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全主元Gauss-Jordan消元法9 c8 p5 g5 a% x3 v4 R7 F7 V8 Z, j
- A3 N6 V" v/ }: y4 u# b
. d- o: P& B$ [7 L! f% I; |
& C4 {2 B0 Q2 Q
- ]. e" j5 Z' y0 U9 A4 P2 y6 l( G
4 l/ u% ?# t8 o% c, L5 l9 D" _
2 C+ A: Y6 A/ [" O7 z$ q % y9 i6 L8 k/ Z* \
8 ?/ q$ Y; x; b' `) {
# r+ F( A2 T; D( r# r ( y3 k" t# Q& O+ d, q, A
Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。2 Y( z1 `, q; C9 @$ }( s1 t
: r+ Q0 ^6 O5 L f6 M& I& u
3 j, p! `4 g _
+ F7 k0 ?* H J+ z8 ^0 K% j
2 K6 R0 b. P5 V. b
2 @/ c: j- j5 A8 Y3 _ Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。
* c& I1 @& H4 W5 [3 ^- M
8 D0 D+ O7 }* [+ x. b3 R& s* ~$ b" E, w
! P8 ~' d2 }1 y" m. o, ]5 n" Z
- Q2 a* J, c: x9 g6 r) n) Q9 A2 |0 G1 V
下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。
5 \/ @( L5 {4 S( d4 s" _( M 1 \& F* k: `# x1 b! Q, \# ?3 x1 \$ N, {0 |
$ Q" \: P( l+ `; G H% u
2 Q: N$ Q: M a7 J& _1 O2 t) f
. h) H. `5 r, `4 {/ q 1 w( Z# A) b0 Q
Code：
: o$ T* F6 O' l7 O) k2 O! F! p2 A/ O$ i' z
* _) Y- r1 A; g8 } I
6 z: h! L( S% W h, P+ U9 d4 ?- ]
6 n6 }% l* p: I5 o
) X3 S M& y! a) A* z* \; P
6 j: }7 p! o) R4 X: R+ p' z/ e % R, A3 M8 f$ ?& M1 `& I/ C
#include <blitz/array.h>( s* h+ y# | T" ~3 g/ P
8 h7 q% H* g# a) E0 M
# ]: h8 X- `9 o7 l
2 H$ p9 X6 }/ v. V8 Y$ c: v8 h
& j# {+ E! T$ {( D- p2 U6 b/ N #include <cstdlib>% a" K7 ^ |) G4 B
0 l( a* {& v) K7 l% T
2 R) B% C' H, q' V6 M l8 _3 M x; t) h7 Q5 j8 @: r5 V
1 Z6 b5 }; V$ j0 V& ?
#include <algorithm>
& _9 A: {# n" @8 j- z2 v' A3 l% e8 p% [* }: g
6 C- h/ k* Y% b0 P' x. Q 1 m3 G/ Y1 \( F3 n- w g R$ @" V
% a- g' R8 y, U #include <vector>
' n3 b: ~1 Z9 r( W1 R1 B- t" A
) ^2 f% D' @2 M6 U- ^
" L9 ~9 d3 A q6 C; Q+ B. F. L/ K / V4 W( [8 D$ R# U- Y
using namespace blitz;) a; v8 K$ s: ^, i
" {; S8 D, w6 ~" X4 u8 t/ ?1 R
V9 b% {6 }& w; s3 w : ?7 h4 z6 {, Q, \0 y
0 [) h. d- W, j1 e
. o' A+ }! U `3 M$ |2 [
4 f! Y/ }2 j4 l( J
; T% V' {9 ^5 x0 J" m void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b)5 J9 s* K: |, _3 l+ C! L H
9 K) [ g6 l6 a9 L' s; {& G& B) f, Z# e/ l
1 _* i/ @: g3 n* t9 Y& J! c
2 V- B/ k2 x( c% c
{# Z e1 [, |: e. T8 x
+ L0 y2 r1 S4 s2 b' _, x& W2 |. z6 h0 ]+ ]$ c. K
# B/ H1 L3 c, U, u& u% o0 E & G. k9 |+ `1 E i: u7 ~& c
int n = A.rows(), m = b.cols();) _% {8 N' d5 R/ l1 S+ C
! y- Z) ~1 F6 S b
5 b* x, s* l9 Q8 y0 V- G6 U
, R; _7 W, b) F) I4 \0 [ $ `; ~6 N5 j& m+ Y1 C q
int irow, icol;! L7 S2 L& w# _) E
. r! r6 B5 Q. e* R. o9 ^9 ?; @- G- k2 _, t% z) G6 V1 H8 X- R, k2 i
; |: l# B: I$ e% ]) }; v, j
7 _" c k% s% f) N2 {) k- | vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n);
6 [' j; o) j$ U7 T
; h% d# j$ U: L
, T6 z* F* ^4 |+ }0 x% A6 w/ b
g5 v, ^- c! p$ S! k" Q, O 3 ~- P2 _! x' _8 t. Q1 n; s- ^. h; H
2 V4 B9 w6 c4 ?( ~* Y- A2 k7 [, a
0 t: l& V }5 h9 P; t
. P8 Q) T: \+ A for (int j=0; j<n; ++j)
4 g7 C1 b# ^8 Q# ~* ?8 n6 k& z$ |6 s8 C! }: g6 M+ W8 ?
