谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：

从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
1 [3 `& |0 q, }最好地说明这个问题：
$ F. G+ d0 V0 L9 f) w4 y
: j8 C, A  L6 a: ]. xHow could someone as brilliant as von Neumann think
hard about a subject as mundane as triangular factoriz
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
7 W: s8 q9 P/ p. z7 P) K; \with suitable pivoting, the results are impressively
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
& l5 y0 N  e1 {8 e) yexperience, concentration on the inverse rather than on
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
* r4 i1 L; t/ U; g, UWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
$ [( J) G* X' Y- i4 x  A& Y; G# yLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
- H3 N) Z! U% U/ i( i# f; Hfor at least two years after the appearance of QR? Why
9 l% \  z) K/ D0 n; y: Hdid more than 20 years pass before the properties of
3 B4 @) a6 G; f- T* Z3 }5 n* N/ dthe Lanczos algorithm were understood? I believe that
the explanation must involve the impediments to
comprehension of the effects of finite-precision
) v% i) S4 [7 Z/ k1 |1 narithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)
4 x; T( ^; p" i- B
既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
( H! N3 X9 c6 x; }: G) N了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
: O1 }& Z3 T# }  c  K院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
- ^' U! o; o! z; [- t只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。
# F) F* B$ A. q3 n2 |' |" e
8 N) M) Q0 k( {( |- _侯一钊（加州理工）
( ]1 P% D% k7 Q: g研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
& A* c% _6 L( N7 o' u9 [http://www.acm.caltech.edu/~hou/

鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm

" q% x1 o7 H) I* M包刚（Michigan州立大学）
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
http://www.mth.msu.edu/~bao/

金石(Wisconsin大学)
/ Z' U6 g0 @2 D8 ?, ^4 B9 v清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
动力学理论等
http://www.math.wisc.edu/~jin/

汤涛（香港浸会大学）
中科院，研究方向：移动网格法等
+ k& m! R) y7 u' ?/ qhttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
: ^: [  O! F1 h" i/ s
  B: o& m3 X4 u% Q4 ~/ z$ M舒其望（Brown大学）
4 z' }( w: q- N! {- z6 p' D. g中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html

陈汉夫（香港中文大学）
! v/ m% x% H( @: r研究方向：数值线性代数
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/

! f2 a1 E2 c4 [: `# D许进超（Pennsylvania州立大学）
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
http://www.math.psu.edu/xu/
+ T* ?7 }3 ~* N$ B0 e  T) E' y5 A: G
袁亚湘
5 e/ u" Q7 p$ G2 N$ w8 G5 _中科院，研究方向为非线性最优化
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

3 u0 v" O7 W8 m5 W  L张平文（北京大学）
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
4 v0 D; }/ h& N* A: W模拟、移动网格法等
6 o! Q; Y/ w  D2 zhttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html
* ^0 U' b+ |8 p7 [* t% Y2 o, b
陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

4 F. f# v/ y  G" ^* r( n其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出

# O6 |& @; {' a8 s3 p作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
7 h# A% e1 D. M: Q- g# V是颇有裨益的。
理论：
% c6 M$ L  x( ^( }! ~3 V) ]. s最好的基本是
Mathematics of Computation
( k. c. S- ~& [4 t8 v7 T6 q; E) B( \2 LNumerische Mathematik
SIAM Journal on Numerical Analysis
: Q' A- e2 ?: E8 ]. qSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
+ M. M6 Q- {& ^  W+ O' M8 M0 v$ fSIAM Journal on Scientific Computing
较好的有：
& W- I7 F9 F0 n, Q  {3 h9 hBIT
IMA Journal of Numerical Analysis
# s$ M  T' {  fAdvances in Computational Mathematics
Inverse Problems
, R8 M% O& V; M2 Y. v$ F% W
% h# z% @5 i1 A. O+ `3 d7 Z还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics
International Journal for Numerical Methods in Engineering
' \8 G3 O) Q% ]" u8 EComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering
! Q$ ~3 ?5 \7 `+ YInternational Journal for Numerical Methods in Fluids
Computers and Fluids
0 A+ h* t3 j( N4 P% A1 aComputational Mechanics
% n* t; g7 o9 p, j" N* w7 q: w还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
: p4 G% _. w7 l也可以浏览。

