.
5 z' @# j9 z- O: C8 d8 r我举实例反:
3 q) y9 b5 g9 D9 f- ]以30度角三等分公式.
* J% B( z3 m( h/ N& k4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
( E8 @, @$ ]' c2 y+ l; x为书写方便,设sin10=x.
得:4x^3-3x+1/2=0.
化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)
& s( X8 y" v" r) f2 @
" X) X$ V+ [! w3 L' f. ~4 gx^3-3x/4+1/8=0,
p=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.

6 W8 C4 Y' ]; p4 X9 v
1 l0 x/ D, g. ]/ `1 `$ N; ^2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
( V7 l. F% J5 o+ C' N8 b把(5)式两边平方得:
8 {' i% O* k- p0 B4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
1 j* A9 W$ j7 u* `6 ]7 [" m7 U整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
.
* ^$ f+ O. x* q把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
* u7 p8 R$ Z& P, f+ k2 Y得:
) r, e' e+ w6 _# B! j2 w4x^2-2x-2=0..........(6)
解得x1=1.即:sin10=1
x2=-1/2.即:sin10=-1/2
$ Q' T& T  d3 h: x8 C代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.
1 w# `6 l( p% ?% N3 y" t
0 ?. E) q+ B" |2 _. [7 u+ b
2 Z" X3 k7 ^* Z: O

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0

两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
  {# O$ e+ o9 T4 z9 h  W. y(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.
( W/ L0 U4 h* F: F
# U( O3 x- z5 a" y# P原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
; u7 e' C/ G+ C+ }0 d7 e: R5 D6 e我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.

; i; K: ~7 o0 J9 Y 我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
4 v/ d# P3 K/ {* l. s9 d只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.
/ [8 N) w8 g0 t& u