三级倒立摆系统定性分析

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三级倒立摆系统定性分析

在得到系统的数学模型之后，为了进一步的了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是系统的稳定性、能控性以及能观性。系统的稳定性分析一般可以应用 LaSalle’s theorem 或者李亚普诺夫稳定性理论。最常用的是后者。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据前面得到的系统线性模型分析。一般摆杆竖直向上是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统。既然需要设计控制器镇定系统，那么就要考虑系统是否能控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性模型来分析。在进行倒立摆的定性分析之前，先介绍线性控制理论中关于能控性、能观性和相对能控性的判定。

  为了衡量系统控制器设计的难度，或者说衡量系统本身能控性的相对程度，一般称之为相对能控性，可通过计算能控性矩阵的奇异值δ 来判断。定理 3（相对能控性判据）线性定常连续系统X&=AX +Bu，矩阵A的最小奇异值与最大奇异值的比值为系统的相对能控度，记作δ。 根据以上三个判定定理，进行三级倒立摆系统能控性、能观性和相对能控性的定性分析。三级倒立摆系统的特征方程为det{λI −A}=0，经过计算得到系统的开环。

LQR 控制理论简介

线性二次型调节器(LinearQuadratic Regulator —LQR) 问题在现代控制理论中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重视，应用十分广泛，是现代控制理论的中最重要的成果之一。线性二次型(LQ) 性能指标易于分析、处理和计算,而且通过线性二次型最优设计方法得到的倒立摆系统控制方法,具有较好的鲁棒性与动态特性以及能够获得线性反馈结构等优点,因而在实际的倒立摆控制系统设计中,得到了广泛的应用。

分别代表小车位移、一级、二级、三级摆杆的位置，小车的速度、一级、二级、三级摆杆的角速度。输出值此LQR设计器，要满足系统从不同的接近线性化附近的初始位置起始，能够达到最终珠稳态位置：即三个摆杆都直立不倒，且小车能回到导轨的中央。根据利用 Matlab 的 m 程序求出的系统的特征值：eig(A)的数值可以得出，开环系统不稳定。根据系统的可观测性和可控性，系统中8个状态变量均可观测，得出系统状态反馈增益矩阵K。根据运动的过程的要求：应以稳定上摆为主、中摆、下摆次之的，最后考虑系统的水平位移。选取合理的加权矩阵Q和R，经过对控制器参数调整，反复测试得，在加权矩阵Q的对角矩阵时，从仿真结果看，参数比较合适。

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