数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
; \  i' E3 A6 t. H几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
  c$ ^+ {& C2 J; s型、马氏链模型等。
; t- y" Y7 `# V1 S2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
, M7 _; I" q& Q7 G3. 按模型的应用领域分：
7 c+ {7 ]$ E2 E: Q- e人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
* {, O& g% Z- N9 l预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
$ w! e; Z: q( D1 t( ?一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
: W7 x% e/ Q9 b3 o% j  |; s2 J9 {5. 按对模型结构的了解程度分： ：
- Y& h3 i) Q; |. F9 L; f2 |1 Q有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
- S, y6 X7 \& p( r1 x比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
3 l- B( y  I% P5 Q4 S国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
( b7 `8 K  K5 [4 O' r% ^数学建模十大算法
. _& X+ y: q* u3 c) K: d: S1 、蒙特卡罗算法
" A+ W6 ]5 m+ R该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
6 E, r) w9 u! ?+ x6 b( g以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
; u+ s9 w" [8 U5 ?1 h! ^5 r比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
& h5 k/ K: G9 |/ ?9 X8 Y通常使用 Matlab 作为工具
, x7 [9 A# A0 u5 I3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
- {# @) j) H; {& d5 g! `1 J, K7 {建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
$ A  @3 x) L* P) J; f+ h4 、图论算法
" p* e, ]4 V$ U1 g& Q+ R$ O0 m这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
) j2 m" j9 l8 j* L+ y9 j5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
- C2 L0 }6 P0 K" l这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
) n8 i8 U: d! K- J+ ?这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
/ x$ N) l) ~2 p5 m) N帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 A: Q( H; t6 v/ C3 d! x7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
4 w6 a2 b% I( r, T; u一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
. A1 z( e6 H2 J$ u很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
$ {3 R/ P: b0 r8 V" B2 T9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
$ D  A3 ~; C& h/ e+ w赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
" C( _' Y* ]! [1 i的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
$ a7 M4 `& f- u  |3 m4 |8 h! z算法简介
$ O  M" M% S2 V) E% @( d) _7 ^9 i1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
% L+ e& h1 A" W$ p" x②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
7 Z9 l( r3 X/ t  o! B微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
+ f# x6 _. B, a' d4 s7 d3 `% [( |求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
0 V) L7 P3 Z: M化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
1 X0 ?; k, `! x3 v0 }, Q4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
- I0 z$ q! I$ l- P概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
: c1 G5 ?7 _, O, d, }6、 、 小波分析预测（高大上）
8 Y6 Z" Y7 w, v8 q/ ~8 l8 Z  B数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
# @; [; `; D8 R; ]% Y* h5 R! }6 }) H5 Z预测波动数据的函数。
! y. J1 s: A# [! I1 E( n$ L7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
0 P- A9 p5 d/ F9 P, `; [8、 、 混沌序列预测（高大上）
: @" }+ s3 _3 o适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
0 ~# U) m0 `7 j6 ~/ `/ e8 l, f& K+ n  K9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
6 Z4 D% Q$ G  {在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
/ b& g7 ^5 d* M7 s) ~" h逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
, ^; X/ M4 B5 X  l9 R% Y  [11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
2 l6 u7 @& L. C  N作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
" N8 E/ S! h! Z& P7 R9 J优化问题，对各省发展状况进行评判
1 R, T" p/ H( L- C& D13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
6 G) Z  Y, g2 C# K" G  ]法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
2 p- o/ q8 F6 A7 U" n8 E1 Y评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
7 ^) [+ b2 Q7 |) J解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
" X7 U+ Y2 p) T) [' Y的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
3 P5 _2 {, l2 T5 U' i可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
5 `+ e  b( T$ ^8 j! u* X- h& ?来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
/ C8 w# h- ?+ ?# a. t, J量有无影响，差异量的多少
4 S5 ^8 W& X9 @: L: {7 f协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
  v% {  }8 ~* J素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
" n4 D2 R( q; M* J# Z此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
) |; m$ Q* g8 ^4 S  Q模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
$ Y' G9 A* O2 O1 \; ^优解。
9 F$ d/ \, i2 A18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
. {0 Q7 g( R/ ^2 {: ?. D8 v5 _其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
, ~& t  u7 R  Q- _+ M! }计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
- p- k  J4 E) h' e般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
; d& T8 Z! J7 z, X/ {支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
0 g5 c" @# \3 g& H# K1、聚类分析、
2、因子分析
- t/ Q. V! c% i- ]7 _0 K$ m3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
5 q. R# \7 R" z  A( s各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
  [$ `+ J1 T5 t/ _) J1 @+ m- a0 w从而达到降维的目的。
" W* T9 ?- H. L4 C+ l$ y& H" a4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
; [- u) o& ^- t- s  d' a, x8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
. T  X) ?0 j( ]( t- P$ C  V! k1 V主要包括以下几种方法，
2 j0 r5 B& K0 ]! q1 E1、距离聚类（系统聚类）（一般）
5 b. ]$ z. D' d2、关联性聚类
3、层次聚类
4 _+ E/ T8 H* s+ ?; {7 p4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
1 [1 {+ _" i) m* @8、模糊识别
' `7 h! P+ ]- V7 k6 m* ^4 m/ f& g25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
* t  ?" H% u8 w4 P* b6 F% ]2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
$ P' w1 m& J7 q% i3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
2 A! c% f3 Z* f5 l! q0 a" h6 L) E5、典型相关分析
% G2 I) r4 l' q4 O. _（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
; B& h6 i+ I6 G一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
* G% f7 b( f" M' q, R' v6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
' p1 Q' Z4 T  O  W: E数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
/ I) o* J6 k0 d- ?$ V& `& \计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% P+ r: X+ I3 P6 ^! I& X( n9、优势分析
# ]5 Q' p3 o2 C6 D8 v5 t26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
; U0 J% q& \# _- P8 W6 e量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
+ |8 j$ {7 I1 Q$ G4 w% w, Y

1 F5 K# N2 j  x9 p