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[代码资源] 模拟退火算法

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    [LV.2]偶尔看看I

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    发表于 2012-1-13 19:16 |只看该作者 |倒序浏览
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    刚下载的。觉得没有必要做附件,直接贴出来共享。不过还是感谢之前的分享着。
    $ R0 g! z$ n* ~! F. }% X/ Q: ~8 M4 W' S* u1 p, v3 T, @$ p0 R+ S
    模拟退火算法7 Z( a# e4 ^9 C: n" n, `
      模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
    * a7 U* u$ n) S3.5.1 模拟退火算法的模型, |# u( ?' `% E: \6 b1 i
      模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
    6 a6 c$ }8 o5 Y' ]9 f 模拟退火的基本思想:' r! o0 U- v: `% S
      (1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L
      p7 ^& Z. X1 L- ^! S  (2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:# z+ N0 c3 t$ r# F# Q! a) @
      (3) 产生新解S′) l' E. \! N# U; ?5 P3 w
      (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数
    7 }9 t, i) k+ Z$ @3 U  (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.5 i9 F, k$ z8 X. \
      (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。" A8 }% ]; p% x- @/ C+ w* a  Z4 q
    终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。! ]6 [( `9 M$ W/ r3 N9 ~
      (7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。5 t: E1 m# h  F) y7 X
    算法对应动态演示图:
    # o0 g3 K" r: ^$ y, N& d模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤:' U& x" a" M6 d% i2 `# O8 o
      第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。0 z4 `6 z6 ~* ?! n* M% f1 y8 T# {: ~: t
      第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。) o  D0 U- q& @* p" j% e- I
      第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
    5 h  A( _- I# o+ {8 l2 h9 ]2 f  第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
    . t- a- I5 d+ e9 `' |+ t1 D/ g  模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。; y$ h; q4 y1 ]8 W
    8 I/ E% M4 D. j  a: I3 z& L. `/ o0 W

    & U! \7 S, H0 C; J4 f7 U% t模拟退火算法的简单应用
    ) ]/ v5 E0 h( u% P0 W9 x0 O  作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。
    6 P( I- p/ s7 U9 R  求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:
    , ?3 ^5 y: n5 N; V! v; H$ l; q2 P) O  解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n)3 G7 B- f  P  u/ a" T9 V* ^8 |. W
      目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: 4 i* [4 X. q% `8 S0 [3 z: y

    8 s5 l2 S* N) w  M  我们要求此代价函数的最小值。5 C% G/ I# r: h; ?
      新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将
    + g8 A( i* ]$ h+ T6 ]2 J6 D9 ]; w  (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)" `4 X0 X7 w9 x: Z) Q+ R
      变为:
    3 a! @4 ]) R: n$ i, m% O  (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn).  j9 d  M/ G( j. a1 j* V" o! r! j
      如果是k>m,则将, P* j+ {( ?) [! ?. b  S) C
      (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
    6 v- M/ z3 E4 p, r% z. [  变为:
    ; C4 e9 b1 p8 ^* V2 f  (wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk).
    ' u1 H" _# L0 M' C4 H8 }  上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。4 {% B; s3 q. p1 s+ o' o
      也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。 ) G2 w7 ~4 Q( b( s9 I
      代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为: 8 ~# v& z: k  f) U
    * V6 \1 \8 e% @& ]' g/ i
    根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序:" f! F! N' O* l- v- }. V3 p
    Procedure TSPSA:
    ! K: v1 d0 j- y6 U4 A" [) {8 q begin 1 r# l5 ?. @5 F# h
      init-of-T; { T为初始温度}
    8 d3 ~: t* A5 O& j1 x! K  S={1,……,n}; {S为初始值}( I/ J7 K0 [9 ~& @# T9 d& s
      termination=false;
    & F( W+ J5 ~$ @. x  v7 g  while termination=false! j4 N+ K2 N) L2 g' Y( _
       begin ) D& A2 K. {. Y: h" ]& X, d
        for i=1 to L do
    ' s1 |5 F) i! B      begin$ d3 \' D& o; B& G, W
            generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
    # t8 P9 T! w+ H3 I; h# \        Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
    6 `: }% e. @" c0 r% {) D; E        IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1]). w7 B1 x9 `6 @' a
            S=S′;
    4 y# O; g! g+ a& T; v3 W/ }/ X        IF the-halt-condition-is-TRUE THEN " n( ?! U' w" M# h* r; x- X/ J# n
            termination=true;
    + {7 x/ I7 t1 ]) N: Z6 \      End;3 o; C2 d* e9 j+ y$ J' w
        T_lower;
    2 r0 l5 ?' N. \3 ^3 @0 L8 h  l   End;
    5 v* D9 X( ]9 X) I  f. t End
    / f$ Y2 V/ A  D/ i+ U  模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
    4 n0 q& D: P4 s0 r. Y: h. ]" ^% X( z! o/ N/ k7 f8 u+ `

    ! U2 }3 m* m; Q模拟退火算法的参数控制问题
    8 x3 I4 `0 _6 M3 J2 m& N  模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:
    ) @# `) D3 m$ X- q3 F  (1) 温度T的初始值设置问题。
    ! _1 i# f( D0 M( {% q; ^3 C  z  温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
    ' O2 X' K$ L6 U/ Z0 p5 g  (2) 退火速度问题。
    6 e* S$ J+ t* g( C7 R  模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。; y5 g3 k6 G. g  X" Q
      (3) 温度管理问题。: A6 M8 A: _+ c
      温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式:7 c) d; a# o4 l) ~

    3 g- e( G+ ?: J( t4 GT(t+1)=k×T(t), v0 n; f% c% w7 ?7 B" S
    式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数。
    zan
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