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全主元Gauss-Jordan消元法0 G3 F4 h* @' l3 H1 d1 K
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4 o, v9 [% _1 K! X! k
1 V$ |' ` Q4 J' X5 P; y _. r( I' j ~- z! C
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0 ?9 I7 ^4 F9 n' r a" ~
( T5 x; j0 o0 Q6 s% B7 }5 k; t
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8 D4 f8 A7 G2 s1 L1 ] Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。
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; Q, w X& Z6 e6 _2 t
. l2 H; X+ H, L3 t
& Y) S& I C) B
& s2 _$ ~3 w7 [0 }: u) w/ P0 W* v
. a' B( x1 n) x% ^ Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。2 E) B2 A' F4 d8 o, \$ [: u
) v, a4 F. ^/ P2 T
% y9 ]4 ~4 B3 D9 q! R% Z$ H5 z
: i, P! E' Y4 N: Z* q
; ~; W' ]8 X( p1 Y, J9 |) s' ]6 j" b% R. M1 Y- l
下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。
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5 T0 W& i3 I3 F8 L2 o/ l$ h3 g3 ^) R7 p3 H
9 o8 _6 i! p) _1 o: J2 J; n5 F6 T
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0 y- |+ |+ K$ l8 P1 |* O9 _) G
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+ w) l' q$ R$ G void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b)
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& S+ Q1 \3 U2 C. G( ^& n- L6 q
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" H8 y- R3 E, K; l/ K) {: w6 z
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: U" Z: q7 S J2 x
( `4 Q' S" H. W5 x \5 e vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n);$ @: c% m7 c- _8 d
3 o2 @, \' m5 A. W0 s8 }
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# f- e8 H% J! ~2 K
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7 z; R. \6 ~8 N" g6 i3 H0 x% {) O, J5 T I & j+ l5 X* ^& q
for (int j=0; j<n; ++j)& |% R% k M w+ j
6 Q. X8 Y) o0 {1 V5 T
1 v A* L. L( X+ c( E
6 }7 P! `; S8 N, @; a' y' `/ ~ 5 l2 M% `; V5 ^5 f- N+ [
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1 E3 Q* D0 n# k
; z8 O( V, B( h3 z6 [( R4 F- B
3 R; h8 P, l4 S
) W0 E, S3 @% T: Y- m
9 D2 d' k$ C, D* b( A2 H2 b- F; ]/ o( v7 Z; F5 w: C) a0 l
8 y8 l8 V% G. ]
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9 T. E3 |2 ^1 q" d //寻找绝对值最大的元素作为主元% S' Y- }5 {" c8 i0 i
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$ _: r3 T+ l, p ]7 ~. I. W7 a6 A
3 L) C3 N" y, H7 l7 o n9 o Z " N, s" [; q T" {/ P# d. ?
for (int i=0; i<n; ++i) {
) z6 l/ |, {; X0 l4 r2 v* @% [6 I$ V7 k. F5 `9 H
) F1 F6 V* E8 r! K" Y' z9 ]
) N; A" P8 e$ W1 f2 q; [. ~
' Z2 w' E! b) ^) @6 p! b: f double big = 0.0;. `- o+ i/ j$ o, p$ n8 I$ b2 Z
( c/ n+ A, X" p+ R. i/ q- h
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3 _) Z0 Y7 T% u+ d W# N
4 I# y! l( S' T# [ v% y0 c% d( k ' \& N% A# ~9 N8 Q9 |- w$ _
for (int j=0; j<n; ++j)
. U2 F; s2 v3 D. l) ^: i9 i
; w$ R# I% [5 D% K j
3 u( Q) z0 c0 u, s1 P x
8 N# F j2 q8 E$ D U0 a. M( }0 S0 I6 A- a5 w
