谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：

3 e/ D  _  d) |8 u从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
4 w' r8 }" E4 h% M; k: \* S了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
0 u0 S& I4 J1 r% z7 A) Z7 W最好地说明这个问题：
. _; l* I$ x! l
) D+ s, D( a6 Q6 E# N* _How could someone as brilliant as von Neumann think
9 g' L0 O; y1 hhard about a subject as mundane as triangular factoriz
* b5 C" z' y# k+ T. l1 b7 [-ation of an invertible matrix and not perceive that,
with suitable pivoting, the results are impressively
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
experience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
7 @2 `, g& b' }! a  W3 Ofor at least two years after the appearance of QR? Why
1 U% F* B! E# s) Gdid more than 20 years pass before the properties of
, k1 S1 h1 ^/ gthe Lanczos algorithm were understood? I believe that
9 Z0 u. M* {" k! p1 cthe explanation must involve the impediments to
comprehension of the effects of finite-precision
8 I& m8 s+ x. ?  l% h8 Q4 c/ _" Iarithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)
3 l* k6 w4 w7 B9 z& V4 C8 G
& e, h# k+ p9 y3 Q既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
. C! f* ^6 ?" z; X* U了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
8 c8 X  c% c: G+ U" c9 d: m只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。

# c6 W, v( W; A/ _' W: D侯一钊（加州理工）
* L6 J3 _! }# r研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
/ @  ]$ D4 e$ I0 c6 |! Ihttp://www.acm.caltech.edu/~hou/
4 z2 V; ]8 B2 x+ X: f5 z
鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
( `1 C6 o% g' |+ z" B2 _% F/ khttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
5 Z* s  o6 J9 V* d2 a
" i( }  D( v1 \' q4 M4 Y# T包刚（Michigan州立大学）
& h7 Q+ I( w& [/ h6 k8 H; _吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
# _' ?/ q$ R# E' k9 xhttp://www.mth.msu.edu/~bao/
- I) a1 ~7 y- ]& ]9 f
* D+ n* ^5 m# P- R( B. P3 h. @金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等
http://www.math.wisc.edu/~jin/

$ T' h+ ?& e7 J" y/ S汤涛（香港浸会大学）
中科院，研究方向：移动网格法等
% m5 \, c- j: h9 _http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/

舒其望（Brown大学）
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
/ L% W+ a4 b% P$ G% _* j- q
/ W& `8 |0 J& s; ?1 U陈汉夫（香港中文大学）
, E% w- w* e  l研究方向：数值线性代数
& B- ]7 t: \4 W/ f1 h9 y& {4 [http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/

, a) U, E4 w* s$ K3 r2 X; ?许进超（Pennsylvania州立大学）
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
$ c0 ?  J5 U% {0 y: V" ahttp://www.math.psu.edu/xu/
( z) i( e" i; \  s' N
袁亚湘
* }+ L) d4 d$ \- q! Q7 ]中科院，研究方向为非线性最优化
$ Q3 d& l. P# i8 G+ }http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

张平文（北京大学）
) y3 ?. K" e0 t5 ?+ s* m0 S北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
模拟、移动网格法等
+ O% ?7 ?3 l: y- L2 U; H0 J% whttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html

4 @6 O" Q5 Z6 b, k0 O5 {陈志明（中科院）
& Z! Z0 X9 x- l, Y0 @  T研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
" E+ y* C+ k% I: y  I, ]http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
+ R5 j9 j0 D9 q
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
是颇有裨益的。
  x# g7 J( Z* _3 @5 h3 P: p理论：
最好的基本是
: d, t7 s. |6 o5 ?Mathematics of Computation
0 V7 g8 R+ j1 W* J# d$ K4 hNumerische Mathematik
SIAM Journal on Numerical Analysis
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
8 e" j- y5 V" P/ R) a+ Z3 _0 i0 gSIAM Journal on Scientific Computing
8 _. a$ f- P# i; n2 P较好的有：
) W( ^; e* F4 ~" }2 cBIT
IMA Journal of Numerical Analysis
/ l9 A  T6 y" j( {% ^7 kAdvances in Computational Mathematics
& i2 a* V* B* x* tInverse Problems
/ s+ H  i$ f  l" U; h7 y( U/ W+ a) a
还有应用性质的杂志：
: q9 I: A3 }; m4 U# H) SJournal of Computational Physics
International Journal for Numerical Methods in Engineering
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
: E) t5 A) z9 xInternational Journal for Numerical Methods in Fluids
, q4 d7 u& Q7 U1 Q4 E0 uComputers and Fluids
& N$ A" m* @3 U( f0 q$ }' Q/ MComputational Mechanics
6 _2 O% q* |9 X6 t4 x还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
; l9 z* i& g: _+ X" N1 }Computational Chemistry，Computational Material Sciences
也可以浏览。

