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 群组: 2018年大象老师国赛优 群组: 高考备战 群组: 2018中小学数学建模冬 |
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数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一,包括全国大学生数学建模竞赛(俗称“国赛”)和美国大学生数学建模竞赛(俗称“美赛”)。在这些比赛中取得好成绩,不仅有助于保研、有助于找工作,更重要的是形成科学的思维模式。下面列举了十大算法,在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。# E: Y! K8 ?$ H9 l! C
, z* E3 C1 @ d& A3 _ 01 $ {6 a$ z* i+ G. d# z/ A1 B5 c
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蒙特卡罗算法
4 u2 D7 ]5 p( H. x1946 年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。7 j+ \1 P7 T+ K' y. k
蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。- `( [& l% E8 w5 T# h! L
, \$ P4 @: F/ W! Z: |2 h
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:- t4 Y! @1 e& l
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当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作为问题的解。' H. J( n. ], @8 Y) X+ }: S
# n3 X+ T- l y; E3 Z举个栗子,直观了解蒙特卡洛方法:4 R) @4 J2 f s" ?7 B1 l. ^* a0 o! j
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假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如:积分)的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候,结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。
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% v% h5 D" ^; |$ e1 u蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的近似解。
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! H6 y) e! l. J( M# r& y蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:
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, {8 _" A$ v+ qa、直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解;, _ V7 l* s/ L- ^. o5 |5 A
: c) m: [7 T: S8 Kb、采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律;
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2 v8 X; {- m- o( l' F6 P; a; bc、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法等等
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数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 ! s# a5 }% E2 ^7 W% ` m1 S
2 a4 _3 @3 ]0 p3 }我们通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用 Matlab 作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年 A 题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。. x& h% L K! X1 t( Q5 I; k, u9 R. k
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉 MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。; P% r( l$ b; ~. ?8 _0 y0 f$ {
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线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 0 \: D: F2 W k* j$ @% E2 }
$ e- A# ~* l' [/ W9 I! `数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。( I; x% d% k/ Z+ y/ \
0 s, z) {( B/ s! R遇到这类问题,求解就是关键了,比如 98 年 B 题,用很多不等式完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还需要熟悉这两个软件。
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图论算法
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@7 o2 o) C- y这类问题算法有很多,包括:Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford,最大流,二分匹配等问题。
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关于此类图论算法,可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。
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3 N7 O, U2 D5 L# W* O9 Q. A4 _5 d动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
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在数学建模竞赛中,如:92 年 B 题用分枝定界法,97年 B 题是典型的动态规划问题,此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。
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, k! d% e5 T1 t1 u& T
最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法 4 |# f [. _4 I* }0 {
9 X. @' y0 N8 s' O. W$ G- W+ n这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。1 d5 u! G3 c2 X; R0 o0 y; Y
. A: d- _. G: l( m) i& ]5 O8 b% r7 b
在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题的模拟退火算法,00 年 B 题的神经网络分类算法,01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。
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2 t% _* i1 J7 F8 D0 c2 T还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系,当时是 86 年刚提出 BP 算法,89 年就考了,说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
6 Q& F: j, M: g9 K# U0 e# |$ v) M- \
: u* [" }% L/ b! c6 g03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。9 u$ [* U8 q4 x" b7 O. a) g# |
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& G, Y2 w: v7 [0 g0 _网格算法和穷举法
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: k4 a/ t4 Z1 h6 {1 X& j网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。5 l2 U Z% Y9 `2 J- q3 p5 k1 L
1 {! h1 v! j& M7 v; M* c, ?- M比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点,那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算,所以计算量很大。
: v1 O2 E. g& O4 [( S9 U# w* Z
- k% B; E/ J2 b/ f9 n3 h在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用MATLAB 做网格,否则会算很久。* ~! X/ U( j$ e* c$ Z! L
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0 `8 s0 J- K. ]( H" v9 s& [9 `穷举法大家都熟悉,自不用多说了。, j# x( l# t( n4 \- m# a
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0 `; T+ x' H/ S# A3 i一些连续离散化方法
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( w5 V! [. K, d0 p+ j4 d# C大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。
: d# }: Y& [7 x6 ^( L+ |2 m$ ?( ?2 o( U6 i5 z
这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。8 _. M4 u# c$ X! R2 W
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' v; N2 q/ x8 B- l数值分析算法 3 |8 E' _ l y' O1 s9 G: C
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数值分析(numericalanalysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的算法。
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。- n* a, }0 h, h
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这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB、Mathematica,大可不必准备,因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。# ^# p( `. C* @5 J/ r4 [! u# N
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图象处理算法 $ W3 l8 o2 X O& R) j+ f$ J
7 V; o* `. x# z5 K在数学建模竞赛中:比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算,03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把 MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。1 {" R( \+ D6 Q0 n o8 g0 |; n! A
6 F B$ |. h. n7 }8 M5 X, H7 ~6 @5 V0 T1 Z- D
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