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数学建模算法与应用》方法概述

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2018-10-31 09:45 |只看该作者 |倒序浏览
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    [color=rgba(0, 0, 0, 0.74902)]《数学建模算法与应用》方法概述
    7 F$ {! O9 W4 Y/ n$ E/ E# S. ?
    " z, y$ y# l7 L' E8 S" V0 F& i
    0 R! o0 H1 J. Z3 f4 U% m+ v5 B

    序言:学习司守奎《数学建模算法与应用》第2版过程中,给出一个内容的提纲,希望可以在回忆复习时快速建立知识结构。包含了数学建模所需用到的一些方法和常见问题类型。
    9 o% E6 R6 O* j$ w6 r6 p) @2 G本文仅仅建立一个学习过程中的知识框图,后续会将具体算法理解与Matlab实践整理出来。
    : {2 P& O! ^* H4 m& F$ B其中前半部分“方法类”为一些常用数学建模方法,单独拿出来介绍 3 s0 W0 n+ m* l. E
    后半部分为总结的“问题类”,主要为规划、分类、优化、评价和预测,也总结了网络类和图像处理类问题


    —————— 方法类 ——————一、Matlab求解规划类和极值问题

    数学规划为在约束条件下追求效益而做的安排。
    6 ?, s7 R4 y+ J. rMatlab知识负责实现数学计算,目标函数和约束条件还是需要自己去寻找关系建立方程。 ; M4 C' C3 w& Q8 g! V7 C- ?
    多目标规划:针对多目标,加权系数法和优先等级法。

    二、插值和拟合

    根据一组数据构造一个函数作为近似
    ' q- A# [8 t. M1 L8 ~9 t插值曲线要过数据点,拟合曲线整体效果更好。

    三、偏最小二乘回归分析

    一般研究两组变量间的相互关系

    四、微分方程

    需要了解研究问题领域相关规律 & o$ x" R8 }5 F' ~6 g
    规律列方程——>Matlab求解微分方程

    五、数理统计(需对概率论很熟悉)

    利用样本来估计总体时,需要数理统计
    * w3 f' X# p& V* L: h5 w) L参数估计、假设检验 ——> 方差分析、回归分析
    & S7 B+ K* G/ {  M+ D0 \5 S2 KBootstrap扩充样本

    六、时间序列

    通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律

    • 移动平均法:直接平均
    • 指数平滑法:加权平均
    • 差分指数平滑法:增量的加权平均
    • 季节性时间序列预测:对季节求系数- i$ y) E, y/ ~$ `  Z% u9 k

    ARMA(自回归移动平均序列)构建及预报

    七、支持向量机

    找到一个超平面,使得其尽可能多地将两类数据点分开 7 n* v  o- x5 w+ y5 C
    线性可分SVM、线性SVM、可分SVM

    —————— 问题类 ——————一、规划类

    寻找目标函数和约束条件 ——> Matlab求解

    二、多元分析类(分类、聚类和相关性分析)

    (主要是针对多个变量的统计分析)

    • 聚类分析
      - d* W- W' [6 @& d$ a5 m* H对样本的Q型聚类 % {5 y3 k* g- p% f6 k$ h
      对指标的R型聚类 * v, U% Y+ h  L# \
      (利用相似距离进行聚类)
    • 主成分分析 7 ]0 a9 y1 ]) v, f9 G. X# f
      将多个指标转化为少数几个不相关的综合指标 ( t! G% t- _$ X* i/ b/ H% |
      标准化 -> 相关系数矩阵 -> 特征值和特征向量 -> 组成新指标 -> 选取主成分 -> 得到贡献率
    • 因子分析
        g6 [- E# O- j类似主成分分析,但通过计算初等载荷矩阵选择主因子
    • 判别分析
      7 |9 V  p+ l/ ]/ l% }8 D利用统计方法根据研究个体的观测指标进行归类
    • 典型相关分析
      8 B( J$ S' x6 T% O  ~, ?) z研究两组变量间的相关方法。 ( j# q# S0 j7 j. \
      思想:分别找出两组变量的各自的某个线性组合,讨论之间相关关系。
    • 对应分析 3 K) F5 x: _+ `$ K. x! O
      R-Q型因子分析,在同一因子平面上对变量和样本一块进行分类。
      ; u% f( s$ e7 y/ |行点和列点用同一二维关系表示,绘于同一散布图。
    • 多维标度法
      ! x# o7 H% F( ~+ x* L* ?, X. \在指标个数和本身不清晰,仅知道客体间某种距离情况下,研究客体间的结构关系。6 n5 f( e2 f6 Q% g# p; b
    三、优化类

