请教王树禾教授

张彧典

     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
2 G, u, P+ ^: ~& b. j: g2 u( k    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                                         k
4 P$ f6 ?9 F: A) Z! X    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]

    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是

                  
    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
0 O9 q: J; d8 ]7 c      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。

      如果确定是k/6,那么（1）式为
* P% [# _% I, D+ {     
. g% Z( ^9 ?3 c      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
9 h0 X) X; g9 j5 U4 k9 L5 ?, t    把k=7带入(36-5K)/6时，得
; G0 d" q" j6 ^    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
" `& ]% \" e. K6 L0 k4 Q7 E1 }  Q
4 T3 C% ?: U: E    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
( m$ r! H7 M4 k4 f+ r3 j     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
  d% D4 y$ Z% b9 Y# p或者
2 r4 Y3 R2 I/ u9 z    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
# `9 [6 A! a7 t9 F4 D    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
2 w/ m) e% X, z4 p5 _& E    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
6 H# F' k0 F- a0 J        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
! g. l( n% K. O, }3 c( n于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
) {2 |' U5 V, @6 |。
    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
% L. k% k0 I6 d8 G8 ~8 |                                                                     2014.04。09


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张彧典

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张彧典

这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