if (piv.at(j) != 1)
/ X9 c( e/ T/ ^% `+ c) E a0 X/ Z m! e6 F2 J
7 \/ J" l& o. V4 E8 V8 ^ ( j. D6 u( z/ p/ {
! T. Z9 n7 g5 ?; A for (int k=0; k<n; ++k) {! c9 C/ X. e, K! t
0 M8 Q5 L+ V# S0 p1 B
4 U& [ v( i8 i/ P( j+ o3 u
" N( t4 E$ k0 [+ ~* {- ^8 B
6 l1 T' j4 j/ y% U% |( J) g if (piv.at(k) == 0) {7 ?2 q6 ?# ^! W3 u) D9 R
0 g# L! A: l8 n/ c5 a& i4 W+ }
* \; s$ v3 ~( @# ^& I4 q ! }6 @+ P! p6 u; B" J/ C
, D( @: z6 @( k/ }/ h7 l% ?! y if (abs(A(j, k)) >= big) {7 M+ I2 n+ n, X' x8 i1 F z
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$ E6 w6 M) w+ B4 B . a1 P5 W! c% `3 x
$ K8 q! b7 Q9 f; f' B/ h# v6 ~ big = abs(A(j, k));+ d* s- h1 O$ }+ G6 d( @
: r* h* n9 _# K$ q- W7 I9 F9 Y
, K8 u+ }$ a# r9 ?5 ~ `, J
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7 K0 h# l: N" `. {5 M2 }
8 y# O4 `' D' |' R& f icol = k;+ n" u1 t* [8 Q9 E
( E$ K3 z2 N; X, H) M; Z
+ j2 z: X0 a( }5 d
( ]9 A6 y* K7 U
( V! S* @* r# h# r0 J! p, ]6 h
if (irow == icol) break;
3 N! ^8 ^! i. O" m0 \ X& ^; ^9 }$ o" E) a9 [& ~) {0 G! h* u
: Z, S3 @% Z* d9 V
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% F& H# q9 c: N5 o$ |' ^$ `. P0 L' I7 g) {5 c/ {8 ~+ u- m! Z# f, R3 Q# i
3 K. g4 L5 p6 S2 q' {# ]' M
5 r/ ]- S4 w; |) L }. y" m6 N8 ]0 E9 @
5 p( T6 T. O* D% g
2 t( H# P7 C, ~4 o. Z9 t
3 L+ H6 b$ l9 U4 t. ^# V* I' ~3 J
. Q) y2 j1 p9 V: M& t R' ~ }% n' L: @/ _% F% i9 E( u: l3 i+ e
+ }3 H2 y4 R4 @7 }
t X3 b0 O+ R1 F 5 a7 Y' Y, g6 d# w, y4 K
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: x% B- V# P: `! W" M- H. c ~
8 t. Z+ j' ~: p- Z1 W& Q5 J / w& b0 H0 L) k) @1 i! V. x
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/ |$ Q8 l. Y4 c; f& {
5 x/ T* L0 y: C2 z0 ]: r % u' ^" B( J$ }4 B9 ?1 H
2 O0 `. M. _ n% T
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9 m' ?* q* ? g/ L$ ]# S4 M
4 {- N! m, c% e4 [ 2 b; t8 \7 \8 M K- b! R7 W% x9 C
//进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换，5 D+ D- A* {! D% z
3 s+ b# D. j/ B
4 k5 Q/ q# j) W+ l, k
# \/ }- b5 \: [, `2 s
+ a8 ]( v0 {' k1 A( W8 [
//使用向量indexrow和indexcol记录主元位置，
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[6 r* [% S* s. C
+ `2 S3 c# W4 p/ F) A) M7 m
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% |4 W! {3 C) V
4 Q: Z% N+ f; s8 i2 M; j- }- W$ {
2 W+ ?! \0 Z9 |1 G# K8 C$ K/ h * n y: L9 o/ L/ f( h( ]$ j* ]
if (irow != icol) {9 ]: n1 ~: b3 O: S. C- b+ I0 C
% N0 K; T3 @2 D! o
, K/ O7 H; D$ m$ g; d: s$ \# ^ 3 N; p3 ~# Q6 H! R( J" I( B: M
( B }: t2 R$ t4 N) X+ ^. M for (int l=0; l<n; ++l)( V" ~2 k( M" H/ l, K, h' z
( `2 W; {1 A. c- b) T. a9 O- }9 g$ e1 w1 u2 x+ z
2 `3 l V( n1 W D0 r- `
1 w6 Y0 P$ Q, D5 W; c# S" L swap(A(irow, l), A(icol, l));, e4 ] n k( q$ r! G' \
3 \8 F2 g+ s9 Z& v
' }7 Q" R! |8 Y * E G- p6 G# M( G1 r; }7 t
" \5 e% q/ C! l. j' V
4 C- C( Y5 N) }3 K) [2 J
+ M" D; w0 [ ~/ ]8 L' m& u6 y
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; w0 y0 q! }4 Q: \, i6 w! Y
