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数学建模算法与应用》方法概述

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2018-10-31 09:45 |只看该作者 |倒序浏览
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    [color=rgba(0, 0, 0, 0.74902)]《数学建模算法与应用》方法概述
    / \! S# l- l4 y6 Q. R3 S% s* S
    4 p: u% g- J" C0 P" R

    序言:学习司守奎《数学建模算法与应用》第2版过程中,给出一个内容的提纲,希望可以在回忆复习时快速建立知识结构。包含了数学建模所需用到的一些方法和常见问题类型。 2 L* _) d" K9 M' {0 W
    本文仅仅建立一个学习过程中的知识框图,后续会将具体算法理解与Matlab实践整理出来。 2 y/ ^6 m! T' F1 O+ [
    其中前半部分“方法类”为一些常用数学建模方法,单独拿出来介绍 0 R' _7 D7 l$ x$ a
    后半部分为总结的“问题类”,主要为规划、分类、优化、评价和预测,也总结了网络类和图像处理类问题


    —————— 方法类 ——————一、Matlab求解规划类和极值问题

    数学规划为在约束条件下追求效益而做的安排。 7 j. A' r- @$ z; B' G8 `- b( N
    Matlab知识负责实现数学计算,目标函数和约束条件还是需要自己去寻找关系建立方程。
    * h: j+ b) w5 n9 J! I) Q多目标规划:针对多目标,加权系数法和优先等级法。

    二、插值和拟合

    根据一组数据构造一个函数作为近似
    7 G- g# R, t  X" m插值曲线要过数据点,拟合曲线整体效果更好。

    三、偏最小二乘回归分析

    一般研究两组变量间的相互关系

    四、微分方程

    需要了解研究问题领域相关规律
    / p2 e; K) e1 y规律列方程——>Matlab求解微分方程

    五、数理统计(需对概率论很熟悉)

    利用样本来估计总体时,需要数理统计 . v# d, R% Z) R
    参数估计、假设检验 ——> 方差分析、回归分析 + R3 n' j0 V' _& B+ u
    Bootstrap扩充样本

    六、时间序列

    通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律

    • 移动平均法:直接平均
    • 指数平滑法:加权平均
    • 差分指数平滑法:增量的加权平均
    • 季节性时间序列预测:对季节求系数
      2 a. m" K$ p, x) b- P$ {

    ARMA(自回归移动平均序列)构建及预报

    七、支持向量机

    找到一个超平面,使得其尽可能多地将两类数据点分开 1 O5 ~, H: R4 Z% j  H. ^. f
    线性可分SVM、线性SVM、可分SVM

    —————— 问题类 ——————一、规划类

    寻找目标函数和约束条件 ——> Matlab求解

    二、多元分析类(分类、聚类和相关性分析)

    (主要是针对多个变量的统计分析)

    • 聚类分析 6 Y5 V. `: q- F; p" y! _
      对样本的Q型聚类 9 K, g1 P& J+ M* q# S
      对指标的R型聚类 9 Y3 C& A7 W- l/ B2 n, G: Y
      (利用相似距离进行聚类)
    • 主成分分析 % _5 D- ^. M5 `) ]+ c. h
      将多个指标转化为少数几个不相关的综合指标
      - C* N# e! n; \( v3 \! D  T* [% J标准化 -> 相关系数矩阵 -> 特征值和特征向量 -> 组成新指标 -> 选取主成分 -> 得到贡献率
    • 因子分析 ' c9 a, |, Y( Y
      类似主成分分析,但通过计算初等载荷矩阵选择主因子
    • 判别分析
      ; f) `' O& T0 F" W* c& C+ T利用统计方法根据研究个体的观测指标进行归类
    • 典型相关分析
      3 l- R) w' H1 K+ ]研究两组变量间的相关方法。 0 t  s2 Y8 m+ \
      思想:分别找出两组变量的各自的某个线性组合,讨论之间相关关系。
    • 对应分析
      5 |* X2 E. M/ a9 l: ?8 z3 S! UR-Q型因子分析,在同一因子平面上对变量和样本一块进行分类。
      8 a4 l& C* G  i" u9 s  P行点和列点用同一二维关系表示,绘于同一散布图。
    • 多维标度法 . ~9 j( P: ?$ j7 L8 o
      在指标个数和本身不清晰,仅知道客体间某种距离情况下,研究客体间的结构关系。: {  c# G% @5 p% E2 L" f* ^$ q' \
    三、优化类

    求组合优化问题的全局最优解。不断迭代产生新解直到最优。

    • 模拟退火:“状态转换”
    • 遗传算法:“逐代进化”
    • 改进遗传算法# Y/ D% d7 b4 L% ?