& x# Q" R, E  k% A/ ]3 R但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
8 m. y+ }& N7 d学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
7 Z; `: ^% E8 G7 f  Y+ n6 t1 bstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。

另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
* ?' O; v4 Y, N% q* a* W% l者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
0 c8 i. e6 c. b" M& B8 V/ A6 L5 x计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
8 k$ H, g5 p$ I5 R/ {+ w; R
作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。
% E; z- d4 n- R- |
3 W9 _0 j: U7 }7 c# ]4 ~% }8 ~微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
, b! I' S( N( i5 B! W8 _法、有限元法、边界元法和谱方法。
1 L; {+ a0 B3 _3 c; ]  H$ X! r
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
8 b9 y- [7 q% F数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
3 ^. O" ?8 ^. @- J0 ?Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
8 u1 J# S/ B! {3 R4 B《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
; ^3 c5 O! U" k& n有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
, _  c, J" o  I- A5 @" ~外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。

9 m, O, N+ ]+ ?& }有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
Method》据说也是不错的。
$ K) v4 v1 [  d
, y- y* o9 n7 Z2 T- T0 f) V' [5 m谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
3 y! y' Z. Z$ e* F: s" c郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
; z& ^7 r8 R5 ?2 ?# b5 p6 Y很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
）
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
/ v- X1 I! a  [) m( n不知道能不能再学校里找到。

4 _+ x2 o6 J! q- ^$ E( B. J! c除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。

计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
6 d; k- P; z# H5 ~5 w- `" {8 _Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
& j$ F% u! Q/ f2 F& k/ d经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
9 f; [! O* {3 Z" Q. i9 `) j' B1 H/ q在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
0 @  y5 x0 {) }; a, c7 q3 g西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
) k, K$ ^% i- i' [' j  Q: m- \$ I这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
) Q* N3 ?& @  U出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。
9 L4 u$ ^( }) E8 I+ {
& T2 V1 u& L7 |计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。
# e& m7 Z9 L. Q" ~
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
3 h0 D7 H% i- n1 @3 a计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
7 O# X# ]1 k- b5 t面的网址注册
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
- J$ ]; y  |0 W3 p$ T% {4 h英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
http://www.netlib.org/na-net
0 b% x+ [. f# i/ h5 f5 X
) j7 h: r5 B7 u, z; p  q9 u

先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
都有中译本的。
8 k( @" e8 M% U0 ?4 a' p
8 x/ e3 t/ [# z5 @4 n# R" p% Y1 i7 s接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
1 m1 g7 F# U* k有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
) d' }) {$ R0 J- z8 D7 S出来。
* R# C/ |6 |* D9 I2 Y
国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
& N: m/ j& e' h; M! s7 O) _/ MKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
的大家。
* v, f! y$ y+ e5 B
6 K- F, [% ^1 h/ ]5 M2 ~! |矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
: N% n$ M! {9 O7 z4 {2 [3 b《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
Algebra》，Trefethen & Bau 的
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
, n, p# U- D7 @4 k+ [: p) ESaad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
6 \8 D4 e- z& Z2 v) U( V/ w! G和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
写的挺有意思的，在他的主页
! l; z0 \  I7 `( w3 {$ o  k（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
7 r" \2 y) g) U' a0 q上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
8 D& N$ v8 w4 i: c( Z% M. z书，《The theory of matrices in numerical analysis》
(有中译本，系里中英文版的都有)。
" ~) O* [: x5 Z2 H0 F
! W  v' y7 k$ N1 U5 p0 o" [LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
5 m7 z, B+ P$ A/ O前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
" M$ E% S3 l! ^+ x《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
+ \, u  j$ F6 S; ~$ t& ?7 Zand Spectral methods》（在他的主页上可以
# `- ]% Z4 d5 O( D$ \down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
1 @4 R' [: c% {: {3 [
他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
  r8 |1 g* G+ f0 O1 P献，也许对大家有点启发。
' }- ]8 x, x9 g; Q) Y, I
1 B( P7 P& g3 f6 _% r) h. i1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
6 {4 a( W% ?4 e  ]) t7 I3. Householder (1958) QR factorization of matrices
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
+ i2 k0 o+ g8 W1 H6 l- @: E6. Courant (1943) finite element methods for PDE
5 E: z  j1 _" D5 E: `$ t7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
) c: k2 U* {* l( Q  M6 k6 f8. Brandt (1977) multigrid algorithms
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
. ]$ T. [* O% _" L7 o11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles

