数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
7 z/ m9 X- Q9 n, r0 r' h1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
* o9 ]" n, ~3 [) A4 s2. 按模型的特征分：
5 [9 R9 z. A4 i& |, P静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
9 i* N+ O7 b9 g5 T3 A/ S) J性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
( ?& p' B4 v7 D6 r5 T) s4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
- m  M: Z, q% U往也和建模的目的对应
& V3 E3 }, b' A# P2 V9 u/ X5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 {( K9 M* B: N* Y$ L! E+ `比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
" a; N  n$ H# C6 q- [) N国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
; e/ g# o0 S/ w; O  S数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
, e/ r, s2 C- p; O. q% K2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* c) o) [- P# Z7 h7 b建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
! A: ?; C6 [9 G/ z: A% G法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
7 N% K+ t0 X/ a- U/ m! X/ R5 b2 W5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# `* M6 |2 s* l4 g/ E这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
; i' e5 @  u- r6 G7 E" s, L) o6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
3 u2 O$ ^6 a* S- D4 ~& x3 ~帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
' d3 u$ E, C7 M+ _/ @9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
2 _+ _0 O- h$ @" J! @如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
9 j2 y0 ^* o- x% }算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
& {& H+ m1 P0 q1 e; d( A1 C个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
, ]& B, f' I: w; {% o②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
" ^- ?) M  i! H% |# P. f8 O. E微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
' G. o# t1 l* l% P; @找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
9 v& ]- L3 A) K% z. K6 u# _②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
# w5 l' }0 @9 G8 g; a2 R9 P4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
# T# m, t" E* B) ^一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
3 ^5 Y% X) A* T4 }+ p概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
7 w* N/ t9 h' ^" ?5、 、 时间序列预测
. }: V) i" T& \预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
: T4 h) }' I- b+ M数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
8 j0 o( M& |4 J3 x6 X  d* T预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
( g4 n( I% C& n1 Y: L预测波动数据的函数。
$ \, M5 h6 Y5 ]& K  `" u7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
! Q1 E4 O# c  v& p* c办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
0 p* V; n0 n! r8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
1 m! \4 a+ F& e8 [( E6 {拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
& }) [  W4 R+ V$ ?& c" s10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
3 j; P3 Q4 R, S. m1 [12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
' a; o: C. ], C* J3 G! f9 O13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
1 `2 o0 q/ w* ~* y3 s其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
& ]2 D& E( U  A2 Q  n1 T0 T; {解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
& _# T" S% U8 N! C3 n7 r4 y; f& p$ {) ~的最差值。
$ \/ _! l* t6 d15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
! ?1 Y& \, `- y/ h" x可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
; X6 n6 S) w; A; U8 X9 Y来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
% m8 t4 x& [- s8 c$ V  @" _9 e该方法做评价比一般的方法好。
+ a! R, z( a+ s  _! e16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
" ]" o/ W1 e) e* v+ Q方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
: J5 ~! X7 c( F5 p协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
. j* t5 }. {' O, R: x素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
) z! Q' ^# l9 S9 m2 P; T17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
0 i, _. X2 ]6 l4 z4 `模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
- |! g" s" a" e# E优解。
- V4 [0 j' K* H18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
6 N5 `0 K- [8 [- g( U, s非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
+ O  H8 c6 @2 H' c8 Y& K其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
& u6 k2 {; K* i( ^: P20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
" [, U, P2 p, n0 ~即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
6 x+ Z7 w( L, p2 G' b, k( w% P般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
& J+ k$ A6 u# Z8 T8 q1 G( L# @21 、图像处理 （ 较好） ）
" B9 o" X# p& _; DMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
' h3 P5 {2 ?6 Z4 {. m  |例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
5 }/ H3 e! k$ s& n23、 、 多元分析
' U# ?! f3 K$ `4 w0 E, q$ B1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
8 c. p8 _+ e$ d2 S2 w* \各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
9 \. x* I  j" |- m4 U; k从而达到降维的目的。
, W/ X% z9 s" [/ |4 O4、判别分析
4 X2 o9 P( V& |  u# x$ I# e5、典型相关分析
  d/ N2 x) w& H: g: U) q3 \" P6、对应分析
% y3 W' |8 C& V7 Y# f# ^# f7、多维标度法（一般）
$ T. T" S; N8 _8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
. _9 {0 }+ y, _# }: X1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
, z, }/ p, X7 ~# q4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
8 u' ^5 P% f$ z0 v" e一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
& A1 J1 Y! M9 a5 c; W; Y6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
' H! l  R5 c" X8 k8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
$ G$ L3 E: |0 i" O1 l5 K9、优势分析
! R' z( \( J% q5 b8 k! p: a( e9 ~26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
' T1 n: ?1 |$ |+ }! M/ M: ]量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
' X+ G: `- g  [$ o6 C
# P" @0 z% V$ ?
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