2 Z0 d9 x+ [3 M1 Z* x% ?; l
4 c6 X$ t% n: y& h7 q5 M4 h& L
3 n" G0 q0 z# E: n9 r; k4 W & D4 V, |( F6 [6 e9 a4 I
swap(b(irow, l), b(icol, l));9 }2 z. z$ c& U! ~+ g
7 j, K- |& F! w6 O" U5 G
" H( b& Q0 T; H8 X
8 ~1 ^3 k% N" U& |
& H9 A2 ?- m* e }5 ~9 S) O& E9 Y. m1 }
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+ u5 C& @6 n# x: o0 B6 ?; J% V( s
/ Y& y( d! t/ s6 m
+ _' E* D- B" x: P# O + g1 F, U* y* J
3 t% Q8 z, z8 H: J6 c/ K , T6 @8 [/ \4 T3 f
indexrow.at(i) = irow;; R/ j3 B2 J, M5 q, G
2 t) [7 p7 L- j6 H# i5 j! u1 [% x6 ^4 G6 X) s7 z& k
2 P- y% V3 I* V S
. z& r+ y9 a/ G8 v! n# ~ indexcol.at(i) = icol;
& ^& R+ J9 u: R" c+ ?& I
# I+ t- x8 t$ Q& R0 L6 l
% `5 N( X; L4 `9 _ ~ / p( L5 L; [4 `. s6 F9 M* e
0 \3 L5 q4 K: U# |: |
e# D1 @& _+ {4 I+ t- H
7 z5 c8 T2 i- f" ~ M1 @( H8 j0 v! m- Y/ p% c
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$ K( T( X: N$ v& x
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; \, v; V; `3 b! K/ {- ~: F
double pivinv = 1.0 / A(icol, icol);# A" t5 s/ @% k) L0 ~5 p9 Z- Q
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" S6 r- U; v' A$ y8 ^. N6 F 0 b$ N5 e! C/ t; Z
5 L3 I+ J' j, I) `
/ O& i) B% D- h7 |- h) N
, b; [+ \( ]/ T k. o J8 D) y: i for (int l=0; l<n; ++l)
9 @3 c2 v- N4 w4 [! V1 Y) c( H4 u8 ] \6 }
' ?4 p3 a2 j4 l/ B6 n4 ?
$ }+ h! n( L2 c2 [% x' d" N0 n' F
. A7 }) C" i A A(icol, l) *= pivinv;
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. [ F$ N4 Q4 V5 L
1 l% P4 I3 `# w2 ?2 K
5 g/ Y4 m6 y- x h' X" ]' U
$ J& O5 L: N* w$ Y, a for (int l=0; l<m; ++l)6 t. ]% B" m$ f) m; l, U
2 B' h A8 L- H& o7 S9 @' ~. f! f/ z
+ k8 E7 {. S- }" P- Q$ z3 V
& q+ L7 I# e* C. M; Q. F1 l
b(icol, l) *= pivinv;
: N/ r7 g0 F* N' }" E- @+ J* D3 P8 p
1 D! |1 M2 |2 C& F+ k. a8 D$ P( Z$ O. h
* W* E. w9 ^: I7 C & D: K Z! `$ L
# C3 g5 k- W& i/ B$ W 7 {3 B4 s! C5 a* W
! T" Q) h6 u: A9 ] //进行行约化! g; D7 r3 w7 s9 c/ d
5 X1 S& c: |% l- F2 f, E( V J% O" E" l# _4 R
' {# v0 x# @' d* O( X
" d. D, A" E( N: n- d N1 e, @6 w for (int ll=0; ll<n; ++ll)& h# q3 w& A! w3 p2 H6 ~
6 s9 v; l4 S, ]. J5 {( E
3 v0 o! T" B2 L' |9 j' k# Z
5 p" M& t" L& A! ~) Z6 Q! p. c
. ?' G# d, T5 A( D/ ]7 X if (ll != icol) {
) r+ e6 w" a& u' `: [$ ]; D4 B9 Q! Z2 o! k. ~% B7 J' m
; |4 b. e, X% a' C
" Y3 I" D, n( `8 g$ M' h 6 T% ^% ? D% g9 z" n) j1 q; t
double dum = A(ll, icol);6 s( {. l# P! |9 X- p6 M
; g+ q# W/ e1 o! z6 T; I/ L0 ?; v, R& u" M8 E: f
, y5 L1 k. T) N) A o; m
1 b% n/ _+ ~1 U% ~. S2 |% J( J
0 x1 J1 c( u+ }" E6 v , L( \+ _. Y" O1 ^9 b4 V" t7 a d
% ?. i. E) `5 y" \) | for (int l=0; l<n; ++l)6 a& t$ f2 {8 `# U0 D: X8 i( x
' }2 C4 o8 x. r+ W0 Y# L& n. e, j
5 b! q' I3 w6 C0 Y
% I; X7 C# H G2 E9 l e& X , l9 R/ w$ j( _+ E
A(ll, l) -= A(icol, l)*dum;
5 Q/ h5 P1 |6 b! |5 U+ m \( E0 T$ k2 s! G4 X
x' q! A5 K2 }5 T- R! z' b
0 W& [" ^( q$ l# x8 O * ^$ o, n9 L! m8 X
for (int l=0; l<m; ++l)8 ?& U* @: [7 l) M
, [6 z t" g) N. ?4 x) y9 t4 w6 ?
