[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： ! |" M" \7 O0 P3 e" J7 X

4 b, ^$ F9 d- J

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

& q* T' a: r0 {' R4 s

; K6 A& D; f5 G* z, c

移项，得

- a, L& f1 u$ |: l( _

% j# v( M( o! A/ |1 O' P$ Z& V

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

; h; W. K7 I0 b& r

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

7 N. | j1 F$ A1 y( a i3 L/ j

二种方程筛的比较

2 a8 t# H9 r7 G# K

包学行

2 Y7 V' E" O+ M2 E3 X+ q) n; Y

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

. C: s+ }2 Y9 v3 J; g0 `: Q9 i

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

5 Q* k! Z- g! E

（2）

$ r1 n, [0 L1 H

; d; v( d6 L" g2 [, I: M8 n- L

上方程（2）中的

$ H+ D1 F7 _' `5 u7 f' A

（3）

; k" ^3 m8 a* P$ T/ L, a

! N7 k0 _; @1 [2 q+ L( u

该方程较为复杂。

5 b9 G( O' i& X/ u* i R

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

$ Y9 u+ j9 p, }* o

b- l: b3 |3 Q8 `0 ^* `

/ O0 m" Q+ T# t. N6 `; e8 u3 Q8 X* k- Y3 v9 c$ ~: C6 Y4 l* U. H% t$ A# i; o% u. i8 P) z: I0 u. {$ M, u9 d+ }6 M' t1 l, S9 w0 {8 p- b. O+ {# | }4 S* o0 z7 O# `( J& v, R* z( B W3 ?% P! x, c: P4 J) s! j& q9 U5 V5 t9 H, z" R( c: C( Z! H% |/ x/ e6 C0 }( Y7 a/ M( {% b, l( b1 W: }8 s4 _( h- \: ?5 s: H9 j0 T. I1 d9 O: a8 l' H% n4 Y( T* }' j" T: [7 x9 c! f# G. O- A, _& A5 [3 t+ T

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 ' l( H. x6 A8 w( M; X5 i9 P1 H3 G（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 6 ~" y8 b& {* l# U1 B: C大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。