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[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦

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    发表于 2014-7-28 11:22 |只看该作者 |倒序浏览
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    [教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦
    0 X  ?- {4 M  S" N$ Q& R4 E大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
    5 Q+ C4 j% O8 S' A& |: r( c6 W. W2 l5 m  Z+ I. M' C; E
    1. 拉格朗日多项式插值
    # T7 D4 N' Y! ~& s+ Y9 f/ i拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。
    & }* H6 J& a# ?- i" ^9 }7 [! F& L2 y: ]这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。8 d$ K- ~: m7 J! K+ C/ _) ?
    %定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入% [5 I3 ~4 _$ W2 o
    function L=myLagrange (x,y)
    . U5 U, d3 D- ], ^5 b%n      插值结点的个数
    , p* G! r* T  l: Cn=length(x);
    % N  t& e# {( j8 j3 t%L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式
    5 z  i8 m# i9 M8 l; s! T& YL=zeros(1,n);1 U5 e4 B5 Z$ g+ V
    %
    4 g& ?; k  s1 D/ j5 c8 L0 _: n2 E0 S7 O%使用双重for循环,第一个for循环是
    9 P- C* \- ^: f. ~+ efor i=1:n! \5 u- I) p  t0 ~3 s
    %a      
    4 P2 c5 o: Y; ]" O; o9 d/ q    a=1;
    & m% v: x5 n2 `" {1 x%w   
    + z: t8 A: ]- l6 r5 E$ o4 S4 [    w=1;7 `" O# D* }8 v, @
    %for循环
    0 r! |( X# U7 S: u0 ~    for j=1:n. X/ F. |; G% T# c; A) M* Z2 W4 S
            %如果i不等于j
    ) \- a; n* a# \        if j~=i
    5 o0 V% N6 x7 O7 T% Q  I            %累加法计算a4 ]- a+ x* E* u. ]* U* s$ F
                a=a*(x(i)-x(j));
    + H: f) }  S! n/ r1 q            %用向量乘法函数conv计算w
    3 u& B/ u8 S: u( ^: i+ v6 f+ T& K            w=conv(w,[1,-x(j)]);, B* m1 K. N# K/ g) A
                %if语句结束符
    " U. A% N( A3 ^' A4 d        end+ ~& w$ g" A  i; T7 m; {2 I. o
            %第二个for循环结束符) U* |+ \, f* t* n
        end8 t$ i) i, L% g- U- K- w+ g
        %递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素
    # L! V5 i# l* |        L=y(i)/a*w+L;
    5 A' [0 Z' w8 s0 L1 i- p0 n    %第一个for结束符        
    7 J  C2 s/ ^: hend
    + O. S& E% F7 K( T   没错,就这么几句代码,所以很简单的。
    / f. U$ s5 S0 l2 L/ X* b7 R
    $ v+ C) K  V5 J2 t2. 牛顿插值9 V1 t3 q  m+ ]& K5 M  {( F  X$ q- u
    牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。5 m& T" @5 ~, c6 Y
    了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
    & E) w; U0 Z+ {& v5 ZNewton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即
      [6 A: [3 A& ^+ f  v/ w" a
    7 d2 M: r5 m! m' r5 Z, V/ M8 }' Y0 u