. }0 \! W5 M4 q b. j0 k& k+ C" J/ Z
+ B6 R0 q7 m7 V' ?; d% P
+ U: [ h" y" ? piv.at(j) = 0;: l1 i3 m R4 T9 K c( c
% n! t. v& _( h' [1 [
! I0 f4 v" {" V* c' m8 R! T; W m: d( s. m$ J7 l! x3 n
3 l, N2 T- t. J) d
" y9 ?* a; H! b; L/ P! k
1 n- {+ K5 r" n# B5 Y* u0 p9 @1 R$ V, ^! O' I2 r
" q# U3 v' d; v$ x) a * k0 Y' o6 ?9 H5 Q# f( n& R" ^% J
//寻找绝对值最大的元素作为主元$ p' u5 `2 I& C( L. w: _, N3 h
. c- n {7 J! ]4 g# B: l
: ~( e+ @3 e) G- L6 D! E & i* }1 ^9 v5 p0 X' a8 {2 T) @8 y
' T z" o& z* [
for (int i=0; i<n; ++i) {
1 c* w* a5 C# A2 D5 p6 P# O: b+ w$ r( D3 k
. M+ ]# j0 t5 ~, p. @& Q
& R. J1 K( P3 v2 l
6 m: ] f. z# ~- _7 T double big = 0.0;7 `7 Z1 q/ U& X+ `$ V' |
7 l/ a9 R; [8 P
: z9 B1 {3 |5 ?$ J
" G* Q6 v$ I8 X! P) _/ w% @
3 |8 {& E4 }& q- F: p5 P) N; V
$ f- ]+ m R v( ? * A2 K8 L& y4 Q3 a! x- S. o1 N
9 o5 z8 b) x1 T h0 f/ }5 Y3 I& ^
for (int j=0; j<n; ++j)
% l8 {$ ?( F& k
8 c) u- _4 c# _1 S$ ?! u, c$ l2 ` z4 ~) U; l& T
: S( e# y8 _! _& Y
3 [2 W8 {& b* Q! W8 } if (piv.at(j) != 1)
: ?) }2 D$ a6 H- g$ A) Y
. `8 I9 A9 Q/ W5 A. H9 q% N' R/ L+ ?# U7 o2 P$ d
' Q' o- j1 X# T
* ]/ l6 V, T) F/ e for (int k=0; k<n; ++k) {" ]2 o N+ z% V& O! ]
. B6 R/ P( D0 y$ d
b/ C a2 F+ K: l3 S( G
2 ]1 o8 W, t E& W J. S5 n( _
# U9 _0 l. ^$ N8 Z+ [& e if (piv.at(k) == 0) {
: E; v1 r& w9 M/ O
1 B" @: B u9 y0 N+ a' A# [+ x- A
# Z+ e( q7 U' v2 e & {7 T7 s+ ~, U
7 k1 Z2 Y0 A8 [9 x1 I7 ]. _+ \ if (abs(A(j, k)) >= big) {
! k0 F" b8 A! X" g6 w! S0 m! S; c! N
6 K n2 S1 l! C/ \; g% j3 _3 z( a
- t' R2 T. K6 {% J6 m
9 F, j& g7 a5 w* ~) r- e0 _! Y" p big = abs(A(j, k));
; z! Y, U% A/ R$ t0 o: J: y" R0 J9 c
& R. x( Q' A% @7 e( e6 f! w & Z# M0 h: {: [; ~
1 e) q- V$ B0 R& |. b
irow = j;( y" T9 m4 L1 ^& k. t& C
