[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

god

设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： + q- ~( Y4 |# _7 {

* d D* c9 |/ h; `% T% \

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

) x. i3 S4 j2 q E: D' x

1 y2 L6 z6 s* t1 A" y( b

移项，得

9 K/ Y- T8 M. d; N9 `& L# T! t

0 {, e% f& K# m2 r7 |- Z# _

2 v& R; S! n7 ]

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

+ C4 B2 M: j; E! @: t& b8 R

/ L0 _! `; a* H2 J

二种方程筛的比较

包学行

, c# h. F7 m) ~# h1 L7 P+ t

$ O& }" ?" C5 S6 O5 x2 U* Z1 D N

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

4 C, L' S+ f" K( g7 V0 n: l* p. a& ?

（2）

* G# J! o- q& P% E0 R* S* Y( [

0 u/ H) w9 w. t" ]7 Y; a

上方程（2）中的

, z# y. p$ J2 N6 c) g

8 O7 Q- B: s2 i) l/ e

（3）

% k, k+ ^; n9 [" C1 C4 Q! f

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

( P# H* u8 k$ J9 h3 ?+ J

8 p6 X" X* ]( s: \+ H# M$ T& B; O* O- S. Q) P' L+ g3 f; _ G/ B; N7 q- `" m7 P( r% K g I0 o* Z1 v! ~$ h8 T2 E+ e/ J, @) x! ^4 F% q1 J, J7 N8 h3 R6 |( f% W- X# v6 M5 _+ F0 k/ Z2 t C" o; [+ Z" m h' F( f' I$ q# P6 k0 ^0 d. U3 [* i; R9 W5 b! R+ Z; g9 R% T/ |4 d9 f' k0 [ o/ H+ a* }( Q; j! ]8 s3 k, ]0 `: [; C6 E, u& y4 C9 Y7 m( h. P# E. q9 J

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 ! b" p! W7 J' _0 X. p- D3 d' _小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 ) o: ~6 |9 ~" B2 j& e+ }（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 / \% E& U+ X" U: f: D: l4 ^（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。