但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
0 @+ U3 F- t: t" E: m了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
; x; k5 {( M. K- j版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
3 T! A2 C9 r7 m4 J  X1 X非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
$ p% U1 j  `8 g$ I/ `/ C的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
# y; F5 F( q, d4 r) k等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
& P* G& j5 g) r0 W! ]6 a; |: a这里大概也有二三十篇，可以提供上载。

3 u$ P7 ?  g4 o6 E另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
$ R* G0 l- j0 {! Z, K6 W章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
2 `4 e4 Y* G* _9 p# t计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
* K- l' g6 y9 [# C" Q
作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。

$ ?6 K% n( T3 R- w, R微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
3 W' L  |* A/ P1 j- X; W7 N& D法、有限元法、边界元法和谱方法。

+ D1 Y7 d( J. F. G+ P  H9 [% p有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
4 \! v1 b4 |( y( N6 X4 M" J+ C8 e# MProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
  U; f/ Q6 A( `; h《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
* T, e3 v) C5 R6 c: N/ t  ^外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。

有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
# }  Y( ]+ Q; sfor Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。

谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
& }7 w% u7 ~; c! a4 x郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
$ N+ }+ L1 F7 C( C1 |- Gand Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
9 y7 X5 a0 q* r很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
）
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
+ B% Q: A4 U( i/ d  ?* n有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
* S5 d& P9 Y) ^8 o) T$ ^4 @" m% P不知道能不能再学校里找到。

. y" z2 Y& E2 D7 D* N5 |除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
/ n. q, z$ {; O0 M以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。
; u) b/ s+ P. O4 R; H4 T" ^8 K
4 m! D( Q/ j2 I# Q. N% q6 l2 M计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
5 E* V( ^3 ?0 ?* L5 ]* ?4 W经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
0 V) f! ~* A. _* v& t9 M西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
* c3 w% L( ^6 E9 l出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
5 \- R2 M* Q% C  c性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。
8 j3 L! C! i3 B) B; h
; I' o# q  Y1 M# o计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
. `0 {# S6 t) M. D/ X" {体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。
# R  Q% p+ _: ?! N) q
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
面的网址注册
+ i! p: J- A6 X; G& O1 n8 @http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
* k' E! e- j' F9 U: a& |英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
6 s1 u+ L1 s. ^4 b6 `3 @9 ]0 z4 Uhttp://www.netlib.org/na-net
# n- Y8 e9 L8 W

$ ]6 e$ ?( ^. ]6 i. N
4 h: W9 A. Y8 ?- H5 X4 S先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
都有中译本的。

接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
5 _1 B( C' _# G& j: s5 O在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
9 K5 h3 D; E! I; X" p0 [树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
& r2 y8 L, n  H, d5 r% y& @有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
) v/ o! ?4 N! {, {2 q出来。
2 s/ }! L: ]$ S
! F7 [4 n* t+ v) d国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
) E: \; `9 e; D% @' ~0 h- I* \5 NKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。

矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
( I/ v# b- a; K$ @系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
, [! W$ T9 y! x2 ]& B& }很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
5 y* S7 L, _/ [/ pAlgebra》，Trefethen & Bau 的
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
, {: v$ K' j! G' M1 ~9 ^Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
8 o. N) q- i0 h和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
写的挺有意思的，在他的主页
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
, Q: o& q% h, P+ E6 p, C上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
书，《The theory of matrices in numerical analysis》
5 R# @; e9 {0 [8 r- N  v* p(有中译本，系里中英文版的都有)。
5 O+ k/ ~+ ^- c
4 a& r; [( a4 y3 Q6 ZLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
and Spectral methods》（在他的主页上可以
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
6 h8 t, I3 d7 [。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。