+ H' n, s$ i0 X- _5 @- X: B
2 z: L" q: H1 v0 z1 } 6 D6 |( h' [* ?! ?% w7 k- ]
1 d* |" \0 T* o3 W& q- I5 R
icol = k;( k+ D+ l0 D& X: R( b O1 V
) [" i0 P9 i5 p- J1 v
3 l8 b8 S1 `2 X7 r* ~2 D
+ f; C( D9 q A- u! F
# V$ N2 t/ w' T$ q0 ^- B+ V$ l4 L2 w if (irow == icol) break;
3 G. ~( I4 W/ ]; p
: c( X; T9 c" ]: T* k1 p
, U- t9 f1 C" _- e& q0 g% ]
; g' T, \9 }) [ m+ u6 ^( T 7 e& p: |5 o* Z
}7 _8 \! U( J. G# q u6 ^9 y8 k
! L6 p0 W, F4 Y% z
' @( n0 I* [! F' N) S) K! @
$ U! t8 I5 |% x% z+ r! [, c
$ f( k* {7 p/ s; B: R }
' X9 T! v( z8 m# D9 G9 E8 C
" A6 |! _7 s6 b
2 D# ^) U" R" I- h 8 C. N; m/ [( E9 J# W+ Y
0 u5 t5 Y+ }0 l5 _: E! t
}& C; V) x3 D/ m+ Y
F X! L! p) C6 o0 E" G# G/ h5 M* H3 q7 S, K# K
! ]% B' z: d8 @ F% O4 \/ {2 c
& `1 |/ O( ~8 k
& o f5 B0 M" V
: y6 Q2 E; P# @$ N4 |- [+ q Y
M2 `$ X! K) X8 e C' D3 w ++piv.at(icol);1 D8 |# _* O* \1 z+ L" Q; l! Y9 [
7 l' Z( |9 s9 s: x' r' B
7 E. ^, ?5 N- |5 P$ w. {0 T
4 R6 D2 @+ k" z7 v% _1 |8 q
4 A" F2 k# O- R # ^( |4 k$ P+ I2 Q
* S9 t7 l( |2 q9 k8 ^% t9 d6 I1 I! ~
2 d) {! B& h9 t' N
6 M6 w& q7 ]; n: j& o# b //进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换，
5 t" F L/ Z- ^1 B5 K+ z6 x) o* C. V9 M, d4 R: f- \
. x6 [3 B2 C s4 A2 ]
6 e% ^$ Q0 R" X, D8 N9 j0 ]
. V+ G8 z) p1 o# w- E6 X //使用向量indexrow和indexcol记录主元位置， ) i2 _. s. Q. @' Q: U
; @8 m G7 P' |2 o
1 D' M' L/ }: P; L0 Q% J n4 l - [1 b" a* {8 J+ K' k: }
2 z0 M% }+ U+ F0 i2 r7 C
//这样就可以得到最终次序是正确的解向量。8 n( Y S; R8 Y5 d. S/ g) w R' W
& z9 L/ a: U4 x; B y% }5 [! _6 o
! b8 W: }4 ~: b" Q0 o2 i : ~% A8 h, x6 S( X
( m' f3 ]5 h7 {* N3 v9 S if (irow != icol) {
. z u! ~7 q! H6 y# f7 L
7 f% I1 x6 _* h( W c0 M/ G
7 a4 g# Y! o, e% H( P) P3 X
/ C% Y- W2 t/ E0 A ) K- H* ]8 o- \0 K3 c$ g$ a' J