    ) J- |4 e# b) u3 g0 A5 N  w* ^& N因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。$ A* r3 \3 Z+ u- n3 C# R
    由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
    ) P$ x, L* |4 a$ n
    * P% X- }! k- F2 W
    " c) r4 O6 c$ k" }6 Y0 m5 U7 g牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
    : v% S; l: I/ S7 R# L8 f+ L
    / l( D9 g. F0 M# T  G8 x! {, M6 \: k4 m4 c5 R
    3.分段插值" ?) _" v- y0 b9 T* X
    在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象,最有名的就是Runge现象,就是随着插值节点的增加,lagrange插值多项式的次数就会增大,多数情况下误差会变小,但多项式的平滑性变坏,优势会出现很大的震荡。
    : e  f" ~4 ?; ?: B) ~高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。0 z6 j% i( U1 m2 L3 d" i% t
    2 J! Z  M0 t& ^# |% ?8 {6 }
    3.1线性分段插值4 ]% w. V# ?7 Q2 v: e, F
    简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性
    , k0 m4 c0 ]+ F. W, Y$ n插值函数,在每个小区间上都是线性的,也就是小线段。
    , G' h$ M# o4 f/ K+ u/ r用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函
    6 `3 w8 R9 S5 Z) j- O! G数interp1。
    $ c: V& D( q6 ay=interp1(x0,y0,x,'method')
    $ h3 w" u* u2 B$ f/ |8 |method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:1 @. c( U$ [* E
    'nearest' 最近项插值
    8 k  P3 K$ r7 |% D9 @9 T'linear' 线性插值6 \& Q% d& M; R3 C" W) `
    'spline' 逐段3 次样条插值' U& F. B) Q! h9 h% }: _9 Q. I2 b
    'cubic' 保凹凸性3 次插值。
    ( K+ p) |" {! B& x$ e6 q5 i$ b8 b  |. B所有的插值方法要求 x0 是单调的。( m: _3 K5 {- r' Q) _. S4 o
    当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、+ f4 o9 D7 T: z+ m+ }4 |$ f; V
    '*spline'、'*cubic'。4 n- {4 M$ H# P
    3.2埃尔米特(Hermite)插值. |7 [2 J3 O3 [% i  j  a
    到了重点,如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一7 f7 ?9 p. {' t# Y& ]0 f/ z
    阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值3 q; v) h/ t( j1 O3 E
    函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
    8 o3 L1 {6 G$ W+ v" l& p& |& n2 A( ^" G

    $ r" c" d" y' V8 u# zfunction y=hermite(x0,y0,y1,x);
    : [* [9 j; Y. v8 x) M+ V, o+ On=length(x0);m=length(x);
    * J! T8 \; m# ~8 {; G" Z8 Ufor k=1:m
    : S% m; w# r; G+ w+ |9 Wyy=0.0;0 a$ @( r, c3 S* a9 ]/ c5 {) @7 E
    for i=1:n
    - Z& X, _- k5 F, g* p3 M  eh=1.0;& {% H/ W) r) U, k( Y5 O" C
    a=0.0;
    7 l, D- ]$ z" i) ?% Mfor j=1:n; l3 ^7 v( w( f/ L% B, y& Y" S
    if j~=i) |7 G: g- }2 e9 l3 o" f
    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;1 W) `3 m+ }! }& ^6 a" p/ ]1 F
    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;3 E( }- W7 w8 k) t+ a1 K. U5 J
    end0 j! b6 F5 S$ S+ [
    end, X7 \4 `* {, |0 d) K9 [
    yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));& h; f5 k, k9 F  b" w# c' E$ c
    end
    1 j' k! Y+ B+ x! u' Xy(k)=yy;
    0 a, Q. B# X9 ?) r5 tend
    & t, Q" H$ w6 L, T" G" }% ?+ R0 k' x
    5 Y$ t* d! R* T; U4 j; [: c) l: }& Z4 d附件里的hermite插值则是3次的,因为我上课时老师让写的是3次的,而且那个还有4个很长的公式,有兴趣的可以自己百度一下。
    9 E8 D- H# l/ g0 ~! L4.三次样条插值+ i, h( O$ J3 l/ J4 D/ Y/ [
    许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外
    ( _/ V: H9 Q0 J" R. v% ^形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,
    ( M  ?# A. h- H; B$ }. V! w& l+ t1 ^3 b0 r而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
    ' K" E- J: v" Z5 ?9 I8 H要求到2阶导数连续,因此平滑性要求较高。( p9 b) y3 b/ u' H& X) u
    这部分公式多,我放到附件里了。
    # O/ |4 F! d4 l8 B. y" b, K% K% W' I+ ^4 ^6 [
    当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已,还有很多二维插值方法啦,可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
    ! m1 r& a% a7 V+ m4 E" b
    8 _3 A6 X) _. \" W. x+ v1 m
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    " w& M# |: E9 {% [. Y* `
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