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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
数学模型的分类" |) G1 I' U: N0 }' r& ^: V' N, r
1. 按模型的数学方法分:
1 M6 j Y' a3 M/ \& k1 y* P几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
. l$ C u3 S: b( T8 ?6 O1 A4 R8 e型、马氏链模型等。
5 M# o9 N5 G1 c' \) f2. 按模型的特征分:
$ b, i- p" N2 k A& f静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线
9 u8 H9 Y5 E# c3 O# [$ j性模型和非线性模型等。 I( X! R! c& } _) F& \) P
3. 按模型的应用领域分:1 z$ k/ J+ q7 e8 d5 X$ X/ Y; z' I
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
, C, F+ ~6 F7 H' Z4. 按建模的目的分: :
& U7 k8 k) U4 l预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。5 P$ V0 l- W9 @. x
一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往2 s! ?$ q& F1 N' z: N4 q
往也和建模的目的对应) a7 `. ^1 I- N& ?
5. 按对模型结构的了解程度分: :3 G; Q6 v$ j; X9 w& q9 U
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。$ b2 i8 R- d7 r
比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。
w; {9 ]1 X2 F# m: d6. 按比赛命题方向分:, v, D0 F1 C" ?: p4 A! P9 R
国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、$ D/ D9 i9 W; S
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)" A; S1 n' L; K3 |$ ^# L
数学建模十大算法0 u' g4 X- s8 r; ? c4 z# [" `
1 、蒙特卡罗算法
' b* F. b& r; [6 \# t该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可( }2 z* t7 j( k
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法
! n) v& s- `6 r- V9 N; z& T* u; Z2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
" W b* ^/ ]: T2 ]8 _, g5 y9 h比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,' n! P" e8 M& q# K( b/ D* f2 ?4 d
通常使用 Matlab 作为工具0 v1 H3 G, v' u2 w; g
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 t4 i, q# O# }& A0 i- l5 n建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算
& X2 M* Q, R' O$ _6 _6 K+ e) e# G" F X法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
6 L8 J: i1 ^8 d4 i& O5 }/ @4 、图论算法
6 c# i- \ b, v7 f5 {这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图
) {- w% Z5 [ m/ a( S论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备
; ~' p$ H3 ~# ?6 D* @% ]4 n1 |5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法$ c5 i/ Z2 D9 E
这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中
1 a8 ^& c& Q9 j% Y/ Z% _/ J6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法1 P2 q/ v' i5 i/ c: x: A0 {
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有
& _9 [/ z& V$ ?1 ^帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用/ s! I& X- G0 b- K( R m
7 、网格算法和穷举法0 j7 A. @3 C8 m; P
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用
8 {1 q! G: N, D% V. {. S3 q一些高级语言作为编程工具 p9 P. G- n( ^
8 、一些连续离散化方法' C9 A/ |; w: J& A
很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数
. ~2 O5 F3 M2 S B- @9 z据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
# V1 `9 n* ~4 p8 r* R4 h9 、数值分析算法
9 `$ j5 F5 ]" ]8 U2 q c3 k如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比5 y7 d2 Z) W7 `5 Q7 g
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
) W* H/ X& g, t: [( R, c8 @" |10 、图象处理算法: x% L6 z# J6 L2 S
赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片
[* S# `( ? N2 V! n' I R的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进
0 l5 a; ~# {1 P" z: A# E" [8 p6 Q行处理
6 p7 w! N! c) o6 O0 _# E5 V) r算法简介3 W1 Y/ N0 `5 k# Y) E
1 、灰色预测模型 ( 一般) )
# N6 K9 u( c" p u) ~" ^解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两
/ S! ^% c& [, s* y7 i个条件可用:9 n: m7 U4 L2 O# p+ L
①数据样本点个数 6 个以上
E+ f7 e- |6 z" h- X②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大
p; `/ S+ h- _2 、微分方程 模型 ( 一般) )
& A! X, x8 E+ p. F; E微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但