for (int l=0; l<n; ++l)
" d g J& f, ]5 }( q" U% ]. q
# z6 X. K {2 L8 C0 o. y: N, P% [2 C6 M
* V o+ k9 p k- b . v- J" I# L* E% m1 [7 C& e
swap(A(irow, l), A(icol, l));. p9 {) N9 L( K
+ G% e8 G# t, s
$ `4 ~# ]8 ]; n0 v & i* R6 y9 P" a% N
3 @- \2 r& j/ R8 P; M* y
, u. B* \5 K& x 0 @ j/ D& r3 F6 h& h; W& V) c
# S6 K: ]9 v4 s6 z: L- ^ O* R for (int l=0; l<m; ++l)7 r% O/ F U( p1 x
4 H% {' M; v3 Z
* Y; C4 _" c7 u
1 u$ t( ~0 V. h* j# ^5 Z
1 U3 }' i! d7 _; w, c swap(b(irow, l), b(icol, l)); J8 v: ]3 r( l
; L6 i+ `- \3 w; ]& G5 k$ m) k5 O
8 ?- m1 N2 {7 ? K# { . j6 g: ]6 W2 ?! V% l+ x
. s) b# w% s- ? Q( B, Y* U; d
}* B4 c1 t* M9 v+ _5 ~
: f, d& `. F# ?6 R0 [5 m4 r7 { j! Y0 g w& _$ @3 r
$ S8 W8 p2 ^ \$ a E# }+ j" T
' [0 G! x, O0 L+ n
. ?% H! d0 P; K 8 y: Y( N% f! [( }. F9 f5 A# c# |
2 u8 |8 ~( ]3 m- U6 l
indexrow.at(i) = irow;
" ^& V" o& T n6 v# [% x/ @5 M8 Q/ g L
) ^7 A/ y0 k I5 f& V3 a
4 X: ~2 R4 p' e6 P6 |% j7 @- p5 l 8 I- |& R# P6 N, C1 k8 p3 o3 w+ ~
indexcol.at(i) = icol;* I0 f, ]+ P0 F' U3 P
3 p( D/ S8 K+ u) Y: Z
' `3 a- N* K1 S
7 m/ d+ s2 j0 @+ H $ \0 F/ b6 c \1 J
) @) @4 t& p! q+ K9 h/ G- I) {, ?& `: J& x( `
& x% Q, b# W. A3 ], Z9 \ ) q6 V% x+ t! t9 s; z- ?6 H6 w5 E
8 }2 R& R" e; B3 ^& B- n8 p. `: H try {& X" \% B2 f6 m/ R; ?, ^
. M# M7 q d" x9 j# @7 N3 X. m
: X* s X- d: L' y9 q 4 d' B( K) W1 ^* b- D2 W
8 g% r5 F& O* ~
double pivinv = 1.0 / A(icol, icol);
/ e' k$ C# y. k) M5 y1 Y b
; M6 d" O A3 z$ w; n$ ^3 z* f1 q' X; X$ K
# [2 T0 i: A" H% p $ T- T& F1 r( o. R' Q
! }* I5 y6 P2 x+ u/ d
" g3 U6 B8 U" c+ V1 ^
9 g5 k+ l2 G; K5 s& X
for (int l=0; l<n; ++l)0 U2 \5 U3 b7 N8 Q3 y
, @. e0 A0 r2 O# l8 w; W4 n& Y( |' Z- ~, b9 r3 x7 B4 ?% j
' |8 K; N( D9 o' i- a$ g& ]# ?
