关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
! Y2 r2 q0 T, m0 O& w

内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

7 V0 e" `8 [6 K: c7 d9 H9 U一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
( c" X$ J9 `7 y. }1 i, Y2 t. g2+7=9
14+28+57=99
1 D' Z; t. Q1 q2 c% k' S5 d142+857=999
+ z! u& ^9 ~1 @( v142857×2=285714        142857×23=3285711       
+ v  I0 S6 M8 F9 _& T2 H5 }4 E142857×3=428571        142857×31=4428567       
7 o% V! j" h$ O7 B8 P4 C0 k1 `' a" T142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
9 A/ \2 p2 {! D; I& F; Y4 M/ R' C142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
- c. A) R9 v& ^=142857
' z0 V: F) \, g: _9 r8 q5 P142857×7=999999        142857×63=8999991       
1 H' R& X5 d/ Z) w2 d1 m1 ]* [; x7 ]6 f1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
. E  N% [+ S3 B7 S; r173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
4 a+ u. `- q# x$ y2 ~. [: U' E=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
# @$ j. l* r, `2 Z
0 B0 i1 Z+ i- u 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
% ~* x0 w' c& u9 E1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
# _* @) v/ ^# D. L, }# b5 P" }令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
. {9 h& M7 X& U4 c% v4 [4 u. e这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
( ]1 N: k( V0 ^. A/ W, r1 g以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
- ~8 [: L# N7 y（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
+ d/ l' }$ T8 b' @  H) c0 sn=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
, P0 X- Y! i7 a1 I' c; U3 D8 Z' En        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
. p5 Y4 b8 Z2 |" z* r& X. o. Bb        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
- Q  ]* H. `( |+ T* X nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
  @2 I' z( b2 _& f2 S式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
1 F" g2 I" T( Y0 ~$ j- c& Z由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
+ V" h9 H) B+ g) s( F( e+ V其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
2 c7 l) q1 J6 b- s7 W101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
6 O4 D: Q4 F/ v2 K9 B; Q- x3 l归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
( Y' e) J3 K7 `7 Xn=(10b-7a)，
3 R( V" v" |" k5 ~待定系数也一目了然了。
5 O3 q% l4 d' S2 s( _* `. x当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
- `! d* U# G6 c% ?+ X   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
2 p- H+ v3 H) V% a: h, R9 D9 |+ t（二）142857的n次幂的计算
7 y4 Q) o, A% z) W6 |7 b& ^: M+ A* O5 C结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
5 {& h$ c5 W: j6 R$ P! Z6 N, ]( c由此
* j" z0 b. }' b) w5 _0 O(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
& p& ~2 U) g; M/ S0 r/ ?现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
) a: }: e3 m& ^1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
8 o2 }: W! O: E( @% l 142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
# ]3 g7 }) A5 m' hA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
( w% N8 M$ X+ D3 F7 z( P试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
% C: i7 S- _2 ~/ O: Z* w4 Z6 `A3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
+ v0 h, H: s6 I: c7 |: K- K$ o: \A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
: I# M) W5 U1 L3 r9 `4 SA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
* w1 [2 ?* {: q; ~& k" M' y9 PA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
0 x( A- c- F* d9 R5 F* [. x# @A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
( S( h6 o. {: Q  n. l. S8 z6 YA8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
) d; x6 R+ V/ |% ]3 j显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
/ v* a. Z' |, \1 l# i而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
0 L5 g8 z0 o0 ]% d/ Y, D" G2 v  u; a( @现以A3为例，验证如下：
5 V: B9 O9 m) ~! T0 J% V已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
, S3 z& Q$ ?! n& cA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
. K- \7 U0 o* ^; ?" i7 N, ], F: Q证明：
A3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
9 q+ P$ x7 N4 I4 Q; M又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
: }$ Z/ P( y- ?* x* L+ ]% F: M       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
, @4 v6 C0 D- M6 M; C; ~以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.

+ O# ?0 |- C- }6 K/ F' l* k% e7 ~