数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
1 M6 j  Y' a3 M/ \& k1 y* P几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
. l$ C  u3 S: b( T8 ?6 O1 A4 R8 e型、马氏链模型等。
5 M# o9 N5 G1 c' \) f2. 按模型的特征分：
$ b, i- p" N2 k  A& f静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
9 u8 H9 Y5 E# c3 O# [$ j性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
, C, F+ ~6 F7 H' Z4. 按建模的目的分： ：
& U7 k8 k) U4 l预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
  w; {9 ]1 X2 F# m: d6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
' b* F. b& r; [6 \# t该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
! n) v& s- `6 r- V9 N; z& T* u; Z2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
" W  b* ^/ ]: T2 ]8 _, g5 y9 h比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 t4 i, q# O# }& A0 i- l5 n建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
& X2 M* Q, R' O$ _6 _6 K+ e) e# G" F  X法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
6 L8 J: i1 ^8 d4 i& O5 }/ @4 、图论算法
6 c# i- \  b, v7 f5 {这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
) {- w% Z5 [  m/ a( S论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
; ~' p$ H3 ~# ?6 D* @% ]4 n1 |5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
1 a8 ^& c& Q9 j% Y/ Z% _/ J6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
& _9 [/ z& V$ ?1 ^帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
8 {1 q! G: N, D% V. {. S3 q一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
. ~2 O5 F3 M2 S  B- @9 z据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
# V1 `9 n* ~4 p8 r* R4 h9 、数值分析算法
9 `$ j5 F5 ]" ]8 U2 q  c3 k如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
) W* H/ X& g, t: [( R, c8 @" |10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
  [* S# `( ?  N2 V! n' I  R的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
0 l5 a; ~# {1 P" z: A# E" [8 p6 Q行处理
6 p7 w! N! c) o6 O0 _# E5 V) r算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
# N6 K9 u( c" p  u) ~" ^解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
/ S! ^% c& [, s* y7 i个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
  E+ f7 e- |6 z" h- X②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
  p; `/ S+ h- _2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
& A! X, x8 E+ p. F; E微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
& W5 A) G( f' U  M5 ?: ^8 p- M6 f3 X  n5 ?/ F其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
* W3 {/ x) l! L8 z# \7 D找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
& U% g) M6 S2 `4 e②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
% R4 S: ^+ Z, u4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
) U4 B' U( y( K! c8 A概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
. z4 J0 i5 A9 [5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
) G. s: I0 N. N7 N4 a" _8 h（较好）。
2 k% W) E4 C7 _$ d' C  d6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
4 i1 |% F# ^' b# d" x& e+ o7、 、 神经网络 （ 较好） ）
0 ~. @9 b4 F( W- ?, p5 M, ]; G; C大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
5 Z# \& I0 C4 ~+ S  W办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
) R2 e" Y- e1 U; w7 c$ w9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
  L/ Z# y8 g1 k# \. H+ ~4 f3 b1 O拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
3 T4 y+ p8 D  I在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
- z* G$ ?/ G6 T3 p4 Y0 t* R, k5 r8 r10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
: G8 M  K7 f7 o2 C评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. W) I9 ]& @9 b2 J7 A" g作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
  N1 U& F, M0 _- X12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
0 o1 X2 x9 ?) S% u13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
4 w$ O% T, M9 u% y2 l) P+ D秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
, h, ~  c3 ^5 y, B似。
& L, e/ S" m/ X( b14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
; `0 o8 g6 i) t) z$ _5 l( b其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
1 M$ g9 b" u8 B. y: ?* v8 V# v评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
5 n$ v6 O8 D/ E. e* C& P0 h7 U/ F解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
& e. S+ b( H. s1 i4 Y# r0 k的最差值。
; N" t* w  o" w, M0 F: _5 l9 X' Y15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
; s# L& [% f! E; O+ g! j可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
7 ?; l1 [+ Y7 D: e8 c( D8 W来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
: a# A0 [# a* x方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
# D. T% G% Q, m( z量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
: c5 }; F) @4 _7 K% g) z素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
% s: G1 \9 e! ?' l/ p: v3 ]此外还有灵敏度分析，稳定性分析
' e1 C+ b# p- Q8 E: \* U17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
# a" C- N* E& P& d优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
* L" t9 A/ z% u3 F, Y) r非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
4 v: c' H2 q/ }& a% e& t离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
+ ^9 f  X$ ?0 t6 w# V20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
- B8 \" y7 i; v: R1 f即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
  F$ t& e2 p6 U有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
/ Y6 `" F( b. |! ?2 V$ D# f计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
% y  [, X3 `# b6 M) X6 k, }般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
0 M7 T" z7 b' m) sMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
8 e: [4 m$ ?: ?6 |# S# x1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
: i1 ?' j  l4 I5 ^- e" R- j5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
7 Y9 ]$ Z$ r2 j2 S2 O$ E- |$ s24 、分类与判别
& k6 B8 Y; t0 \! O. f6 ~主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
, N7 b' N' H: a& N3、层次聚类
; r( a: Y( X3 J$ j- D  G7 m4、密度聚类
& O) }2 C2 {% c- x" g+ O: V5、其他聚类
6 Q4 L' x# \, C7 g6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
( n8 `4 u$ w+ H. M: H$ ~/ R- @: r8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
5 g% {6 @1 l' S2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
9 c0 D" ^8 K$ N; [4 g! C7 u$ w% X4 d3、Person 相关（样本点的个数比较多）
; g# s/ c( {4 z8 K. J4 c6 d4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
( x! b! C2 D' d( H% `5 }# K& h6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
* T4 W# Z/ f! m/ n8 H$ E& f7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
2 D, n/ _2 V* [' n4 W+ U& ~/ E8、格兰杰因果检验
4 E3 Y: Q" a8 \计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
5 V& x" t3 V0 o* V量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
' e; c, J5 Q! ~0 h5 H率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
" _) [* Q6 G* W7 U& x* n( [
/ ]0 q- L1 J% H' p* }: t' `# a8 v  a% B
( u6 S. L5 Q5 ]; @0 z