[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

1 ~8 A6 l, P5 A1 J

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

S& F6 D8 @' _+ Y

" m, s5 V0 z6 B0 r. ~6 E+ F

移项，得

5 h3 q$ Y9 m' R5 ?# }2 Y/ i0 Z8 \

5 e7 G8 {: v$ `# w7 W) @2 Q

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

0 U: Q7 w$ V8 `, K8 U

$ R! k& v7 L0 Y6 X8 p8 {

二种方程筛的比较

包学行

$ E+ u2 J) N" g) X0 d' L( T

1 q# y( N) B) g z6 ~( h

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

- t* l- u9 \9 C6 X& M; \6 G2 Z

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

0 b7 k; I i8 t& U* \

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

) b, S; M. n/ Q; D; n& V2 Y w+ R

（2）

3 C6 z" r1 d, F. L

7 t" E2 r2 n, V: J& z/ Z8 z

上方程（2）中的

（3）

) x* y2 d# p7 T3 l. R6 ?. _0 [3 V

8 e0 q8 K) A Y" ?

8 A& S% T$ z }, f4 [- y$ I- H

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

" u! c$ P% Z' z4 z$ ~# b, a! L+ r* Q) S3 F- A. _' o. y V, q" Z9 L+ J& `5 ` H/ O0 T/ ^2 u$ R' V$ |" }$ d* w! Q% H6 ]1 e" U# t* ~* m3 Z' a, j: B1 d% G7 A; Q* C7 E+ i* p. g) x1 o9 i+ p2 I( P* c$ W( p9 s: Y3 Q/ _! ^2 f$ d/ i5 ]. p$ ?6 N" U$ {) u5 h) p4 h' f1 k+ w3 T5 C1 C* M

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 6 }1 U: i7 o# ^（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 : b7 `5 G7 i# |* \: V, Z: e（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 . n4 D2 R7 ?, {$ T: ]" w1 F. N: w, Y（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。