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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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数学模型的分类
7 z/ m9 X- Q9 n, r0 r' h1. 按模型的数学方法分:6 X, L; L" H! J g/ w& N
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模3 A0 L0 P* n# R' p4 m1 j# A
型、马氏链模型等。
* o9 ]" n, ~3 [) A4 s2. 按模型的特征分:
5 [9 R9 z. A4 i& |, P静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线
9 i* N+ O7 b9 g5 T3 A/ S) J性模型和非线性模型等。6 s* Y6 _, y8 W2 f" t
3. 按模型的应用领域分:1 A2 @3 k7 O; f. G/ p
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
( ?& p' B4 v7 D6 r5 T) s4. 按建模的目的分: :& S3 X p6 K+ I/ C) }: w0 f2 n- x
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。$ s& U i7 X6 E9 x9 v
一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往
- m M: Z, q% U往也和建模的目的对应
& V3 E3 }, b' A# P2 V9 u/ X5. 按对模型结构的了解程度分: :4 s* ?, a0 m2 D6 V6 k$ J2 r3 d
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 {( K9 M* B: N* Y$ L! E+ `比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。( ~! |0 B1 B$ _
6. 按比赛命题方向分:
" a; N n$ H# C6 q- [) N国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、2 g0 r& v# ~7 E! G& n
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)
; e/ g# o0 S/ w; O S数学建模十大算法& }, u" B/ p9 s$ V
1 、蒙特卡罗算法& r4 t' ?' O4 u5 }4 ~
该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可4 A( T/ T. p8 Q5 W# y
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法
, e/ r, s2 C- p; O. q% K2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法6 E9 g1 l) Z9 u3 M+ k' r% Q* v
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,) T. M2 y; g; o0 `
通常使用 Matlab 作为工具# K: Y8 W8 K7 l b
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* c) o) [- P# Z7 h7 b建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算
! A: ?; C6 [9 G/ z: A% G法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现( y7 C( G6 w( M; C' X+ S7 w
4 、图论算法* {; i1 x. S2 ?6 t
这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图9 N, l0 Q! k4 q& `6 K2 A
论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备
7 N% K+ t0 X/ a- U/ m! X/ R5 b2 W5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
# `* M6 |2 s* l4 g/ E这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中
; i' e5 @ u- r6 G7 E" s, L) o6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法' U( M. M3 V- _6 p O2 F8 M
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有
3 u2 O$ ^6 a* S- D4 ~& x3 ~帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用1 K0 U+ t. _3 h# k7 r
7 、网格算法和穷举法% x) c6 m+ z+ L* G% {
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用7 H3 p/ R% c2 _: D) n
一些高级语言作为编程工具* ?. f1 r$ A3 g# q" M4 ?5 L
8 、一些连续离散化方法1 d% | G3 h/ z8 f$ o+ A
很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数' l( z! k: x5 v
据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
' d3 u$ E, C7 M+ _/ @9 、数值分析算法! R7 z! [: I5 U5 R" x6 ]' H$ E
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比
2 _+ _0 O- h$ @" J! @如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用8 u" v: C9 Z: `2 q
10 、图象处理算法7 e: c) Z; c1 i: \0 L0 ?) u
赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片1 w, X* G% k( g f k% `/ ]
的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进; q f9 s- @* V& S+ u0 H: k
行处理
9 j2 y0 ^* o- x% }算法简介" z) P9 G" K' z: Y5 B2 i0 Y
1 、灰色预测模型 ( 一般) )- P1 g5 M( M: o$ h: S
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两
& {& H+ m1 P0 q1 e; d( A1 C个条件可用:( r5 ]/ V7 [9 i' x' B1 G- ~5 E+ B, \
①数据样本点个数 6 个以上
, ]& B, f' I: w; {% o②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大5 J+ T% g/ f8 E# N6 W: V