% } T( \0 ]* E" Z" O5 `
A(icol, l) *= pivinv;) N/ {7 O p7 p, ~& N4 E9 D& N" h- m
i5 }! O+ { S8 l; p) A9 M+ e% _
6 a/ M- M. ~: t }
0 e4 l5 \5 @1 i0 n) B* c
" V8 a; t! e4 o( Y for (int l=0; l<m; ++l)
; o) f9 `' B) E* T
' z8 P0 w- h/ s" r0 i, t2 ^' Z# [( ^$ s% | A, ]1 G
) t% Z- b- [" ~; @, t - L f5 _7 [* ?7 t' u, O2 A8 f
b(icol, l) *= pivinv;
- y' s" X3 d2 V( u4 `$ n p$ J) v! ^9 U8 @9 f( U1 g' M/ o6 H7 Q
: M0 t9 U+ z. @ `! _7 v
4 C5 }7 @- {4 @) v
2 Y/ f! s! B. }' @
& ^' C% W; |" y0 A 5 z- P+ O9 H* [3 n0 H
) s7 O# ~% L6 [: l //进行行约化
# z- ^& \0 E1 ^" l8 e3 p7 D. P/ X6 c8 R. v; M" `/ @
1 |! X/ _: F% k; Z3 W' V9 x
' m8 C. W, h$ m
$ X3 U- p7 p3 }1 F* q7 s" M$ i
for (int ll=0; ll<n; ++ll)' t) u/ S* W3 c$ `) h: M
% J' A5 `4 H* W; t3 T
6 V+ R8 A. e$ o0 L9 F4 P # s0 |6 O- ]* H
j: B; G& H) Y1 ] F4 G* K: @ if (ll != icol) {
; Y$ l; W$ x2 k" p; Z4 ]( ^7 Z$ |5 T
! V( a1 t# v8 @; x( I( X5 M" G# P
- K! s, f1 |# l6 m; @
( N8 Q9 B, E# i3 C5 N double dum = A(ll, icol);1 d/ u' @6 ]- K- b; a _6 V+ J- a
7 G4 U, `+ w" G/ H1 O8 `
; Y' j% J$ A. J1 w' k
; ^8 q4 w5 D8 f, K0 f. t
# D7 C& T0 ]9 Y8 k" e
' I0 v V! p) v0 y. g
/ |' H2 N5 \5 f ! h! S. v9 H- T6 f7 e0 b
for (int l=0; l<n; ++l)
5 y% u( I& [& |* m* h+ [% q
# b' L, \! a4 P; u9 Z) h5 D9 z r, O+ W
* Y$ y. C( `' s/ z 8 q# T g6 ?& L b0 ]
6 v# b3 |" F- ?3 y
A(ll, l) -= A(icol, l)*dum;
; }9 P! y- Y6 m$ d1 Q; l0 O
5 I# M: [; ?/ L& m
7 H: y; e$ b/ a, _
* O6 v: N9 [0 L$ g& x$ K : u5 I: s, F/ ~3 C+ B' a
for (int l=0; l<m; ++l)
/ n% K" p7 [* q0 S) |# e, L6 ]8 L5 O( \
+ ^. g* r) Y3 T5 a R
7 M6 y/ j1 T2 { h. q, C. ]
! N# H: c" k9 h/ y1 F b(ll, l) -= b(icol, l)*dum;
3 }0 ~. p3 n6 b
! d- y1 g! X1 n+ t4 W1 R" ?" n2 J- o+ F3 [' I/ b) I% w2 L4 E
* Z8 A7 Q7 D k) e' t% v * D; y6 U' k/ f# i9 |# K) |' B2 p' M
}
T" a f" Y9 P+ N+ L/ a2 |) B6 Z4 h7 x3 {! a, Z/ H' H
' v. U# `; \1 K( ^4 ~
7 A( g9 Y2 q; S" }2 {8 U$ C$ s5 h( B k) _$ e0 U' P" g
}
5 i3 }% o5 M7 L' E5 L% z5 Q2 {- h9 F3 h6 x
! i# C# p8 n& S
; l& @) _% R! R+ q) J6 F/ F / Q8 b3 C* S" u: u# ?3 F4 z8 R7 |
catch (...) {
7 L% v7 Q' E& A9 R( c/ }# g# \2 c1 H7 O0 a3 u
1 Y( g8 X/ V' c& A: m
, t( {: V0 I: s7 H: \7 W
( p+ A) C1 D( j cerr << "Singular Matrix";6 ^: Q$ J+ p1 i% C6 p+ b7 |
: r# b/ p' J* x
' c6 ~0 k0 f( h. j! \
6 V2 |% E' j7 S$ L! ]" \# \
7 D& U4 U+ q. m: L* ^
