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哥德巴赫猜想的一种简易证法

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发表于 2014-1-4 11:39 |只看该作者 |倒序浏览

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哥德巴赫猜想的一种简易证法

李君池

对于哥德巴赫猜想，很多人想了各种各样的证明方法，但至今没有取得成功。本文采用了一种简易的证明方法，既简单又实用，并且，我自己找不出其中任何丝毫的漏洞。请哪位老师给予批评指正。

先给大家介绍一个名词：

名词1.素数对。

对于任意一个大于6的偶数n，以n/2为分界把n分成两个部分，我们把n向下至n/2的这一部分叫做“下半区”，把n/2向下至3这一部分叫做“上半区”，在下半区和上半区的素数中，相加之和等于n的那两个素数，我们称这两个素数（有时是一个，当中位数是素数时）为“素数对”。如14=11+3=7+7，11和3是一个“素数对”，7和7也是一个“素数对”。

哥德巴赫猜想等式的本质是：任一偶数N包含有素数对。

这里，为了保持文章的统一性、完整性，有一个强制性的规定，即为：无论中位数（n/2）是否为素数，都将这个数划归为下半区。如：26/2=13,13划归为下半区；18/2=9,9也划归为下半区。再给大家介绍一个公理：

公理1：素数在自然数中的出现是不规则的。并且，任意一个偶数N（N>18），它的上、下半区所包含的素数出现的规律是各不相同的。既没有相同的规律，也没有相反的规律。

下面，即是对哥德巴赫猜想的证明：

1. 从最简单的偶数6开始：

6=3+3.即6=下半区的素数+下半区的素数。因为在偶数6中，3是中位数，由于6是简单的数字，讨论只能如此。下一个偶数是8，由于7是比8少1的素数，这种情况下的素数7也无法组成素数对，应该除去。这样，8的下半区和上半区都只有一个素数，所以也只能组成一个哥猜等式，8=5+3。

2. 当N=10时，哥猜等式情况：10=5+5=7+3。10中含有的素数有3,5,7，中位数为5，而整个下半区素数和上半区素数相加以及下半区素数之间相加在一起，可以组成5+5=10， 7+3=10,7+5=12，7+7=14共4个哥猜等式。也就是说，10的上、下半区的素数除了可以解决自身的哥猜等式之外，还可以解决比自身要大的偶数12和14，这就为下两个素数12和14，解决了哥猜等式问题。

3. 再看下一个数字12，12=7+5。12的哥猜等式虽然只有一个，但12下半区的素数有7,11；这就为下一个偶数14增添了哥猜等式成立的机会。这样，12上、下半区的素数可以组成除和等于12的哥猜等式之外，还可以组成更多大于12的哥猜等式：7+5=12,7+7=14，11+3=14，11+5=16，11+7=18，11+11=22。

4. 再看14,14=7+7=11+3。这时，14自身我们已经无须考虑，因为在讨论10和12时就已经知道，并且已经解决了14至少有两个哥猜等式的问题。下面，我们所要考虑的是，14所包含的素数能否解决16的哥猜等式问题。14的下半区素数有7、11、13,很显然，除了11+5=16外,又增加了13+3=16。如果我们此时考察16，一定会发现：16与14相比，下半区并没有增加素数，甚至有一个素数7“跑”到上半区去了，但16的哥猜等式仍然成立。那么，16所包含的素数能否完成解决下一个偶数18的哥猜等式问题呢？当然可以：18=11+7=13+5。16下半区的两个素数全部配对成功。

5. 当N=18时，此时的18所包含的素数又增加了素数17，而17首先能够解决的就是20的问题，20=17+3；20又增加了素数19,19+3=22,20又解决了22的哥猜等式问题，这样，我们可以很轻易地验证到100，甚至1000、10000，以及更大的偶数，如此等等。看上去很美，但不能令人信服。人们总是担心到了某一个大偶数之时，无法解决下一个偶数的哥猜等式问题了。但是，我们完全没有必要这样的担心。请看下面的证明：

设任一偶数N（N>18），其上、下半区的素数分别为：

下半区： p1、p2、p3、p4、p5、p6、...、pi、...、pn;

上半区： 3、5、 7、11、13、17、......、ph。

从偶数18开始，由小到大逐步递推得：此时，偶数N自身的哥猜等式成立，且有可能成立多次。对于下一个偶数N+2的证明，用反证法：

假设N+2的哥猜等式不成立。必然有：我们先从下半区的素数pn开始考虑：此时的pn不可能比N小1，否则，pn+3=N+2， N+2的哥猜等式成立。同样道理：Pn不可能是这样的素数：pn+5=N+2，pn+7=N+2，pn+11=N+2，pn+13=N+2，...，pn+ph=N+2，也就是说，pn是这样一个素数，它不可能和上半区任意一个素数相加之和=N+2，如果是两素数相加，则N+2的哥猜等式就成立了。继续向前：pi也是这样一个素数：pi也是不能+3、+5、+7、+11、+13、+17、...、+ph=N+2的素数。继续向前：可以推断的是：p6、p5、p4、p3、p2、p1所有的下半区的素数都是pi这一类的素数.因为下半区的素数中，只要有一个pi+ph=N+2成立，则N+2的哥猜等式就成立了。下面继续：将以上的内容归纳，可以得到这样一组的不等式：

Pn+(3、5、7、11、13、17、......、ph) 不等于N+2

......

Pi+(3、5、7、11、13、17、......、ph) 不等于N+2

......

