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[代码资源] 模拟退火算法

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    [LV.2]偶尔看看I

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    发表于 2012-1-13 19:16 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    刚下载的。觉得没有必要做附件,直接贴出来共享。不过还是感谢之前的分享着。" H2 @% r6 i4 ?9 r0 L9 n
    ! G5 S% U5 t1 o
    模拟退火算法
    5 T8 U' a! k3 v8 x9 K8 [' o  模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 0 r: R3 N' ^* j5 S# @) p! Y8 ^
    3.5.1 模拟退火算法的模型8 c2 m) p. P9 A" `9 f
      模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。: H& s! e5 h& A0 C% W' p
     模拟退火的基本思想:; s- ~  p# T( O: T, ~; C* u6 }
      (1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L% C' P4 x  m# y7 R- }7 z
      (2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:) c$ B: G+ x; }! l' V+ i
      (3) 产生新解S′' H6 u" s# m5 k% l0 J) K* L
      (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数
    ! x4 x% c3 h/ N  (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.- J/ k- y, [3 w& d
      (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。
    4 m. C1 r- ]9 j; t- q终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
    & H, ?6 k, R8 q9 n' a& Y; }  (7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。1 R- l/ ?( r1 c4 @, g% Z8 |  o
    算法对应动态演示图:
    % N( K: J4 Q. E, h模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤:3 I: U/ c0 L0 x' o5 O9 D0 w
      第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
    3 t3 _6 D6 x$ b  第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。
    0 N6 ?; U% W7 l0 y; q# w4 M( C8 M8 t  第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
    2 K, N' @2 V' l/ k: X& B9 r  第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。# h9 L. T, w+ L. B' s/ p# A) S" Z
      模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。8 R, S2 o# Q9 c) ?& m) d% |
    ! k' K7 \) w9 f* f/ @& F
      [: w9 @, f. |7 j) u' b2 q9 I
    模拟退火算法的简单应用- P8 K+ V8 e7 X. i5 I+ E& \
      作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。  j- e( J* @' G3 f* }$ k
      求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:7 a7 h6 ]! Y( u+ c& r
      解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n)2 j( V- i0 c! p6 @: w  ^4 |
      目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数:
    4 r! d% j& g5 `% U7 d0 }/ t. ?) C5 D% T8 Q- i
      我们要求此代价函数的最小值。! W% z. C# h) g1 k5 U9 @
      新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将1 Q! j- a3 W5 z% \7 |
      (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
    2 @3 B* S; ^4 r2 E  z; d  变为:) c3 y5 j6 f; A2 f) u' L) W5 ~
      (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn).
    + E  V9 J" o' K& }, O1 t  如果是k>m,则将
    ; R" e, e* R3 o9 Q  (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
    ' Q4 k) B' Z/ U. C0 t# m: ?, D  变为:& v9 b! m* {$ Z
      (wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk).! X4 q6 |* z5 @
      上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
    . i+ }! d; i1 m3 M8 v5 q  也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。
    ) o" T% P( g" ^+ t, A' M& m4 Z  代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为:
    / u2 y1 N0 ~/ ~: `2 T! N8 z
    & z1 l- J- A( N根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序:% C& ]& s  W0 z
    Procedure TSPSA:
    3 M: B9 h- H! R; j& H begin
    - N3 l! u  ]) ^  init-of-T; { T为初始温度}
    % j4 F3 v6 u- J8 d3 \9 J4 R# R  S={1,……,n}; {S为初始值}8 E! b# W, o: _
      termination=false;8 ~/ q$ X7 p& [4 y& w4 E
      while termination=false
    9 ?+ \- U3 R# I( e   begin + X3 \. Y; }! H  {
        for i=1 to L do
    ' W6 k+ T& S0 J2 [, _* r) ?      begin
    ) h1 N$ Q$ v2 H. G+ h% h0 t        generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}% |/ j4 }! E! v: _! x$ N9 y* D
            Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
    # r7 {; _/ M3 j# h& u( \" J( I        IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])3 l$ T) z% e5 E
            S=S′;
    4 _7 b" J5 u8 M5 ~+ k- c        IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
    ! q& t/ _# r. W" O: P  C        termination=true;
    # Z5 T' S  L2 n# s) z: I      End;
    - k( A6 i! ~# b    T_lower;# l) A$ N" B( Q& }" q: w6 i" F
       End;$ Z" A+ C" b9 T0 p
     End
    ) L+ I0 P0 v( g* Y9 ?  模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
    ) ?8 X4 M4 E# k, G4 G5 G
    0 w6 H# B0 D- c& U6 l' b1 m+ M) O3 T9 S$ D1 N2 v( @% B/ m, r! s; o
    模拟退火算法的参数控制问题
    5 a: V: M0 q: \  模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:
    : Z8 f  V* q+ i: a9 G! P% c- F6 U  (1) 温度T的初始值设置问题。- @$ {; [0 A6 m/ |" S
      温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。( w8 R# y$ {3 C
      (2) 退火速度问题。3 _; b% |, U1 R9 g
      模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。
    ( e2 [9 i: |2 J3 F$ B  b3 I  (3) 温度管理问题。
    # a+ ^4 x: u5 _& k  温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式:: v) I3 ]& c( w: |$ z

    , ~- u3 ^1 X) H# [+ e8 ?/ mT(t+1)=k×T(t)
    ( W0 H; j. j- v" M9 K式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数。
    zan
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