关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
; q0 K) @+ q, y, h: c钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
7 a3 J% f- D+ R$ _3 f5 I* f1 W

内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

  u4 J8 A5 k7 Q8 ~8 q一、“142857”的神奇性质
: O  [9 m: Y. e. Y, a' m, g现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
3 |- K/ w7 b3 M. J+ A表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
4 o* O' [5 t0 u5 g* a, r* \: G2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
9 W6 s5 ^, C. L! l6 i( R=142857
7 ]5 s( ]9 v  Y142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
, t+ v9 L; Q, N' r        2915+443148+696793=1142856=8×142857
2 R. Q' I! ^8 Q+ f" Z- v+ L1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
$ Y( U7 _' Z0 h- _) z1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
! X" J- ]* Z5 F& K- E=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
; X( J1 `8 o3 s% ]3 g+ Z 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
, Y4 F' k7 m* R. K: {2 a6 G: Y142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
- r! y1 [- ^. u, j- x1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
8 x2 r4 |8 B3 ^% G- E令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
. E4 k0 \; \3 U, c/ m27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
2 Z; F! @! k: j+ e9 C5 M1 j2 e, C（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
% z+ i5 L" i% P% ~. `2 Oa        142857        14        1        1428        14285        142
( U  E7 _# D  g! eb        6        2        1        4        5        3
! y' J, Q! i* ^+ ?由此得到142857的简单整数倍的计算式
0 Y8 `: j: @# H nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
$ d! s' o) ]: g式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
" p. l7 }* l4 J. H' e) F& g5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
5 E* K0 N$ H1 f- I' z' I在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
) X8 Y1 M0 h$ J( D/ E$ ~由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
5 i- }7 t3 U) G4 z: o其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
3 m1 w: s, P9 c  i3 J& v* Z101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
0 k  T% M0 `" Q. g. a1 Z归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
; }# X* C, `9 b/ P4 a5 Pn=(10b-7a)，
) T! ?1 E& q5 K  A待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
- R' t5 H$ g5 U2 v" u% D   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
( W. y- z: w. g% r（二）142857的n次幂的计算
" n/ f8 f  O7 [# ~! m, r结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
, S' K  g- a! Y3 |9 `4 M+ v8 e; E; L8 @最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
+ U+ g" O! h. T; S现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
0 v  @# T3 _7 ^% X' h' k2 I1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
6 J! V! o& r& Q  T; p这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
% r% \5 a/ N% H( m9 g6 I. c运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
& m; f+ h' e3 e2 W6 w3 XA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
/ m% {3 i# S+ u7 Z% y) XA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
% g- ]9 J6 ]% k7 N+ x% F3 o$ A4 k; }2915443148696793×142857=？
7 A4 i8 ?1 w0 s& b) [/ u6 l  R被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
8 [, `" U+ c  v- d" }（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
+ L6 i! W" [: T- L6 SA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
+ v% K  q" k* u. \A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
) U) g- }1 ]9 K! ?A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
$ O! Q# [  Y' L. M8 Z) Y: qA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
  [) i9 K" [0 j0 U$ JA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
( A& r9 b) _, ]  b现以A3为例，验证如下：
已知：
& A* F" p- i! ]1 Z( RA3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
3 e  _  w  k% H0 g" K/ a% W( dA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
/ }% @8 a7 [* `+ Y  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
' q& E3 V5 d1 I5 j+ e  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
) I( {/ E, K; X9 S* }7 }4 g又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
) |6 n4 h  w1 b  N: _% o=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
以上P,Q,R 均为自然数。
5 r, |3 m7 h6 W4 D+ M2 \对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
  E" u2 J% ]; s( U2 a
, Y% f" u' _9 t. C" \. t: C参考文献：
. M6 i5 q0 D' O1 Z( P! q" Y& G7 n" M[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
6 v9 r( I* J. ], i: h: e4 {  l