( f) C' O/ C% I0 b/ e他的remark也很有意思，We were struck by how young many
of the authors were when they wrote these **s (average
age: 34), and by how short an influential ** can be
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
都还是很有希望的，呵呵。
- v" @6 O. Y! J6 l$ d: ^0 O2 @+ @# c
  f; G; S- W1 W2 E- q" S
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
, `6 V3 k9 k/ S; o
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed
  j9 m" x6 ^5 h% y
Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前

) _' g" G6 {* r叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂
5 ~+ Z" K( P) p. T3 K: @( _% N$ M
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的
* |9 |% W- Y: C( d/ B$ |, t; F. x
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical

Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
3 y* ]- V4 v: y  f" z/ C
Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on

Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。

在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问
5 ^8 U" S3 u9 L/ J2 t/ o- b9 k1 \
题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

3 T6 b. z( b: Q的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他
( U2 H4 g+ [" Z; W( J
% c' m" n1 {5 Z# U& R- K/ o9 m4 S们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
/ ~  A$ }; v& h/ h' O
Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin

Hanke（德国）， Isakov（美国）等。

反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根
  A: e' L8 K5 J
据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应

用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问
5 O' C' H! ]8 g8 [* O2 W1 l
题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水

平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上

有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher
4 T4 n8 t0 |3 |: H
0 C+ b, }6 A. l5 f4 o; s4 W的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一
& P/ R$ z/ W9 n$ N' r2 G
! d! U6 |2 c- \$ q6 f3 p$ j2 g个综述和展望，值得参考。

$ l2 S9 }8 J, c7 N. O) m反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
- C$ N0 c! h4 {; K& ~1 i% cIll-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
# ?, ?- A, I+ L+ o" y本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
& `' L) e  o0 D% o3 P/ u题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
8 a  J; B0 e' H0 `6 G  T记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
' X  K" p/ Q# Q# v7 A5 ^$ oregularization for Fredholm equation of the first kind》
9 P/ _7 i- K. D4 U4 I是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
  |8 o+ H* L( W7 _《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
6 q+ y, ?! k6 nto the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
8 Q+ r. I9 A) t* t6 u作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
《Inverse problems for partial differential equations》，
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
6 b: L! d2 K, @1 Q0 h# B8 qIll-posed Problems》应该也是不错的。
8 |! Y3 p2 N, j/ N# s
在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
* [1 P( v$ S7 w6 O3 `; n7 V《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
! b1 ^1 Z* `8 }0 N( N4 K9 }书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
  ^2 K4 m; ]5 d- f2 y# K本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
6 }/ g) r5 [! w3 h读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
. n8 Y- u' _5 x4 Z- MVariation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
4 L% k5 l% Y6 F6 h- tVogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
* @" h. u/ h; @& U5 d# z9 V4 w1 {( H了。
3 b$ A* {% Z3 o$ ^0 C3 T
& H" Y4 p5 Y; F0 r  n反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
" \" u. M" o0 y9 u/ H  [
# u  T' [+ y- B5 f% K; ^3 i计算的热点似乎有两个特点：
" {6 N9 w) \" v% N一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
3 k* a- Q$ D: G% U! @, n& n计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
8 {9 X0 `% w/ t中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
, Z$ _9 ?2 m% a" t% }9 @
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
你看了吗
# l* s8 d% O. z- @  v6 H
: I( \; H7 s( l2 @" U! @$ |; x3 f# C
回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