    求组合优化问题的全局最优解。不断迭代产生新解直到最优。

    • 模拟退火:“状态转换”
    • 遗传算法:“逐代进化”
    • 改进遗传算法
      ' p" `, G+ W8 X

    区别:产生新解方式不同

    四、评价类(评价与决策)

    (关键点在确定评价指标的权重上)

    • 理想解法(TOPSIS法)
      * Q1 S# R! V; Q* T4 p找出虚拟正理想解和负理想解,测距找最优
    • 模糊综合评价法 / w8 |$ w* K: ^8 O/ z9 ^5 C" \4 F
      针对考核指标难以量化,以等级制解决。可以多层次评判,权重主观。
    • 数据包络分析 1 U+ {* {, Q& ?0 s
      多指标输入和多指标输出。(针对发展情况的评价较为方便) - z, _2 h. x0 V4 P0 k! X
      无需假设权重
    • 灰度关联分析(主观) . t2 `. U# s+ @! i6 u
      计算评价对象和评价标准的关联系数及关联度
    • 主成分分析 ( g. n9 ?/ E4 _1 f0 G! |
      指标转化,利用特征值和特征向量
    • 秩和比综合评价法 ! _, I4 z- \7 b1 H
      利用秩和比进行优劣排序, ~6 Y8 v& U) ]* ?9 Y
    五、预测类
    • 微分方程预测模型 . m4 a/ a/ A+ r( e
      基于相关原理规律的因果预测法,大多为物理和几何方面。
    • 灰度预测 # K2 x5 X  t' O1 Y. @
      不仅利用原始数据序列,而且对原始数据做累加或其它处理得到近似的指数规律再进行建模
    • 差分方程 - K7 t% R: R# u  K/ ^+ Q
      (解得问题觉得更像高中应用题)
    • 马尔可夫预测
      # _6 B% E9 Y3 f1 @2 j  b$ V1 Z系统未来时刻的情况只与现在有关,而与过去历史无直接关系
    • 时间序列 (根据趋势进行预测) 2 \1 B1 C1 q$ a5 U6 L
      通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律
    • 插值和拟合 (根据趋势进行预测)
      4 U6 A7 n: u7 w- A# g1 [根据一组数据构造一个函数作为近似
      8 _: {) o3 v% e* x" T插值曲线要过数据点,拟合曲线整体效果更好。
    • 神经元网络(根据参数预测) # U  T" S; A5 Q7 q3 J
      BP神经网络:反馈式地不断调整学习参数。   v8 X- P9 v5 ~1 Y& C% L  `
      BPF神经网络:把网络看成对未知函数的逼近
      & \6 J8 q( c( C. C1 p$ R0 }
    六、图与网络类

    对于图与网络模型,无论是什么情景,方法总逃不出以下内容

    1、最短路问题

    • Dijkstra算法:单源最短路
    • Floyd算法 :任意两点间的最短路% a, {3 r! z7 Z; \5 k5 `

    2、最小生成树

    • 加边
    • 加点
      ( |! p! O, _1 ?

    3、最大流、最小费用流

    4、旅行商问题
    , ~- m+ P6 X- M% }! z/ n1 a6 p) z改良圈算法

    5、统筹

    • 计划网络图
    • 关键路径
      2 L, e5 Q, _0 @! l
    七、数字图像处理
    • 图像表示
      , y# y. n9 L, l. I采样 + 量化 = 数字图像的矩阵表示 & Q7 l1 S: C( C; [8 p' n
      图像类型:二值、灰度、RGB彩色图像
    • 处理方法
      , u3 R8 q$ }5 G: T- G; j亮度转换、空间滤波、频域变换
    • 应用
      , F5 B! B1 |& X2 }- k: T4 N( w水印、加密式隐藏……# l8 x. P' O: w5 j% {
    0 n: |$ `# x: d- B9 I
    . K4 I* w/ L+ j% y
    7 P3 d' l$ ], S1 u0 _. V9 ^7 r1 K
    % A6 b' a9 Q. V" P* m& x* b/ m
    zan
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