[原创]实力论文 jpb2：推证哥德巴赫猜想

god

程平 先生：

你好！

6 D8 p ^" ~; V* v# `) l: |

现在对《推证哥德巴赫猜想》一文进行补充，希予改正。

0 P w$ b0 ~% {; q: U

推证哥德巴赫猜想

通俗易懂，清澈透底。

名词：对称奇素数。

' D5 ^/ }* |, E0 F2 S4 C/ |

内容：提出和推证等价哥德巴赫猜想，推证哥德巴赫猜想。

1 -------- 对称奇素数：

设不大于偶数 N 的奇素数是 si，合数是 Fi，则：

N-si 称为 si 的对称数。

, f5 p: |+ ] K& Y0 `+ z5 p

N-Fi 称为 Fi 的对称数。

* a, `0 p; t' T2 ]! x! B. W

若N-si是奇素数，则称为 si 的对称奇素数。

若N-Fi是奇素数，则称为 Fi 的对称奇素数。

例如：

0 ]# r: H. {3 |5 n5 R

偶数 N = 6，不大于 6 的：

奇素数 si 是 3，5，有2个。

对称数 N-si 是 6-3=3，6-5=1，有2个。

- E+ q3 M0 s% ?0 a+ u% I, o1 ?

对称奇素数是 3，也就是说，在2个N-si里面，对称奇素数有1个。

合数 Fi 是 4，6，有2个。

对称数 N-Fi是 6-4=2，6-6=0，有2个。

只有对称素数 2，也就是说，在2个N-Fi里面，没有对称奇素数。

9 j, p. D0 x5 m5 a; U9 @

N = 16，小于 16 的：

: c' H4 L; g9 s/ s/ _; V8 v* o

奇素数是 3，5，7，11，13，有5个。

* S0 P) i( p- F7 ?: c

对称奇素数是 13，11，5，3。在5个N-si里面，对称奇素数有4个

* O( y/ U- @' e$ ?% q

合数是 4，6，8，9，……，15，16，有9个。

" }' [% N2 m5 |9 F( t" y& O5 o: C$ m5 Y

对称奇素数是 7。在9个N-Fi里面，对称奇素数有1个。

7 [" K; g6 d% c/ [

2 -------- 等价哥德巴赫猜想：

设不大于 N 的合数有 F 个, N-Fi也有F个，得：

N > F -------- (1)

& M: H3 o$ o7 w# \2 q

设不大于 N 的奇素数有π(N) 个，在 F 个N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个,由 (1) 得：

π(N) > π(F) -------- (2)

这就是等价哥德巴赫猜想。

6 w$ E, e- ~. c: |3 ]& Y4 Q

这里需要注意：π(N) 既能认为是“不大于 N 的奇素数个数”，也能认为是 “N 个正整数的对称奇素数个数”，但是 π(F) 不能认为是“不大于 F 的奇素数个数”，只能认为是“F 个合数的对称奇素数个数”。

3 p) `4 @' g5 s. c2 W

例如：

N = 16，π(N)=5，π(F)=1，得 5 > 1。

, q7 h* c2 M/ I' d

对于任何有穷偶数，(2) 都成立。

3 ]/ Y7 S. d1 E* S& \9 p ?8 a

3 -------- 推证等价哥德巴赫猜想成立：

n5 {; N6 \ T4 O; z

证等价哥德巴赫猜想有穷成立：

根据初等数论：

设在 N-si 里面，对称奇素数有π(s)个, 在N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个，则：

, W# k$ \) W/ M4 X9 S6 ]( ?

π(N) = π(s) + π(F) -------- (3)

: z0 s1 F8 t$ V* i; ?

