数学建模算法与应用》方法概述

杨利霞

[color=rgba(0, 0, 0, 0.74902)]《数学建模算法与应用》方法概述
3 G* P: r3 n9 A" v$ V

: g. z+ Q1 w8 w8 I9 B; @

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序言：学习司守奎《数学建模算法与应用》第2版过程中，给出一个内容的提纲，希望可以在回忆复习时快速建立知识结构。包含了数学建模所需用到的一些方法和常见问题类型。
本文仅仅建立一个学习过程中的知识框图，后续会将具体算法理解与Matlab实践整理出来。
其中前半部分“方法类”为一些常用数学建模方法，单独拿出来介绍
0 r, W$ ?( I  f; _: |3 v4 }后半部分为总结的“问题类”，主要为规划、分类、优化、评价和预测，也总结了网络类和图像处理类问题

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—————— 方法类 ——————一、Matlab求解规划类和极值问题

数学规划为在约束条件下追求效益而做的安排。
Matlab知识负责实现数学计算，目标函数和约束条件还是需要自己去寻找关系建立方程。
" O4 L* x: W8 P" y多目标规划：针对多目标，加权系数法和优先等级法。

二、插值和拟合

根据一组数据构造一个函数作为近似
+ X+ ]3 W3 n" ^1 O& `4 e插值曲线要过数据点，拟合曲线整体效果更好。

三、偏最小二乘回归分析

一般研究两组变量间的相互关系

四、微分方程

需要了解研究问题领域相关规律
& F0 c; }. }) Q( L$ t* I规律列方程——>Matlab求解微分方程

五、数理统计（需对概率论很熟悉）

利用样本来估计总体时，需要数理统计
0 {0 ]2 z/ F- [. g参数估计、假设检验 ——> 方差分析、回归分析
* n' a! O4 j" [7 f6 i, p0 E; {Bootstrap扩充样本

六、时间序列

通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律

• 移动平均法：直接平均
• 指数平滑法：加权平均
• 差分指数平滑法：增量的加权平均
• 季节性时间序列预测：对季节求系数
  % u3 X( }2 P1 Q9 A; J3 [* N

ARMA（自回归移动平均序列）构建及预报

七、支持向量机

找到一个超平面，使得其尽可能多地将两类数据点分开
8 _: W& ^' }) R: r5 Z/ ^9 f  z线性可分SVM、线性SVM、可分SVM

—————— 问题类 ——————一、规划类

寻找目标函数和约束条件 ——> Matlab求解

二、多元分析类（分类、聚类和相关性分析）

（主要是针对多个变量的统计分析）

• 聚类分析
  % {( o' R3 e$ Y+ f) x4 P$ ]对样本的Q型聚类
  对指标的R型聚类
  1 K, N2 m, y) \& _$ l% R（利用相似距离进行聚类）
• 主成分分析
  将多个指标转化为少数几个不相关的综合指标
  标准化 -> 相关系数矩阵 -> 特征值和特征向量 -> 组成新指标 -> 选取主成分 -> 得到贡献率
• 因子分析
  , K( ^  y( H4 `& k类似主成分分析，但通过计算初等载荷矩阵选择主因子
• 判别分析
  利用统计方法根据研究个体的观测指标进行归类
• 典型相关分析
  ! h# _: G, q, U研究两组变量间的相关方法。
  思想：分别找出两组变量的各自的某个线性组合，讨论之间相关关系。
• 对应分析
  : U7 W9 K& ?6 y+ R# ^* pR-Q型因子分析，在同一因子平面上对变量和样本一块进行分类。
  行点和列点用同一二维关系表示，绘于同一散布图。
• 多维标度法
  在指标个数和本身不清晰，仅知道客体间某种距离情况下，研究客体间的结构关系。
  # [7 f; i; Z, E: S% n$ V

三、优化类

求组合优化问题的全局最优解。不断迭代产生新解直到最优。

• 模拟退火：“状态转换”
• 遗传算法：“逐代进化”
• 改进遗传算法
  ' T% p" c& `) w' K9 S( D) W

区别：产生新解方式不同

四、评价类（评价与决策）

（关键点在确定评价指标的权重上）

• 理想解法（TOPSIS法）
  找出虚拟正理想解和负理想解，测距找最优
• 模糊综合评价法
  " U0 z# {! H$ c9 B1 E0 H) i针对考核指标难以量化，以等级制解决。可以多层次评判，权重主观。
• 数据包络分析
  ; i+ U. e3 J' r/ I9 V3 i& r# D多指标输入和多指标输出。（针对发展情况的评价较为方便）
  1 W4 |7 q, p. ~# i( j  V/ _无需假设权重
• 灰度关联分析（主观）
  ( s6 ^+ _0 n& i5 `计算评价对象和评价标准的关联系数及关联度
• 主成分分析
  ) Z. q2 ], ~! O- R, O, z指标转化，利用特征值和特征向量
• 秩和比综合评价法
  4 O3 f- i1 w( T3 S9 l& c! J利用秩和比进行优劣排序
  

五、预测类

• 微分方程预测模型
  基于相关原理规律的因果预测法，大多为物理和几何方面。
• 灰度预测
  不仅利用原始数据序列，而且对原始数据做累加或其它处理得到近似的指数规律再进行建模
• 差分方程
  , L3 j3 J/ j) X' E4 u（解得问题觉得更像高中应用题）
• 马尔可夫预测
  2 E9 b( ]/ r7 Q系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去历史无直接关系
• 时间序列 （根据趋势进行预测）
  通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律
• 插值和拟合 （根据趋势进行预测）
  根据一组数据构造一个函数作为近似
  插值曲线要过数据点，拟合曲线整体效果更好。
• 神经元网络（根据参数预测）
  BP神经网络：反馈式地不断调整学习参数。
  ; j! ^6 a' q: C- xBPF神经网络：把网络看成对未知函数的逼近
  - E( `" P" D, t" Q3 ^

六、图与网络类

对于图与网络模型，无论是什么情景，方法总逃不出以下内容

1、最短路问题

• Dijkstra算法：单源最短路
• Floyd算法 ：任意两点间的最短路
  " P0 d2 f# d: I7 W. Y! n' U$ h* |; `

2、最小生成树

• 加边
• 加点
  ) \2 Z4 H) q$ n- x

3、最大流、最小费用流

4、旅行商问题
, D; X2 }3 R' P& b* o- c- C改良圈算法

5、统筹

• 计划网络图
• 关键路径
    F8 N! ~7 E9 z+ h

七、数字图像处理

• 图像表示
  ' Z' m) U$ N2 Q1 m# P, t" `6 s+ I$ W采样 + 量化 = 数字图像的矩阵表示
  % v" D+ G3 N3 A/ v图像类型：二值、灰度、RGB彩色图像
• 处理方法
  亮度转换、空间滤波、频域变换
• 应用
  水印、加密式隐藏……
  , @& o/ s3 ?3 m2 o

2 ]% s/ I+ y& u/ M! J
* M2 p# v0 h9 L& J* M) q

" l+ X% f; X& p1 a, a