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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 1 E) @4 m. J+ L4 L' U5 L s0 y9 \图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 : \" R$ }% h3 c( E U2 E的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来, T# D+ c) N; u, Y0 { 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 6 t0 L F4 ^2 r1 n3 z1 J他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 6 `6 q" r; }0 z6 r是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算* ~+ n% i( b( Q* c0 o; G 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包, u4 X6 n4 v" P' h n2 B 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要: ~: l1 u1 a4 S* ~- R 贡献。! `0 v1 R. N* e8 S

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 1 {7 ?# a4 l8 ?" R. V& ^, K) C/ v0 w 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：; M+ T% K V, t, A1 P8 `5 P8 x 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… : \. d; i' {9 B9 J! l$ w' q从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在3 @0 D7 W' ^+ R4 Q9 Q: S$ X 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对, C# w m4 A: {& f$ g! i7 l 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三2 }& R2 s9 ?3 z 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， & r6 a% x8 h* F$ M一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的6 J' I3 D, G9 w" O0 C8 h/ w 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 ; r% B Y; W' w* p! t4 E切的联系。 # r, V" k% C% `- ]6 o$ w , z6 a! J! {, @　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 / o4 ?! ^- n" v+ z6 [书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。! x7 e: o3 H$ S5 n: H 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了- e9 t6 q+ h! \( N2 [7 ^ 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 5 R- }7 `- h! n; {4 c4 J: a; b这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 ' h' H8 q7 f8 @ w) E大自然的造化。 # H' v/ ^* R1 ?; I c/ v, o8 |% R! P' T) _5 ~) G 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 - t2 y+ [, a+ K7 j: }到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 8 I$ J) _6 t7 d* p% D* W. G5 B草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 ' U. U; P5 F; `9 r7 Y从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 * v1 I* {1 j8 D8 k+ a的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 : f. h/ H4 v* e# @) k7 E% P3 D种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个- R+ i3 \! w t" E" X) X# m 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 M& X+ O, M1 @4 M# V0 s: [

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部4 f! O2 E( R0 y2 y/ m) Z （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 + O8 G% a! `6 j& G21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 " [( ~8 P K5 y1 q

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 7 X1 g5 B: u+ `　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 5 C3 [6 b" b, }( p/ Z. b; s人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点2 \6 ~1 d( F/ L! l, x6 m2 g( y& F 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心! I& b% @/ W$ s$ a 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管( p+ v7 T" U5 Y 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 3 _0 d/ M( D( `& O7 U* U: s序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 . u) H& C! t' c K/ S7 K

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） - Q* y0 r x( P9 ?+ y; g! x$ P) X3 u! b- i" e 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 d. j J; w* [ L0 R 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它, m% X9 l% Q" A" T, ^2 Q4 X 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 2 J5 K! h( e2 q1 H* S+ B太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对9 D9 F1 L+ c4 @. n 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程" ~& ~% i& r/ w* L& V 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 $ r& j3 w8 d: S& Q来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 + {+ p6 W4 u( `5 i8 q; \ c# a) n" {应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 7 V* @$ K, S$ j度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定/ `3 ?& c9 v" H1 w: T 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时0 ^+ Z; \: U( p0 U' M# L 能达到89，甚至144条。 & z$ A6 L( a0 J1 c. S1 }/ H! F " E' u4 D7 y/ V. ^. l　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器9 e2 B: j' H- {: C6 @- P 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 0 ^; u: s3 r) ~3 C% I9 W你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， - ^: t- h; h( Y# k/ d也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中+ J- P0 [$ f3 Z, N 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出" p) d2 u' s- Q8 T$ W+ Q# w 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。