& W5 A) G( f' U M5 ?: ^8 p- M6 f3 X n5 ?/ F其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以
* W3 {/ x) l! L8 z# \7 D找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。: _4 c7 \. Q( R6 t/ o' x4 }2 g
3 、回归分析预测 ( 一般) )3 j: ~0 _" J5 k
求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变8 k( b' r4 T9 ^0 _& N
化; 样本点的个数有要求:) p" L8 a* `- ]3 m. @9 x
①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;
& U% g) M6 S2 `4 e②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;
% R4 S: ^+ Z, u4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )0 J0 i i9 _- }) m7 `, k' e; c; _
一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相( ?, @9 h1 L- e4 `/ u
互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的
) U4 B' U( y( K! c8 A概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。
. z4 J0 i5 A9 [5、 、 时间序列预测6 _2 p4 {" m* t6 C
预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA
) G. s: I0 N. N7 N4 a" _8 h(较好)。
2 k% W) E4 C7 _$ d' C d6、 、 小波分析预测(高大上)5 X- u W! t4 _/ w
数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其5 [- C% G9 R" | {4 Y0 X
预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的( w$ E7 P8 P( X! ?( n
预测波动数据的函数。
4 i1 |% F# ^' b# d" x& e+ o7、 、 神经网络 ( 较好) )
0 ~. @9 b4 F( W- ?, p5 M, ]; G; C大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的
5 Z# \& I0 C4 ~+ S W办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。$ \+ r. E) G$ Q# T$ ]/ |% n! \
8、 、 混沌序列预测(高大上)6 J& g+ M3 c! y0 ?4 b* _) u# M+ C
适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。
) R2 e" Y- e1 U; w7 c$ w9、 、 插值与拟合 ( 一般) )
L/ Z# y8 g1 k# \. H+ ~4 f3 b1 O拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别
3 T4 y+ p8 D I在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;. \- V' o; v) Q/ b+ _! K" C. t+ ]4 U
逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
- z* G$ ?/ G6 T3 p4 Y0 t* R, k5 r8 r10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用
: G8 M K7 f7 o2 C评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序 {) m$ D* Q. A* \7 d1 ]0 W- ~4 l$ o! n
11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用
. W) I9 ]& @9 b2 J7 A" g作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策
N1 U& F, M0 _- X12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) ) z6 }9 z' X# Q- l& |
优化问题,对各省发展状况进行评判
0 o1 X2 x9 ?) S% u13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )
4 w$ O% T, M9 u% y2 l) P+ D秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权* ]7 Z1 W; V" \- }0 w7 O, P: O
法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
, h, ~ c3 ^5 y, B似。
& L, e/ S" m/ X( b14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) (备用)
; `0 o8 g6 i) t) z$ _5 l( b其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若
1 M$ g9 b" u8 B. y: ?* v8 V# v评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优
5 n$ v6 O8 D/ E. e* C& P0 h7 U/ F解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
& e. S+ b( H. s1 i4 Y# r0 k的最差值。
; N" t* w o" w, M0 F: _5 l9 X' Y15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )
; s# L& [% f! E; O+ g! j可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出
7 ?; l1 [+ Y7 D: e8 c( D8 W来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。# X0 X) W$ Z$ k" G: {2 ]
该方法做评价比一般的方法好。8 x5 l1 \' W6 x/ z% E
16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) )
: a# A0 [# a* x方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产
# D. T% G% Q, m( z量有无影响,差异量的多少 h6 S3 `+ j( s8 Y: F" {! B( U
协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因
: c5 }; F) @4 _7 K% g) z素,但注意初始数据的量纲及初始情况。
% s: G1 \9 e! ?' l/ p: v3 ]此外还有灵敏度分析,稳定性分析
' e1 C+ b# p- Q8 E: \* U17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 ( 一般) ): k( D, W+ O: T% u; s- ]" \. }6 H6 W/ c