    区别:产生新解方式不同

    四、评价类(评价与决策)

    (关键点在确定评价指标的权重上)

    • 理想解法(TOPSIS法)
      9 r7 }! c: D& B! a  Y& [+ o+ p! h找出虚拟正理想解和负理想解,测距找最优
    • 模糊综合评价法 ; R  M! w1 }+ {) n+ y' o0 H0 Z; E
      针对考核指标难以量化,以等级制解决。可以多层次评判,权重主观。
    • 数据包络分析 ' D" a) b4 q2 u- l, C
      多指标输入和多指标输出。(针对发展情况的评价较为方便) 5 u4 G; h* R" l5 U9 _0 @
      无需假设权重
    • 灰度关联分析(主观)
      . k8 @7 C! \4 ?  k计算评价对象和评价标准的关联系数及关联度
    • 主成分分析 8 e" W- U* Y- L: O3 j8 y& p
      指标转化,利用特征值和特征向量
    • 秩和比综合评价法
        g, F0 ^7 ~# v+ r利用秩和比进行优劣排序
      " q8 K+ f: _4 H9 \: T( x1 O
    五、预测类
    • 微分方程预测模型 9 c# p) ?  I7 ~5 }% `
      基于相关原理规律的因果预测法,大多为物理和几何方面。
    • 灰度预测 % h/ i# T; i2 x: Y7 C' Q7 s
      不仅利用原始数据序列,而且对原始数据做累加或其它处理得到近似的指数规律再进行建模
    • 差分方程
      , ?8 ]; J' O( K2 ?) o(解得问题觉得更像高中应用题)
    • 马尔可夫预测 0 _! `  X6 E4 l% p7 c
      系统未来时刻的情况只与现在有关,而与过去历史无直接关系
    • 时间序列 (根据趋势进行预测)
      4 Y' N0 ]% ?- `  @; ]* x通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律
    • 插值和拟合 (根据趋势进行预测)
      : P: u* N" S9 S3 _) G8 r" n根据一组数据构造一个函数作为近似
      $ w: y) \; y2 R; m, T插值曲线要过数据点,拟合曲线整体效果更好。
    • 神经元网络(根据参数预测) * f4 r, X- f7 a5 d: q  j
      BP神经网络:反馈式地不断调整学习参数。 8 B4 I1 R1 ]5 O/ D8 W9 a, G$ c
      BPF神经网络:把网络看成对未知函数的逼近7 t4 z+ y" _, a# O
    六、图与网络类

    对于图与网络模型,无论是什么情景,方法总逃不出以下内容

    1、最短路问题

    • Dijkstra算法:单源最短路
    • Floyd算法 :任意两点间的最短路7 u! i4 A- i( k, R. E

    2、最小生成树

    • 加边
    • 加点" W1 p3 N$ E/ N- ]2 s

    3、最大流、最小费用流

    4、旅行商问题   F. v% \, r0 W. r- i' j  L
    改良圈算法

    5、统筹

    • 计划网络图
    • 关键路径- T5 F1 Q+ B2 C: v
    七、数字图像处理
    • 图像表示
      $ X. k# W- F" Z6 D$ a' @- X采样 + 量化 = 数字图像的矩阵表示 8 X0 _0 g0 F* Z3 Q" J' c
      图像类型:二值、灰度、RGB彩色图像
    • 处理方法
      & k* v. Q2 L5 n7 y& n亮度转换、空间滤波、频域变换
    • 应用 % D' K2 k6 H$ Z+ G  U$ K5 d
      水印、加密式隐藏……. b. @2 Z# n4 s" f: ]% N
    : E* [# U) h0 F8 d

    ) i! f. y( m& X- n+ J& {. {: M
    & |$ u" [2 |! n2 b2 F7 [- P2 R: P# ]% i% Q. Y' S7 \
    zan
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