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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番+ t8 b/ k& T; Z- J' A 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出$ @( E$ K. J4 Y$ x. a k. \ 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 7 a$ s* N- P2 c6 N$ k7 Q0 x因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 # f: V3 b& `8 P1 h5 v他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 ! b% H( n- j% b) H; Y" ^: |0 t+ c F是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 5 i7 ]) Q$ B* W$ l* C1 e盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 : [) T( }0 _, |" q' _' j& S括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 " D; b5 y2 s6 p K o+ g" b贡献。+ p% U+ e {7 A. P8 e) y& R

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像% D# f; k$ h' K6 C0 [7 N# f ' a, m+ \/ t/ U/ h9 ` M$ n　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：6 K( U `3 f/ O 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……: q: u$ O- d8 w# v0 V 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 " ~+ ?0 g7 c( X* g# p8 e他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 + n2 S+ b( @) P兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 7 ?/ R6 T9 W; [/ y+ a1 L4 x个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，4 v% t" z, \$ I* `+ Q/ B 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 % s) k" Z& t' M( B: `7 t兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密7 U. V. d" \ P& k- v! o% I: }$ | 切的联系。 $ t3 T3 o) |$ A5 z" I / K2 _7 Y8 ]1 H& R　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘4 C/ c5 B. C1 o- V2 B4 r 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 1 `8 v4 L; {) N H/ D0 T5 m1 }但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 8 B: c; e' c" E) n7 K# G0 ^为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在( ^6 y) B: u4 U& q+ D- o 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 7 I* i' W) ?6 R% v/ S) k3 a% F大自然的造化。- ?7 e4 W/ z5 b4 L ; [; q1 T* W$ X9 r4 _" t 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 / N3 B- }; p: r到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒: B( G- U0 w/ G' j. b" U. O0 v 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果$ y# P8 m8 S/ O- E/ V2 P2 o7 l# D 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 v; f V$ y% v 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 ( V4 F A, b* k j' H$ y( @2 ~图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 % x9 x3 C5 z N2 z. Z

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 1 S0 Z. z% f/ _8 D, F（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 J* `1 Y, R* \" u9 k8 [+ N21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。( D9 O! C2 `9 s- ?0 ?$ d$ B

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 4 g. g8 X, e, s+ d4 x7 O/ _, p　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让% k' s9 n/ r; E3 M* J! | 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 & A* B. h* d/ z( S7 L3 e击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 8 Z r& B$ g3 ?. F/ l: n& c" P+ h菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 6 U8 p) e% }- x5 K这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 : T/ E" r$ Q4 m3 A6 {* A- q- \序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 ; X1 F: }( T/ k! ^* |$ H N

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）, h0 S; y9 o5 T3 w; }' c 9 y. g. I; N% ]: Y/ u* N5 `　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自1 B- T- b$ D9 v2 n; E u 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 $ @; P2 h/ w7 {, A能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 3 V; z* p% r$ c [: I: Q太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 4 @* w1 @* P9 ~$ b2 `: W2 ]于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 3 m h1 G7 \+ h2 _& G中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出: s( l- D f& a* c' V7 q) j 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 ' S/ Y' }7 I1 l4 Z- {2 E* { e应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 " ?# Q! |9 O' G- w& M7 h a4 s& E度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 ( a% W, E* w e6 H了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 4 \5 ?7 _0 s2 l0 L% A5 n* ^# b能达到89，甚至144条。 ( O. ?. T2 R, u# Y* @! g0 G- Q/ i3 _1 A( d4 ?% k- o 　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 - Y) l. O E# @官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，1 [1 _! z2 `- }; [ ? 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，. v9 o3 C1 M2 z! ]+ U 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 5 l- G5 q7 b! F心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 2 g: L3 X8 y! ^, L5 G0 L来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。