}: D t/ x5 l }* _2 K- x
8 ?8 D& k5 u7 C! h+ m8 A( B
p4 ^ G9 [ [1 ^3 w5 A |/ L, F! [- W8 Z; o& W4 t
8 z8 p$ x6 b7 s6 x4 j. l% f. E }; e9 @0 b2 U/ S' A. V y
" q, k9 [8 d: L2 D/ g6 z$ j( f8 C; n. i2 E# I' i
$ m& w7 u% H1 a! X5 O2 `# i
5 H5 V9 h8 K6 }3 \$ i( z' h0 }
}
+ D9 [7 T' J% o1 G/ ~ c/ t) R' Z7 M) b# i+ E9 P% w U: q
& s4 n1 y7 n; u
0 a6 |6 E0 z$ T8 U9 |
& l7 A; c) O4 H3 p 9 ^4 w+ c( \ l9 J+ I$ T1 J
# E5 E& C9 g6 a/ f2 e$ g
: o s+ ^" w. y( S q B int main() c" B" R" D ?% S8 e8 j
+ [0 p$ w$ c. p* d1 Z, @4 ]9 W' e2 s& E8 p
6 b7 p, j$ t2 J l! h
3 T& |8 J% Q% p6 ~+ A5 N
{0 J7 n8 S" i8 U6 F* R# i2 O; ?( A
( C) Y n1 ~: A2 {3 p- u" `% Q I- c
V9 S; o3 j8 F% @
" z$ U- E8 V5 B6 V/ j
! G8 U. K- A3 i9 V/ o% J //测试矩阵
: S# L' ^2 E1 B9 j
# Z, |; k4 M" S) `% T, T
/ Y1 g4 }/ d$ P" }0 @! F' M4 d
! l7 y7 P2 x# r5 a
4 d b3 S3 b1 j, P5 f' t0 W$ p Array<double, 2> A(3,3), b(3,1);
, W- I s& s% e
% d$ {2 K5 L" \* D" y2 W& O
# q# E. P' L* Z9 k( t: N' F8 F0 K( \* t : F) i F* R0 a- _% X7 U# ?/ u: R
* `! f* e/ s% z3 |* ]# Q, c2 @
A = 10,-19,-2,
M" I. o0 `" c3 n% x. _: y) B' N2 `' O
( [9 C! y; r- b5 i) r
8 Y* m J! L2 f7 z& A9 E* Z. }
o/ Y3 v1 Z O) }2 R
-20, 40, 1,
+ Q% P% x" w( h4 q5 T( z r0 F% S: W3 i' F- w! S
( r/ F* x3 o6 L o" {
+ \( T5 X8 a/ s+ t7 S # N4 y5 ~& s6 e4 \
1, 4, 5;
8 i8 `/ o0 s* x% s2 D( {3 k* ?3 ~9 O3 J6 M1 A! j: K, I8 t# ~$ u& N
G M6 |; z% F1 T
9 w/ d( M3 u# e: N
7 ^- |9 K* G8 a2 \' ]; ?' u
% X+ Y4 ~) f+ x& d( d1 F4 E
# d) r+ o: Q; v w 4 u1 w% T2 N$ a B2 D
b = 3,
5 v) n2 _+ N2 F* x/ Q$ S* E, O: p4 X- |. }- N. M% S9 N; y% Q
2 U6 {4 x1 b- }% ?0 w0 R- j& T7 W! O, F
9 [. {7 `5 @# w' {
* n+ f: W* m- w" c 4," c0 q* V5 |: }
/ Y6 L. m# K8 g* Q; m% U" D
5 `* ~9 ^6 [5 }
) D+ g% M+ t" Z! D) O% [
5 h. C$ b! X! d* U) W 5;
8 a( @6 a) v/ S6 G4 C4 `: k0 _" i5 r2 X/ z2 I& ~- Y9 f: Y* k
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( T! j1 S% N6 }+ ]' _ 从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。, g% q+ Z4 Q+ U: G4 A0 W
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: A4 y+ R' K9 f" | x
8 \- c: I+ G" z- J8 n 注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素
4 N% ?. P6 S( q9 s E' W5 @
$ x- @- c3 I( o9 i) \2 j; _$ j$ e6 K: H* n) k
Y c6 I4 p- r! |& W, o# x
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