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[问题求助] 最短路径中的Floyd算法(弗洛伊德算法)的较为严格的冥想证明过程

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释永思        

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    发表于 2015-10-31 13:45 |只看该作者 |倒序浏览
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    =========================================
      @# a* V6 Q" @最短路径中的Floyd算法(弗洛伊德算法)的较为严格的冥想证明过程:
    + y( {; U( A2 p) A4 g4 ~5 y仍用数学归纳法,: ~/ U* ~. v5 F( E
    假设N<=n时,弗法正确。具体值我就不验证了。
    3 [7 o2 y3 L3 N7 V9 ]: P当N=n+1时,假设最新一点最后一点为K,此时K=n+1,7 }6 S7 ]$ J0 \) B* ~/ J% \$ @
    三重循环中,我们都把K排在循环中的最后一位。
    & V6 f. d5 x8 y, E: \现在我们要证明的是,加上新点K点后,经过弗法的三重循环,原来的n点之间仍是最短距离,但是n点与K点之间的短离是不是最短的就不知的。
    0 M- _# l# Y8 d6 X  I如果原来的n点的某两点之间最短距是与K点无关的,显然经过三重循环后,就是最短距了。
    2 n' @7 L" F$ Q& \+ `如果原来的n点的某两点之间最短距是经过K点的,假设P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm本应是实边最短距,不是虚边最短距。
    * Q* Q$ M# z, C; ^0 j% q8 K那么由弗法知,P1,P2,P3,,,Pk-1与PK+1,,,,Pm已是连通的最短路了。且Pk-1Pk与PKPK+1是原始实边,不是虚边。1 t% @6 y* ]" d& z% q2 T4 _
    经过最外层最后一次循环的松驰操作,必能连通P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm。5 u' w' \1 x! H4 t$ X. }
    所以得证:加上新点K点后,经过弗法的三重循环,原来的n点之间仍是最短距离,但是n点与K点之间的短离是不是最短的就不知的。7 `8 |, R% v. q6 Q$ |/ k2 s
    由于对称性,将K点置入内部,把P1点放到最后一点,原来的循环结果不会变的,
    $ n, R" p9 t. d4 N" N' E  n3 l& B所以三重循环后,K点与原来的点(除P1外)的最短距,就可以求出来了。
    7 l7 n- x- u3 h( ?8 N由于对称性,将K点置入内部,把P2点放到最后一点,原来的循环结果不会变的,
    3 ~* ~" c# L- g所以三重循环后,K点与原来的点(除P2外,但P1不除外)的最短距,就可以求出来了。
    0 |9 P0 N/ v; Q所以K点与原来的n个点的最短距,也就已经求出来的了,仍是原来的三重循环也。
    6 O& _) D# p* H$ A" e3 q这样,弗法就可以较为严格的证明了。' v- S: |# @9 [8 [/ J# W
    =========================================, ~2 A4 \: e: B4 T
    为何假设P1,P2,P3,,,Pk-1,Pk,Pk+1,,,Pm本应是实边最短距,不是虚边最短距???
    ' B6 g; p# C) I0 \如果是虚边最短距,也可以转化成实边最短距,然后结果一样的。8 d/ o" h; H$ I: X- P
    =========================================
    2 O. y7 S6 j! z7 K& W3 V  L* r& Q4 R! d* T6 C9 k% O6 z) o
    8 u9 H( V* j( O4 C  t
    zan
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    释永思        

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    忽然想到,上面的证明中有一点未严格证明,就是,要证明弗法的三重循环与N个顶点的排序次序无关,例如for i=1 to n 与  for i=n to 1等次序无关,我没能证明这点。现在十分疲劳,没有余力思考这点。
    % e" u) V. V# F% z, j( R3 e
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    谁人能证明弗洛伊德算法的三重循环与循环中的次序无关?我没有余力思考,我太疲劳了,我也不知如何证明,求助了。 例如要证明弗法中,for i=1 to n 与for i=n to 1或次序混乱也是无关的。这个我无法证明,用数学归纳法也一时想不出 来。求助,我太疲劳了,要休息,一时没有余力思考研究。这个也是我一时想到的,弗法无边,永思不尽。
    + p0 L  m8 L; I! v5 Z  C: z  @$ I3 c
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    弗法:数归法:3 {# _9 t; ]. B7 T, d
    对于N<=n的任一个混排序,K点替换其中一个点,必也是成立的。这样,就证明了弗法的混排序?
    # H# p) p8 n/ [4 M8 r! P/ {" V& s这能叫证明吗???这与没有证明有何区别???2 t  n3 M* l; ?' k

    8 J5 v- F, v) \  n4 E弗法中,必然殊途同归,归于最后唯一的最短距离,这是唯一值,不会有多个值的。所以与顶点混排序无关乎???) ?* h* `; u: d: z. r: t% x" |4 ~
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