他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
献，也许对大家有点启发。

1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
# S, g# L$ h& e) o2 Y2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
# q2 R% j5 C9 \0 l3. Householder (1958) QR factorization of matrices
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
  n6 v, I- O+ ~9 e3 I8. Brandt (1977) multigrid algorithms
& A  ?; P0 v9 ~" w% H* T* M9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
, |& z# {1 v9 h11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
  t# ]  i" P) n" U12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
9 w5 G8 @6 K3 K5 m7 Q13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles

他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these **s (average
3 e& A. w8 i4 Y0 D# Kage: 34), and by how short an influential ** can be
9 A4 I( M/ Y( k! j4 |' M6 @(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
9 W# B5 J( ~' G都还是很有希望的，呵呵。


反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下

9 y& Z% R/ b/ ]! _& Q- @5 a几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed
2 n* N( c; k2 l6 j1 T0 @7 m1 p
Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
) [: g5 n8 f, A$ `0 q
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂

志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的

. c0 e  X$ h% y; `0 y杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical
. }: b' S* x4 q9 H3 F8 R7 c
. B, D1 L! M# P# qAnalysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
7 r1 ~2 |8 ?: Z' E4 e7 e
Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on
* G# H$ T4 ^1 T. L& `3 W
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
% Q$ q2 r; _7 m
2 |. L3 G( @5 Q+ q, `& r2 e在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问
) A! `) l  Q9 Q
题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

1 J0 S! w9 l4 p: k9 {, W的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他
2 J( D$ I2 b4 a) y; a
们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
4 P* q9 H, E- v
- K) ]" }' x% `- g# x0 |Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin
2 k& v8 L* J% m: D& C
Hanke（德国）， Isakov（美国）等。

反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根

' a2 a5 m0 y% u/ U) R据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应

7 A/ C7 _5 z) g5 l; j4 t- J8 p" b- [! X, s! e用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。
/ j' K6 W% D5 e+ I+ C
水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
  s) e% s/ a4 i4 Y, P' F的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问

题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
' h8 M5 S, E$ Y+ _
平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上
0 R1 V4 M! c7 i3 n1 j. L' M- X+ s8 Z
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher

的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一
; {+ U; {6 K. i) i0 ?+ z/ v  Z
个综述和展望，值得参考。

! ~) o0 }9 U6 m) m& B反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
0 ^. ^. I8 S! Z) N$ _$ f+ s8 P; a校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
/ c" S/ J0 T9 t* ~是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
# m) r" k( Y; A/ D记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
3 \' b! D( N. N! a6 B/ y( Sregularization for Fredholm equation of the first kind》
是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
2 R" ]2 k5 p0 e4 r书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
' x/ H4 N* x* V4 S* m0 J, ?5 E《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
( Q( \) z2 p& g  x2 S$ }% l  G0 |的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
* z6 j0 X  \. v6 i! T, v《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
0 S& d: ?" C) J0 e; f. I% l《Inverse problems for partial differential equations》，
. v  `  ^/ j5 y' u; GMartin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
# G; t2 P# C& d, qIll-posed Problems》应该也是不错的。

' T$ p5 Q' q: R) I0 l* E在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
% ^! ~" u" \" P7 L; \: qdeficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
# e/ M3 b2 w; e& k《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
2 c$ d3 e$ [6 ]书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
/ K3 b* g+ O; o/ q读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
% ], \4 m5 b8 b9 L2 W& D) xVariation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
% u7 o/ W, Q# y# [0 F5 g+ W了。

* ?# p  }& T) a) J反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html

. B( |" X! S& _- |计算的热点似乎有两个特点：
1 e  X6 n  `2 t1 p" F/ P. T$ N一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
/ o2 L0 Y, @& `. g4 Z" F科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
6 B. u& ^5 q0 G" r8 F$ K9 I5 |种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
, S, L- H; M: Q4 d6 P* V
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
. t2 R9 ?; r6 `分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
% H3 f: W) b6 V# G+ f; T! n+ R5 D3 I这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
! I, ~) R: ^; ]6 s- l* B- m你看了吗
" h: S7 s+ R7 N) J: K3 U  a! l5 s

回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