数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
5 G3 S/ O, M# B! M/ Y' z型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
: Z/ J- f7 ~- _4 f) v- O静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
$ A8 O4 ]8 w: \; L, u: r% n# t性模型和非线性模型等。
( r6 L( {2 I9 S- l! {* g3. 按模型的应用领域分：
# Z5 B, i4 l8 `: C人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
# k, e4 z, R. ?4. 按建模的目的分： ：
, J" o3 z( [( o; q预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
. S! Z8 s3 F4 |6 w一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
  V1 o; u$ {0 }/ F5. 按对模型结构的了解程度分： ：
3 h9 g4 V; [5 P5 p* N2 S7 o有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
  o3 v; x. e% m6. 按比赛命题方向分：
+ k$ f# y: e! j$ X0 L国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
! k8 p: C+ J+ i% z/ R: Y' c7 Q+ m运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
# k# }/ m% L) e3 L2 P该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
% w% n% T: E% O8 w( ?7 S以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
% Y% W; D- F8 P7 w' C, o1 [# f2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
7 r. u' b+ P, I( @) c! x. c: F比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
9 l  w  J- j, i  a3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
$ l+ T6 `+ j, p# o/ W6 f法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
) x* ^5 |/ T" I3 ^0 B& b8 s4 、图论算法
/ a' h" f* j. i. \8 [这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
  e/ C, P6 t- P. u* b/ `5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
9 _& I7 @# p9 M+ g9 o' V这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
5 F/ H* r5 [! [2 p4 N$ j( Z7 、网格算法和穷举法
) z6 L1 i( t( A& o2 V, B当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
+ P8 x" `/ I4 _" Y+ P一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
8 t; }* D( I4 ~, y据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
* R, m9 H4 r! x10 、图象处理算法
; y) @! Z' ~+ f# S赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
# U1 I. c0 [* v2 y2 }9 e) Z的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
9 B, [* l! q% L算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
( W# {, z7 j9 C) k6 I; J6 @; U% L解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
1 r1 \! b0 @4 @0 p9 e②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
6 _. Z. k3 m0 r7 D- H: d5 |微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
4 A) e4 \9 i8 u0 ~$ V/ u2 \# t找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
& ]: i) z; I' [+ E7 P) K3 、回归分析预测 （ 一般） ）
& b, R7 r8 C. ?0 A3 V# D+ w: S7 e3 w求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
% C& [$ a- A4 T5 A0 G1 @! |6 A8 _一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
6 x/ d% `! q) |& ^" `" w$ A5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
5 N: |, w- ~& ?5 v* v, Y7 ~6、 、 小波分析预测（高大上）
1 B  m" _  T# f: C' z4 f' K数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
( X2 u2 j9 u( }3 J" n( @大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
; p% i- U' E% a3 H3 I% C: Z) l5 O9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
, b2 z! e( e2 x( s( b, Z1 t拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
$ P7 k1 Q4 Q, J9 @11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
0 l) U) D2 U, V+ J, w; F- y12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
! E5 E. h% d6 S" D! S( t4 j秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
5 a/ T. s6 |8 c  k3 x' a1 Z# m法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
$ y4 n+ B7 G7 H5 d- L$ c似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
3 B3 `8 g5 e5 r: ?! D* j8 Y" G评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
# L- H% P3 R: l+ x, T的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
" W" D, x# N& G1 n6 _8 d1 X可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
7 y' J, D* f! \/ e) K6 I方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
" i3 n1 \( {- V9 a4 @( F4 i% f4 A  y量有无影响，差异量的多少
% _- [# }5 R1 q" b1 l6 R协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
# R) {; D2 l4 U8 K+ c此外还有灵敏度分析，稳定性分析
3 H2 L3 H4 q( n# b17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
6 c6 T6 e- N) F' W- s模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
, P  v+ b. a  p. o5 A; t优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
4 o* r4 c; A; G* c2 V/ T4 q' \0 D5 t4 `非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
- S9 g2 |; C# T5 y9 F8 Y算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
2 b" k, t) u2 [& N- k射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
9 f0 P8 i8 B% y' D0 O" X: e1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
6 b+ ?3 R: f0 F4、判别分析
" w2 l* f' U2 I& b* X$ a; B5、典型相关分析
5 m' i* Q* L( y$ t4 u5 |/ f/ y6、对应分析
7、多维标度法（一般）
2 ?; g4 V$ e6 ^8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
2 ~) F" `+ [4 ^; }" w  K9 g主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
# n: D& R: x/ _2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
/ [8 c) u8 _: E4 q5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
/ b* r9 e; M6 B- S25 、关联与因果
9 I" V1 W, I) e* _1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
; @( I" p# I7 r* z5、典型相关分析
0 t+ ]- a. ^: ?* Z: F( X, R（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
, U( u6 a( y: {一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
% u9 s. M) I: ^# A8 C; J  ]) t7、生存分析（事件史分析）（较好）
& x: \4 S5 Y, T# w$ a& D数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
" Y8 L' W8 @( H$ v! {  z

/ C/ v- E. a. x" F( n