关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
' O1 l3 b3 J. A) z) ]; ~: I

3 B* l8 S" s! v4 x% c6 @: l内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
3 [# ?/ Q6 U0 r6 g+ t  \# g9 q
一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
8 x$ w" p2 j" f142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
$ o. E& z! o8 @: f8 s0 z142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
/ U5 A, K( x. Z=142857
( I; k2 L6 o) l8 F. O142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
- f% [0 m# _6 s7 H9 Q+ J        2915+443148+696793=1142856=8×142857
5 M- O2 q* e, w2 L1428574=416401461893377757601
, z8 G9 g- V3 i. d        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
8 Y1 S( e" r! C1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
, z0 w. n/ n  S& Z1 W; U! w8 K173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

! f( G6 l0 q+ w- k; m 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1 Y6 `7 E# m4 ~& R; Z( ~0 j9 D* f 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
4 V# }6 U0 E! e4 l& r1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
; o; _) k# }6 K7 T  l9 ], E+ G2 T令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
6 J+ E8 |; }6 e* D% [二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
% e8 A! a7 h: K& W0 O1 k（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
# o( y7 U0 {' B4 B& t" u为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
# a/ K3 W, Z- A0 u7 _$ xn=(10b-7a)，
5 W0 s- z" F/ R0 t+ k/ ]" \n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
# w7 N- W8 T  M3 R( e5 h解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
! P# w' |- F4 O& w, R3 r8 Zn        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5 X* N7 M- a0 a: [9 n5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
) w" F% ^7 ]$ @/ }由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
4 y3 o( v& ?3 J. U其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
9 M2 i9 i  q( `( C" j0 r! v" l待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
5 K/ Y: T5 L+ C& M5 q' d; O因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
0 f& m, T# d. r# e6 ~( U+ n 比如,求 13 A =？
) U1 X9 p# F% ~' |; G8 }2 j   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
" ~* \  q$ G# `! g, k) E( P(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
. o9 l4 C, g4 ~最终得到
. {0 ^$ |* w4 K7 I! n5 a  dAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
$ R/ ^$ u7 }0 k3 t这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
, p9 o+ I! k  e2 V运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
: X  e6 s! n* ^2 \% qA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
; g3 d5 V: R0 D4 w* y7 d试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
/ h7 N9 [4 f# J被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
' i% Q+ B- M* i' t（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
; P& H* ~( [" r- l8 [5 KA2 =20408122449，                               A2=142857= A
+ T3 t! A0 D. L% D9 j. |6 O7 AA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
* `# j3 V  I" A8 E$ d2 kA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
- \, ~9 g4 E( b3 k% o. eA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
& j& M: h5 S' e. D% ^% NA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
1 F, \5 t$ F( k6 G4 c3 w7 v- y: p) j显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
9 g, {5 C  \2 e6 r1 M& }7 P) u) r现以A3为例，验证如下：
% [( m- A4 W! h( \5 G3 ]1 o已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
; z* i% n+ Y* j3 b, iA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
" c3 k6 j7 w$ ?9 S  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
# `7 u& t2 k0 ?6 Y  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
, w% ^& C2 F: l1 Y% U, A0 ?  x又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
+ r- H. {7 G$ F# L) X' u1 S& va+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
. U! `! c# a8 ?! c% t以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
- ]1 x) b9 o8 y7 {三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.