【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
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一. 模型
1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
, O  D6 v' w3 G- v% k3 ~; n$ R2 ~       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
4 e7 z2 G5 U: b& u) c       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
$ x9 H; q8 G; S6 S' [3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下

4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。

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3 L9 z: L  p: H0 X6 R5. 模型分类
1 ?* L7 u4 |$ X% y- F2 X  q) Q7 l        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
1 j& u+ J( r: O, }7 P        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
# P% }9 c2 X2 N" o- i; c" l% P9 y        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
2 f" F# e% J# c$ L% r% z" V        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
二. 系统辨识
; U: I; z" X6 {9 ^$ K        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
' F: R: R0 _3 K0 J8 ~6 S
        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
' I- d" ~) n7 t& _- _& h- H& A
1 Z5 K6 M, e) Z& d( M9 G

6 F3 f% j+ W- T' n' m& L  J* z
) r9 R* L' O) X/ P; f) L
* g5 ?6 R0 d$ ^
三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
( A4 G& w- [8 g* V' @2 j, T( D& G" W        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
: G1 I$ e3 U0 L5 S- X( t; |2 i3 c0 j
  I. ~6 H4 q- Z( v$ r+ X
" r  A$ ]7 y/ j+ h

用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
, Y7 M& D2 M! _2 \5 E+ U/ Z
) Q1 t5 V( y6 R* n: k' L

* P: c/ i& \5 \- E- v
9 d/ r2 n! J- \+ g, c8 J' b' o

! T9 s/ o. Q% _3 ?        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

, B( g$ i. L4 R3 {: w1 g5 g0 |& I参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
. y6 d  K, E; `2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
/ W& Y" o  D9 n" t$ v, j3. 机器学习（第九版）
6 Q0 `% Q$ w. r5 T
, o' {  l' ^) H: Z
6 d+ S, c! }9 z; `

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