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[问题求助] 最短路径中的Floyd算法(弗洛伊德算法)的较为严格的冥想证明过程

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释永思        

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    发表于 2015-10-31 13:45 |只看该作者 |倒序浏览
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    =========================================
    ! M7 e. r8 e0 j- Z. V6 G4 b最短路径中的Floyd算法(弗洛伊德算法)的较为严格的冥想证明过程:
    ; @) {0 F3 K0 d+ m0 r/ @2 D仍用数学归纳法,, K2 ?7 Q! P. s8 {8 W. ~: X
    假设N<=n时,弗法正确。具体值我就不验证了。( W2 @5 D, I6 o% K# @
    当N=n+1时,假设最新一点最后一点为K,此时K=n+1,
    1 Y0 c# t5 U7 x. w) D# H三重循环中,我们都把K排在循环中的最后一位。/ J( V% r& E( p) y* _7 m6 n
    现在我们要证明的是,加上新点K点后,经过弗法的三重循环,原来的n点之间仍是最短距离,但是n点与K点之间的短离是不是最短的就不知的。
      n" Q3 I0 p( U9 \/ g3 {如果原来的n点的某两点之间最短距是与K点无关的,显然经过三重循环后,就是最短距了。
    + Z; t$ Z! f% O5 F如果原来的n点的某两点之间最短距是经过K点的,假设P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm本应是实边最短距,不是虚边最短距。
      S5 b: ^5 Q/ }7 Q/ J* f5 z那么由弗法知,P1,P2,P3,,,Pk-1与PK+1,,,,Pm已是连通的最短路了。且Pk-1Pk与PKPK+1是原始实边,不是虚边。# F$ L' h' d6 p$ u$ b
    经过最外层最后一次循环的松驰操作,必能连通P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm。6 r. a* A& E/ w& Y3 f/ G6 W1 g+ r
    所以得证:加上新点K点后,经过弗法的三重循环,原来的n点之间仍是最短距离,但是n点与K点之间的短离是不是最短的就不知的。
    ; h2 Z9 l1 [. \8 B0 P' q% \* L由于对称性,将K点置入内部,把P1点放到最后一点,原来的循环结果不会变的,( x% `+ P! M* G' T' U9 t. i
    所以三重循环后,K点与原来的点(除P1外)的最短距,就可以求出来了。
    : [; X, V6 ]: w) X5 G* @由于对称性,将K点置入内部,把P2点放到最后一点,原来的循环结果不会变的,  M3 O' ]  d2 _0 B
    所以三重循环后,K点与原来的点(除P2外,但P1不除外)的最短距,就可以求出来了。
      F# L1 R) ^9 ^2 s% C所以K点与原来的n个点的最短距,也就已经求出来的了,仍是原来的三重循环也。
    $ X( f6 d. n, j' r0 n这样,弗法就可以较为严格的证明了。" {, C. m* o3 t" K% I2 g
    =========================================
    2 e! M0 {6 `4 X$ S) m为何假设P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm本应是实边最短距,不是虚边最短距???
    , q$ D  D6 \. m1 f如果是虚边最短距,也可以转化成实边最短距,然后结果一样的。& V' Z" h5 O' l% p3 h' Z. S
    =========================================- P) Q: b% F, y6 I. G

    - d+ I& [2 d, F$ {3 S" p# a* u' Z9 v. A; I+ d, K
    zan
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    释永思        

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    忽然想到,上面的证明中有一点未严格证明,就是,要证明弗法的三重循环与N个顶点的排序次序无关,例如for i=1 to n 与  for i=n to 1等次序无关,我没能证明这点。现在十分疲劳,没有余力思考这点。2 l: W9 m3 t- B' ?: N3 ]
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    谁人能证明弗洛伊德算法的三重循环与循环中的次序无关?我没有余力思考,我太疲劳了,我也不知如何证明,求助了。 例如要证明弗法中,for i=1 to n 与for i=n to 1或次序混乱也是无关的。这个我无法证明,用数学归纳法也一时想不出 来。求助,我太疲劳了,要休息,一时没有余力思考研究。这个也是我一时想到的,弗法无边,永思不尽。
    , U, e2 o  m0 n( b% ^/ _  l9 ^3 f8 }$ |: n! j
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    弗法:数归法:" G+ E" ~  u/ }% f
    对于N<=n的任一个混排序,K点替换其中一个点,必也是成立的。这样,就证明了弗法的混排序?
    & ~/ G) _; k* u这能叫证明吗???这与没有证明有何区别???& y' G) W: ^/ ]+ r# E( V
    1 p/ [5 ~2 q) Z/ \6 v& i3 Y, g
    弗法中,必然殊途同归,归于最后唯一的最短距离,这是唯一值,不会有多个值的。所以与顶点混排序无关乎???# a# q# G' P# O- {" I1 k
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