[原创]实力论文 jpb2：推证哥德巴赫猜想

god

程平 先生：

# T$ W9 ]$ U# x% Y+ ]6 a# |

你好！

现在对《推证哥德巴赫猜想》一文进行补充，希予改正。

推证哥德巴赫猜想

& B+ f6 W, @) ~ \2 z" |

通俗易懂，清澈透底。

名词：对称奇素数。

7 Y3 O* L) g+ V+ F1 g; [; c

内容：提出和推证等价哥德巴赫猜想，推证哥德巴赫猜想。

1 -------- 对称奇素数：

设不大于偶数 N 的奇素数是 si，合数是 Fi，则：

$ B7 K; x, E- a) E# q9 d

N-si 称为 si 的对称数。

- ]4 c# U5 @3 [& S+ h5 s

N-Fi 称为 Fi 的对称数。

- b& l% c0 i1 F# G

若N-si是奇素数，则称为 si 的对称奇素数。

8 n3 h7 h3 I' O. t! M1 a' D) @

若N-Fi是奇素数，则称为 Fi 的对称奇素数。

. w% g( d! z( k. K; A8 S

例如：

偶数 N = 6，不大于 6 的：

奇素数 si 是 3，5，有2个。

对称数 N-si 是 6-3=3，6-5=1，有2个。

对称奇素数是 3，也就是说，在2个N-si里面，对称奇素数有1个。

% p- O2 n- c$ c$ L) j2 s4 ]

合数 Fi 是 4，6，有2个。

) ]6 A* f4 j2 w5 I1 x( B4 o, s1 w

对称数 N-Fi是 6-4=2，6-6=0，有2个。

只有对称素数 2，也就是说，在2个N-Fi里面，没有对称奇素数。

) v6 L: B8 i: O) e* L: ]6 \" O4 x- h / ?/ h- d; N# D- s6 A

N = 16，小于 16 的：

奇素数是 3，5，7，11，13，有5个。

% Z3 R D- ^8 O

对称奇素数是 13，11，5，3。在5个N-si里面，对称奇素数有4个

K& Q6 K' N, Z2 N: ~7 P" n8 _

合数是 4，6，8，9，……，15，16，有9个。

对称奇素数是 7。在9个N-Fi里面，对称奇素数有1个。

/ q6 y8 d2 S6 T# b6 _4 F$ V - m1 V+ `3 k, k# O5 H/ w5 E

2 -------- 等价哥德巴赫猜想：

设不大于 N 的合数有 F 个, N-Fi也有F个，得：

N > F -------- (1)

p0 M3 ~9 \7 \6 z7 l ; d+ M6 t4 x. P' `' {$ {3 h

设不大于 N 的奇素数有π(N) 个，在 F 个N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个,由 (1) 得：

* K! k H6 J/ U& }7 Y3 V/ O

π(N) > π(F) -------- (2)

这就是等价哥德巴赫猜想。

- ~9 K w* U Z ~

这里需要注意：π(N) 既能认为是“不大于 N 的奇素数个数”，也能认为是 “N 个正整数的对称奇素数个数”，但是 π(F) 不能认为是“不大于 F 的奇素数个数”，只能认为是“F 个合数的对称奇素数个数”。

例如：

7 a! Z1 a& E# o3 H }! Z

N = 16，π(N)=5，π(F)=1，得 5 > 1。

' a. b: G. y2 ]# F. g7 P. h0 i) v

对于任何有穷偶数，(2) 都成立。

3 -------- 推证等价哥德巴赫猜想成立：

, p% g7 o4 E4 D' b3 p+ {* }0 E7 ~! e

证等价哥德巴赫猜想有穷成立：

根据初等数论：

设在 N-si 里面，对称奇素数有π(s)个, 在N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个，则：

w# S" H1 b0 U* L; f: `1 W

π(N) = π(s) + π(F) -------- (3)

