[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

% \9 X* i! W( `, R) i

移项，得

( g' l: D* _- x" D

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

1 R: f7 s3 ?! b1 [$ `8 x

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

二种方程筛的比较

+ o! \3 j5 B6 K1 T9 W

包学行

, ~2 g/ T$ T2 [2 n G/ W

8 G) y) v2 M8 |% F* D& ^2 o

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

# B5 r- g# J! U: K$ ]

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

6 e: O! e* D/ e8 ~5 h; @

（2）

1 @# l# t2 ^4 ], J; S; c

: {) f- O# V L2 Z1 K' i; Z

上方程（2）中的

" ?3 Z" P6 }- R& j, X

（3）

! x; @2 r }2 }8 N' E1 d o# h

该方程较为复杂。

. O7 R8 \1 ]/ Q' P

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

4 b1 c5 m8 O- U$ H P6 Z) j; ^1 P" N7 @' v8 y: C. g r9 s+ f2 [* ?* S$ T$ w$ x( \' P' c- I% x, x* e z; w% g* d* ~1 } ~2 l% u4 V3 W3 ^4 u( c. s& g- ^' v3 q; B( }! e% g& u2 E) E$ s: Y. O* k0 ]6 ]! A' H# Z: B/ R. l; l7 B" V3 y1 s* o9 ^ M2 R! J7 B x; T& l: ^9 |/ ?0 R% G8 F0 d2 X; g9 j! t, k, y0 \8 E# l1 C( }6 O7 A5 x+ e; e/ x# T" b$ C8 V9 b! P Q4 A6 L* n0 V3 p/ r( v: s2 e2 j7 K2 S. l. \+ `( ^& y9 B& V% a( b) C

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 H2 R& R& w% {7 c. z9 g8 e0 P（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 4 L3 m2 D, Q- [1 T- y$ b+ F) K小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。