P3+(3、5、7、11、13、17、......、ph) 不等于N+2

P2+(3、5、7、11、13、17、......、ph) 不等于N+2

P1+(3、5、7、11、13、17、......、ph) 不等于N+2。

然而，当N确定之后，上、下半区的素数也随之确定，我们以pi来代替下半区的任一素数，以上几个不等式就可以简化为一个：

Pi+(3、5、7、11、13、17、......、ph) 不等于N+2

这里，我们先举例，然后再总结。如：偶数100，100的上半区的素数有：

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 ；下半区的素数有：

53 59 61 67 71 73 79 83 89 97。

上、下半区的素数都确定之后，我们就可以考虑下一个偶数102，而102=59+43,61+41,71+31,73+29,79+23,83+19,89+13,97+5,这里一共用上了59 61 71 73 79 83 89 97共8个100下半区的素数。我们能回避这8个素数吗？我们能改变这一事实吗？显然，这是不可能的。当上半区的素数确定之后，用上半区的素数加下半区的奇数，使之和等于N+2（当然也可以等于N，只不过N已经由类推得到哥猜等式是成立的），必然会遇到下半区的素数。那种以为在下半区的奇数中，有可能会出现全是奇合数的想法，只能是自欺欺人。

下一个偶数是102，有：102上半区的素数个数与100相同，即：3 5 7 11 13 17 19 23 29 3137 41 43 47；现在我们对102上半区每一个素数进行相加，使之和为104，这一次，我们不刻意去寻找素数对，只是用下半区的奇数加上上半区的素数，使之得数之和为104，然后再来判断。有：104=57+47,61+43,63+41，67+37,73+31,75+29,81+23,85+19,87+17,91+13,93+11，97+7,99+5，101+3,如果我们随意判断：在这14道算式中，下半区的奇数中没有一个是素数，这只能是在睁着眼说瞎话。如果是这样的话，则下半区的素数变得非常有规律的了，我们就可以得到这样一种求奇合数的方法：当N=104时，下半区的素数可以避开所有的上半区素数，使之所有的下半区的奇数加上上半区的素数之和等于104之时，下半区的奇数全部都是奇合数，其中没有一个是素数。然而，这只能是一种幻想而已。进一步，当N大于104时，这种天方夜谭式的幻想，只能是让我们是水中捞月，永远没有结果。而事实是：在104的等式中，下半区的素数有：61、67、73、91、97共5个。显然，当N大于104时，这种幻想还是越早丢掉越好，幻想着当N是某一大偶数时，会出现下半区全是奇合数的情况是不存在的。下半区素数出现的规律和上半区素数出现的规律永远是各不相同的，永远是不会同步的，也永远是不会反向的。因此，任意一个偶数N（N>18），上、下半区素数出现相同（或相反）规律的现象是永远不存在的。这样，我们得到如下结论：

结论：对于任一偶数N（N>18），当我们用下半区的奇数加上上半区的素数，使之和等于N+2时，在得到的所有等式中，必然会有下半区的素数，即N+2的等式中必有“素数+素数”这种情况的存在，即哥德巴赫猜想等式必然永远成立。上面最初的假设错误。

我们将这种简易证明哥德巴赫猜想的方法称之为：偶数递推法。

偶数递推法的表现形式为：从最小的哥猜偶数6开始，将6加2等于8，用6所包含的素数3和5解决8的哥猜等式，使8的哥猜等式得以成立。接着再次用8包含的素数解决8+2=10的哥猜等式，如此连续下去，从最小的哥猜偶数6开始，一个不落地向后递推，直至无穷，用N中所包含的素数解决N+2的哥猜等式。这种递推法的最终结果是：使自然数中所有偶数的哥猜等式都得到解决。

偶数递推法能够成立的理论基础只有一个。即：任一偶数N（N>18），其上、下半区素数的出现都是有着各自不同规律的。正是这各自不同的规律，使之在用下半区的奇数加上上半区的素数，所得之和为N+2时，所有的等式中必然包括有“素数+素数”这样的等式存在，从而使N+2的哥猜等式成立。那种幻想着到了某个大数时，下半区的素数为了“躲避”与上半区的素数相碰撞，一下子就全部隐身，全部变成了奇合数的想法是不切实际的，是不可能的。

至此，哥德巴赫猜想问题得证。

最后，我们再举一个稍大的数字对这一方法进行验证：设N=9066。

这9066的上、下半区素数分别为：

上半区：3 5 7 11............ 4513 4517 4519 4523，共614个；

下半区：4547 4549 4561 4567.......... 90419043 9049 9059，共511个。

现在，我们用偶数递推法来解决9068的哥猜等式：用上半区的614个素数与下半区的奇数相加，使之和为9068，这614个等式为：9068=4545+4523,

4549+4519,4551+4517,4555+4513，............，9057+11,9061+7，9063+5,9065+3。

根据公理1以及以上的证明，我们可以直接得出判断：在这614个等式中必有“9068=素数+素数”存在，9068的哥猜等式必然成立。事实正如我们的判断，9068的哥猜等式共有92次，它们是：9068=

4549+4519,4561+4507,4621+4447,4729+4339,4909+4159,4957+4111,4969+4099,

5011+4057,5101+3967,5179+3889,5431+3637,5437+3631,5521+3547,5527+3541,

5557+3511,5569+3499,5737+3331,5749+3319,5839+3229,5851+3217,5881+3187,

6007+3061,6067+3001,6151+2917,6211+2857,6217+2851,6271+2797,6277+2791,