对于任何有穷偶数，(3) 都成立。

6 \) G% l: ?/ F0 d8 r

例如：

0 H- e* ?( W% n3 D. h: F. }, @5 O

N = 16，π(N) = 5，π(s) = 4，π(F) = 1，得 5 = 4 + 1。

设1不是素数，计算时不计入1与 N-1。

" ]. ~, o8 o- q

根据 (3) 很容易判断，对于任何有穷偶数，(2)都成立。

9 v, M$ q y7 [( f0 f+ Q

也就是说，等价哥德巴赫猜想有穷成立。

证大偶数等价哥德巴赫猜想成立：

* A$ d) s1 D; C |' M }/ d

把F → N 的偶数称为大偶数。

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，则π(N)/N 称为奇素数的出现比例。

设 F 个合数的对称奇素数有π(F)个，则π(F)/F 称为对称奇素数出现比例。

根据数论知道：

若N → ∞，则F → N，得：

$ y' n) h( q1 O

lim { F → N } （π(N)/N）/（π(F)/F ）= 1，变换得：

9 U7 ^/ I* U3 C; @

lim { F → N } F π(N) / N π(F) = 1，由（1）得：

N π(N) / N π(F) > 1，变换得：

" a4 U1 x. W4 P6 h

π(N) / π(F) > 1,

由此得：

" a" B4 R1 [! d! N8 [

{ F → N } π(N) > π(F) -------- (4)

. p% p4 H% o3 i- J! \

由 (4) 确认大偶数 (2) 成立，也就是大偶数等价哥德巴赫猜想成立。

由以上确认等价哥德巴赫猜想成立。

4 -------- 推证哥德巴赫猜想成立：

由 (2)，(3) 得π(s) = π(N)-π(F) > 0，由于 π(N) 与 π(F) 都是正整数，所以π(N)-π(F) 也是正整数，最小的正整数是1，由此：

* K' i7 e. t) s* O8 P

π(s) ≥ 1。

这就是说，在奇素数 si 的对称数 N-si 里面，总有一组是对称奇素数，所以任何偶数都能表示为 2 个奇素数的和：

N = si + N-si，

( @% y; C3 G y( M- ^0 Z3 S

哥德巴赫猜想成立。

9 u2 z$ o1 u, A* |/ i2 z, t

参考资料 1 -------- 比较：

N--------1/lnN-----------π(F)/F---- 1/lnF

10^3---- 0.145-----------0.135------ 0.149

10^4---- 0.109-----------0.111------ 0.110

8 t; m. @9 r. r K4 z) a

10^5---- 0.087-----------0.088------ 0.088

( }+ W Q7 k% Q- ] V

10^6---- 0.072-----------0.073------ 0.073

10^7---- 0.062-----------0.062------ 0.062

7 _6 @$ J3 }2 D

10^8---- 0.054-----------0.055------ 0.055

10^9---- 0.051-----------0.048------ 0.048

10^16----0.027-----------0.027------ 0.027

' n, Z. q& V* O

10^21----0.021-----------0.021------ 0.021

9 V' b" O* ^1 d' ^

对称奇素数的实际出现比例 π(F)/F 逐渐趋于计算值 1/lnF。

对称奇素数的计算值 1/lnF 逐渐趋于奇素数的计算值 1/lnN。

' O$ l% _8 a4 I, ]

理论符合实际。

8 }( j9 n5 e- ]! K3 S* A

参考资料 2 -------- 大偶数哥德巴赫猜想的计算：

" o9 `1 N& o# T5 r1 n6 O) O0 w9 V

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，合数有 F 个，则：

N =π(N) + F + 2，得：

3 a# k, V% @( c6 i& o; a1 I

π(N) < N - F -------- (1)

根据 (1) 由数论知道：

π(N)→(N/lnN) -------- (2)

& T2 M, M! }( d/ O$ f

同理，设不大于 N 的 F 个合数的对称奇素数有π(F) 个，得：

3 `7 A5 j1 S; R3 R7 D; `& O0 R

π(F)→(F/lnF) -------- (3)

设奇素数的对称奇素数有π(s)个，由等价哥德巴赫猜想 (3) 知道：

π(s) = π(N)-π(F)，再由 (2)，(3) 得：

π(s)→N/lnN - F/lnF -------- (4)

由 (4) 得:

$ A m9 E {5 u0 Z% o

π(s)→N/lnN - F/lnN = (N - F)/lnN -------- (5)

' j5 g4 I' }! D4 _

根据 (1)，(5) 得：

$ t" y0 N8 h7 e8 n

π(s) > π(N)/lnN -------- (6)

由 (2)，(6) 得：

π(s) >（N/(lnN)）/(lnN) -------- (7)

变换 (7) 得：

π(s) > N/(lnN)(lnN) -------- (8)

