新手进阶建模（6）平衡原理和机理分析应用

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       简单的说，平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理，交通红绿灯的设置与路宽的关系，收费站的卡口数与车流量的关系等...
       建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系，所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。
* V; x! S+ x* h通过几道例题来说明一下：
, m% ~( ]7 r! l4 [+ I- m1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
9 X9 |* v; I# {  e1 r& Z第一：找平衡关系。题目只说了出生与死亡，给了我们一对平衡因素（人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关，出
         于简便，只考虑出生率与死亡率）。
, @; U- |3 X3 \# E% G7 I7 e第二：找平衡变量，与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
第三：约束条件，建立方程         
         1. 人群个体同质。

         2. 群体规模大。

         3.  群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的   影响。

         4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）

         5. 群体增长恒定。

         6. 个体增长独立。
# S5 _  g- X4 M1 s4 {/ }: t

        人口数在区间[t，t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t，t+△t ]内生育数和死亡数,   则有：
3 J5 N) q8 \  P" L2 f# Z

+ v; N" P% X* S

         则出生率：
7 F4 D$ @2 B# n# T5 ~

0 c& c$ }" M( [, i5 U

         死亡率：
! s+ x) ~0 w8 t( }9 D3 S1 f0 T

         自然增长率 :
- d0 e) D/ e: q2 N$ g- L

         又因为初始条件：
' o, B4 }8 L4 E% n& ?% a& ?

) Z6 P& T' N* M* x

         继续推演可得：
$ F/ K3 o) L5 J5 ?! H

9 Z9 n1 v. p5 ]$ ~$ Z0 U

给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus  模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长，即人口数量达到阈值时候会减速增长，模型变为 logistic 模型（s曲线）。
; `2 |6 v9 D& t9 \" H        以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些（只是本人感觉）。
( z9 s+ \. C: s' c        附本次例题来源的word文件供大家阅读，更深入理解平衡原理。

+ m1 _$ _' C; g! X2 s, \% N3 Z' z

8 @  `5 H3 z$ m$ M
2 ]* W- e# e/ ]3 k( m9 [7 ?

3963095

怎么找不到4了？？？