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升级   37.89% TA的每日心情 | 郁闷 2012-2-15 14:23 |
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签到天数: 4 天 [LV.2]偶尔看看I
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刚下载的。觉得没有必要做附件,直接贴出来共享。不过还是感谢之前的分享着。
' e p# ?* t n6 ]
+ E. u5 \* }! c4 x$ {0 r模拟退火算法
) ]$ G) F5 f: _4 k 模拟退火算法来源于固体退火原理,将固体加温至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小。根据Metropolis准则,粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT),其中E为温度T时的内能,ΔE为其改变量,k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题,将内能E模拟为目标函数值f,温度T演化成控制参数t,即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初始解i和控制参数初值t开始,对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代,并逐步衰减t值,算法终止时的当前解即为所得近似最优解,这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制,包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 : ?3 B8 U2 b- w. W" e; a: _- ?
3.5.1 模拟退火算法的模型6 m& ^$ y3 v9 q2 v
模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
1 l% G6 G: r/ p* J0 [' | 模拟退火的基本思想:
2 O" k) W2 V2 l; e (1) 初始化:初始温度T(充分大),初始解状态S(是算法迭代的起点), 每个T值的迭代次数L9 \7 n) }# ~0 X# V0 N
(2) 对k=1,……,L做第(3)至第6步:
; R4 J6 e' Y. J (3) 产生新解S′3 f4 `2 e8 V N& E% }+ n+ u* w
(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S),其中C(S)为评价函数
' d# S' h# g" F9 |* f3 n0 O (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
: W* h. O) P$ {- v' f (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结束程序。8 N' \% f) F- w! I5 g
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。' h# Y2 i9 K* X9 J4 V" N8 Z
(7) T逐渐减少,且T->0,然后转第2步。
o& n8 `& T. F k- M算法对应动态演示图:
. @" M- Y, ?6 W \2 D模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤:
; B4 t: x- k7 Z; P9 s 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
# k% w% |: ^& W; ~& K 第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生,所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标函数差的最快方法。9 t* G4 J# {2 p: h' Y! j1 I* n
第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则,最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S,否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。2 I! z7 {8 O& _! w3 u8 V
第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。9 L' V, E+ Z8 a( c: c, p
模拟退火算法与初始值无关,算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关;模拟退火算法具有渐近收敛性,已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性。
- n1 M3 J. \3 ~1 a9 C0 ^6 l; O6 M. j( T, H
. U" Y O/ t- \) b G模拟退火算法的简单应用
( H" _* M r1 Q& O* [ 作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。
! U& ? D! V1 V 求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下:) z% ~9 t1 o/ l
解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n)3 B; f* p5 ?% @- d' l( W# O
目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: 0 c8 ?4 y% ?4 M/ b9 G, ^+ O6 @" b
0 v' k, J1 C" H2 \2 w) C/ g1 Y2 c3 O: i
我们要求此代价函数的最小值。8 a9 \% V$ b; P$ c6 D( V% e/ w
新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将. T7 u2 {) p9 a! B: W" g; p* V
(w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)4 j$ F5 E# i! Z/ [4 g* _% L4 D
变为:3 r* {: m2 `1 d6 o6 U2 Z$ z6 M8 _
(w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn).7 y }4 x% l/ ^9 F7 i0 f( A- @
如果是k>m,则将
7 G9 i* N. d4 n( A3 K( G' d (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn)
+ U4 K8 |) I7 B# K0 o" `: B | 变为:
" r- o* n8 ^7 A1 V (wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk).5 H# W6 d; k" v, e5 [- |' a% ^
上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
4 w# w' B) {' A6 x 也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。
( j) a5 f5 W3 T" S 代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为:
X. _9 I8 R) S* x1 R' u
) R5 c& k! H& b. _2 \根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序:
! Z, D+ ^; j. P7 |Procedure TSPSA:
" P( m8 o+ r5 n7 P$ [5 u, v begin , w1 I; P: `' F( P% j4 ~, k, ]
init-of-T; { T为初始温度}
1 ]6 J- l8 A' ^# Q3 J7 e S={1,……,n}; {S为初始值}) f/ v3 l! b6 b5 D# }. a6 C
termination=false;
6 n. C# R- o& c3 @ while termination=false
" A# i, Z' I& o, m$ D& q begin ) r3 w/ O. ^* n2 S6 A+ s- z
for i=1 to L do
0 B# c+ N: q8 c* @ begin1 W2 y0 H2 B6 n8 h
generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′} d/ Y2 ^6 c+ [" g: [5 N$ m" z- `
Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
3 j2 j6 l8 E8 F) H IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])6 k5 ^! H0 F! p+ Y; g. D7 S
S=S′;
+ ~' L" f0 @3 i- d! ] IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
5 S( C! m2 j: E. S, S termination=true;& |4 n. [7 a ]
End;
; o! ]6 X+ D' K T_lower;
" N3 d, Q p' M. C( {6 X End;
+ N0 \6 {4 M! V! R' g8 H s End8 i+ P( L) @/ [
模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。( G. R: D, @! c" W6 N% Q+ p' U
, D4 J& _2 [6 i
! E- D) c) Y) a4 R1 ^模拟退火算法的参数控制问题
8 e3 K1 l. t8 M s. z1 e# y 模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点:
; ?; L- _6 _; N. D( P, N (1) 温度T的初始值设置问题。0 A6 m9 C$ r. ]' I) X# l
温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。0 `. A8 ^+ l$ `2 b
(2) 退火速度问题。4 Q3 H4 l& j1 N$ s% G
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。, [9 v6 u7 o# t, l
(3) 温度管理问题。& M; {8 J# K' g# V
温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式:8 i/ x% @4 _ d9 b; C
% r I2 k8 A* z1 Y! K/ T+ q! v6 \1 g
T(t+1)=k×T(t)
" B1 J( s! @' C式中k为正的略小于1.00的常数,t为降温的次数。 |
zan
|