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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番$ }$ \7 Q, s% @ 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出( {: ?5 e+ v# F; u' N8 Q4 t" e 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 0 t% ^; X5 e& K. M因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 1 v( h) H* Z4 D. I" e$ F2 F. O他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就. [# F# m- f4 _+ r4 C 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 6 K& ]7 \3 J3 w盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包$ e' E5 d# e) [3 Q) k) e9 G 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要1 l9 Q4 X- ^9 d6 v 贡献。' K) c+ O) w- u& J

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像7 {% n8 z& u2 [% W * ~/ A6 i8 I8 y( L5 M　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： 0 ], Q7 U2 G$ p# a; r g! @6 n1 ]　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……% x }1 U( ]; Z' F+ z 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在1 n/ s% h4 t8 a1 e5 t- t 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对; q4 ~8 N( M3 K7 }) r0 ^- S+ {% \ 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三2 t$ w+ r% s! i9 d) }# Q 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， 4 ?# f: g( t& N! S; |7 f5 L( P一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 ( U" w- _, t D2 C6 c# [兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密7 z/ i: f) c( {% R$ J7 J) T 切的联系。+ E- Z; K8 F0 {# u) @$ @4 y" z 5 M+ d1 c3 A$ ^7 L 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 ) x- v& ^/ _, Y& f# E9 q书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。% {) H3 H, p5 [7 J% ?/ R9 K G 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 1 ^) |5 a" D, x! `- M& W. ^- s为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在8 k( q c* ]5 \3 K8 E 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏8 g# b3 E0 \5 E& J 大自然的造化。 . ]9 H2 \7 D3 N1 X0 l0 K1 F' k0 x G C0 q 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不" R2 v5 S: o8 F5 y* G. e 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒, w% j& s! T" Y! b) C; V4 E 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 ; F, ~- P8 Z4 C8 Q c从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 ( P/ O3 u a* W1 o6 N的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一7 q0 B$ t2 P) @9 d6 U/ j! @ 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 . X' ~4 F4 Y: s% {9 I; M图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的8 m) \9 j2 I0 p8 A# t) ]. S

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 + P1 N' ^. I0 X ?7 t; Q0 S（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 - Y9 l9 U* v$ I- y21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 $ x! w/ H1 @$ [7 v

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 1 O4 ^$ Z6 H3 u; b　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 % a( s* @3 G2 V6 {人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点" v& G ]" h4 k3 ? 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 1 i% Z% L( \* C/ Y菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管- J7 s' F$ R# T. b0 w 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 9 r8 e( N2 h! x- I: b3 B! [序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 7 ~" W. J9 D, D9 h

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） ?. [- P# \( S4 h9 g3 B0 c 4 Y0 O5 d2 e% T8 X　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 9 E5 k) N7 N, Z. |4 C" R/ }然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 ' f1 c' E7 F6 K: L) L能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了4 |: O. X' v* E# j 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 - m' y3 s1 S; d5 w d M于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 ( G1 J: Y2 W+ I5 G6 p中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出/ n; @9 ~( g5 X `( K9 k; \! h 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 & U6 `3 {+ u/ c* I: b$ l应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 3 c8 Y# A' e) \9 f3 @度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 8 r- d/ g& Z! T了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时0 E# ` E0 y% N1 b6 @ 能达到89，甚至144条。 # ~, {. g/ y N6 C! v9 [8 {7 r ' y1 h& }5 T" B4 \/ r7 Y& e　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器% Z; P4 N5 ~1 y2 W+ N" u 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，1 B4 p! B4 x6 ?' g 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，3 F8 ?" i u+ K/ s0 \ F 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中" ?, B2 E' ]8 f) g+ j 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出1 Y1 b3 d; W1 z8 Z; B! u( K: ` 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。