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[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦
. M. Q0 P& n# I( m& g大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
* g- _, v" A5 g" V* D) @! Y1 f& F; F* a" j8 V, m* {
1. 拉格朗日多项式插值
' P0 V6 X5 C6 L拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。4 B% K1 w, P" Z* h6 U' R: z) z
这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。5 s# D( z/ }1 K; H% y, ^7 ]
%定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入
: e% y+ {: C3 e% B* q/ m% r% zfunction L=myLagrange (x,y)
7 q. q8 a5 g; T/ z; ~& G. l! i8 X%n 插值结点的个数
3 m$ Z, ]/ ?$ y+ ^" D2 N9 Vn=length(x);; a; P+ c1 j. k+ T5 m' N v: W
%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式; t( N8 m" l+ m
L=zeros(1,n);
2 w1 m. `: m, N%
5 K9 i$ B" U5 }0 i Y%使用双重for循环,第一个for循环是
4 ~/ ~0 @% k7 ?1 N/ o! n! J( q0 E$ nfor i=1:n: A' h; { a9 i& p" s
%a 1 w) d& E- n4 n% {" Z
a=1;
. \$ j. P# I! K%w
8 I E3 T9 ~, b) n6 j G! \ w=1;( }* E: x* P8 n8 T& R2 G
%for循环
" `- }2 h5 o- E& ] for j=1:n
6 F2 A1 P+ m0 C! @: h %如果i不等于j
5 S: Q6 g! {9 Q/ Z2 m. a5 }2 L if j~=i( Q- i5 b5 `$ y7 O1 D
%累加法计算a- N7 W4 D4 K. [4 i+ l5 h6 V
a=a*(x(i)-x(j));
' p' P4 M& N* H. r& ~5 m. [- W& | %用向量乘法函数conv计算w {6 W# v: d% u1 S: r" G) _9 t
w=conv(w,[1,-x(j)]);
3 f4 n# L0 J# Y3 D %if语句结束符0 \9 Y( _5 C3 a/ k' y
end
) g4 _" Y1 m' Y %第二个for循环结束符+ A0 ^+ `- G, G( W
end& a% h3 m( ]+ S+ T' `( `) ~2 g. d
%递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素1 L) b+ l+ L' t& {* P2 n1 C, q
L=y(i)/a*w+L;
* E0 q, N5 Y' o) m. [! w) V %第一个for结束符
% x' R: g- i6 n. w7 z/ Uend
3 T% q, |2 y- f$ V2 \ 没错,就这么几句代码,所以很简单的。3 q* i; j% O- }5 e7 V
: m. V" N; O( [3 P A
2. 牛顿插值
* A0 @2 T' j5 a4 y" W$ a& k牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。7 U6 M1 P* ?4 A8 {/ b
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
0 d' F, W1 B: BNewton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即# @8 A# K) X" x% J) g B! q( l, ~9 ?
6 l2 W$ F* r" m5 g. w* N A
5 v S* j6 @% r1 }7 I5 ]. i
, H: d, M% N5 v) u
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
" X3 Z' m, [' ~# l由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
$ r: G! R4 O9 K4 _( T0 a @ b" o* k4 Y( ]" a1 _9 W/ o) l1 c
/ v# ^$ I& n) U( b% X2 O2 p
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的; {; U1 p: {( G$ n6 R' y
8 H0 ~- X$ g7 X4 m! j* L7 H0 o2 d) Y8 t# c1 n n4 s0 p& E
3.分段插值- G: y. t/ }; T6 I* ]$ S; D" O
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象,最有名的就是Runge现象,就是随着插值节点的增加,lagrange插值多项式的次数就会增大,多数情况下误差会变小,但多项式的平滑性变坏,优势会出现很大的震荡。* R0 l3 b9 t: L6 r3 E5 M
高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。. e5 s: g% O. a+ p1 L( R
- X" j0 M1 n; x9 z# u& j7 p
3.1线性分段插值2 v; ]" f8 K; O4 h& g
简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性
% E: ]& H+ g7 N: o插值函数,在每个小区间上都是线性的,也就是小线段。
0 |! C/ d/ q5 f( u# L' }( Z用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函) R0 h8 w* U0 r+ H* ^( E- s
数interp1。
* T) z S4 E4 @; w/ M( Uy=interp1(x0,y0,x,'method')
* Z2 _' N2 E- m' u; Z$ U1 B' jmethod 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
! g6 s8 v f! t4 l'nearest' 最近项插值
9 \5 c$ j2 v: n'linear' 线性插值
& C! j1 O: v' d/ o0 J$ a'spline' 逐段3 次样条插值$ p. ?- [9 z0 }2 }+ P
'cubic' 保凹凸性3 次插值。/ B( x, N* M' \2 i8 N) [& @0 D
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
8 u1 f7 C6 @4 ?7 A, \/ n# f9 X6 W当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、4 O: I' K5 t( b8 @; y
'*spline'、'*cubic'。
% Y+ \) Y# D3 ]- l! {3.2埃尔米特(Hermite)插值
1 h, {2 [5 K s( x* G7 K' O3 m到了重点,如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一
' V; v6 N% z) [0 ^阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
1 i% u8 w+ f9 Y函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
0 W* o- K& I* e+ I* W0 t/ s& Z# v0 E3 X
: i+ _& P% t1 }; c, ^
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
; t9 y0 | c, pn=length(x0);m=length(x);
+ ?3 P+ w/ D" T* X; X2 Xfor k=1:m
( X' S9 t+ }! K$ M& J9 G* C2 Jyy=0.0;
- ] d' w0 u$ X3 @0 Q9 vfor i=1:n
' m2 U0 \7 H* b7 A5 Rh=1.0;' l1 G. `: G& j, @
a=0.0;# [( h+ ]5 c \: U
for j=1:n
, a0 w7 I4 K7 j+ w8 O8 \7 |6 N$ K0 Uif j~=i I, Y% b2 l2 N6 h
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;1 U6 }) m5 k" L: A
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;) S/ X; f6 [% H1 [; E& c& N: e
end7 c& Q* G# u1 i' A
end- ?3 ]' H3 ] k G
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));" e- n& q) Y @( P
end9 G& _& }, O$ p- ~
y(k)=yy; N5 T+ U& }7 n
end
/ V3 I- c1 J5 f1 [, E+ ?
+ N- \* q( |& C附件里的hermite插值则是3次的,因为我上课时老师让写的是3次的,而且那个还有4个很长的公式,有兴趣的可以自己百度一下。
l _7 y3 e3 o4 |$ M4.三次样条插值* a7 `& ~. g8 D! U) }3 \
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外
; q& }1 f% E* K l+ j) f形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,9 ?( C$ |& B/ o
而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。 l9 i6 `4 ^* \- Y( k( d: A
要求到2阶导数连续,因此平滑性要求较高。
* l* l1 l3 ?2 ^1 I. M这部分公式多,我放到附件里了。
* p( j5 o3 y9 X$ O1 Y1 J% P l a3 W8 [
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已,还有很多二维插值方法啦,可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
4 j! b5 h b; d: b: x
0 M! X" c/ D4 ~* u
- ?# T! V6 S. z |
zan
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