[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦 # b0 N$ m* u% v6 x" w1 |大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。 ( ~. i, J8 L2 P . l& ?& l" p3 m. w$ W# Y0 z3 B1. 拉格朗日多项式插值! S. Q, y0 V1 @& \; A
拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。 , e7 D& M! j+ E5 N" t" i这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。* j. o6 e, S5 h. ]5 ?# R6 u
%定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入 4 P+ m/ b+ e8 U5 c6 l' Yfunction L=myLagrange (x,y)0 P( Q! Z8 y1 x3 |$ x) k
%n 插值结点的个数/ x1 s& a7 F* }, ^
n=length(x); 0 N4 L& g1 _$ I0 o* ~! M%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式 # j! f2 [0 A y4 T: z. p/ |L=zeros(1,n);5 a- r+ v: V% c3 x& |
%( {' H( O; q6 x5 K0 x
%使用双重for循环,第一个for循环是 3 f3 t; h6 I$ Efor i=1:n / A# {! q+ e0 P%a # E, H1 M1 i9 l" ?# h# f
a=1; 5 n/ d- i: ^- ?* e%w ! O9 S0 V* s8 M" n4 ]) k* x7 m" B
w=1;: e& A; U V1 }* L- J4 z
%for循环 . p b8 @+ J0 C7 o; G" Y6 j, w7 r) u for j=1:n2 F; Y; X: h/ n7 ?8 i- i+ F: v o
%如果i不等于j& g5 Q& J9 M4 S3 ]- O5 {. `. u
if j~=i, g! w F3 c: j7 x; v
%累加法计算a ! t( x; `$ J8 F% C! o5 X' H a=a*(x(i)-x(j));# M/ _( T- z8 h# G; y+ `
%用向量乘法函数conv计算w5 [5 R7 ?2 u9 q) @/ O1 ]5 Z
w=conv(w,[1,-x(j)]);: V2 F( Y' x7 P3 ?3 D
%if语句结束符$ z( F$ d C- G j* z9 J
end , a6 D: n$ k0 R ]* C %第二个for循环结束符 " `5 y/ \: o) c+ c2 v9 O/ E Q* Q end 7 M9 _' F" Z1 t/ Q0 m8 @+ R %递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素) k. ]$ C3 i. n3 c* C+ S
L=y(i)/a*w+L;1 M# u! I- p- m9 f3 m% x
%第一个for结束符 7 {4 W, |& e7 T9 e2 v0 Rend 1 {- y" A9 ~4 I5 U 没错,就这么几句代码,所以很简单的。3 N5 l" \! W) R# a0 l5 i, a
* U+ F' `$ D. K' L( Y2. 牛顿插值, L, y2 J! B( e& D1 R
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。 # `3 y c2 A+ M! M8 x# c了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。 1 F4 y. t R1 u; n ^Newton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即- `+ ]* Y: g% z. Z% H- e0 [
% \' L+ _& b- S! r/ T) Q& P. h* f
; u$ `6 V* T5 Y* Q7 j% |5 n' g) a因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。 c9 g% F' \9 K0 ^& r
由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。 m- e+ V, J8 a. k7 j
& u/ A+ k0 {, C9 D; H; x# t ) H/ h% g* M. U8 C8 _: {! A9 e牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的9 x% ~. p7 ?( P/ Z