模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最
# a" C- N* E& P& d优解。; q* C2 J7 K: _; ~9 K
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)
* L" t9 A/ z% u3 F, Y) r非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题, f4 K f: Z. G" g; s2 P. J+ Q
智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索. G$ w4 T6 ]: [- M: _( @
算法、神经网络、粒子群等7 G/ _# G' b" Q9 c; r
其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等- y, T# N$ z3 L7 X
19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )
4 v: c' H2 q/ }& a% e& t离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
+ ^9 f X$ ?0 t6 w# V20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) )& \/ G) ~4 [! a' s
排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,
- B8 \" y7 i; v: R1 f即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和
F$ t& e2 p6 U有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。
/ Y6 `" F( b. |! ?2 V$ D# f计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一
% y [, X3 `# b6 M) X6 k, }般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。: R, B6 ~! J% j H4 O
21 、图像处理 ( 较好) )
0 M7 T" z7 b' m) sMATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。. C8 l) s) j; j" d+ ~4 N
例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。- E4 N n: F1 [; Y# q
22、 、 支持向量机 ( 高大上) )6 o/ u ?7 X6 N" w4 }6 }7 A2 F
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映4 a: L( F8 n* x) k: Y
射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。6 m+ M* c0 D+ Y2 ?. @- L* @
23、 、 多元分析
8 e: [4 m$ ?: ?6 |# S# x1、聚类分析、( ^3 U3 D3 m7 g8 I! N) W. U. R) L
2、因子分析9 }1 g. h& @# u$ L* H
3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析( B' X7 c. |$ A
各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,+ h+ b3 l$ H4 `* X) z# E! {4 B
从而达到降维的目的。% C8 N! C# H1 x4 p* |7 e3 d- p0 k# S! F
4、判别分析
: i1 ?' j l4 I5 ^- e" R- j5、典型相关分析4 G6 F( i7 W4 q
6、对应分析5 O& y ?% h7 d3 f4 s
7、多维标度法(一般)- q: h I6 n1 ~" y
8、偏最小二乘回归分析(较好)
7 Y9 ]$ Z$ r2 j2 S2 O$ E- |$ s24 、分类与判别
& k6 B8 Y; t0 \! O. f6 ~主要包括以下几种方法,% O( d) I+ h( h0 G6 y
1、距离聚类(系统聚类)(一般)# G; n/ F1 ~$ `" X( T0 ~4 c2 Z
2、关联性聚类
, N7 b' N' H: a& N3、层次聚类
; r( a: Y( X3 J$ j- D G7 m4、密度聚类
& O) }2 C2 {% c- x" g+ O: V5、其他聚类
6 Q4 L' x# \, C7 g6、贝叶斯判别(较好)) L( T! l+ X( i$ m
7、费舍尔判别(较好)
( n8 `4 u$ w+ H. M: H$ ~/ R- @: r8、模糊识别( E1 i$ i4 s$ r+ b* b
25 、关联与因果; e9 N9 K0 t8 F7 A
1、灰色关联分析方法
5 g% {6 @1 l' S2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
9 c0 D" ^8 K$ N; [4 g! C7 u$ w% X4 d3、Person 相关(样本点的个数比较多)
; g# s/ c( {4 z8 K. J4 c6 d4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)0 [4 B) j# P. G. p2 c5 x( K& @, _
5、典型相关分析, W5 B$ W+ n+ N, \& f0 Q- n/ m
(例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪5 N# L8 u. {: Q. s% s. J/ ^
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)
( x! b! C2 D' d( H% `5 }# K& h6、标准化回归分析3 q/ } w% D5 M( B2 D+ V6 \" o5 k& o& `
若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
* T4 W# Z/ f! m/ n8 H$ E& f7、生存分析(事件史分析)(较好)- Z/ ?! D5 a8 w7 d) R1 U- R. d/ ~! B
数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响
2 D, n/ _2 V* [' n4 W+ U& ~/ E8、格兰杰因果检验
4 E3 Y: Q" a8 \计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响$ K( B: X2 E) ^& j
9、优势分析 |6 c/ s z1 a2 d7 `$ t& [6 e; L" m
26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) )
5 V& x" t3 V0 o* V量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速
' e; c, J5 Q! ~0 h5 H率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。
" _) [* Q6 G* W7 U& x* n( [
/ ]0 q- L1 J% H' p* }: t' `# a8 v a% B
( u6 S. L5 Q5 ]; @0 z |
zan
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