8 a$ I5 z' o( y$ ?
( V+ Q2 V2 n: o) @% a: s# J b(ll, l) -= b(icol, l)*dum;
1 \/ A$ w; ~( M+ h2 x2 k5 @2 ~' I
% `" |) r7 b7 H) M4 p' S% t* P6 ?, o6 _5 e
& V# F' `! v) y1 K( K/ g0 W' ^/ @; z
^8 d+ P0 t6 j* |6 T9 m) v2 w/ t }( D7 {* C' b5 S
0 M# r( R: F! v
0 O; ]/ ^7 e* k4 ^6 W7 W # m4 G+ |2 j5 }) b/ S( b& l4 Q
) v/ o9 p3 o3 x% j$ c' E/ S- ?
}: O/ y" p3 B$ |
X0 J; `' D( G/ t" [
) y0 R* E4 \- O+ {% z0 c1 L0 A
6 i/ F; s$ @ r
, [9 I# t0 d/ q3 n$ w$ Y: ]+ q' D catch (...) {1 l+ U! Z0 [4 U. q4 j
) C6 |2 Q" i& C2 N
* d+ R2 U* W" s # I5 _: a8 H, A4 L l
, C4 Z2 u0 f- T8 J# @, U( T
cerr << "Singular Matrix";* {1 F! o- L3 n9 i4 Q0 r
+ d; u# ?' P* ?9 ]
1 m/ ?+ E: L5 D5 d
- F. Z+ P+ h; Z/ y 4 U ?9 E2 {# U- ?; m7 a
}
# `& _5 U P) \5 f0 ^" ~: G$ k- t% w* D
! Y- ^9 [0 i$ \' F* K& T* K- v
' K! ]# g" B9 o' b! V0 A# Z
- f# ~9 s) ^$ U% J3 j }/ G, C' x, m) p6 h) b; B
. X6 [4 ]0 C- V
% i' V: w0 i3 ?0 p5 g& q , e5 M9 L- W8 R: @! P
6 V x8 S6 s( w! ^9 M1 O
}
, F& q. _0 h2 A, X9 J# H: j* A9 G/ y2 y# u
: Q# H9 W! H# e . y4 Z1 N1 f6 h$ v
: r5 {! C! \4 ?8 @$ N7 ?# p9 k i0 `* w( W7 c6 H: j
2 ~1 R7 ~2 O& E0 X6 L
) ~+ b; \6 { Z
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4 ~* t$ M+ S/ _1 G7 {. o5 W" y5 Y4 n' n2 x" D0 v) u; ]
7 v9 g- X8 @8 U1 S. y/ ]8 A
- B; {" W- e0 b0 Q3 F
0 r/ z$ z0 x+ R# o0 N' C2 ] {
& ~5 c& W1 Z, H% T7 n
+ L m5 E; F: H$ K" R# i9 p' c8 ?# z0 t
g, h) E3 B# K' d! N6 o
V( z( u; q$ k( z* _
//测试矩阵
9 o5 [5 V1 D4 g5 n! S' a
6 `* c3 O( B9 m) C/ d3 [/ q" M! Q7 c! e) \. D8 N e
" J1 m0 R: C& L
7 i6 D. q* U& t' S2 G* N+ o
Array<double, 2> A(3,3), b(3,1);4 J. m7 d! J7 c
* {# l* Z* \' _5 l4 a' _/ n
8 T1 m+ P& o% Y. w3 D ~ 8 A" q% v8 w0 w8 x
3 K/ ^+ u& x& q2 q G3 |0 x: u7 g A = 10,-19,-2,
/ w; L1 C8 O/ y9 v3 s4 Y2 P0 L( J5 q7 k) g; ?
