[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： Z' ?, l/ Q; v. e

9 G: y! L" `9 Z# L/ S; m+ q; ^: Z

5 e' K$ s. R+ Q0 ^# z" @7 D

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

( b" n# j, h# D/ f

# m* g7 m6 s* d# E( ~

移项，得

( c3 }: m3 L; M) K2 H9 i- h6 C& v; [

% ^! V5 {5 B( e3 c

2 H1 |3 F3 W7 ]: b3 p1 L

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

( X) p9 k" x9 f& u

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

4 m# Q7 |1 ]9 l Z

- |& j) d- S- s) c

二种方程筛的比较

包学行

* Q8 r g" y/ c

" {. A6 }2 m! S. [. U1 n

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

0 Y5 X& O4 q l, p8 p4 y0 @; C7 V

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

! \. D- \& N ]- q* U- f. P

+ e0 i' O0 | m' q( c

（2）

E+ s0 Z* P( g% { D4 Q; [

上方程（2）中的

8 ~- `" U6 S4 A+ u

5 Z7 b% k! ^2 Q0 W) R( ^# m

（3）

$ X! y/ a6 I g: a

7 v% C: G* H& {! `6 m2 J0 s

该方程较为复杂。

! E5 g' U* Q5 K q* x3 B, i

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

) u5 ]% I4 N7 i7 \; _6 c1 b8 X, { }# u: V0 q9 G% A5 g; ^+ w" ]' F V+ ^2 S7 ]- ^+ u$ s! w' t& q7 O1 Q- k8 v) {8 l- { y+ X' A: m" \7 d |, q7 x' D* Y6 c, c; l- v9 s4 [' Z6 @/ P* T+ S7 p9 `5 {% B' X' C2 v! }% V) i' [+ M, w# G, N5 E2 j! K" ], A) e* ]% s: A2 k) U! C& n* E7 \# {# b4 m8 T+ F! R. g) H% T e

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 - G" K _0 W9 {: ?/ j: U% f. j1 _大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。