2 、微分方程 模型 ( 一般) )
" ^- ?) M i! H% |# P. f8 O. E微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但9 S* _6 \+ w1 N1 J, e
其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以
' G. o# t1 l* l% P; @找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。! l. [- w2 ?9 y, H/ h- I4 u! j2 c' R
3 、回归分析预测 ( 一般) )% K8 t$ s2 R$ P
求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变8 F6 y& O# W; Q9 c2 f
化; 样本点的个数有要求:' C: l k3 z7 W
①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;
9 v& ]- L3 A) K% z. K6 u# _②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;
# w5 l' }0 @9 G8 g; a2 R9 P4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )
# T# m, t" E* B) ^一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相8 c1 O: @' \; T1 d
互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的
3 ^5 Y% X) A* T4 }+ p概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。
7 w* N/ t9 h' ^" ?5、 、 时间序列预测
. }: V) i" T& \预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA" \# S) T4 W/ ~' R }
(较好)。; Q4 {! ]* \4 G) i: W8 @; C
6、 、 小波分析预测(高大上)
: T4 h) }' I- b+ M数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其
8 j0 o( M& |4 J3 x6 X d* T预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
( g4 n( I% C& n1 Y: L预测波动数据的函数。
$ \, M5 h6 Y5 ]& K `" u7、 、 神经网络 ( 较好) ), c2 p% Z' Y5 ]. v1 d
大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的
! Q1 E4 O# c v& p* c办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。
0 p* V; n0 n! r8、 、 混沌序列预测(高大上)9 P# h$ g/ d0 h1 }# n* h, p
适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。 f# \0 \1 A- ?- p' K6 M$ T! ?9 Z$ r( Z+ v
9、 、 插值与拟合 ( 一般) )
1 m! \4 a+ F& e8 [( E6 {拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别3 }1 T! t8 [+ V. L
在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;7 e# M5 k5 R2 Q- n7 C3 ?
逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
& }) [ W4 R+ V$ ?& c" s10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用7 u6 k+ x* o5 W- R9 x6 l% @% ^
评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序$ u0 H7 e/ G4 R5 p
11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用- n% ?% N5 C3 `1 v9 r7 ]/ N- Z
作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策
3 j; P3 Q4 R, S. m1 [12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) )" n o, ~. B3 y8 |4 S7 `# O
优化问题,对各省发展状况进行评判
' a; o: C. ], C* J3 G! f9 O13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )5 ^1 b; L% b% c$ o. {4 t
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权! Z& _+ W3 J/ l
法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类- T1 y( X9 C( a
似。. |* {2 G% E- w* C" g
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) (备用)
1 `2 o0 q/ w* ~* y3 s其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若$ t4 y' k) r5 Y* s7 S
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优
& ]2 D& E( U A2 Q n1 T0 T; {解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
& _# T" S% U8 N! C3 n7 r4 y; f& p$ {) ~的最差值。
$ \/ _! l* t6 d15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )
! ?1 Y& \, `- y/ h" x可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出
; X6 n6 S) w; A; U8 X9 Y来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。
% m8 t4 x& [- s8 c$ V @" _9 e该方法做评价比一般的方法好。
+ a! R, z( a+ s _! e16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) )
" ]" o/ W1 e) e* v+ Q方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产5 w% A- b2 B; ]- T9 X2 z
量有无影响,差异量的多少
: J5 ~! X7 c( F5 p协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因
. j* t5 }. {' O, R: x素,但注意初始数据的量纲及初始情况。9 ]" B& G0 G% g
此外还有灵敏度分析,稳定性分析
