数学建模————统计问题之分类/聚类（二）

杨利霞

数学建模————统计问题之分类/聚类（二）
1 I' Y1 J" [1 {, f9 t3 f  首先要弄明白分类和聚类的区别：
* V- C6 b: E4 Z. o, ?2 W     分类（判别）：数据包含数据特征部分和样本标签部分，分类的目的就是判别新的数据特征到其应有的样本标签（类别）中。

4 t" h7 }. f7 C# U+ U& j      比方说，现在告诉大家一个教室里面其中一半人每个人的性别（男女），现在需要大家将另一半人中每个人的性别判断出来，因此大家首先要做的的找到区分性别的特征，然后应用到另一半人身上，将其归类。

) b; \) |9 s$ w% _     聚类：数据中只有数据特征，需要根据某一标准将其划分到不同的类中。

     同样的，现在一个教室里面所有人都没什么标签，现在需要你将整个教室的人分为两类，那么你可以从性别、体型、兴趣爱好、位置等等角度去分析。
1 B3 Q! {/ M2 _+ F
% b4 M2 h1 p! U" M# a8 N* u
+ K6 |2 v/ h+ ?1 @7 M, w5 w
     可以看到，分类其实跟预测差不多，只不过输出是一维的，并且还是整数，所以可以用预测中的机器学习方法来解决分类问题。而聚类则不同，一般来说，聚类需要定义一种相似度或者距离，从而将相似或者距离近的样本归为一类，常见的有：kmeans算法、分层聚类、谱聚类等。

     对于聚类来说，除了相似性的度量之外，还有一个比较重要的是终止条件，即需要聚成多少类，一般来说，基本都是在聚类之前就设定好需要聚成多少类，其中kmeans就是先设定几个类中心，然后将与类中心相近的数据归到那一类，然后不断更新类中心，直至所有数据聚类完毕，而分层聚类则是相反，先将所有数据各自为一类，然后将相似的类合并，直至达到k类为止...
      当然，也可以将终止条件改为当最小的距离大于某一阈值时，不再合并类（适用于分层聚类），除了这些算法，还有机器学习方法，如：自组织竞争网络（SOM），可以自行了解。

: S* }! _) T* ~% `  w1 r8 Y       接下来我们以分层聚类为例进行讲解，这一部分例子来自于《数学建模算法与应用》，用以辅助说明。通常来说，分层聚类有两类，一类是从上到下的分裂（即现将所有个体看做一个类，然后利用规则一步步的分裂成多个类），另一类是从下到上的合并（即先将每个个体看作一个类，然后依据规则一步步合并为一个类）。因此分层聚类最终可以得到一个金字塔结构，每一层都有不同的类别数量，我们可以选取需要的类别数量。
! W) G5 u) R/ z7 M---------------------
     例子：设有5个销售员w1,w2,w3,w4,w5,他们的销售业绩由二维变量（v1,v2）描述：


$ z: f2 O" I0 U) ^* y; `% {2 p
' U' E9 [# \0 p8 q5 b7 Y) X     将5个人的两种数据看作他们的指标，首先，我们简单定义任意两组数据的距离为：




  |: R0 H3 U" f. K4 C7 s
: }: Z# r- l2 ]- z
; L1 _5 u- y& B
3 A6 `3 G: w- ~! v     与此相对应的，当有样本归为一类后，我们要计算类间距离就又得需要一个计算方式，我们定义任意两类间的距离为两类中每组数据距离的最小值：
/ k1 |0 B( R- l3 g) o1 K
- Y$ s; Q$ Y/ C! [1 W) T
9 F# z' b0 ^& h


; S4 g  w+ |& j

7 A  T/ G; J9 t# t1 U, h+ s2 t( G     因此，可以得到任意两个销售员的数据距离矩阵：
6 s& m) e1 b) ]1 }+ X, y9 P9 F

2 @  U$ G% l4 d+ Z
Step1 首先，最相近的两组样本是w1和w2,他们的距离为1，所以先将其聚为一类；

Step2 然后，剩下的样本为{w1,w2},w3,w4,w5，我们发现除了距离1之外，最相似的是       w3,w4，他们的距离为2，所以将其聚为一类；
Step3 然后，剩下的样本为{w1,w2},{w3,w4},w5，我们发现除了距离1,2之外，最相似的   是{w1,w2}和{w3,w4}，他们的距离以 w2和w3的距离为准，距离为3，所以将这两类聚为一类；
- s) |: ]! a" `$ rStep4 最后，剩下的样本为{w1,w2,w3,w4},w5，只剩最后两类了，所以最后一类为   {w1,w2,w3,w4,w5}，类间距以w3/w4与w5的距离4为准。
$ j$ ~  ^& b+ v  Q" E
   代码如下：%% 编程实现clc;clear;close all
- T0 U+ k) o5 k: C. T7 mdata = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
[m, ~] = size(data);
6 F7 A( [) r0 m6 x5 O5 C# @d = mandist(data');%求任意两组数据的距离
d = tril(d);%取下三角区域数据
- e/ Q2 D1 {- a" N& l5 z1 }& tnd = nonzeros(d);%去除0元素
nd = unique(nd);%去除重复元素
/ J( a6 r! T' ]* @2 ?, h0 m for i = 1 : m-1
     nd_min = min(nd);
     [row, col] = find(d == nd_min);
0 t$ i( F6 N/ s4 C5 t     label = union(row,col);%提取相似的类别
     label = reshape(label, 1, length(label));%将类别标签转化成行向量
     disp(['第',num2str(i),'次找到的相似样本为：',num2str(label)]);
     nd(nd == nd_min) = [];%删除已归类的距离
9 L5 O4 b0 C1 ?8 o& a     if isempty(nd)%如果没有可分的类就停止
: R9 r  S1 L! x) p" k1 G. W         break
     end
end
%% 工具箱实现
+ Y: F0 q, G$ x0 d% ~clc;clear;close all
data = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];%原始数据
y = pdist(data,'cityblock');%计算任意两样本的绝对值距离
yc = squareform(y);%将距离转化成对称方阵
z = linkage(y);%生成聚类树
[h, t] = dendrogram(z);%画出聚类树
6 v/ {* s' r1 Gn = 3;%最终需要聚成多少类
T = cluster(z, 'maxclust', n);%分析当分n类时，个样本的标签
8 e( V7 ~$ c; b+ s0 m& ?for i = 1 : n
    label = find(T == i);
    label = reshape(label, 1, length(label));
! }4 e. u7 j& I* I+ ]8 w8 z  p2 q    disp(['第',num2str(i),'类有:',num2str(label)]);
. T2 j: L& M* f0 yend
+ `  F" G+ D, v$ [9 }    结果如下：

---------------------

# Q) w: T( c5 E; I2 c  _5 j: F( P
- D  G( [, e+ X; x) a
" C* C0 T9 s( p% _$ y  x
7 D5 S; n; j9 O5 f7 N- Z