[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦

建不了的模。

[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
. M. Q0 P& n# I( m& g大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
* g- _, v" A5 g" V* D) @
1. 拉格朗日多项式插值
' P0 V6 X5 C6 L拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
: e% y+ {: C3 e% B* q/ m% r% zfunction L=myLagrange (x,y)
7 q. q8 a5 g; T/ z; ~& G. l! i8 X%n      插值结点的个数
3 m$ Z, ]/ ?$ y+ ^" D2 N9 Vn=length(x);
%L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式
L=zeros(1,n);
2 w1 m. `: m, N%
5 K9 i$ B" U5 }0 i  Y%使用双重for循环，第一个for循环是
4 ~/ ~0 @% k7 ?1 N/ o! n! J( q0 E$ nfor i=1:n
%a      
    a=1;
. \$ j. P# I! K%w   
8 I  E3 T9 ~, b) n6 j  G! \    w=1;
%for循环
" `- }2 h5 o- E& ]    for j=1:n
6 F2 A1 P+ m0 C! @: h        %如果i不等于j
5 S: Q6 g! {9 Q/ Z2 m. a5 }2 L        if j~=i
            %累加法计算a
            a=a*(x(i)-x(j));
' p' P4 M& N* H. r& ~5 m. [- W& |            %用向量乘法函数conv计算w
            w=conv(w,[1,-x(j)]);
3 f4 n# L0 J# Y3 D            %if语句结束符
        end
) g4 _" Y1 m' Y        %第二个for循环结束符
    end
    %递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
        L=y(i)/a*w+L;
* E0 q, N5 Y' o) m. [! w) V    %第一个for结束符        
% x' R: g- i6 n. w7 z/ Uend
3 T% q, |2 y- f$ V2 \   没错，就这么几句代码，所以很简单的。

2. 牛顿插值
* A0 @2 T' j5 a4 y" W$ a& k牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
0 d' F, W1 B: BNewton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即



因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
" X3 Z' m, [' ~# l由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
$ r: G! R4 O9 K4 _( T0 a  @  b

牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的

8 H0 ~- X$ g7 X4 m! j* L7 H0 o2 d) Y8 t# c
3.分段插值
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。

3.1线性分段插值
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
% E: ]& H+ g7 N: o插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
0 |! C/ d/ q5 f( u# L' }( Z用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
数interp1。
* T) z  S4 E4 @; w/ M( Uy=interp1(x0,y0,x,'method')
* Z2 _' N2 E- m' u; Z$ U1 B' jmethod 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
! g6 s8 v  f! t4 l'nearest' 最近项插值
9 \5 c$ j2 v: n'linear' 线性插值
& C! j1 O: v' d/ o0 J$ a'spline' 逐段3 次样条插值
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
8 u1 f7 C6 @4 ?7 A, \/ n# f9 X6 W当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
'*spline'、'*cubic'。
% Y+ \) Y# D3 ]- l! {3.2埃尔米特(Hermite)插值
1 h, {2 [5 K  s( x* G7 K' O3 m到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
' V; v6 N% z) [0 ^阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
1 i% u8 w+ f9 Y函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
0 W* o- K& I* e

function y=hermite(x0,y0,y1,x);
; t9 y0 |  c, pn=length(x0);m=length(x);
+ ?3 P+ w/ D" T* X; X2 Xfor k=1:m
( X' S9 t+ }! K$ M& J9 G* C2 Jyy=0.0;
- ]  d' w0 u$ X3 @0 Q9 vfor i=1:n
' m2 U0 \7 H* b7 A5 Rh=1.0;
a=0.0;
for j=1:n
, a0 w7 I4 K7 j+ w8 O8 \7 |6 N$ K0 Uif j~=i
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
end
end
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
end
y(k)=yy;
end
/ V3 I- c1 J5 f1 [, E+ ?
+ N- \* q( |& C附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
  l  _7 y3 e3 o4 |$ M4.三次样条插值
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
; q& }1 f% E* K  l+ j) f形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
* l* l1 l3 ?2 ^1 I. M这部分公式多，我放到附件里了。
* p( j5 o3 y9 X$ O
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
4 j! b5 h  b; d: b: x
0 M! X" c/ D4 ~* u

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- ?# T! V6 S. z

chqu12

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reptile

3q

寻找存在的理由

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kdyzyymx

keyifanxiangyixia

遗迹

内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。

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j2613043

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zhengyanjun

学习！

taozhanghua

不错不错，好奥