1 k2 W( g. K6 G# D. d& Q7 v% I5 `
3 Y; J4 Z6 z, A* v) e* h* P0 @
, L( B0 \$ y* \* p3 W. ^* _ -20, 40, 1,3 e" d" ]& A7 x c5 ^
* ]- c* |. `5 F v/ o4 j* [# p
/ f& Z7 }" [. n+ ^2 e* q A
+ k! q D3 r9 q
$ n$ n6 z0 ~' k. i# W 1, 4, 5;8 D1 r5 u- ~; v7 `1 i
" W; {/ _+ |! c3 x" P! G
- L. X! |4 W! E' K7 x$ y4 n . e5 y" F A9 }0 c% a% u" O4 j& |
( [! y. ^9 j Z5 B8 T
5 S' K! X! C, y4 r* v1 A
5 j8 n8 C, w7 C
+ o/ ^$ o8 C+ m( u
b = 3,
( ~- t N5 M' p+ m! e. R! w: B& O4 v# r1 R% B
2 a! @$ g+ V: q- t9 i
) N0 U' s$ i9 k 6 ~/ M3 ?! V* Q5 u0 {) y
4,3 v; L. \" _; s T8 ^5 `
% q9 j4 c) p, F6 U' O A
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/ S# U$ p5 S" N& D8 f - ?8 H J0 Y( J0 W: e' p
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6 Y; X* j7 P- @# ~. q1 {5 @
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Solution = 3 x 1, u1 J) R2 L. \& n- M* g* [
2 V! |# j, `$ ]( y' d9 H+ R: @% m/ p# f/ [
p& X. F9 t9 l; }5 O ) \% X5 K$ u; _; m2 |
[ 4.416377 u# [6 G( u/ S$ `( I# h5 u1 d7 D
# ]/ {2 B6 y6 e
: B7 `$ l. Q: X: p
7 C6 N( c' j3 |. G & t. @- }9 y1 s6 @+ p( m. O
2.35231
a- }; M4 }, ]
: F, d9 S% w' n/ t4 _
5 X; P8 y6 Y- r" B+ ?
" w2 {9 D9 E3 P% ?& f/ Z, `0 H0 } ( L( `( a, y' n5 @# r
-1.76512 ]; ?- `( B, G6 A+ b1 I& A. B; S! q
+ p* B# |: u3 V& h' a$ T- m' G f4 @$ H+ M1 `, i" k) b
1 `; r# z8 R" T: d! c
' x9 l0 E! j, `" ^# r
, }5 D# L) ~, I- Q% a0 j# ^- ^
8 ~8 i# \$ ?- ]; o0 D6 i & p# |! t* [$ `: s& a
9 P# K L& H) R0 k 9 ^6 r8 Z1 s; [9 E4 k9 d
& W# W) d6 c- H7 [- @4 v
从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。
- h" R6 y$ O" [% q1 a/ `2 J& j4 ^( Q4 V 6 k$ K: S. }( O( b- s, C
6 I b z) R3 G. i1 g3 u
% i4 l) d& N/ C4 r' R! d$ _8 M
( M$ b" J" D1 q! s) K o; t h 5 v9 s W3 d. x& A) B- f' I
5 r" t$ ?* C( [, V
' ]7 _2 o1 u5 T$ W0 ^9 G% x 9 `! Z6 D2 y( m( r
注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素
+ J) E1 y4 O) X7 j 2 Q" o' `* P7 ~5 Y& \, J4 ~4 X
2 ?( `6 ~; {/ v8 J z, P* i% x
$ f2 M0 a+ n u& [3 j[此贴子已经被作者于2004-6-3 22:15:49编辑过] | 
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