) z! Q' ^# l9 S9 m2 P; T17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 ( 一般) )
0 i, _. X2 ]6 l4 z4 `模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最
- |! g" s" a" e# E优解。
- V4 [0 j' K* H18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)
6 N5 `0 K- [8 [- g( U, s非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题7 W& i! D W. c& r
智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索* b. | ]: G: g+ F8 z; X
算法、神经网络、粒子群等
+ O H8 c6 @2 H' c8 Y& K其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等: C8 q( ]: P" U# I; W
19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )/ u+ E$ U/ V: g) I
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
& u6 k2 {; K* i( ^: P20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) ); o, e* t, X9 t& Z% B9 ?' t
排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,
" [, U, P2 p, n0 ~即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和$ d4 I" @: {- w/ R/ E# o. Z
有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。! O% e9 T L3 n3 n9 Y, Z3 F
计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一
6 x+ Z7 w( L, p2 G' b, k( w% P般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。
& J+ k$ A6 u# Z8 T8 q1 G( L# @21 、图像处理 ( 较好) )
" B9 o" X# p& _; DMATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。
' h3 P5 {2 ?6 Z4 {. m |例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。7 |8 E. Z: b2 m: L) G
22、 、 支持向量机 ( 高大上) )5 C N+ s2 V+ X- _
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映, i6 W4 X5 K# b# _
射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
5 }/ H3 e! k$ s& n23、 、 多元分析
' U# ?! f3 K$ `4 w0 E, q$ B1、聚类分析、4 q% n8 g8 u9 z! x& U* e$ J
2、因子分析, V1 H2 ?' e8 L" k3 F) M& Z
3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析
8 c. p8 _+ e$ d2 S2 w* \各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,
9 \. x* I j" |- m4 U; k从而达到降维的目的。
, W/ X% z9 s" [/ |4 O4、判别分析
4 X2 o9 P( V& | u# x$ I# e5、典型相关分析
d/ N2 x) w& H: g: U) q3 \" P6、对应分析
% y3 W' |8 C& V7 Y# f# ^# f7、多维标度法(一般)
$ T. T" S; N8 _8、偏最小二乘回归分析(较好)! |7 l3 m0 o' M4 l0 o" ?5 r
24 、分类与判别: f! h) y/ |: Y& I+ b/ f
主要包括以下几种方法,/ h; ^2 G4 V% ~6 }9 E. o
1、距离聚类(系统聚类)(一般)5 I3 D; c2 J0 G' d9 y
2、关联性聚类5 b4 t. ~/ O- B- g7 n" n0 H
3、层次聚类; c+ s! x) h% X. _) Z
4、密度聚类, v+ D) C! e1 x. T2 N1 e" O9 d
5、其他聚类7 Q2 H3 T2 Z" c6 U! c+ w5 O; u& B
6、贝叶斯判别(较好)3 e6 x/ K: w3 ~
7、费舍尔判别(较好)4 w! e Q) V2 y2 G/ _1 q
8、模糊识别# c2 a! W7 i& Y& M
25 、关联与因果
. _9 {0 }+ y, _# }: X1、灰色关联分析方法* O' E$ O( a7 ~8 e/ [/ J
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析$ W9 B' W' w& y Q6 O
3、Person 相关(样本点的个数比较多)
, z, }/ p, X7 ~# q4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)% H; z, f8 @; c' N
5、典型相关分析: Q: k/ q, @! m0 `( F0 _/ K
(例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪
8 u' ^5 P% f$ z0 v" e一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)
& A1 J1 Y! M9 a5 c; W; Y6、标准化回归分析( @; D- G% F0 Z/ J2 M" O
若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密5 c( [7 I' l0 |; X( Y0 l
7、生存分析(事件史分析)(较好)/ |: N! x1 Q! X5 e& M4 t; H; `
数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响
' H! l R5 c" X8 k8、格兰杰因果检验* M: h' x4 \( F7 f
计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响
$ G$ L3 E: |0 i" O1 l5 K9、优势分析
! R' z( \( J% q5 b8 k! p: a( e9 ~26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) )
' T1 n: ?1 |$ |+ }! M/ M: ]量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速' f, I& [% G8 }# ~
率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。
' X+ G: `- g [$ o6 C
# P" @0 z% V$ ?
1 V( U# F9 x# e4 b6 z |
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