对于任何有穷偶数，(3) 都成立。

+ |4 F7 Q/ G! G- ]! C! |' X; l

例如：

0 L* m/ S7 K# @9 V

N = 16，π(N) = 5，π(s) = 4，π(F) = 1，得 5 = 4 + 1。

, h: k6 F6 ] J D0 A# C; g$ S

设1不是素数，计算时不计入1与 N-1。

根据 (3) 很容易判断，对于任何有穷偶数，(2)都成立。

/ M% w2 M# Y9 @# F5 M* H7 i d

也就是说，等价哥德巴赫猜想有穷成立。

证大偶数等价哥德巴赫猜想成立：

" i; ^% v8 a* m% A/ F. L7 j

把F → N 的偶数称为大偶数。

% J. l" g4 f0 Y# q6 P1 r: s' r9 ~

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，则π(N)/N 称为奇素数的出现比例。

7 `1 K# \! c5 w/ }5 B' f. {

设 F 个合数的对称奇素数有π(F)个，则π(F)/F 称为对称奇素数出现比例。

2 y% Q2 U; G. v' H" `& [) ? ; p9 m% q9 t) u

根据数论知道：

* S" B# {4 a, g3 J# C

若N → ∞，则F → N，得：

( k+ |6 S2 ~& q+ @4 N7 P

lim { F → N } （π(N)/N）/（π(F)/F ）= 1，变换得：

lim { F → N } F π(N) / N π(F) = 1，由（1）得：

N π(N) / N π(F) > 1，变换得：

5 s5 F% g% w0 A* f" c4 [/ M* A

π(N) / π(F) > 1,

由此得：

' }4 h) @* X# G3 ]3 P- I

{ F → N } π(N) > π(F) -------- (4)

. F% v; T% m3 ]/ T' g; e" m* g

由 (4) 确认大偶数 (2) 成立，也就是大偶数等价哥德巴赫猜想成立。

2 M# `, C2 w5 Z6 A. j" @2 b; {# F

由以上确认等价哥德巴赫猜想成立。

- ?/ X6 J! G* J" y & u+ C1 z# T- j: i) N4 d) A

4 -------- 推证哥德巴赫猜想成立：

* p" F) ^5 a5 p# Q2 c

由 (2)，(3) 得π(s) = π(N)-π(F) > 0，由于 π(N) 与 π(F) 都是正整数，所以π(N)-π(F) 也是正整数，最小的正整数是1，由此：

$ U' z( L2 j; c0 j3 u$ L

π(s) ≥ 1。

: |* w8 E" }6 b: i

这就是说，在奇素数 si 的对称数 N-si 里面，总有一组是对称奇素数，所以任何偶数都能表示为 2 个奇素数的和：

N = si + N-si，

哥德巴赫猜想成立。

4 B' O1 S3 ~. Y6 W2 W# \$ w- l( x

参考资料 1 -------- 比较：

! J1 u7 W8 c, A. n

N--------1/lnN-----------π(F)/F---- 1/lnF

10^3---- 0.145-----------0.135------ 0.149

. v2 [6 Z U3 s* t" M

10^4---- 0.109-----------0.111------ 0.110

10^5---- 0.087-----------0.088------ 0.088

" W3 _- A. p' X

10^6---- 0.072-----------0.073------ 0.073

4 C) q$ |4 C. q1 d8 w

10^7---- 0.062-----------0.062------ 0.062

10^8---- 0.054-----------0.055------ 0.055

10^9---- 0.051-----------0.048------ 0.048

) u; w& Q8 |: f- W2 M) h

10^16----0.027-----------0.027------ 0.027

10^21----0.021-----------0.021------ 0.021

/ D& j! E; H6 s5 f3 k7 R

对称奇素数的实际出现比例 π(F)/F 逐渐趋于计算值 1/lnF。

: t& T0 v+ Z5 G' N, G1 B2 v6 L2 A9 E+ e

对称奇素数的计算值 1/lnF 逐渐趋于奇素数的计算值 1/lnN。

4 I2 W, t5 E- I. [7 P

理论符合实际。

# J1 n) H9 Z( Y$ B: V

参考资料 2 -------- 大偶数哥德巴赫猜想的计算：

& R* y0 b0 A4 K. b" c0 X3 u

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，合数有 F 个，则：

1 Z* }" Y: z' E* _" _9 L. v- n

N =π(N) + F + 2，得：

8 V/ t9 T" T8 l2 b$ t

π(N) < N - F -------- (1)

+ N4 H! ?: ~/ j* i1 C6 d' S

根据 (1) 由数论知道：

! F' _/ W& Z( X+ g6 }/ B' I P

π(N)→(N/lnN) -------- (2)

+ r7 i4 R! o0 o/ m. A7 O

同理，设不大于 N 的 F 个合数的对称奇素数有π(F) 个，得：

& l1 _: }4 D0 h. C6 ]: H

π(F)→(F/lnF) -------- (3)

设奇素数的对称奇素数有π(s)个，由等价哥德巴赫猜想 (3) 知道：

π(s) = π(N)-π(F)，再由 (2)，(3) 得：

4 M' d0 Z' l! D2 ^

π(s)→N/lnN - F/lnF -------- (4)

