请教王树禾教授

张彧典

$ s" Y5 e' D9 K5 y# V
8 |" P* B9 X; X  @9 M     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
" ?" J# U. S. B+ v定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
3 u  P2 k( Z  B    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
5 ~$ D, [& G6 G8 O- W& O- |' J                                                                         k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
6 I# I7 G! z7 ~" T. C# J于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
2 \: C. }9 L* }6 C
    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是

                  
    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
+ V$ N7 z1 c1 e      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。
) a0 z1 I9 J, {* c
. t3 G5 J4 j. T2 F      如果确定是k/6,那么（1）式为
     
$ V: r, [! {  R5 S      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
) T( m! G* N9 A    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
" E1 J+ z. i! @  I3 \6 T; A8 L     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
' {; z2 W+ P2 l, H) |' }或者
! P2 H8 C( J1 y: h- S    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
$ g9 J9 f1 C. v因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
: l' a# A8 F4 J$ q9 k$ \    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
0 m5 O8 M- H: e3 P. _5 s        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
( m/ n% p! k  {3 w$ G+ Q; n   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
。
    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
+ d( ]% `  a: M8 [# z- c( U# U    我的认识对不对，请王教授指导.
7 U; L2 g& ~$ C                                                                     2014.04。09


1 Y) n) e. v* J! V2 ]. }

, E" X8 g3 A3 a# \+ A  \7 Q- \

平凡之不凡

等待楼主的跟帖，厉害

张彧典

谢谢你们的关注，希望具体的评论。

张彧典

这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