[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦

建不了的模。

[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
6 b2 M0 J- ]- ^5 R7 N
1. 拉格朗日多项式插值
拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
# ^0 E: [' n$ v) _8 o- R9 W9 d; Sfunction L=myLagrange (x,y)
2 K/ V9 }/ B3 e5 R4 ]2 I# i# c# B%n      插值结点的个数
, V& I: b. }* T; Pn=length(x);
%L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式
8 B$ r: r- J- b- d5 `2 G+ [L=zeros(1,n);
# }( S' Z" y" C, l+ a8 t0 J. h%
%使用双重for循环，第一个for循环是
0 U6 Y. q/ L1 dfor i=1:n
; F( I1 y2 c( E2 `- P  c%a      
  L& L" ~7 @% W+ O7 J# s0 {. d    a=1;
" |& Y; T' `0 ?3 w; q%w   
    w=1;
7 h+ b4 {0 Z$ }/ A0 B) c%for循环
    for j=1:n
        %如果i不等于j
: N6 g  ]' e; T0 Y$ H* g/ e# K" T        if j~=i
            %累加法计算a
            a=a*(x(i)-x(j));
            %用向量乘法函数conv计算w
            w=conv(w,[1,-x(j)]);
            %if语句结束符
        end
        %第二个for循环结束符
    end
7 `# Y2 E. Q/ p* p& f    %递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
2 z( U1 k8 Y4 |6 s8 Y6 z4 Q        L=y(i)/a*w+L;
, L* F" t! a* X3 R& y    %第一个for结束符        
3 P0 O5 N* b9 S" X6 n6 Y0 f- gend
   没错，就这么几句代码，所以很简单的。
5 N% C1 t  }5 E5 W9 a, f
: w! V, X3 ]; X2. 牛顿插值
& \) a" ~* s' v$ \牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
" a% V( e. G1 W# {9 qNewton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即


9 i- V! B/ ~' t
  r# s! w+ Z4 b; B2 W因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。


+ z7 G6 K: f! h% V牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
. i( \- L5 [' p9 u( w

3.分段插值
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
4 J/ o: z- Q: v/ D/ X
; @# Z1 R2 r' E  i3.1线性分段插值
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
数interp1。
y=interp1(x0,y0,x,'method')
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
'nearest' 最近项插值
. e/ x; O) x" I$ m$ j: k+ v'linear' 线性插值
0 [" C/ s) K0 R3 X7 R( q'spline' 逐段3 次样条插值
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
4 n% }. V1 b6 P当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
* H+ R/ Q) N# G0 T+ l: C'*spline'、'*cubic'。
# y: J& p- [4 y8 {! Y% f3.2埃尔米特(Hermite)插值
0 P. j3 V- ]3 k1 J4 }$ X到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
* R7 d% p4 J# H- ^! f

function y=hermite(x0,y0,y1,x);
n=length(x0);m=length(x);
6 n4 |* c0 m7 A' {* _8 f, [* f- hfor k=1:m
  J# W) S  H3 [6 y7 Uyy=0.0;
3 o- p  T: ?0 ~6 M4 a1 z+ ^5 Ffor i=1:n
( U. T0 E) I% k2 C3 x# y3 eh=1.0;
9 l$ |; n6 n; Ma=0.0;
1 ~  ?8 `& g  g. Afor j=1:n
  l# W0 g+ o( `: sif j~=i
" z& F/ Q) s7 B+ S( @' U  |8 mh=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
end
' ~6 C  N, l! o. e5 D% G! `end
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
end
* [, |4 }2 f1 _y(k)=yy;
4 Q) `9 H4 q! o  M6 _  e1 eend
# b& I/ R2 e6 C8 ^/ }. S
附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
5 a' a- y) R& _. |3 {: @( u4.三次样条插值
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
这部分公式多，我放到附件里了。

- s7 U0 x4 Y: o, {0 T当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
! T3 X: k6 P' a1 j, F  Q! e

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8 [& N7 Q, D9 a% b$ P: X  o

chqu12

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reptile

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寻找存在的理由

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遗迹

内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。

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zhengyanjun

学习！

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不错不错，好奥