! U* g0 N' \4 R' c/ R/ e

由 (4) 得:

; Q2 |- A) V5 ~) s( `/ ^

π(s)→N/lnN - F/lnN = (N - F)/lnN -------- (5)

根据 (1)，(5) 得：

π(s) > π(N)/lnN -------- (6)

由 (2)，(6) 得：

π(s) >（N/(lnN)）/(lnN) -------- (7)

& D) U% M5 t& W# w3 [- A

变换 (7) 得：

* E6 e4 k8 D! G+ G s3 @5 F% I

π(s) > N/(lnN)(lnN) -------- (8)

7 \2 C8 p9 g! G0 | S3 I

计算式 (8) 表示大偶数等于两个奇素数的和的排列数。

1 [0 y) ^8 [; T7 N

哥德巴赫猜想方程

0 [) i* k1 m1 D$ S

基本名词：哥德巴赫猜想方程。

% X9 ~' A7 }2 ]7 ]1 C, e, b" C

主要内容：确认哥德巴赫猜想。

1 -------- 差值方程与均值方程：

7 r3 J! J6 T! i

设不大于偶数N的奇素数个数为s个，奇合数个数为f个，N表示为2个奇素数的和的个数为x，表示为2个奇合数的和的个数为y，表示为1个奇素数与1个奇合数的和的个数为a，表示为1个奇合数与1个奇素数的和的个数也为a，则有方程：

s=x+a，

f=y+a。

若设1不是素数，则不计入1和N-1。方程s=x+a与f=y+a之差，称为差值方程：

( o% s: D$ O6 B

x-y=s-f -------- (1)

根据 (1) 得均值方程为：

, t: u. `- f% u, h$ H

x=ss/(s+f) -------- (2)

y=ff/(s+f) -------- (3)

把方程(2)，(3)代入方程(1) 得ss/(s+f)-ff/(s+f)=s-f，变换得：

ss-ff=ss-ff，由此确认均值方程 (2)，(3) 成立。

4 |) @8 V4 ~* t9 T7 T$ p

2 -------- 偶数表示为2个奇素数的和：

这里讨论 s < f 的偶数。方程(2)与(3)之比为ssy/ffx=1。

- N* E3 Y$ J) i4 X, K

设一般为：

k=ssy/ffx -------- (4)

变换方程(4)得y=kffx/ss，代入方程(1) 得x - kffx/ss =s-f，变换得：

x=(f-s)/(kff/ss -1) -------- (5)

, a7 E8 k0 V- P6 a- U2 e

把方程(2)，(3)代入方程(4) 得k=ss*ff/(s+f) / ff*ss/(s+f)=1。

J( ]; A1 n$ {* O& V" o

设k最大为ka，以1为对称，若k最小为kb，则：

8 Z) f5 n5 d2 y ~

(ka + kb)/2=1。由方程(5)知道，若k最小，则x最大。

+ o+ }% b6 }& V: o; Y- W

由方程(1)得x与y的最大值是x=s，y=f，代入方程(4)得:

kb=ss*f/ff*s=s/f。

( _8 P4 R) r6 ^" `9 `6 E+ P

把kb=s/f代入(ka + kb)/2=1，得(ka + s/f)/2=1，变换得：

ka =2–s/f。

例如：

N--------s--------f--------x--------y--------k ------ka------kb

& W0 o+ d6 H. Q1 O& z

21000----2358----8140------1092 ----6874----0.53 ----1.71----0.28

21002----2359----8140------340------6121----1.51 ----1.71----0.28

, J0 N i! j: a4 E: V# \6 ?

21004----2359----8141------380------6162----1.36 ----1.71----0.28

! C% }8 a. a1 i: i. l

21006----2359----8142------686------6469----0.79 ----1.71----0.28

由k的最大值ka=2–s/f，得k < 2。

由方程(5)，若k < 2，则：

x > (f-s)/(2ff/ss -1) -------- (6)

% j3 @; X; v5 y! y8 ]$ L& M

由(6) 得：

x→(f-s)/(2ff/ss -2)

=ss/2(f+s)，由2(f+s) + 2 = N，得2(f+s) < N，由此得：

) C. z" f+ l5 X& p9 \

x > ss/N -------- （7）

1 r# h* C g. X. w+ E

由不大于N的素数个数π(N)=s≈N/lnN，代入(7) 得：

! ]5 ]9 n: E+ P _& |: e

x≈N/(lnN)(lnN) -------- (8)

由 (8) 确认哥德巴赫猜想正确。

yqm10507

不要白费心机了![em16][em16][em16]