计算式 (8) 表示大偶数等于两个奇素数的和的排列数。

哥德巴赫猜想方程

- C2 q S" s: Y1 c2 W- T/ j

基本名词：哥德巴赫猜想方程。

主要内容：确认哥德巴赫猜想。

; e% }, c! i% u3 T0 c: H( K3 }

1 -------- 差值方程与均值方程：

$ ]+ L/ J/ x3 f. }* E; h- B8 @

设不大于偶数N的奇素数个数为s个，奇合数个数为f个，N表示为2个奇素数的和的个数为x，表示为2个奇合数的和的个数为y，表示为1个奇素数与1个奇合数的和的个数为a，表示为1个奇合数与1个奇素数的和的个数也为a，则有方程：

3 j3 K& V4 T ~2 G% `: ~: }

s=x+a，

8 B4 m7 O1 a6 }; f" k+ ]* r( {" Y

f=y+a。

若设1不是素数，则不计入1和N-1。方程s=x+a与f=y+a之差，称为差值方程：

+ j4 W5 Y7 ^/ d. a7 n

x-y=s-f -------- (1)

根据 (1) 得均值方程为：

1 K8 }* y1 A) \3 i" `- L; Y

x=ss/(s+f) -------- (2)

" k) ~- h4 ^# E- o K5 W

y=ff/(s+f) -------- (3)

7 N# }% U" A4 h- s' K: Y

把方程(2)，(3)代入方程(1) 得ss/(s+f)-ff/(s+f)=s-f，变换得：

ss-ff=ss-ff，由此确认均值方程 (2)，(3) 成立。

# @( Y5 s# T/ O1 ^$ A

2 -------- 偶数表示为2个奇素数的和：

这里讨论 s < f 的偶数。方程(2)与(3)之比为ssy/ffx=1。

设一般为：

$ k5 ~ x; L& _: e! v4 O; }' A7 H

k=ssy/ffx -------- (4)

变换方程(4)得y=kffx/ss，代入方程(1) 得x - kffx/ss =s-f，变换得：

x=(f-s)/(kff/ss -1) -------- (5)

把方程(2)，(3)代入方程(4) 得k=ss*ff/(s+f) / ff*ss/(s+f)=1。

. |! S/ W0 W, R. S6 Z X

设k最大为ka，以1为对称，若k最小为kb，则：

5 B" C+ }3 V. ?

(ka + kb)/2=1。由方程(5)知道，若k最小，则x最大。

由方程(1)得x与y的最大值是x=s，y=f，代入方程(4)得:

+ J R& _4 f: ?7 w

kb=ss*f/ff*s=s/f。

把kb=s/f代入(ka + kb)/2=1，得(ka + s/f)/2=1，变换得：

: ^# _* X2 R; l; a9 ]

ka =2–s/f。

例如：

9 D; E6 U! m g

N--------s--------f--------x--------y--------k ------ka------kb

! t) l6 [; J* B9 }6 r6 @& ?6 `" }5 ]' x

21000----2358----8140------1092 ----6874----0.53 ----1.71----0.28

21002----2359----8140------340------6121----1.51 ----1.71----0.28

# x% j) y( |; m/ o4 W3 z, i" m

21004----2359----8141------380------6162----1.36 ----1.71----0.28

; Z6 L( H3 k$ O) k+ ~

21006----2359----8142------686------6469----0.79 ----1.71----0.28

0 U) a( i- T) q% ]+ w

由k的最大值ka=2–s/f，得k < 2。

e8 e) S7 D* Z/ G M! F

由方程(5)，若k < 2，则：

x > (f-s)/(2ff/ss -1) -------- (6)

由(6) 得：

x→(f-s)/(2ff/ss -2)

=ss/2(f+s)，由2(f+s) + 2 = N，得2(f+s) < N，由此得：

$ Q f& Z! m6 r4 ^

x > ss/N -------- （7）

; E, X+ P/ e8 l+ n* O$ f8 M

由不大于N的素数个数π(N)=s≈N/lnN，代入(7) 得：

x≈N/(lnN)(lnN) -------- (8)

" b% W/ W& S; P0 x0 F5 I

由 (8) 确认哥德巴赫猜想正确。

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不要白费心机了![em16][em16][em16]