[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： 0 _6 N0 o2 ~2 ^$ W( n- x9 H6 d

+ e! c9 Z" M" {. g; ?5 c

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

R2 }1 R* i3 |

2 [: r" ]4 ^% P

6 |# u# `: ?$ V* Y6 r+ [: j2 K

移项，得

4 |" G9 ^5 ^$ g6 e* A$ P" i

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

. M! g( r) ^1 y

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

二种方程筛的比较

- y' E8 H5 d3 @, X9 e! y) _7 B" e t

包学行

/ L3 T: {& Z& o i$ M

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

, Y6 u6 V0 O# t, M/ E) v

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

3 C. h( o/ S1 Q4 F6 E

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

7 V7 w- t5 _" `. J9 B' N, `

上方程（2）中的

2 y# f' S3 d' Q# e: f

（3）

) I7 @/ g8 r4 J, r; v

t6 c8 u, T0 ~0 Z( A

5 Q I( x: E% z* ^5 M# Y

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

" H* q& F! A/ O) F

; X8 M0 w+ e4 W: ?

7 i( k2 D q: O+ ] e; F9 a1 f" g' p }( D7 F2 [/ l; K, C0 A0 I8 e% n% ~) s& z4 O. P7 O3 ~9 q, A6 G( V9 E1 b' H$ U+ K- L, g" c3 ]6 N) O2 C0 I, ~8 c: O- V9 a- G& j+ o& P; u! [0 U# m2 h) L& S7 o4 V( |4 c6 T4 v \8 {7 J5 j& [7 ^9 a/ f) y! Z" q- o6 H* y1 O# i6 u5 Q0 d( X9 I7 d7 E( f( T1 W6 H5 o% D3 x) Q% ]6 B( E; ?. o. Q$ v) S$ D7 i

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 - F! L; S7 e5 B* @ q$ I1 w1 F（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。