数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
$ N3 z) p' k4 A+ |型、马氏链模型等。
9 N  y, A! X1 S  h$ u2. 按模型的特征分：
( P$ R) c" M$ E* [( }静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
# u- k! E  e5 k$ D8 P1 \性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4 ]/ E0 x* {7 z7 Q& H" M; i) M4. 按建模的目的分： ：
1 U$ Q' _* a) T$ E! Q0 b/ G( x4 d( t预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
# L: H4 m4 \7 o" {" D$ R7 m5 q5 l该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
. t6 K" N0 K! m! J通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
: b4 L" L; v, z8 S1 o- O建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
2 `. K" W/ b" k$ K3 U* |这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
' ?% h: j8 ], Q* b% \( j; W5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
2 n9 |( V0 b0 N1 i2 U% U这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
: {0 r) Q0 w: G+ ]% g$ J1 o这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
1 ]4 Z, B; o/ b6 Y. E帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
0 v- x. b* |0 O+ W; G8 、一些连续离散化方法
" d9 M6 _3 G7 Q9 V+ D& \很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
/ U2 r' r9 S1 V) y& I据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
) B" j# j' Y' {$ h1 [如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
# S$ W! z6 X' c5 Y' Y10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
3 H' ^4 q% j+ F& e+ d0 j5 l) H4 x9 k的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
; }& A" C7 x& \. [1 B) D4 z1 g7 ]- o解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
* X: y! @9 ?. J8 m& |) S4 n①数据样本点个数 6 个以上
$ t) J! D( J3 |8 `8 m/ J% U$ _②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
: C9 r8 I- I$ U3 |& @% M7 g2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
1 ]" \- O1 e% w* U5 D! }2 M" v微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
# F# T& V+ T* c4 c. c其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
# H' X$ S4 \4 \9 A5 F* k# D( L2 G化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
$ n2 `/ X0 ~5 _, [; [2 K②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
9 F( u+ |* o( E. D- ]# C9 s4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
' M2 u* c/ W( v9 V& k一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
; D" `/ x& C7 W9 U概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5 R9 h* ], `2 V" i6 ]5、 、 时间序列预测
/ l2 _% p* N" n  B4 u预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
- {" \4 ^2 m8 C) o; t数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
2 E1 o, l) A+ J/ _( d! G预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
7 B6 `/ }6 |) b- ]3 V预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
' n8 o; M5 ?. H/ W% g  m2 G办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
6 ^3 a; I" Q  f. c) r6 r/ R0 g8、 、 混沌序列预测（高大上）
. I; {. R8 V% T; u2 o3 `" S适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
% G2 C, a" c- Z0 U9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
- M7 Q+ g$ `/ r) E. |. v/ ~拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
  G* E6 b9 p1 y$ L; b在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
2 B6 b! v; t' N+ o9 p: B逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
. _- x* @( Y2 n: _+ m) N* @10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 T/ y1 r% s: ~3 x$ ?作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
  |. v! ^: L' b- L; Z  _似。
( A* O- I8 G% ?/ _8 G" f9 F! Z3 L14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
' Z* x1 S7 |; z其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
) s3 L& m- {- B评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
) Q( }# Y& k' y$ Q* {可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
; w( a$ I& c6 \+ G' Z& [2 N! Y- v来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
9 b: c2 I  y: S% J* i9 Y2 Z该方法做评价比一般的方法好。
* j0 h8 o% Q4 ~  O+ V- V16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- |9 K4 [' M  y2 K0 E8 U' G量有无影响，差异量的多少
# E! p+ F6 B5 f/ _" @协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
; r& d% o/ b) \  Y素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
, Z  ]- i# K, p优解。
8 {) n" {' j8 J+ c5 H18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
  n0 u: l; w0 t5 T. y智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
4 j# T5 R( d  V% |: n算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
# r  e, a0 a' J3 W! J20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
. x$ l6 P/ K/ D- R% g有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
& \( Y$ c: F) u# M计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
: {4 W9 Q- I4 E/ m! [5 @0 J般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
1 ~4 ?) B/ ?0 Y3 z( K. c& D) H  Z21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
1 y2 I( X$ B. l例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
; n8 b( f# e2 \22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
  P; D0 \+ D8 u, m支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
! g: w  U: }' U  V4 {! r; a4 F射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
/ s" H& k% T" R; _/ K3 U  c! f23、 、 多元分析
' G# q- h# c$ F# y* l+ R8 y2 ~1、聚类分析、
2、因子分析
, {2 v" w3 A% _3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
  H' V" |( J- g1 z( H/ m5、典型相关分析
8 E: J  t' Z& k2 ?4 l5 t6、对应分析
1 n+ ], a4 h2 U8 L+ M1 u7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
6 J' J- }9 n- E" j24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
( X" m! n; g6 U1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
* U3 a, j7 R$ W  Q0 |9 s5 n4 i3、层次聚类
# c& B' P2 K: C' \4、密度聚类
: ~* j5 H& @* b" C5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
; w- ]' G' U' r7 P7、费舍尔判别（较好）
9 h% p! K) B* `" s8、模糊识别
3 e+ N- I  t. n: I$ W! v2 L25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
$ [4 @! ?6 V8 G) P2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, d4 {1 U) ]4 ]$ }* `9 }9 [6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
9 [- s. n7 p- ^3 k7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
. x7 e) I+ D, y* z8 o" R$ B8、格兰杰因果检验
" S9 {9 ]3 r6 g, Z( E计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
7 E/ F4 `9 x6 r& g8 `9、优势分析
4 w% X5 H0 ]: R  Q26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
# S3 m, K1 G  [/ r! o9 A$ }; J( E* l量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


2 C9 N& e, \# A. X# x  m3 E