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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 * v; C6 w1 _: E图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出; C5 x$ U6 g1 q9 o 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来8 a; j$ b% H. \& w9 y 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 - v: ?5 [) O) Q* L! A他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 6 E0 W b/ G/ | ]是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算9 g4 ~8 n2 b/ ~ 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 1 o0 M7 D7 o) s% f+ k {括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要7 F! o. A2 q ?( c' _, N% c; b 贡献。 ; N$ n+ J( {% s7 _# t# K

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像1 n6 `! ~1 y9 W" `: _. z* c # i8 W9 b6 F) k3 ?! s; `　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： . W9 _+ y& s/ ?, j8 k4 h- z　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……, u2 H" \& E5 X% D+ O x' I 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在" O! N% G# m# c$ J+ o7 m4 v 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对7 o! P+ H! L n; Q6 o; | 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三$ z6 i" U- p7 I& F# T 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，6 f' X0 R1 M3 [2 ` 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的! D: u! N: R5 b/ J/ G; U 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 % x' O0 T0 H. C3 Q' W0 W切的联系。, o `6 ~' c: g0 y+ \' j. b # U9 T9 S/ a5 ~- B% Q　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘* k- x3 _' d5 @ W2 ^" U 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。7 v6 L" p3 f$ ~6 s$ V 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 # U5 K. c8 {: V" T8 F8 v为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在; {: l; _0 ^( r9 y4 ] 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏" [' ?0 L5 X! E" e8 c0 b; v- L 大自然的造化。 ' S- r- y: L$ H: \" { $ y. _) F2 f0 d# D　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 . H. E9 ?' _& ]7 W8 e) G' E到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 ' Y1 v0 H; y% g, ]草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果9 s2 G3 T; r1 ^# \2 x' f7 z+ k! A* i 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向% n' Z4 U, o9 ?7 w8 h/ a' @/ j 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 ; }% k1 @$ _2 F: e1 e7 ^种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 5 e1 Y, p+ x2 o" G( Y/ }图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的3 u# L2 Z, ?- {# B( k

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部7 A: l1 z/ m' I( o5 T （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有% \/ n4 w0 ^6 i# |: T! F 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。1 x; E2 h, e! O$ f

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 * K9 S; b" z7 Y　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 6 n+ l3 \/ y1 }" i% b人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 s; m1 J4 B& v4 b5 C 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心( P c3 Z) V) [! f5 t 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管) i/ p1 Y+ T- M, Z/ E# F 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 ' _4 t$ F; f" M- P% g, N序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。8 Y# \' }' G$ i7 g, g7 h

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）( t1 y- |+ A: ?8 {/ i: M( g 1 i, @4 J% U# O 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自/ c5 }3 h/ f4 k5 r+ I 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 + }% Z/ L4 o: z9 H9 [# o能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了5 u/ [- y, E- w+ t: } 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 / P8 g( k, E; _于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 # ?8 S6 O' I7 H6 C) Z8 ~$ b中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 5 |7 f! Z3 T4 h7 V5 N- I来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度* W! T2 L# S6 _$ k- u/ l3 L* D2 z 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 8 X0 o& L' A! I A- x' |/ c* M度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 ; a; m4 a2 ~7 n$ b了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 ; y4 q7 }% q+ A5 V5 U" u" Y能达到89，甚至144条。 4 ]9 e+ s" ^! d s8 A: e# q `$ x6 n6 R 　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器8 j; s9 V: }; w% O$ t 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 1 R: J$ Z4 i6 G+ y( s7 F你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，) |0 X7 M" Q, G4 |3 B) d( I 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中3 J! l. u5 k( F 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 9 J2 J% o9 F( d. a& N/ t, ]2 S来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。