关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
. O  @$ H- i" S) f" y
8 i; R: g9 U+ |/ P! h8 [; Z0 [
内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
6 ?2 n$ ?+ D4 O$ a关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
  P5 j4 Q6 q- a+ x2 w+ D
一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
5 B: K6 N+ O' ^; M" w2 |表1. 神奇数字142857的性质列表
. c! d/ t- }$ S1 c% e5 }142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
* C6 C/ p1 h; s! ^7 k2+7=9
14+28+57=99
0 \, |) V$ X4 ~' m142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
: }  I% }  S, k3 s142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
4 r' U$ ], P4 v5 d6 A2 ?=142857
, k- c! w( n% U142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
8 \6 n$ a9 S( a' \- L        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
1 K' Q5 e. H4 V; X        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
% P2 g8 i, m) C- O1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
2 Z9 U! j) G$ d/ E2 Y5 h 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
* }# g& ^% F% c6 i+ t) T+ U; p142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
1 E5 d- ^; f3 o( N0 S二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
* g, G5 f* h3 G0 G, v' z2 G$ M/ T2 x（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
! H) k5 e- P/ z* x为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
* \+ f8 `; P5 tn=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
, X% h+ b. \# w, t- d* x, o% u解此不定方程，得到
+ d+ L2 K% v" ]                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
' L  W) l; t; U5 ia        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
$ N" {: d8 s5 r- f由此得到142857的简单整数倍的计算式
6 S* ]2 c: G7 S% r nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
, D" H! j6 ~' w. Q在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
5 B7 f& G& v$ ^! H* x' o* p( P由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
3 c$ t" S2 m4 t/ H: T9 w" q1 q101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
9 u2 ~* q/ J% e: m1 b8 G6 An=(10b-7a)，
1 ~( a0 y0 n: C; w8 O待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
' ?' {- D6 t9 A( v5 eA=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
   m=1，n=6，
- v+ g( q+ Z0 c/ q8 c9 ~13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
1 T% L( e/ A  C0 B# ~An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
8 A$ D. g5 m  ?& {7 ~( N6 H. E现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1 v! n/ f% O8 p2 `0 z& s- Q- T1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
# ^  U$ [) W7 q" H& Y, O 142857=20408+122449.
4 U% u, H5 o) [. Y/ ^, e这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
# x4 R3 A& f' \4 P) HA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
  W+ a' J1 n6 s1 T6 E被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
& ]9 A. G: N; Y) s) |（三）142857的n次幂An的“众数和”
( j% g$ l9 U1 b" j' V$ L7 P9 {, D在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
# \$ r: y9 m) |- j  P- `现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
$ L) E8 Z6 Q! J/ n9 K# g3 pA1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
$ ]% j& C. k9 R; O& ^" i2 q+ F/ |A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
: r% ^: z1 m) I6 n6 lA8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
% W6 ?) W1 d1 P' ^( [! @) QA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
2 S0 D% g/ L' ~+ f8 j! }显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
8 C7 f  `/ ?! p" u9 j8 r3 z+ `0 V现以A3为例，验证如下：
1 R; ~7 b4 J  Y: V已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
' K4 {) F3 p; E( q" s/ aA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
2 t4 N( h  j$ [6 Z  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
8 N' O- r* l7 ^# n  M) {  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
8 E7 G# e3 A; T9 f0 t; P: ja+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
: G+ ^: s. b% B       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
$ T: |# Z4 b% D' L$ ?= (7R+1)A.                                                
4 j: G6 Z. U( E5 ?; t以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
# ~  q# Z/ ^7 w+ Y6 }" {: s0 x+ `a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
" i: d! d. x! b. X6 C以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
1 p6 ^& c1 x' v$ r
参考文献：
# J8 d" s/ L0 c! E3 K7 m[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
( y! f# K6 x" |0 o4 M/ u, S
" z: H# l/ ]8 G- _* b( H